\[(\overline{x} - z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{x} + z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\]
Ejercicio 1. Una empresa de investigación llevó a cabo una encuesta para determinar la cantidad media que los fumadores gastan en cigarrillos durante una semana. La empresa descubrió que la distribución de cantidades que gastan por semana tendía a seguir una distribución normal, con una desviación estándar de $5. Una muestra de 49 fumadores reveló un gasto promedio de $18. Con el nivel de confianza de 95%, determine el intervalo de confianza de \(\mu\) . Explique lo que significa.
Solución
## [1] 19.39997## [1] 16.60003\[n = \left(\frac{z_{\frac{\alpha}{2}} \sigma}{E}\right)^{2}\]
Ejemplo. Los empleados de los aeropuertos tienen horarios muy variables pues se deben ajustar a las horas de llegada de los diferentes vuelos, muchos de los cuales se producen en las noches, por lo que deben emplear taxis. Se desea actualizar el valor del gasto medio semanal en transporte de los empleados de un aeropuerto. Por estudios anteriores se conoce que la desviación estándar de este gasto es $4.5. ¿A cuántos empleados habrá que muestrear si la estimación debe quedar a menos de $1.5 de la media verdadera, con un nivel de confianza del 95%?
## [1] 35Ejercicio 2. Supongamos que el tiempo que permanecen los clientes en el parqueadero de un centro comercial sigue una distribución normal. En una muestra aleatoria de 36 clientes resultó un tiempo promedio de 65 minutos. Supongamos que \(\sigma\) = 6 minutos. Considere un nivel de confianza del 95% y halle:
n = 36
x_barra = 65
sigma = 6
alfa = 1-0.95
alfa_2 = alfa/2
z_alfa_2 = abs(qnorm(alfa_2))
E = z_alfa_2*sigma/sqrt(n)
E## [1] 1.959964## [1] 3.919928## [1] 63.04004## [1] 66.95996\[(\overline{x} - t_{\frac{\alpha}{2}, n-1}\frac{s}{\sqrt{n}}, \overline{x} + t_{\frac{\alpha}{2},n-1}\frac{s}{\sqrt{n}})\]
Ejemplo. La cotización diaria de una moneda frente al dólar sigue una distribución normal de media y varianza desconocidas. Se eligieron 9 días al azar, la cotización fue:
\[\begin{array} {r} 65.3 & 66.2 & 65.8 & 66.0 & 66.1 & 64.5 & 65.2 & 67.1 & 64.2 \end{array}\]## [1] 3.355387## [1] 66.60662## [1] 64.59338Ejercicio. Se desea estimar el tiempo medio de ejecución de un programa. Para ello se ejecutó dicho programa 8 veces utilizando conjuntos de datos elegidos aleatoriamente, obteniéndose que la media muestral y la desviación estándar muestral son, respectivamente, 230 ms y 14 ms. Obtenga un intervalo de confianza al 90% para la media (suponga normalidad) e interprételo.
Ejercicio. En una oficina se desea conocer el gasto semanal en fotocopias, para ello se eligió una muestra de las facturas por ese rubro en 9 semanas del último semestre, resultando los gastos:
\[\begin{array} {r} 208 & 251 & 196 & 77 & 112 & 216 & 304 & 88 & 72 \end{array}\]Se supone que la variable aleatoria objeto de estudio sigue una distribución normal de media desconocida. Determine el intervalo de confianza del 95% para la media del gasto semanal en fotocopias e interprete dichos valores.
\[(\hat{p} - z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}, \hat{p} + z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}})\]
Ejemplo. Con el objeto de estimar la proporción de televidentes que han visto el anuncio de un producto, se entrevistó a 400 telespectadores y resultó que 344 de ellos lo habían visto.
## [1] 0.8885371## [1] 0.8314629\[n = z_{\frac{\alpha}{2}}^{2}\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{E^{2}}\]
Solución
## [1] 362