Função densidade de probabilidade para a distribuição normal:

\[ f(x;\mu,\sigma^2) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{ -\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2 } \]

Exemplo:

sd = 15   #desvio padrão
mu = 100  #média
x = 115   #

(1 / (sd * sqrt(2 * pi)))*exp(-(x - mu)^2/(2*sd^2))
## [1] 0.01613138

Utilizando a função densidade de probabilidade para a distribuição normal (pronta no r):

dnorm(x = x, mean = mu, sd = sd)
## [1] 0.01613138

Fazendo a soma das probabilidades de \(0\) a \(x\) para definir a função densidade de probabilidade acumulada até o ponto \(x\).

x <- 0:115
sum((1 / (sd * sqrt(2 * pi)))*exp(-(x - mu)^2/(2*sd^2)))
## [1] 0.8493208

Utilizando a função do r:

pnorm(q = 115, mean = 100, sd = 15, lower.tail = T)
## [1] 0.8413447



O quociente de inteligência (abreviado para ) é um valor obtido por meio de testes desenvolvidos para avaliar as capacidades cognitivas (inteligência) de uma pessoa, considerando a idade mental e a idade real.

QI Classificação
acima de 144 gênio
entre 130 e 144 superdotação
entre 115 e 129 acima da média
entre 100 e 114 média alta
entre 85 e 99 média baixa
entre 70 e 84 abaixo da média
entre 55 e 69 baixo
abaixo de 55 muito baixo

Exemplo de estudo

Sabendo que o Quociente de Inteligência (Q.I.) tem distribuição normal com média 100 e desvio padrão 15.

Dados:

mu <- 100 # média
sd <- 15  # desvio padrão

1) Qual a probabilidade de uma pessoa, escolhida ao acaso, ter um Q.I. inferior a 115? (não ser acima da média)

Desenhar o gráficos para o Q.I., tendo a escala de Wechsler de 55 a 145 pontos tomando a média = 100 e o desvio padrão = 15.

x <- seq(55, 145)
y <- dnorm(x, 100, 15)

plot(x, y, type = "l")
abline(h=0)

i <- x <= 115
polygon(c(0,x[i],115), c(0,y[i],0), col="red")

A variável padronizada Z é dada por: \(Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}\)

x <- 115
Z <- (x - mu)/sd
Z
## [1] 1

(consultar a tabela dos valores padronizados para a distribuição normal)

Utilizando a função para a distribuição normal

pnorm(q = 115, mean = 100, sd = 15)
## [1] 0.8413447

2) Qual a probabilidade de uma pessoa, escolhida ao acaso, ter um Q.I. superior a 130? (ser uma pessoa superdotada)

Construindo o gráfico:

x <- seq(55, 145)
y <- dnorm(x, 100, 15)
  
plot(x, y, type = "l")
abline(h=0)

i <- x >= 130
polygon(c(130,x[i],145), c(0,y[i],0), col="green")

Calculando a estatística Z:

x <- 130
(x - mu) / sd
## [1] 2

Utilizando a função para a distribuição normal

pnorm(q = 130, mean = 100, sd = 15, lower.tail = F)
## [1] 0.02275013
# ou
1 - pnorm(q = 130, mean = 100, sd = 15)
## [1] 0.02275013

3) Qual a probabilidade de uma pessoa, escolhida ao acaso, ter um Q.I. entre 90 e 110? (ter uma inteligência normal)

Construindo o gráfico:

x <- seq(55, 145)
y <- dnorm(x, 100, 15)
  
plot(x, y, type = "l")
abline(h=0)

i <- x >= 90 & x <= 110
polygon(c(90,x[i],110), c(0,y[i],0), col="blue")

Utilizando a função para calcular a probabilidade para \(x = 110\) e para \(x = 90\); depois, subtraindo para encontrar o valor correspondente ao intervalo \(90 \leq x \leq 110\).

pnorm(q = 110, mean = 100, sd = 15)
## [1] 0.7475075
pnorm(q = 90, mean = 100, sd = 15)
## [1] 0.2524925
pnorm(q = 110, mean = 100, sd = 15) - pnorm(q = 90, mean = 100, sd = 15)
## [1] 0.4950149

Fim