Pruebas Binomiales

Prueba de Proporciones

1._Un fabricante de teléfonos móviles afirma que sólo el 5 % de todas las unidades que vende sufre una falla durante el primer mes de operación normal. Una organización de consumidores ha pedido a 45 consumidores que han adquirido estos teléfonos móviles, que reporten cualquier mal funcionamiento durante el primer mes. Al final de éste sólo siete consumidores reportaron mal funcionamiento. Si la organización de consumidores cree que la proporción de teléfonos que sufrirán alguna falla es mayor al valor afirmado por el fabricante. ¿Con una α del 10 % podría la organización sustentar su creencia?

La prueba a utilizar Prueba de proporcionesvcaso C cola superior

Hipótesis al problema planteado

\[H_0: La~probabilidad~de~que~los~teléfonos~moviles~sufran~una~falla~durante~el~primer~mes~sea~≤~5\%\] \[vs\] \[H_α: La~probabilidad~de~que~los~teléfonos~moviles~sufran~una~falla~durante~el~primer~mes~sea~>~5\%\] De manera alternativa: \[H_0:p≤p^* es~decir, p≤0.05 ~vs~H_α:p>p^*es~decir, p>0.05\] Supuestos:

Muestra aleatoria de tamaño 45
Tomaremos como “éxito” a los consumidores que reportaron un mal funcionamiento \(T=7\)números de éxitos
Tomaremos \(α = 10\% = 0.10\) el nivel de significancia
\(n=45\) tamaño de la muestra
\(p^*=5\%=0.05\)
Confianza \(=1-α =90\%\)

Utilizaremos el estadístico \[T=7~consumidores~reportaron~un~mal~funcionamiento \] \[T\sim Bin(45,0.05)\]

Resolviendo el problema utilizando R

# Datos
T_1 = 7 #Número de éxitos 
alpha_1 = 0.10 #Nivel de significancia 
n_1 = 45 #Tamaño de la muestra 
p_1 = 0.05 #Proporción
t_1 = qbinom(0.90,n_1,p_1) #Valor crítico 
t_1

## [1] 4

pvalue_1 = 1-pbinom(6,n_1,p_1) #P-value 
pvalue_1

## [1] 0.006645392

binom.test(T_1,n_1, p_1, alternative = c("greater"))#greater , less , two.side

## 
##  Exact binomial test
## 
## data:  T_1 and n_1
## number of successes = 7, number of trials = 45, p-value = 0.006645
## alternative hypothesis: true probability of success is greater than 0.05
## 95 percent confidence interval:
##  0.07535676 1.00000000
## sample estimates:
## probability of success 
##              0.1555556

Regla de decisión

Rechazo \(H_0\) si \(T_!>t_1\) y rechazo \(H_0\) si \(p-value<0.05\) Como \(T_1=7\) y \(t_1=4\), como \(7>4\) y \(p-value=0.006645<0.05\) entonces se rechaza \(H_0\)

Conclusión Hay información suficiente para rechazar \(H_0\) por lo que más del 5% de los teléfonos moviles sufren una falla durante el primer mes

2._Un candidato a través de encuestas propias afirma que el 65 % o más de los votantes están a su favor. Sin embargo, a través de una encuesta a 20 personas, 10 están a su favor. Probar que a un nivel de significancia del 5 %, la hipótesis de que el candidato a sobrestimado los votos a su favor.

La prueba a utilizar Prueba de proporciones caso B cola inferior

Hipótesis al problema planteado

\[H_0: La~probabilidad~de~que~los~votantes~estan~a~favor~del~candidato~es~≥~65\%\] \[vs\] \[H_α:La~probabilidad~de~que~los~votantes~estan~a~favor~del~candidato~es~<~65\%\] De manera alternativa: \[H_0:p≥p^* es~decir, p≥0.65 ~vs~H_α:p<p^*es~decir, p<0.65\] Supuestos:

Muestra aleatoria de tamaño 20
Tomaremos como “éxito” a los votantes a favor del candidato \(T=10\)números de éxitos
Tomaremos \(α = 5\% = 0.05\) el nivel de significancia
\(n=20\) tamaño de la muestra
\(p^*=65\%=0.65\)
Confianza \(=1-α =95\%\)

Utilizaremos el estadístico \[T=10~los~votantes~estan~a~favor~del~candidato \] \[T\sim Bin(20,0.65)\] Resolviendo el problema utilizando R

# Datos
T_2 = 10 #Número de éxitos 
alpha_2 = 0.05 #Nivel de significancia 
n_2 = 20 #Tamaño de la muestra 
p_2 = 0.65 #Proporción
t_2 = qbinom(0.05,n_2,p_2,lower.tail =TRUE ) #Valor crítico 
t_2

## [1] 9

pvalue_2 = 1-pbinom(10,n_2,p_2,lower.tail = FALSE) #P-value 
pvalue_2

## [1] 0.1217806

binom.test(T_2,n_2, p_2, alternative = c("less"))#greater , less , two.side

## 
##  Exact binomial test
## 
## data:  T_2 and n_2
## number of successes = 10, number of trials = 20, p-value = 0.1218
## alternative hypothesis: true probability of success is less than 0.65
## 95 percent confidence interval:
##  0.0000000 0.6980461
## sample estimates:
## probability of success 
##                    0.5

Regla de decisión

Rechazo \(H_0\) si \(T_2≤t_2\) y rechazo \(H_0\) si \(p-value<0.05\) Como \(T_2=10\) y \(t_2=9\), como \(10>9\) y \(p-value=0.1217806>0.05\) entonces no se rechaza \(H_0\)

Conclusión

No hay información suficiente para rechazar \(H_0\). Es decir, los votantes que están a favor del candidato es mayor al 65%.

3._En una muestra de 150 partidos de básquetbol universitario, el equipo de casa ganó 98 partidos. Realice una prueba para determinar si los datos sustentan la hipótesis de que en el básquetbol universitario el equipo de casa tiene ventaja. ¿A qué conclusión llega con α = 0.05?

La prueba a utilizar Prueba de proporciones caso C cola superior

Hipótesis al problema planteado

\[H_0: La~probabilidad~de~que~el~equipo~de~casa~tiene~ventaja~en~el~básquetbol~universitario~sea~≤~50\%\] \[vs\] \[H_α: La~probabilidad~de~que~el~equipo~de~casa~tiene~ventaja~en~el~básquetbol~universitario~sea~>~50\%\] De manera alternativa: \[H_0:p≤p^* es~decir, p≤0.50 ~vs~H_α:p>p^*es~decir, p>0.50\] Supuestos:

Muestra aleatoria de tamaño 150
Tomaremos como “éxito” los partidos ganados del equipo de casa, \(T=98\) números de éxitos
Tomaremos \(α =5\% = 0.05\) el nivel de significancia
\(n=150\) tamaño de la muestra
\(p^*=50\%=0.50\)
Confianza \(=1-α =95\%\)

Utilizaremos el estadístico \[T=7~consumidores~reportaron~un~mal~funcionamiento \] \[T\sim Bin(150,0.50)\]

Resolviendo el problema utilizando R

# Datos
T_3 = 98 #Número de éxitos 
alpha_3 = 0.05 #Nivel de significancia 
n_3 = 150 #Tamaño de la muestra 
p_3 = 0.50 #Proporción
t_3 = qbinom(0.95,n_3,p_3) #Valor crítico 
t_3

## [1] 85

pvalue_3 = 1-pbinom(97,n_3,p_3,lower.tail =TRUE) #P-value 
pvalue_3

## [1] 0.0001075383

binom.test(T_3,n_3, p_3, alternative = c("greater")) #greater , less , two.side

## 
##  Exact binomial test
## 
## data:  T_3 and n_3
## number of successes = 98, number of trials = 150, p-value = 0.0001075
## alternative hypothesis: true probability of success is greater than 0.5
## 95 percent confidence interval:
##  0.5841941 1.0000000
## sample estimates:
## probability of success 
##              0.6533333

Regla de decisión

Rechazo \(H_0\) si \(T_3>t_3\) y rechazo \(H_0\) si \(p-value<0.05\) Como \(T_3=98\) y \(t_3=85\), como \(98>85\) y \(p-value=0.0001075383<0.05\) entonces se rechaza \(H_0\)

Conclusión

Hay información suficiente para rechazar \(H_0\). Es decir, en el básquetbol universitario el equipo de casa tiene ventaja

Prueba de Cuantiles

1._Una muestra aleatoria de niños de tercer año de secundaria mostró las siguientes observaciones de peso (kg)

Probar:

a) La mediana de los pesos es 46kg.

La prueba a utilizar Prueba de Cuantiles caso A prueba de dos colas

Hipótesis al problema planteado

\[H_0: La~probabilidad~de~que~la~mediana~es~=~46~kg\] \[vs\] \[H_α: La~probabilidad~de~que~la~mediana~es~≠~46~kg\] De manera alternativa: \[H_0:p=p^* es~decir, p=0.50 ~vs~H_α:p≠p^*es~decir, p≠0.50\] Supuestos:

Muestra de tamaño 20

#Datos
n_4 = length(Ej_1) # Total de observaciones
n_4

## [1] 20

\(T_1=6\) # de observaciones \(≤x^*\)

Ej1a_T1 <- sum(Ej_1<=46) # T_1 num de obs ≤ x*
Ej1a_T1

## [1] 6

\(T_2=4\) # de observaciones \(<x^*\)

Ej1a_T2 <- sum(Ej_1<46) # T_2 num de obs < x*
Ej1a_T2

## [1] 4

Tomaremos \(α =5\% = 0.05\) el nivel de significancia
\(p^*=50\%=0.50\)
Confianza \(=1-α =95\%\)

Utilizaremos el estadístico \[T_1=6,~T_2=4\] \[T_1,_2\sim Bin(20,0.50)\] Resolviendo el problema utilizando R

alpha_4 = 0.05 #Nivel de significancia

p_4 = 0.50 #Cuantil en este caso la mediana

t_4 = qbinom(0.95,n_4,p_4,lower.tail = F) #Cuantil a comparar con el estadístico de prueba t_1
t_4

## [1] 6

t_5 = qbinom(0.95,n_4,p_4) #Cuantil a comparar con el estadístico de prueba t_2
t_5

## [1] 14

pvalue_4 = 1-pbinom(5,n_4,p_4,lower.tail = T) #P-value 
pvalue_4

## [1] 0.9793053

pvalue_5 = 1-pbinom(4,n_4,p_4,lower.tail = F) #P-value 
pvalue_5

## [1] 0.005908966

binom.test(Ej1a_T1,n_4, p_4, alternative = c("l"))#greater , less , two.side

## 
##  Exact binomial test
## 
## data:  Ej1a_T1 and n_4
## number of successes = 6, number of trials = 20, p-value = 0.05766
## alternative hypothesis: true probability of success is less than 0.5
## 95 percent confidence interval:
##  0.0000000 0.5078184
## sample estimates:
## probability of success 
##                    0.3

binom.test(Ej1a_T2,n_4, p_4, alternative = c("g"))#greater , less , two.side

## 
##  Exact binomial test
## 
## data:  Ej1a_T2 and n_4
## number of successes = 4, number of trials = 20, p-value = 0.9987
## alternative hypothesis: true probability of success is greater than 0.5
## 95 percent confidence interval:
##  0.07135388 1.00000000
## sample estimates:
## probability of success 
##                    0.2

p-value del caso A, dos colas

2*min(c(0.05766,0.9987))

## [1] 0.11532

Regla de decisión

Rechazo \(H_0\) si \(T_1≤t_1\) o \(T_2>t_2\), y rechazo \(H_0\) si \(p-value<0.05\) Datos: \(T_1=6\),\(T_2=4\),\(t_1=6\),\(t_2=14\),\(p-value=0.11532\) Como \(6=6\),\(4<14\) y \(p-value=0.11532<0.05\) entonces se rechaza \(H_0\)

Conclusión

Hay información suficiente para rechazar \(H_0\). Es decir, la mediana de los pesos no es 46kg.

b) El cuartíl superior es al menos 60kg.

La prueba a utilizar Prueba de Cuantiles caso B, cola inferior

Hipótesis al problema planteado

\[H_0: La~probabilidad~de~que~el~cuartíl~superior~es≤~60~kg\] \[vs\] \[H_α: La~probabilidad~de~que~el~cuartíl~superior~es>~60~kg\] De manera alternativa: \[H_0:p≤p^* es~decir, p≤0.75 ~vs~H_α:p>p^*es~decir, p>0.75\] Supuestos:

Muestra de tamaño 20

#Datos
n_5 = length(Ej_1) # Total de observaciones
n_5

## [1] 20

\(T_1=12\) # de observaciones \(≤x^*\)

Ej1b_T1 <- sum(Ej_1<=60) # T_1 num de obs ≤ x*
Ej1b_T1

## [1] 12

\(T_2=11\) # de observaciones \(<x^*\)

Ej1b_T2 <- sum(Ej_1<60) # T_2 num de obs < x*
Ej1b_T2

## [1] 11

Tomaremos \(α =5\% = 0.05\) el nivel de significancia
\(p^*=75\%=0.75\)
Confianza \(=1-α =95\%\)

Utilizaremos el estadístico \[T_1=12,~T_2=11\] \[T_1,_2\sim Bin(20,0.75)\] Resolviendo el problema utilizando R

alpha_5 = 0.05 #Nivel de significancia

p_5 = 0.75 #Cuantil en este caso

t_6 = qbinom(0.95,n_5,p_5,lower.tail = F) #Cuantil a comparar con el estadístico de prueba t_1
t_6

## [1] 12

pvalue_6 = 1-pbinom(12,n_5,p_5,lower.tail = F) #P-value 
pvalue_6

## [1] 0.1018119

binom.test(Ej1b_T1,n_5, p_5, alternative = c("l"))#greater , less , two.side

## 
##  Exact binomial test
## 
## data:  Ej1b_T1 and n_5
## number of successes = 12, number of trials = 20, p-value = 0.1018
## alternative hypothesis: true probability of success is less than 0.75
## 95 percent confidence interval:
##  0.0000000 0.7829314
## sample estimates:
## probability of success 
##                    0.6

Regla de decisión

Rechazo \(H_0\) si \(T_1≤t_1\) Datos: \(T_1=12\),\(t_1=12\),\(p-value=0.1018119\) Como \(12=12\),y \(p-value=0.11532\) entonces se rechaza \(H_0\)

Conclusión

Hay información suficiente para rechazar \(H_0\). Es decir, el cuartíl superior es al menos 60kg.

c) El tercer decil no es mayor a 45kg.

La prueba a utilar Prueba de Cuantiles caso C, cola superior

Hipótesis al problema planteado

\[H_0: La~probabilidad~de~que~el~tercer~decil~es≥~45~kg\] \[vs\] \[H_α:La~probabilidad~de~que~el~tercer~decil~es<~45~kg\] De manera alternativa: \[H_0:p≥p^* es~decir, p≥0.30 ~vs~H_α:p<p^*es~decir, p<0.30\] Supuestos:

Muestra de tamaño 20

#Datos
n_6 = length(Ej_1) # Total de observaciones
n_6

## [1] 20

\(T_1=4\) # de observaciones \(≤x^*\)

Ej1c_T1 <- sum(Ej_1<=45) # T_1 num de obs ≤ x*
Ej1c_T1

## [1] 4

\(T_2=4\) # de observaciones \(<x^*\)

Ej1c_T2 <- sum(Ej_1<45) # T_2 num de obs < x*
Ej1c_T2

## [1] 4

Tomaremos \(α =5\% = 0.05\) el nivel de significancia
\(p^*=30\%=0.30\)
Confianza \(=1-α =95\%\)

Utilizaremos el estadístico \[T_1=4,~T_2=4\] \[T_1,_2\sim Bin(20,0.30)\] Resolviendo el problema utilizando R

alpha_6 = 0.05 #Nivel de significancia

p_6 = 0.30 #Cuantil en este caso

t_7 = qbinom(0.95,n_6,p_6) #Cuantil a comparar con el estadístico de prueba t_1
t_7

## [1] 9

pvalue_7 = 1-pbinom(Ej1c_T2,n_6,p_6) #P-value 
pvalue_7

## [1] 0.7624922

Regla de decisión

Rechazo \(H_0\) si \(T_2>t_2\) Datos: \(T_2=4\),\(t_2=9\),\(p-value=0.7624922\) Como \(4<9\),y \(p-value=0.7624922\) entonces no se rechaza \(H_0\)

Conclusión

No hay información suficiente para rechazar \(H_0\). Es decir, el tercer decil es mayor a 45kg.

2._ La siguiente es una muestra de 15 departamentos nuevos de 2 recamaras con estacionamiento en la colonias Roma, Condesa y Escandón. Los datos están en millones de pesos.

Probar:

a) Cuando menos 50 % de las observaciones están por debajo de los 4.3 millones.

La prueba a utilar Prueba de Cuantiles caso C, cola superior

Hipótesis al problema planteado

\[H_0: La~probabilidad~de~que~los~departamentos~tengan~un~costo≥~a~los~4.3~millones\] \[vs\]

\[H_α:La~probabilidad~de~que~los~departamentos~tengan~un~costo~<~a~los~4.3~millones\] De manera alternativa: \[H_0:p≥p^* es~decir, p≥0.50 ~vs~H_α:p<p^*es~decir, p<0.50\] Supuestos:

Muestra de tamaño 15

#Datos
n_8 = length(Ej_2) # Total de observaciones
n_8

## [1] 15

\(T_1=4\) # de observaciones \(≤x^*\)

Ej2a_T1 <- sum(Ej_2<=4.3) # T_1 num de obs ≤ x*
Ej2a_T1

## [1] 4

\(T_2=4\) # de observaciones \(<x^*\)

Ej2a_T2 <- sum(Ej_2<4.3) # T_2 num de obs < x*
Ej2a_T2

## [1] 4

Tomaremos \(α =5\% = 0.05\) el nivel de significancia
\(p^*=50\%=0.50\)
Confianza \(=1-α =95\%\)

Utilizaremos el estadístico \[T_1=4,~T_2=4\] \[T_1,_2\sim Bin(15,0.50)\] Resolviendo el problema utilizando R

alpha_8 = 0.05 #Nivel de significancia

p_8 = 0.50 #Cuantil en este caso

t_8 = qbinom(0.95,n_8,p_8) #Cuantil a comparar con el estadístico de prueba t_1
t_8

## [1] 11

pvalue_8 = 1-pbinom(Ej2a_T2,n_8,p_8) #P-value 
pvalue_8

## [1] 0.9407654

Regla de decisión

Rechazo \(H_0\) si \(T_2>t_8\) Datos: \(T_2=4\),\(t_8=11\),\(p-value=0.9407654\) Como \(4<11\),y \(p-value=0.9407654\) entonces no se rechaza \(H_0\)

Conclusión No hay información suficiente para rechazar \(H_0\). Es decir, Al menos 50 % de las observaciones están por arriba de los 4.3 millones.

b) No mas del 20 % de las observaciones tienen un costo mayor a 7 millones.

La prueba a utilar Prueba de Cuantiles caso C, cola superior

Hipótesis al problema planteado

\[H_0: La~probabilidad~de~que~los~departamentos~tengan~un~costo≥~a~los~7~millones\] \[vs\]

\[H_α:La~probabilidad~de~que~los~departamentos~tengan~un~costo~<~a~los~7~millones\] De manera alternativa: \[H_0:p≥p^* es~decir, p≥0.20 ~vs~H_α:p<p^*es~decir, p<0.20\] Supuestos:

Muestra de tamaño 15

#Datos
n_7 = length(Ej_2) # Total de observaciones
n_7

## [1] 15

\(T_1=13\) # de observaciones \(≤x^*\)

Ej2b_T1 <- sum(Ej_2<=7) # T_1 num de obs ≤ x*
Ej2b_T1

## [1] 13

\(T_2=13\) # de observaciones \(<x^*\)

Ej2b_T2 <- sum(Ej_2<7) # T_2 num de obs < x*
Ej2b_T2

## [1] 13

Tomaremos \(α =5\% = 0.05\) el nivel de significancia
\(p^*=20\%=0.20\)
Confianza \(=1-α =95\%\)

Utilizaremos el estadístico \[T_1=13,~T_2=13\] \[T_1,_2\sim Bin(15,0.20)\] Resolviendo el problema utilizando R

alpha_7 = 0.05 #Nivel de significancia

p_7 = 0.20 #Cuantil en este caso

t_7 = qbinom(0.95,n_7,p_7) #Cuantil a comparar con el estadístico de prueba t_1
t_7

## [1] 6

pvalue_7 = 1-pbinom(Ej2b_T2,n_7,p_7) #P-value 
pvalue_7

## [1] 1.998848e-09

Regla de decisión

Rechazo \(H_0\) si \(T_2>t_7\) Datos: \(T_2=13\),\(t_7=6\),\(p-value=1.998848e-09\) Como \(13>6\),y \(p-value=1.998848e-09\) entonces se rechaza \(H_0\)

Conclusión

Hay información suficiente para rechazar \(H_0\). Es decir, no mas del 20 % de las observaciones tienen un costo mayor a 7 millones.

Prueba Signos

1._ En una encuesta anual para determinar si los salarios en el sector federal son proporcionales con los pagos en el sector privado, los trabajadores publicos y privados fueron emparejados tan cerca como fue posible (con respecto al tipo de trabajo, formación académica, años de experiencia, etc.) los salarios se ordenaron en parejas.

Los datos se clasificara de manera \(X_i=\) Privado y \(Y_i=\) Gobierno

Recordando que cada par de datos en la muestra se clasificará de la siguiente manera: \("+"\) cuando \(X_i<Y_i\) y \("-"\) cuando \(X_i>Y_i\) y se omitirán las parejas cuando \(X_i=Y_i\). Y el tamaño de la muestra después de quitar los empates será n

Probar la hipótesis nula de que los salarios son iguales contra la hipótesis alternativa de que el salario de los trabajadores federales es generalmente menor a la contraparte en el sector privado. Uitiliza α = 0.1.

La prueba a utilizar Prueba de Signos caso B cola superior

Hipótesis al problema planteado

\[H_0: Los~salarios~de~los~trabajadores~Federales~es~≥~al~salario~de~los~trabajadores~del~sector~privados\] \[vs\] \[H_α: Los~salarios~de~los~trabajadores~Federales~es<~al~salario~del~sector~privado\]

De manera alternativa: \[H_0:P[obtener~ +]≥P[obtener~ -]~vs~H_α:P[obtener~ +]<P[obtener~ -]\] Supuestos:

Muestra aleatoria de tamaño 12
Tomaremos como “éxito” los salarios del gobierno que son mayores a los privado, en este caso los signos “+”, \(T=3\) números de éxitos
Tomaremos \(α =10\% = 0.1\) el nivel de significancia
\(n=12\) tamaño de la muestra
\(p^*=0.5\)
Confianza \(=1-α =90\%\)

Utilizaremos el estadístico \[T=3~número~de~signos~"+"~ \] \[T\sim Bin(12,0.5)\]

Resolviendo el problema utilizando R

# Datos
T_8= 3 #Número de éxitos 
alpha_8 = 0.1 #Nivel de significancia 
n_8 = 12 #Tamaño de la muestra 
p_8 = 0.50 #Proporción
t_8 = qbinom(0.1,n_8,p_8) #Valor crítico 
t_8

## [1] 4

pvalue=pbinom(T_8,n_8,p_8)       #P-value
pvalue

## [1] 0.07299805

binom.test(3,n_8, p_8, alternative = c("less")) #greater , less , two.side

## 
##  Exact binomial test
## 
## data:  3 and n_8
## number of successes = 3, number of trials = 12, p-value = 0.073
## alternative hypothesis: true probability of success is less than 0.5
## 95 percent confidence interval:
##  0.0000000 0.5273266
## sample estimates:
## probability of success 
##                   0.25

Regla de decisión

Rechazo \(H_0\) si \(T_8≤t_8\) y \(p-value<0.1\) Como \(T_8=3\) y \(t_8=4\), como \(3≤4\) y \(p-value=0.07299805<0.1\) entonces se rechaza \(H_0\)

Conclusión

Hay información suficiente para rechazar \(H_0\). Es decir, \[Los~salarios~de~los~trabajadores~Federales~es<~al~salario~del~sector~privado\]

2._ Una oficina tiene dos computadoras : A y B. En un estudio del uso del ordenador, la compañía ha recabado registro de las tasas de uso por 5 semanas. La meta es decidir cual computadora se pone bajo un contrato de servicio porque tiene una tasa alta de uso. Con los datos de las tasas de uso de la siguiente tabla se puede hacer una recomendación preliminar respecto a que computadora contratar?

Los datos se clasificara de manera \(X_i=\) Computadora A y \(Y_i=\) Computadora B

La prueba a utilizar Prueba de Signos caso C cola superior

Hipótesis al problema planteado

\[H_0: La~tasa~de~uso~de~la~computadora~B~es≤~a~la~tasa~de~uso~de~la~computadora~A\] \[vs\] \[H_α: La~tasa~de~uso~de~la~computadora~B~es>~a~la~tasa~de~uso~de~la~computadora~A\]

De manera alternativa: \[H_0:P[obtener~ +]≤P[obtener~ -]~vs~H_α:P[obtener~ +]>P[obtener~ -]\] Supuestos:

Muestra aleatoria de tamaño 5
Tomaremos como “éxito” las tasas de uso de la computadora B que son mayores a la tasas de uso de la computadora A, en este caso los signos “+”, \(T=3\) números de éxitos
Tomaremos \(α =5\% = 0.05\) el nivel de significancia
\(n=4\) tamaño de la muestra
\(p^*=0.5\)
Confianza \(=1-α =95\%\)

Utilizaremos el estadístico \[T=3~número~de~signos~"+"~ \] \[T\sim Bin(4,0.5)\]

Resolviendo el problema utilizando R

# Datos
T_9= 3 #Número de éxitos 
alpha_9 = 0.05 #Nivel de significancia 
n_9 = 4 #Tamaño de la muestra 
p_9 = 0.50 #Proporción
t_9 = qbinom(alpha_9,n_9,p_9) #Valor crítico 
t_9

## [1] 0

pvalue=1-pbinom(2,n_9,p_9)       #P-value
pvalue

## [1] 0.3125

binom.test(T_9,n_9, p_9, alternative = c("greater")) #greater , less , two.side

## 
##  Exact binomial test
## 
## data:  T_9 and n_9
## number of successes = 3, number of trials = 4, p-value = 0.3125
## alternative hypothesis: true probability of success is greater than 0.5
## 95 percent confidence interval:
##  0.2486046 1.0000000
## sample estimates:
## probability of success 
##                   0.75

Regla de decisión

Rechazo \(H_0\) si \(T_9>t_9\) Como \(T_9=3\) y \(t_9=0\), como \(3>0\) entonces se rechaza \(H_0\)

Conclusión

Hay información suficiente para rechazar \(H_0\). Es decir, \[La~tasa~de~uso~de~la~computadora~B~es>~a~la~tasa~de~uso~de~la~computadora~A\], por lo que se recomienda la computadora B

3._ Se tienen dos trituradores de alimentos y se tiene la sospecha de que el aparato B es mas eficiente que el aparato A. Para probar dicha sospecha, se probaron en ambos trituradores diferentes alimentos y se registró el tiempo en minutos que le tomaba a cada aparato convertir el alimento en puré. Los resultados fueron los siguientes.

Los datos se clasificara de manera \(X_i=\) Triturador A y \(Y_i=\) Triturador B

Con los datos observados se puede corroborar la sospecha en cuanto a la eficiencia de los trituradores? Use α = 5 %

La prueba a utilizar Prueba de Signos caso B cola inferior

Hipótesis al problema planteado Hay que tomar en cuenta que las trituradoras son más eficientes entre menos tiempo tarde

\[H_0: El~tiempo~de~la~trituradora~B~es≥~al~tiempo~de~la~trituradora~A\] \[vs\] \[H_α: El~tiempo~de~la~trituradora~B~es<~al~tiempo~de~la~trituradora~A\]

De manera alternativa: \[H_0:P[obtener~ +]≥P[obtener~ -]~vs~H_α:P[obtener~ +]<P[obtener~ -]\] Supuestos:

Muestra aleatoria de tamaño 9
Tomaremos como “éxito” el tiempo de la trituradora B que son mayores al tiempo de la trituradora A, en este caso los signos “+”, 𝑇=7 números de éxitos
Tomaremos α = 5% = 0.05 el nivel de significancia
𝑛= 8 tamaño de la muestra
\(p∗=0.5\)
Confianza \(=1-α =95\%\)

Utilizaremos el estadístico \[T=7~número~de~signos~"+"~ \] \[T\sim Bin(8,0.5)\]

Resolviendo el problema utilizando R

# Datos
T_10= 7 #Número de éxitos 
alpha_10 = 0.05 #Nivel de significancia 
n_10 = 8 #Tamaño de la muestra 
p_10 = 0.50 #Proporción
t_10 = qbinom(0.05,n_10,p_10) #Valor crítico 
t_10

## [1] 2

pvalue=pbinom(T_10,n_10,p_10)       #P-value
pvalue

## [1] 0.9960938

binom.test(T_10,n_10, p_10, alternative = c("less")) #greater , less , two.side

## 
##  Exact binomial test
## 
## data:  T_10 and n_10
## number of successes = 7, number of trials = 8, p-value = 0.9961
## alternative hypothesis: true probability of success is less than 0.5
## 95 percent confidence interval:
##  0.0000000 0.9936088
## sample estimates:
## probability of success 
##                  0.875

Regla de decisión

Rechazo \(H_0\) si \(T_{10}≤t_{10}\) y \(p-value<0.05\) Como \(T_{10}=7\) y \(t_{10}=2\), como \(7≥2\) y \(p-value=0.9960938>0.05\) entonces se rechaza \(H_0\)

Conclusión No hay información suficiente para rechazar \(H_0\). Por lo que la sospecha de que la licuadora B es más eficiente que la A no se puede comprobar,pero a simple vista podemos observar que la licuadora es más eficiente por que tarda menos en 7 ocaciones de las 9, por lo que si queremos negar que la sospecha esta mal tenemos que ocupar el caso C y asi concluir que la licuadora A es más eficiente negando el supuesto

Prueba Mc Nemar

Se toma una muestra aleatoria de 135 ciudadanos de E.U. y se les preguntó su opinión con respecto a cierta política. El estudio registró a 43 ciudadanos que estaban en contra de esa política. Después de varias semanas, durante las cuales los ciudadanos recibieron cartas informativas, se les volvió a preguntar su opinión; 37 estuvieron en contra, y 30 de las 37 originalmente no estaban en contra de la política. ¿Es significativo el cambio en el número de personas en contra de la política?

Primero realizare un cuadro con los datos que me dan en el ejercicio para poder guiarme más facilmente, entonce:

La prueba a utilizar Prueba Mc Nemar caso A prueba de dos colas

Hipótesis al problema planteado

\[H_0: Se~mantiene~igual~la~opinión~de~los~ciudadanos~de~E.U~respecto~a~la~política\] \[vs\] \[H_α: Hay~un~cambio~considerable~sobre~la~opinión~de~los~ciudadanos~de~E.U~respecto~a~la~política\]

De manera alternativa: \[H_0:P[X_i=0,Y_i=1]=P[X_i=1,Y_i=0]\] \[vs\] \[H_α:P[X_i=0,Y_i=1]≠P[X_i=1,Y_i=0]\]

Supuestos:

Cada pareja \((X_i,Y_i)\) son mutuamente independientes.
La escala de medida es nominal con 2 categorías para toda \(X_i~y~Y_i\)
Muestra aleatoria de tamaño 66
Tomaremos α = 5% = 0.05 el nivel de significancia
𝑛= 66 tamaño de la muestra
\(p∗=0.5\)
Confianza \(=1-α =95\%\)

Utilizaremos el estadístico

Tenemos que \(b+c=30+43\) y como \(66>20\) entonces utilizaremos el estadístico:

\[T_1=\frac{(30-36)^2 }{(30+36)}= \frac{(-6)^2 }{(66)}=0.5454545\]

\[T_1\sim Bin(66,0.5)\]

Con ayuda del TestApp sabemos que \(t=3.841459\) y que \(p-value= 0.5382527\) como se muestra en el la prueba mcnemar.test que se encuentra abajo

data_1 = matrix(+ c (62,36,30,7),nrow=2,ncol=2) 
data_1

##      [,1] [,2]
## [1,]   62   30
## [2,]   36    7

mcnemar.test(data_1, correct = TRUE)

## 
##  McNemar's Chi-squared test with continuity correction
## 
## data:  data_1
## McNemar's chi-squared = 0.37879, df = 1, p-value = 0.5383

Regla de decisión

Rechazo \(H_0\) si \(T_1>t_{1-α}\) Como \(T_1=0.54545453\) y \(t_{14}=3.841459\), como \(T_1<t_{1-α}\) entonces NO hay información suficiente para rechazar \(H_0\)

Conclusión

NO hay información suficiente para decir que \(hay~un~cambio~considerable~sobre~la~opinión~de~los~ciudadanos~de~E.U~respecto~a~la~política\)

Un investigador intenta determinar si un fármaco tiene un efecto sobre una enfermedad particular. Se cuenta con la información de los individuos en el estudio con el diagnóstico (enfermedad: presente o ausente ) antes del tratamiento, y el diagnóstico después del tratamiento

La prueba a utilizar Prueba Mc Nemar caso A prueba de dos colas

Hipótesis al problema planteado

\[H_0: Se~mantiene~igual~el~~número~de~personas~diagnosticadas~con~la~enfermedad\] \[vs\] \[H_α: Hay~un~cambio~considerable~con~el~~número~de~personas~diagnosticadas~con~la~enfermedad\]

De manera alternativa: \[H_0:P[X_i=0,Y_i=1]=P[X_i=1,Y_i=0]\] \[vs\] \[H_α:P[X_i=0,Y_i=1]≠P[X_i=1,Y_i=0]\]

Supuestos:

Cada pareja \((X_i,Y_i)\) son mutuamente independientes.
La escala de medida es nominal con 2 categorías para toda \(X_i~y~Y_i\)
Muestra aleatoria de tamaño 180
Tomaremos α = 5% = 0.05 el nivel de significancia
𝑛= 180 tamaño de la muestra
\(p∗=0.5\)
Confianza \(=1-α =95\%\)

Utilizaremos el estadístico

Tenemos que \(b+c=121+59\) y como \(180>20\) entonces utilizaremos el estadístico:

\[T_1=\frac{(121-59)^2 }{(121+59)}= \frac{(62)^2 }{(180)}=21.35556\]

\[T_1\sim Bin(180,0.5)\]

Con ayuda del TestApp sabemos que \(t=3.841459\) y que \(p-value= 5.450095e-06\) como se muestra en el la prueba mcnemar.test que se encuentra abajo

data_2 = matrix(+ c (101,59,121,33),nrow=2,ncol=2) 
data_2

##      [,1] [,2]
## [1,]  101  121
## [2,]   59   33

mcnemar.test(data_2, correct = TRUE)

## 
##  McNemar's Chi-squared test with continuity correction
## 
## data:  data_2
## McNemar's chi-squared = 20.672, df = 1, p-value = 5.45e-06

Regla de decisión

Rechazo \(H_0\) si \(T_1>t_{1-α}\) Como \(T_1=21.35556\) y \(t_{14}=3.841459\), como \(T_1>t_{1-α}\) entonces se rechaza \(H_0\)

Conclusión

Hay información suficiente para decir que el fármaco tiene un efecto sobre la enfermedad

Prueba de Cox Stuart

1._Un programa ecológico sobre la contaminación de un río tomó 5 muestras de agua de diferentes lugares de un río antes y después de dos años, obteniéndose los siguientes resultados. Los números representan la media de la contaminación, donde medidas grandes indican alta contaminación.

Los datos se clasificara de manera \(X_i=\) Medidas iniciales y \(Y_i=\) Medidas después de 2 años

Se está interesado en saber si el programa de rehabilitación ecológica ha tenido efecto en la reducción de la contaminación. Use α = 0.1

La prueba a utilizar Prueba de Cox Stuart caso B cola inferior

Hipótesis al problema planteado

\[H_0: La~media~de~las~muestras~de~la~contaminación~del~rio~es≥~después~de~dos~años~con~el~programa~ecológico\] \[vs\] \[H_α: La~media~de~las~muestras~de~la~contaminación~del~rio~es<~después~de~dos~años~con~el~programa~ecológico\]

De manera alternativa: \[H_0:P[obtener~ +]≥P[obtener~ -]~vs~H_α:P[obtener~ +]<P[obtener~ -]\] Supuestos:

Muestra aleatoria de tamaño 5
Tomaremos como “éxito” cuando \(X_i<Y_i\), en este caso los signos “+”, \(T=2\) números de éxitos
Tomaremos \(α =10\% = 0.1\) el nivel de significancia
\(n=5\) tamaño de la muestra
\(p^*=0.5\)
Confianza \(=1-α =90\%\)

Utilizaremos el estadístico \[T=2~número~de~signos~"+"~ \] \[T\sim Bin(5,0.5)\]

Resolviendo el problema utilizando R

# Datos
T_13= 2 #Número de éxitos 
alpha_13 = 0.1 #Nivel de significancia 
n_13 = 5 #Tamaño de la muestra 
p_13 = 0.50 #Proporción
t_13 = qbinom(alpha_13,n_13,p_13) #Valor crítico 
t_13

## [1] 1

pvalue=pbinom(T_13,n_13,p_13)  #p-value
pvalue

## [1] 0.5

binom.test(T_13,n_13, p_13, alternative = c("less")) #greater , less , two.side

## 
##  Exact binomial test
## 
## data:  T_13 and n_13
## number of successes = 2, number of trials = 5, p-value = 0.5
## alternative hypothesis: true probability of success is less than 0.5
## 95 percent confidence interval:
##  0.0000000 0.8107446
## sample estimates:
## probability of success 
##                    0.4

Regla de decisión

Rechazo \(H_0\) si \(T_{13}≤t_{13}\) Como \(T_{13}=2\) y \(t_{13}=1\), como \(2>1\) entonces NO se rechaza \(H_0\)

Conclusión

NO hay información suficiente para decir que la la media de la contaminación del rio después de dos años este disminuyendo.

2._Se presentan a continuación los tipos de cambio MXN-USD de los últimos 30 días.

24.48 , 24.07 , 23.66 , 23.70 , 23.93 , 24.34 , 24.22 , 23.87 , 23.96 , 24.05 , 23.78 , 23.74 , 23.21 , 22.88 , 22.74 , 22.73 , 22.58 , 22.21 , 22.33 , 22.21 , 22.17 , 22.21 , 22.04 , 21.79 , 21.76 , 21.91 , 21.58 , 21.60 , 21.50 , 21.91

c(24.48 , 24.07 , 23.66 , 23.70 , 23.93 , 24.34 , 24.22 , 23.87 , 23.96 , 24.05 , 23.78 , 23.74 , 23.21 , 22.88 , 22.74 , 22.73 , 22.58 , 22.21 , 22.33 , 22.21 , 22.17 , 22.21 , 22.04 , 21.79 , 21.76 , 21.91 , 21.58 , 21.60 , 21.50 , 21.91)

##  [1] 24.48 24.07 23.66 23.70 23.93 24.34 24.22 23.87 23.96 24.05 23.78 23.74
## [13] 23.21 22.88 22.74 22.73 22.58 22.21 22.33 22.21 22.17 22.21 22.04 21.79
## [25] 21.76 21.91 21.58 21.60 21.50 21.91

Los datos se clasificara de manera \(X_i=\) Precio n-1 y \(Y_i=\) Precio n

Se desea corroborar la aseveración del presidente respecto a que el peso mexicano esta recuperando fuerza. Use α = 0.1

La prueba a utilizar Prueba de Cox Stuart caso C cola superior

Hipótesis al problema planteado

\[H_0: El~precio~en~el~tiempo~n+1~es≤~al~precio~en~el~tiempo~n\] \[vs\] \[H_α: El~precio~en~el~tiempo~n+1~es>~al~precio~en~el~tiempo~n\]

De manera alternativa: \[H_0:P[obtener~ +]≤P[obtener~ -]~vs~H_α:P[obtener~ +]>P[obtener~ -]\] Supuestos:

Muestra aleatoria de tamaño 30
Tomaremos como “éxito” cuando \(X_i<Y_i\), en este caso los signos “+”, \(T=10\) números de éxitos
Tomaremos \(α =10\% = 0.1\) el nivel de significancia
\(n=29\) tamaño de la muestra
\(p^*=0.5\)
Confianza \(=1-α =90\%\)

Utilizaremos el estadístico \[T=10~número~de~signos~"+"~ \] \[T\sim Bin(29,0.5)\]

Resolviendo el problema utilizando R

# Datos
T_14= 10 #Número de éxitos 
alpha_14 = 0.1 #Nivel de significancia 
n_14 = 29 #Tamaño de la muestra 
p_14 = 0.50 #Proporción
t_14 = qbinom(alpha_14,n_14,p_14) #Valor crítico 
t_14

## [1] 11

binom.test(T_14,n_14, p_14, alternative = c("greater")) #greater , less , two.side

## 
##  Exact binomial test
## 
## data:  T_14 and n_14
## number of successes = 10, number of trials = 29, p-value = 0.9693
## alternative hypothesis: true probability of success is greater than 0.5
## 95 percent confidence interval:
##  0.2004957 1.0000000
## sample estimates:
## probability of success 
##              0.3448276

Regla de decisión

Rechazo \(H_0\) si \(T_{14}>t_{14}\) Como \(T_{14}=10\) y \(t_{14}=11\), como \(10<11\) entonces NO se rechaza \(H_0\)

Conclusión

NO hay información suficiente para decir que la aseveración del presidente respecto a que el peso mexicano esta recuperando fuerza.