GET00130 - Métodos Computacionais para Estatística II

A distribuição t-student aparece de forma recorrente nas definições dos intervalos de confiança e nas distribuições de algumas estatísticas utilizadas para realizar testes de hipóteses. De uma forma geral, a distribuição t-student surge da transformação de outras duas variáveis, a distribuição Normal e a distribuição Qui-quadrado. Vejamos o exemplo abaixo.

Seja \(X \sim N(0,1)\) e \(Y \sim \chi_{(10)}\). Qual a distribuição de \[T = \dfrac{X}{\sqrt{Y/10}}?\]

#Vamos checar esse resultado numericamente. Vamos definir um n 
#Para obtermos um histograma bem representado, n deve ser grande
n = 1000

#Gere uma amostra de X
normal = rnorm(n,
               mean = 0,
               sd = 1)

#Gere uma amostra de Y
qui = rchisq(n,
             df = 10)

#Calcule o valor de T que define a transformação
base = tibble(t = normal/sqrt(qui/10))

#Vamos plotar o histograma dos valores observados de T e acrescentar sob o histograma
#a densidade teórica de uma distribuição t
ggplot(data = base, 
       mapping = aes(x = t)) +
  geom_histogram(aes(y = ..density..), 
                 bins = 20) +
  stat_function(fun = dt, 
                args = list(df = 10), 
                col = "red") +
  labs(y = "densidade")

Primeiramente, chamamos a atenção que \(n\) foi definido grande, uma vez que gostaríamos que o histograma fosse bem representado. Estamos dizendo que para visualizar bem o formato da distribuição de um conjunto de valores por meio de um histograma é necessário ter muitos valores para construir esse histograma, pois suponha que estamos trabalhando com uma amostra de uma distribuição Exponencial de tamanho n = 2, se construirmos o histograma dessa amostra, não conseguiremos enxergar neste histograma a forma da distribuição Exponencial (apesar da amostra ser proveniente de uma Exponencial). somente com muitos valores o histograma nos mostraria a forma de uma distribuição Exponencial, certo?!

Seja \(x_1, \ldots, x_{1000}\) os valores gerados da distribuição Normal com média 0 e variância 1 e \(y_1, \ldots, y_{1000}\) os valores gerados da distribuição Qui-quadrado com 10 graus de liberdade. Após a obtenção desses valores, calculamos o valor \[t_i = \frac{x_i}{\sqrt{y_i/10}},\] e plotamos o histograma da amostra \(t_1, \ldots, t_{1000}\). Sob o histograma obtido, plotamos a função densidade de uma distribuição t-student, e o que percebemos é que o histograma acompanha o formato da distribuição, indicando que esse conjunto de valores \(t_1, \ldots, t_{1000}\) parece ter distribuição t-student (como o resultado teórico afirma)! Caso o histograma não acompanhasse a densidade no gráfico (em vermelho), isso indicaria que \(T\) não possuíria a distribuição indicada.

Suponha que desejamos visualizar de forma numérica algumas propriedades dos estimadores.

Suponha a população \[\{1,3,5,5,7\}.\] Qual o valor da média populacional \(\mu\) neste caso? Vemos que \[\mu = \dfrac{1+ 3 + 5 + 5 + 7}{5} = 4,2.\] Suponha agora, que estamos usando o estimador \[\bar{X} = \sum_{i=1}^{n}\dfrac{X_1 + X_2 + \ldots + X_n}{n},\] para fazermos inferência sobre \(\mu\). Se levantarmos o seguinte questionamento “O estimador em questão é consistente?”

Como responder ao questionamento levantado?

Relembrando que um estimador \(T\) é considerado consistente para o parâmetro \(\theta\), se \(Var(T) \rightarrow 0\) quando n cresce.

#Definindo a nossa população
x = c(1,3,5,5,7)

#Vamos definir o número de amostras de tamanho n que serão sorteadas
num.amostra = 1000

#Definindo os diferentes tamanhos de amostras
n = c(2,100,500,1000,5000,8000,10000)

#Definindo o objeto que guadará as variâncias do estimador X.barra
varEst = NULL

#Vamos investigar a variância de X.barra em 7 cenários (valores distintos de n)
for(i in 1:length(n)){

  #Vamos criar o objeto que armazenará as amostras de tamanho n sorteadas
  mat.amostras = matrix(NA, 
                        ncol = num.amostra,
                        nrow = n[i])
  
  #Vamos sortear as 1000 amostras de tamanho n
  for(j in 1:num.amostra){
    mat.amostras[,j] = sample(x = c(1,3,5,5,7),
                              size = n[i],
                              replace = TRUE)
  }

  #Vamos calcular o nosso estimador para cada amostra obtida
  media.amostral = apply(X = mat.amostras,
                         MARGIN = 2,
                         FUN = mean)

  #Calcular a variância das estimativas das médias amostrais obtidas
  varEst[i] = var(media.amostral) #Essa medida é uma estimativa para Var(X.barra)

}

#Armazenando a variância do estimador X.barra e n 
resultados = tibble(n = n, variancia = varEst)

#Visualizando os resultados obtidos
resultados

# A tibble: 7 x 2
      n variancia
  <dbl>     <dbl>
1     2  2.19    
2   100  0.0452  
3   500  0.00810 
4  1000  0.00408 
5  5000  0.000856
6  8000  0.000530
7 10000  0.000431

Percebemos claramente que o comportamento da \(Var(\bar{X})\) diminui a medida que n aumenta. Este resultado numérico, corrobora que o estimador \(\bar{X}\) é um estimador consistente para \(\mu\).