Msc. Roberto Trespalacios

Programa de Maestría en Estadística Aplicada

Universidad Tecnológica de Bolivar

• Datos funcionales: Clasificación de datos funcionales del ritmo circadiano de las abejas meliferas
• Datos espacio-temporales: Análisis de datos sismicos en Puerto Rico para el periodo de diciembre 2019 hasta enero 2021
• Machine learning: Catálisis de alto rango dinámico(HDR): Dinámica estructural de nivel atómico en catalizadores

• Introducción
• Definición de datos funcionales
• Datos funcionales con expansiones de base
• Periodograma de una serie de datos
• Análisis de una serie de p-valores
• Modelado de serie de p-valores (Dato funcional)
• Pre-procesamiento de datos
• Actograma y serie de la actividad de las abejas
• Clasificación de los datos funcionales

El Premio Nobel de Fisiología o Medicina 2017: Jeffrey C. Hall (New York), Michael Rosbash (Kansas) y Michael W. Young(Miami) “Por sus descubrimientos en los mecanismos moleculares que controlan el ritmo circadiano”.

Definición (Gasser-1984, Rice y Silverman-1991)

Los datos funcionales consisten en una muestra aleatoria de funciones de valores reales independientes, \( \chi_1(t), \dots, \chi_n(t) \), en un intervalo compacto \( I = [0, T] \subseteq \mathbb{R} \).

• Cada \( x_i \) se pueden considerar realizaciones de un proceso estocástico unidimensional.
• A menudo se supone que están en un espacio de Hilbert, como \( L^2(I) \).
• Diremos que \( \chi(t) \in L^2(I) \) es un proceso estocástico \( \Leftrightarrow E\left[ \int_I \chi^2(t)dt \right] < \infty \).

Sea \( X_i=X_{t_i} \), para \( i=1,2,\dots, n \), entonces \( \bar{X}=\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n} \) y \( \hat{\sigma}^2=\frac{\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})}{n-1} \)

El Lomb-Scargle periodograma se define como:

\[ \left( \frac{ \left[ \sum_{j}(X_j-\bar{X})cosw(t_j-\tau) \right]^2}{\sum_{j}cos^2w(t_j-\tau) }\right) + \frac{ \left[ \sum_{j}(X_j-\bar{X}senw(t_j-\tau) \right]^2}{\sum_{j}sen^2w(t_j-\tau) } \]

Aquí \( \tau \) está definido por \( \tan(2w\tau)=\frac{\sum_{j}sen2w(t_j\tau)}{\sum_{j}cos2w(t_j\tau)} \)

Estamos interesados en la probabilidad de que la potencia del periodograma a la frecuencia dada sea mayor que un umbral especificado \( z \). Esto es dado por

\[ P[Z>z] =1- P_Z(z)=e^{-z/\sigma_X^2} \]

Cuando \( z \rightarrow \infty \) es exponencialmente menos probable que un nivel de potencia tan alto (o superior) pueda ser producido solo por ruido puro. Analogamente, es más probable que el nivel de potencia observado se deba a un determinismo genuino (es decir, no ruido) en la señal medida.

Sea \( X_t=(x_1,x_2,\dots, x_n) \) una serie de actividad en el tiempo. Definimos las subseries \( I_{j,k} \) de \( X_t \), para \( k \) fijo:

\[ I_{j,k} = X_{1 \leqslant t \leqslant (j \times k)} = (x_1, x_2, \dots, x_{j \times k}), \quad j = 1, 2, \dots, n/k \]

Para determinar la potencia (p−value) de la prueba de periodicidad para cada \( i \); de tal manera, que el tiempo \( t \) tal que la serie de p−values < 0.05 lo denominamos \( t_{stable} \), y lo representamos así:

\[ t_{stable}=\max_{1 \leqslant t \leqslant n}\{t \mid p_{t-1} > p_t \hspace{0.2cm} \wedge \hspace{0.2cm} p_{t}<0.05 \} \]

• El análisis del ciclo del período de las abejas es un complejo Problema debido a la particularidad e incertidumbre de la actividad. y comportamiento en cada abeja.
• Las mediciones de los datos no deben ser muy cercanas, porque la serie de tiempo puede perder su tendencia cuando hay son demasiadas muestras en un período de tiempo muy corto.
• Se observó que las curvas modeladas por monótono splines cúbicos y el uso de agrupaciones aglomerativas jerárquicas, son una herramienta poderosa para determinar los diferentes grupos las curvas. Además, estas mismas curvas sirven de base para calcular el inicio de ciclos periódicos, mediante de la proyección de los tiempos tstables en cada curva.
• El uso de periodogramas es beneficioso; sin embargo, tiene sus limitaciones. Por esta razón, el análisis consecutivo de periodogramas hasta alcanzar la periodicidad de la serie, puede llevar a conclusiones erróneas, para minimizarlas es importante refinar los cálculos y el método de velocidades y luego compare los resultados.

Actualmente, estamos trabajando en la modelación espacio temporal de los ciclos sismicos en la isla de Puerto Rico. En esta parte, presentaremos algunos análisis previos descriptivos sobre la parte espacial y temporal del fenomeno de los sismos en la región del caribe que comprende la isla y sus alrededores.

• La motivación de este trabajo, se debe a la gran incidencia de los terremotos en la región. Muchos terremotos notorios, siendo el más fuerte de magnitud 6.4 Mw, se han dado desde entonces.

• Para la fecha actual comparada con la fecha de hace un año, ha temblado en Puerto Rico casi 19 veces menos, lo cual nos muestra el comportamiento alarmante con que ocurrieron los sismos el año pasado no sólo en comparación con este año sino también y sobretodo con respecto a los añonnos anteriores a él.
• Con la cantidad aproximada de 69570 datos recopilados y 41742 datos creados a partir de ellos, se obtuvieron las siguientes tablas y gráficas que nos ayudan a entender el comportamiento de las placas y los 13914 sismos analizados (3687 ocurridos en tierra y 10227 en el océano).

Mediante el mapa podemos ver la gran proporción de sismos en los dos grupos de intensidad igual o mayor que 2.08 Mw y menor que 4.24 Mw.

Del mapa anterior, vemos también que el 100% de los sismos con intensidad mayor a 5.32 Mw ocurrieron en el área sur- oeste de Puerto Rico ya sea en tierra o en el mar, y todos con un radio aproximadamente menor a 25km del centro de masa (lat = 18.03999, lon = -66.8949).

No obstante, frente a los otros rangos de intensidad de sismos, como los 71 sismos con intensidad mayor o igual a 4.24 Mw que representan el 0.51% del total, aunque el porcentaje de estos últimos es pequeño estos sismos son los más significativos y el motivo de nuestro estudio.

La cantidad de incidencias según localización fue muy variada y más adelante mostraremos detalles de las 37 localizaciones más destacadas según ese número.

Es importante mencionar que las primeras 9 que lideran este ranking de localizaciones epicentros después del océano (10227) fueron:

• Montalva (Guánica),
• Boca (Guayanilla),
• Barinas (Yauco),
• Carenero (Guánica),
• Costa (Lajas),
• Tallaboa Poniente (Peñuelas),
• Indios (Guayanilla)
• Cedro (Guayanilla)
• Magas (Guayanilla)

Estas 9 localizaciones muestran frecuencias superiores a 125 sismos; y en conjunto con las del océano acumulan 13 140 sismos (aprox. 94.44% del total).

En la distribución mensual de la cantidad de sismos ocurridos durante el periodo de estudio podemos resaltar la gran diferencia observada de la cantidad de sismos ocurridos en enero 2020 respecto a los demás meses del 2020 y la primera quincena del 2021.

Hubo más de 4500 sismos, que se redujeron en tres cuartas partes durante el mes de febrero 2020 y continuaron disminuyendo julio 2020; para luego continuar decreciendo en diciembre del 2020.

Aproximadamente el 91% de los sismos se presentan en una región circular cuyo centro es el centro de masa (a esta regón la llamaremos región I). El área de la región I es de 5026.3 \( Km^2 \). La región rectangular que abarca completa para nuestro análisis; de coordenadas lat 17.2 \( S \), 19.5 \( N \) y lon 68.2 \( O \), 65 \( E \), la llamaremos región II; esta región tiene un área de 76748.9 \( Km^2 \) (ver mapa inicial).

Existe un punto de cambio en la serie de la magnitud de los sismos; este punto se da el 07/01/2020 a las 3:29 am, en donde se registra un sismo de 2.48 Mw, de profundidad de 3 Km, en la falla Punto Montalva.

Esta ruptura es la antesala del aumento en la magnitud promedio de los sismos en la serie que fue de 2.25 Mw y posteriormente aumenta a 2.64 Mw.

El promedio en la profundidad, que era de 27.3 Km antes del punto de ruptura y que pasa a ser 10.88 Km posteriormente.

• Durante los tres días en los que el promedio de la magnitud cayó, también la profundidad tuvo un cambió en el promedio (12.32 Km).
• Posterior al punto de cambio, luego de 55 min, se presenta el sismo de magnitud máxima (6.4 Mw), con profundidad de 8.95 Km.

• La energía media por semana durante el periodo 01/12/2019 hasta el 15/01/2021 para la región circular I, fue de 368.7 MJ
• Para la región rectangular II fue de 3288.7 MJ.

Lo anterior significa que:

• la región I es 1.7 veces más propensa a la actividad sísmica que la región II
• Todo esto, no obstante que la región I es 15 veces más pequeña que la región II.
• Considerando estas relaciones, podemos anotar que un terremoto de magnitud igual a 8 Mw, libera energía equivalente a 1011 MJ;

Ejemplo: la energía liberada por una explosión nuclear de 10 kilotones es de 106 MJ y equivale a un terremoto de magnitud igual a 5.5 Mw.

Introduction

What are Catalysts Catalysts Surface Structural Motifs Why Does it Matter? TEM images Enzymes smFRET Denoising Denoising TEM images High Dimensionality Dimension Reduction for TEM images Modeling Dynamics in Proteins Change Point Analysis Hidden Markov Models (HMM) HMM for FRET HMM

• La dinámica estructural de nivel atómico en catalizadores es un proyecto de la NSF financiado con el objetivo de aprovechar las herramientas de estadísticas modernas y machine learning para realizar actividades basadas en descubrir caracteristicas de los catalizadores, basandose en la dinamica a nivel atómico.

• El proyecto se basó en la experiencia complementaria en ciencia de materiales, biofísica, estadística y ciencia de datos.

• En la fase I, el objetivo de la investigación es explorar, describir y cuantificar la dinámica estructural a nivel atómico del sistema catalitico catalíticos con foco en enzimas y nanopartículas.

• La catálisis es un proceso para inducir/aumentar una reacción química al agregar un catalizador.
• En el área de la ciencia de los materiales, las nanopartículas sirven como catalizadores.
• En el área de las proteínas, las enzimas sirven como catalizadores.
• Aunque tanto las enzimas como las nanopartículas pueden funcionar comocatalizadores para regular y controlar los procesos de conversión química, sus respuestas dinámicas son diferentes.
• Como tales, son excelentes sistemas modelo para comparar y métodos de análisis de contraste que proporcionan un espacio adecuado para identificar soluciones generales óptimas.
• Estos enfoques generales deben ser aplicables a una cantidad de problemas fundamentales en la ciencia de los materiales y biología estructural con posibles aplicaciones a otros áreas donde las fluctuaciones dinámicas son importantes.

• El proceso de transformación química catalítica está asociado con reordenamientos estructurales dinámicos y el grado de La reconfiguración es específica del sistema (es decir, catalizador, reactivos y productos).

• Hasta hace poco, estas evoluciones estructurales eran relativamente inexplorado debido a la falta de herramientas experimentales con suficiente Resoluciones espaciales y temporales.

• Aquí exploraremos la evolución espacio-temporal de sistemas de nanopartículas y enzimas que utilizan una combinación de novedosos instrumentación de última generación, ciencia de datos y técnicas de modelado.

• Es un elemento estructural 3D o pliegue dentro de una proteína, queaparece también en una variedad de otras proteínas (la estructura tiene unfunción particular)
• Los motivos de superficie catalíticamente relevantes a menudo se forman solo bajo elcondiciones de reacción adecuadas.
• Diferenciar entre motivos catalíticamente activos y pasivoslas estructuras del espectador es un desafío intelectual.
• Obtener una resolución atómica dinámica localizada estructuralinformación sobre nanopartículas activas y sus superficies, esnecesario utilizar microscopias in situ.

• En terminología química, los reactivos se encuentran en productos.(por ejemplo, oxidación de metano)
• Queremos mejorar la velocidad de la reacción deseada y suprimir la velocidad de la reacción no deseada.
• Tales transformaciones requieren un cambio de energía.

La técnica TEM, o microscopía de la transmisión electrónica de un objeto (TEM) dispara un haz deelectrones a través de una muestra para producir una imagen ampliada de un objeto.

• Se coloca un cristal en el microscopio electrónico. Los electrones interactuar con el campo eléctrico de los átomos generado por protones y electrones.
• Cuando se dispara un haz de electrones a una muestra de cristal, ellos electrones se dispersan (perturban) a medida que se mueven a través delmuestra. En el lenguaje de la mecánica cuántica, podemos pensarde esto como la onda de electrones que es dispersada por los átomos en elcristal.
• En condiciones favorables, la imagen electrónica representa la proyección 2D de la estructura del objeto.
• Ejemplo de imagen TEM y cómo puede mostrar iones positivos (catión)cambiando

Ejemplo: Imagen TEM y cómo puede mostrar iones positivos (catión)cambiando

a) Imagen TEM de la superficie de la molecula \( CeO2 \) (111) de una \( CeO_2 \); la columna \( Ce \) aparece difusa en cada sitio de paso. La serie de imágenes consecutivas de la b) a la d), muestran un cambio cationico de 0.5 en cada paso(ver flechas).

• Las enzimas son proteínas con función catalítica.
• Las enzimas están involucradas en diversos procesos inflamatorios, cardiovasculares,y enfermedades metabólicas y forman una de las más importantesclases de proteínas como dianas de fármacos.
• También tienen un gran potencial para aplicaciones industriales: productos farmacéuticos, procesamiento de alimentos y biocombustibles.
• Comprender la catálisis enzimática a nivel molecular podría tener un gran impacto tanto en el diseño de fármacos eficientes paraenzimas de destino y proteínas de enzimas de ingeniería para una eficiencia aplicaciones industriales.

• La transferencia de energía de resonancia de fluorescencia de una sola molécula (o molecula simple)(smFRET) la espectroscopia mide la transferencia de energía de un donante a una molécula con un colorante aceptor para inferir información sobre su distancia en función del tiempo.
• La tonalidad del tinte proporciona posteriormente información sobre la distancia entre los dos sitios/áreas de proteína a los que se adjuntan las moleculas.

• Eliminación de ruido con desenfoque gaussiano, filtro Wiener (suponiendo señal gaussiana), o métodos bayesianos han sido propuestos
• Para las imágenes TEM, proponemos utilizar redes neuronales convolucionales (CNN) para eliminarlos.
• Los modelos ocultos de Markov (HMM) tienden a tener en cuenta bien el ruidocuando se aplica a datos de series de tiempo.
• La tarea de eliminación de ruido tiene como objetivo identificar instancias de un conjunto deestructuras, y asignando etiquetas de clase \( \{c_n\} \) y espacialescoordenadas \( \{(x_n, y_n)\} \) a cada uno de ellos.
• En el caso más simple, solo hay una clase (“átomo”), pero el análisis se puede ampliar para identificar estructuras específicas deátomos, columnas de átomos de varios tamaños, vacantes, etc.
• La red neuronal convolucional se entrenará con unconjunto predefinido de etiquetas \( N_c \), \( C = \{c_0, c_1,\dots, c_{N_c}\} \) y asigne inicialmente una probabilidad para cada posible etiqueta.
• La elección de cómo categorizar las estructuras depende de cómoel investigador deriva significado de las imágenes.

• Un enfoque es simular imágenes TEM y agregar ruido ahazlos realistas.
• Luego, las redes neuronales convolucionales se entrenan en estosimágenes TEM simuladas (Madsen et al.2018).
• Una vez configurada la arquitectura CNN adecuada (pesos, capas,nodos, etc.), el algoritmo se puede implementar en TEM realimágenes para eliminar ruido.

• Un conjunto de datos se considera de alta dimensión cuando tiene muchoscaracterísticas.
• Esto puede ser en términos del número de observaciones, o entérminos de requerir trabajar con demasiados parámetros.
• La maldición de la dimensionalidad trae peligros de sobreajuste(overfitting) y el gasto computacional.

• En el marco de HMM, se supone que un sistema de interésalternar sucesivamente entre diferentes estados \( K \).
• \( K \) denota el número total de estados disponibles para el sistema,no importa si todos estos estados son visitados o algunos permanecenno visitado durante el transcurso del tiempo de las mediciones.
• En un experimento con una sola proteína, la proteína es el “sistema” y los “estados” son configuraciones.
• En el HMM estándar, asumimos que las transiciones del sistemase rigen por la dinámica de Markov (primer orden).
• Esto significa que el sistema salta de un estado \( i \) al estado \( j \), por ejemplo, de un valor FRET a otro, de manera estocástica que depende exclusivamente de \( i \) y de ningún otro estado visitado en el pasado.

• Para \( N \) puntos de tiempo, sea la trayectoria experimental FRET \( x = (x_1, \dots, x_N) \), donde \( x_i \) está entre 0 y 1;

\[ \frac{\text{fluorescencia del receptor}}{(fluorescencia del receptor + fluorescencia del donante)} \]

• Tenemos \( K \) estados ocultos, y \( s = (s_ 1 ,..., S_N) \)
• $x_i|s_i = $k \sim N(\mu_k, \sigma^2_k)
• La matriz de transición \( K \times K \) de \( s \) es \( A = (A_{ij}) \) donde \( A_{ij} \) es la probabilidad de pasar del estado \( i \) al estado \( j \) en cualquier tiempo \( t \)
• Para cada trayectoria, \( \boldsymbol{\theta} = (A , \mu_1, \dots, Μ_K, \sigma^2_1,\dots, \sigma^2_K) \)
• La probabilidad de que \( s_1 \) esté en el estado \( 1,\dots,K \) es $ = ( \psi_1, \dots, \psi_K)$
• Tenemos

\[ P(x, s|\theta) = \psi_{n=2}^ = P( s_n| s_{n− 1}, A)_{n=1}^ = P(x_n|s_n, \mu, \sigma^2) \]