Aproximação da Distribuição Normal pelo cálculo integral

1) Definição da Distribuição Normal

A distribuição Normal também é conhecida como distribuição Gaussiana. Dado o Teorema do Limite Central (TLC), a Distribuição Normal ganhou grande destaque na estatística. Destacam-se a convergência em distribiução para a Normal de certas funções e alguns fenômenos empíricos apresentarem uma distribuição semelhante à Normal. Assim, defini-se a função de densidade da Distribuição Normal por:

2) Calculando a Normal pela Integral de n retângulos

Variáveis

a- limite inferior dos retângulos
b - limite superior dos retângulos
mi - média 
s - desvio padrão 
n - número de retângulos a serem somados

2.1) Definindo a função

int_norm <- function(a,b,mi,s,n){

  x <- seq(a,b,length.out=n)
  base <- (b-a)/n
  z <- ((x-mi))/s
  altura <- 1/(sqrt(2*pi)*s)*exp(-0.5*z^2)
  area <- (base*altura)
  fx <- sum(area)
  return(fx)
  }

3) Testando as duas metodologias de cálculo

3.1)

i)Soma de 10000 retângulos

a <- -3
b <- 3
mi <- 0
s <- 1
n <- 10000
int_norm(a,b,mi,s,n)

## [1] 0.9972031

2. Câlculo pelo função do R

a <- -3
b <- 3
mi <- 0
s <- 1
pnorm(b,mi,s,T)-pnorm(a,mi,s,T)

## [1] 0.9973002

3.2)

1. Soma de 10000 retângulos

a <- 35
b <- 72
mi <- 100
s <- 30
n <- 1000
int_norm(a,b,mi,s,n)

## [1] 0.1602163

2. Cálculo pela metodologia do R

a <- 35
b <- 72
mi <- 100
s <- 30
n <- 10000
pnorm(b,mi,s,T)-pnorm(a,mi,s,T)

## [1] 0.1601938

3.3) i)

a <- -10000
b <- 10
mi <- 100
s <- 30
n <- 100000000
int_norm(a,b,mi,s,n)

## [1] 0.001349905

a <- -10000
b <- 10
mi <- 100
s <- 30
n <- 100000000
pnorm(b,mi,s,T)-pnorm(a,mi,s,T)

## [1] 0.001349898

3.4)

1. Cálculo pela soma de 100000000 retângulos

a <- 200
b <- 100000000
mi <- 100
s <- 30
n <- 100000000
int_norm(a,b,mi,s,n)

## [1] 0.0004552409

2. Cálculo pelo R

a <- 200
b <- 100000000
mi <- 100
s <- 30
n <- 100000000
pnorm(b,mi,s,T)-pnorm(a,mi,s,T)

## [1] 0.0004290603

4) Conclusão

Conclui-se que a aproximação pela soma de n retângulos é eficaz quando não necessita-se de grande precisão, pois a partir da 4 casa decimal os resultados começam a divergir. Dessa forma, sugere-se que ajuste-se o polígono para um trapézio.