Determinar la probabilidad condicional
De un conjunto de varios ejercicios extraídos de de la literatura de probabilidad de entre libros y sitios WEB se de termina la probabilidad condicional a partir de datos iniciales.
Lo datos iniciales pueden ser la frecuencias, las probabildiad de evento A y evento B así como la probabilidad de intersección entre ambos eventos o conjunto, con ello se determina la probabilidad condicional utilizando la fórmula que se cita más adelante.
La probabilidad y la estadística están relacionadas en una forma importante. La probabilidad se emplea como herramienta; permite que se evalúe la confiabilidad de las conclusiones acerca de la población cuando tenga sólo información muestral (mendenhall2010?).
Por otra parte, la probabilidad indica el grado de certidumbre o certeza de un suceso o fenómeno estudiado, en la investigación científica existen muchos fenómenos en los cuales es necesario determinar la probabilidad de que un evento ocurra o dejen de ocurrir, para lo cual el estudio de este campo, es necesario, además tiene aplicaciones muy importantes en investigación; dado que es base para la inferencia estadística que permite el estudio de muestras con el objetivo de inferir o extrapolar características de estas a una población.(Benítez Morales, n.d.)
Un axioma de probabilidad es el componente principal de un sistema de condiciones que deben cumplirse y junto con las pautas de inferencia especifican un sistema deductivo, para que una función determinada sobre un conjunto de eventos determine sus probabilidades.
Existe un conjunto de axiomas que fueron formulados por el matemático ruso Kolmogórov. Por lo que se les denomina axiomas de Kolmogórov.(Cevallos et al. 2018)
La probabilidad de un evento E no es negativa y debe ser menor o igua a 1
0<p(E)<10<p(E)<1
Significa que al determinar una probabilidad sobre cualquier evento siempre es cero o superior y menor o gual a uno.
Ejemplo: Pensar en la probabilidad de que llueva el dia de hoy: es probable que no llueva, probabilidad igual a cero; es probable que llueva en 0.50 o del 50%; y de que sea seguro que llueva 1 o 100%.
La probabilidad de un evento seguro es igual a 1 y se denota
P(EventoSeguro)=1P(EventoSeguro)=1
Ejemplo: En la mano cerrada se tienen dos monedas de a peso Mexicano, si es abre el puño y se extrae una moneda, ¿que tan probable es que sea de a un peso?. La probabilidad es de 1 o del 100% porque es indudable que al sacar la moneda sea de a un peso y únicamente sea a 1 un peso .
Si dos eventos son mutuamente excluyentes, la probabilidad de obtener A o B es igual a la probabilidad de obtener A más la probabilidad de obtener B.
P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A∪B)=P(A)+P(B)
Ejemplo. si se lanz una moneda al aire, ¿cuál es la probabilidad de que caiga águila o sello?. en ambos casos 1/2 o 0.5 o el 50% de que al caer la moneda, la cara arriba sea sello o águila.
P(sello)=1/2P(sello)=1/2
P(aguila)=1/2P(aguila)=1/2
∴∴
P(sello∪aguila)=P(sello)+P(aguila)=1/2+1/2=1P(sello∪aguila)=P(sello)+P(aguila)=1/2+1/2=1
En general se puede decir que la suma de las probabilidades de todos los posibles eventos mutuamente excluyentes es igual a 1.
∑i=1nP(E)=P(E1)+P(E2)+P(E3)+….P(En)=1)∑i=1nP(E)=P(E1)+P(E2)+P(E3)+….P(En)=1)
Si A es un evento cualquiera de un experimento aleatorio y A’ es el complemento de A, entonces:
P(A)=XP(A)=X
∴∴
P(A)′=1−P(A)=1−XP(A)′=1−P(A)=1−X
o también senpuede expresar matemáticamente como:
P(A)∁=1−P(A)=1−XP(A)∁=1−P(A)=1−X
Ejemplo: Si de un total de personas existen un 60%60% del género femenino, ¿cuál es el complemento de ese subconjunto? y ¿su probabilidad?.
P(mujeres)=0.60P(mujeres)=0.60
P(mujeres)′=1−0.60=0.40P(mujeres)′=1−0.60=0.40
o el 40%40% es el complemento del subconjunto mujeres.
Suponiendo que P(A)P(A) y P(B)P(B) representan las probabilidades para los dos eventos AA y BB, entonces P(A∪B)P(A∪B) significa la probabilidad de que ocurran A o B. Entonces la P(A∪B)≠0P(A∪B)≠0
Si no hay elementos en común entre un conjunto A y B entonces se dice que la probabilidad de la intesección entre ambos es cero P(A∩B)=0P(A∩B)=0
En dado caso de que si existan elementos en común entre un subconjunto AA y BB ∴∴
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)
El cálculo de las probabilidades se determina en el entendido de que si se conoce el número de casos de un subconjunto y el número total de casos del universo, la probabilidad es determinando la frecuencia relativa.
P(conjunto)=casos/nP(conjunto)=casos/n
siendo casoscasos la frecuencia y nn el total de elementos de un universo.
Ejemplo: En el caso del ejemplo de las 100 personas y existen 40 hombres, ¿Cuál es la probabilidad de elegir a una persona y que ésta se del género masculino?:
n=100n=100
casos=40casos=40
∴∴
P(hombres)=casosn=40n=0.40P(hombres)=casosn=40n=0.40
La probabilidad de elegir a una persona del género masculino dentro de un conjunto de 100 personas es del 40%40%
De acuerdo a (Benítez Morales, n.d.) se conoce como probabilidad condicional a la probabilidad de que se dé un suceso AA, conociendo, que también se da un suceso BB
En el libro de (mendenhall_introduccion_2010?) se menciona que la probabilidad de un evento AA, dado que el evento BB ha ocurrido, se denomina probabilidad condicional de AA, dado que BB ha ocurrido, denotada por
P(A|B)P(A|B)
La fórmula de la probabilidad condicional está dada por la división de la probabilidad de la intersección de dos conjuntos o eventos entre la probabilidad del segundo evento o del segundo conjunto; se muestra de la siguiente manera:
P(A|B)=P(A∩B)P(B)P(A|B)=P(A∩B)P(B)
ó bien por el contrario
P(B|A)=P(B∩A)P(A)P(B|A)=P(B∩A)P(A)
Siempre y cuando en ambos casos la P(B)≠0P(B)≠0 y P(A)≠0P(A)≠0
Ejemplo: Se sabe que el 50% de la población fuma y que el 10% fuma y es hipertensa. ¿Cuál es la probabilidad de que un hipertenso sea fumador? o ¿Cuál es la probabilidad de que una persona sea hipertensa dado que es fumador?, se entiende que dado que sea fumador.(Anderson, Sweeney, and Williams 2008)
A={hipertensos}A={hipertensos}
B={fumadores}B={fumadores}
Se busca encontrar:
P(A | B) = \text{hipertenso dado que sea fumador} P(A | B) = ?P(A | B) = \text{hipertenso dado que sea fumador\}\therefore P(A | B) = ?
B={fumadores}∴P(B)=0.50B={fumadores}∴P(B)=0.50
P(A∩B)={hipertenso.y.fumador}=0.10P(A∩B)={hipertenso.y.fumador}=0.10
∴∴
P(A|B)=P(B∩A)P(A)=0.100.50=0.20∴P(A|B)=P(B∩A)P(A)=0.100.50=0.20∴
La probabilidad de que se elija a una persona que sea hipertensa dado que es fumador es de 0.200.20 o del 20%20%
Se presentan ejercicios probabilidad condicional
Se carga la librería knitr previa instalación con install.packages(“knitr”) que permite entre otras cosas, dar formato a las tablas de datos.
library(knitr)Extraído de (matemovil, n.d.)
P(A)=0.60P(A)=0.60
P(B)=0.40P(B)=0.40
P(A∩B)=0.18P(A∩B)=0.18
Calcular:
P(A|B)=P(A∩B)P(B)=0.180.40=0.45
prob.A <- 0.60
prob.B <- 0.40
prob.A.Inter.B <- 0.18
prob.B.Inter.A <- prob.A.Inter.B # La mismaEntonces: P(A|B)P(A|B)
Prob.A.dado.B <- prob.A.Inter.B / prob.B
paste("La pobabilidad de que se de A dado B es: ", Prob.A.dado.B * 100, "%")## [1] "La pobabilidad de que se de A dado B es: 45 %"Entonces: P(B|A)P(B|A)
rob.A.dado.B <- prob.A.Inter.B / prob.A
paste("La pobabilidad de que se de A dado B es: ", Prob.A.dado.B * 100, "%") ## [1] "La pobabilidad de que se de A dado B es: 45 %"4.3 Ejercicio 2 Hombres y mujeres trabajan y desempleados
Ejercicio tomado del libro de (Walpole et al. 2007)
Se identifican las frecuencias de personas que trabajan y no trabajan hombre y mujeres en una ciudad pequeña X:
| Hombre | Empleado | Desempleado | Total |
|---|---|---|---|
| Hombre | 460 | 40 | 500 |
| Mujer | 140 | 260 | 400 |
| Total | 600 | 300 | 900 |
hombres.trabajan = 460
hombres.no.trabajan = 40
mujeres.trabajan = 140
mujeres.no.trabajan = 260
n.personas <- sum(hombres.trabajan, hombres.no.trabajan, mujeres.trabajan, mujeres.no.trabajan)
n.trabajan <- sum(hombres.trabajan, mujeres.trabajan)Construir un conjunto de datos con los totales usando funcion apply() que genera los márgenes totales por renglón y por columna.
La funciones cbind() agrega una nueva columna al conjunto de datos
La función rbind() agrega un nuevo renglón al conjunto de datos
datos <- data.frame(Empleado = c(hombres.trabajan, mujeres.trabajan), Desempleado = c(hombres.no.trabajan, mujeres.no.trabajan))
kable(datos, caption = "Personas que trabajan y no trabajan")| Empleado | Desempleado |
|---|---|
| 460 | 40 |
| 140 | 260 |
| Personas que trabajan y no trabajan | |
|---|---|
| Empleado | Desempleado |
| 460 | 40 |
| 140 | 260 |
datos <- cbind(datos, Total = apply(datos, 1, sum))
datos <- rbind(datos, apply(datos, 2, sum))
rownames(datos) <- c("Hombre", "Mujer", "Total")
kable(datos, caption = "Totales de personas (hombres y mujeres) que trabajan y no trabajan")| Empleado | Desempleado | Total | |
|---|---|---|---|
| Hombre | 460 | 40 | 500 |
| Mujer | 140 | 260 | 400 |
| Total | 600 | 300 | 900 |
| Totales de personas (hombres y mujeres) que trabajan y no trabajan | |||
|---|---|---|---|
| Empleado | Desempleado | Total | |
| Hombre | 460 | 40 | 500 |
| Mujer | 140 | 260 | 400 |
| Total | 600 | 300 | 900 |
Uno de estos individuos se seleccionará al azar para que realice viaje a través del país para promover las ventajas de establecer industrias nuevas en la ciudad (Durango, México). Nos interesaremos en los eventos siguientes:
Entonces se elige a un hombre que trabaja (numerador de la fórmula de probabilidad condicional):
P(hombres.y.trabajan)=P(hombres∩trabajan)=n(hombres.trabajan)/n.personas∴P(hombres.y.trabajan)=P(hombres∩trabajan)=n(hombres.trabajan)/n.personas∴
P(hombres∩trabajan)=460/900=0.51P(hombres∩trabajan)=460/900=0.51
La probabilidad de que que trabaje es:
P(trabajan)=n.trabajan/n.personas=600/900=0.66P(trabajan)=n.trabajan/n.personas=600/900=0.66
y finalmente conforme la fórmula ¿cuál es la probabilidad de que se elija a una persona que sea hombre dado que trabaja?:
P(A|B)=P(A∩B)P(B)P(A|B)=P(A∩B)P(B)
P(hombres|trabajan)=P(hombres∩trabajan)P(trabajan)=0.51/0.66=0.76P(hombres|trabajan)=P(hombres∩trabajan)P(trabajan)=0.51/0.66=0.76
El siguiente bloque de código realiza las operaciones
p.hombre.inter.trabajan <- hombres.trabajan / n.personas
p.trabaja <- n.trabajan / n.personas
p.hombre.dado.trabaja <- p.hombre.inter.trabajan / p.trabaja
paste("La probabilidad que se elija a una persona que sea hombre dado que trabaja es: ", round(p.hombre.dado.trabaja * 100,2), "%")## [1] "La probabilidad que se elija a una persona que sea hombre dado que trabaja es: 76.67 %"La probabilidad de que un vuelo programado normalmente salga a tiempo es P(S)=0.83P(S)=0.83, la probabilidad de que llegue a tiempo es P(L)=0.82P(L)=0.82 y la probabilidad de que salga y llegue a tiempo es P(S∩L)=0.78P(S∩L)=0.78
P(L|S)=P(L∩S)P(S)=0.780.83=0.94P(L|S)=P(L∩S)P(S)=0.780.83=0.94
Se inicializan variables
prob.S <- 0.83
prob.L <- 0.82
prob.S.inter.L <- 0.78Se determina la probabilidad condicional
prob.L.dado.S <- prob.S.inter.L / prob.S
paste("La probabilidad de que un avión llegue a tiempo, dado que salió a tiempo es: ", round(prob.L.dado.S * 100, 2), "%")## [1] "La probabilidad de que un avión llegue a tiempo, dado que salió a tiempo es: 93.98 %"
La probabilidad de que un avión haya salido a tiempo, dado que llegó a tiempo es:
P(S|L)=P(S∩L)P(L)=0.780.82=0.95P(S|L)=P(S∩L)P(L)=0.780.82=0.95
prob.S.dado.L <- prob.S.inter.L / prob.L
paste("La probabilidad de que un avión llegue a tiempo, dado que salió a tiempo es: ", round(prob.S.dado.L * 100, 2), "%")## [1] "La probabilidad de que un avión llegue a tiempo, dado que salió a tiempo es: 95.12 %"Una maestra de matemáticas hizo en su clase dos exámenes.
El 30% de la clase paso ambos exámenes,
El 45% de la clase paso el primer examen.
¿Qué porcentaje de aquellos que pasaron el primer examen también pasaron el segundo? Caso extraído de : (HotMath, n.d.)
P(Ex1∩Ex2)=0.30P(Ex1∩Ex2)=0.30
P(Ex1)=0.45P(Ex1)=0.45
thereforetherefore
P(Ex2|Ex1)=P(Ex1∩Ex2)P(Ex1)=0.300.45=0.66
P.Ex1 <- 0.45
P.Ex1.inter.Ex2 <- 0.30
P.Ex2.dado.Ex1 <- P.Ex1.inter.Ex2 / P.Ex1
paste("El porcentaje de aquellos que pasaron el primer examen también pasaron el segundo es:", round(P.Ex2.dado.Ex1 * 100, 2), "%")## [1] "El porcentaje de aquellos que pasaron el primer examen también pasaron el segundo es: 66.67 %"
paste("Dos tercios o aproximadamente el 66.7% de la clase paso el segundo examen.")## [1] "Dos tercios o aproximadamente el 66.7% de la clase paso el segundo examen."
La siguiente es una clasificación, según el género y el nivel de escolaridad, de una muestra aleatoria de 200 adultos. ejercicio extraído de (Walpole, Myers, and Myers 2012).
| Escolaridad | Hombre | Mujer |
|---|---|---|
| Primaria | 38 | 45 |
| Secundaria | 28 | 40 |
| Universidad | 27 | 22 |
Si se elige una persona al azar de este grupo, ¿cuál es la probabilidad de que…
la persona sea hombre, dado que su escolaridad es de secundaria?;
P(Hombre|Secundaria)=P(Hombre∩Secundaria)P(Secundaria)=0.140.34=0.41P(Hombre|Secundaria)=P(Hombre∩Secundaria)P(Secundaria)=0.140.34=0.41
la persona tenga un grado universitario,dado que es mujer?;
P(Universidad|Mujer)=P(Universidad)∩P(Mujer)P(Mujer)=0.110.535=0.20P(Universidad|Mujer)=P(Universidad)∩P(Mujer)P(Mujer)=0.110.535=0.20
Al menos 200 palabras
Probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra un evento COMO UNOS PENALES DE FUTBOL ¿Qué es la probabilidad condicional?
La probabilidad condicional es cuando que suceda un evento a, tiene que ver con que suceda el evento b, esto quiere decir que necesariamente tiene que suceder uno para que suceda el otro, o sea que este depende del otro para que ocurra, sin uno no puede suceder el otro
Por ejemplo el evento A= celebrar mi cumpleaños =prob=.60
Evento B=cumplir años=prob=.40
AnB= .18
P(A|B)=P(A∩B)/P(B)= .18/.40 =.45
Esto lo obtenemos primero sabiendo la probabilidad de que ocurra el evento A =P(A) y la probabilidad de que ocurra el evento B =P(B), la intersección de los 2 eventos que sería AnB=.18
Después vamos a dividir la probabilidad de la intersección de A con B = .18, este lo dividiremos entre la probabilidad que ocurra el evento B = .40, y así obtendremos el resultado que seria .45, pero convertido a porcentaje, o sea multiplicado por 100 da 45%
En el ejercicio 2 nos muestra
hombres.trabajan = 460
hombres.no.trabajan = 40
mujeres.trabajan = 140
mujeres.no.trabajan = 260
total de los que trabajan=600
total de los que no trabajan=300
total de hombres y mujeres=900
A partir de esto necesitamos calcular la intersección de los hombres que trabajan, y esto lo haremos dividiendo el 460 que son los hombres que trabajan /900 que son el total de hombres y mujeres que hay, esto nos da .51 y esta seria la probabilidad de la intersección de HombrenTrabajan. También necesitamos calcular la probabilidad de todos los que trabajan ya sea hombres o mujeres, esta seria 600, es el total de los que trabajan /900 que es el numero total de personas, esto seria =.66
Ahora si con esto ya podemos calcular lo que nos pide el ejercicio que es ¿cuál es la probabilidad de que se elija a una persona que sea hombre dado que trabaja?
Para esto dividiremos .51 que es la intersección de los hombres que trabajan / .66 que es la probabilidad de todos los que trabajan, esto nos dará .76, multiplicamos este por 100 y nos dará el porcentaje que seria 76%. En los otros se hará lo mismo, solo que en los otros ya te da cuánto vale la intersección y eso, así que ya nadamas seria dividirlos estos 2 y multiplicarlo por 100
Se hizo un programa donde se calcula el porcentaje de exito de enviar un satelite a pluton, donde con el 40% de que falle, pero hay probabilidad de exito del de 70 % y interviene un viento de 45km/s
prob.A <- 0.40
prob.B <- 0.70
prob.A.Inter.B <- 0.45
prob.B.Inter.A <- prob.A.Inter.B # La mismaProb.A.dado.B <- prob.A.Inter.B / prob.B
paste("la probabilidad de dado (A) & (B): ", Prob.A.dado.B * 100, "%")## [1] "la probabilidad de dado (A) & (B): 64.2857142857143 %"En una paleteria muy prestijiosa, donde se necesita una membrecia, se sacaron los dos sabores mas populares donde gano vainilla pero, para mezclarlos con algunos Toppings y empataron los dos siguientes y se hizo una simulacion de los participantes.
| toppings | chocolate | fresa | Total |
|---|---|---|---|
| mujeres | 150 | 21 | 171 |
| hombres | 100 | 34 | 134 |
| Total | 150 | 55 | 305 |
hombres.chocolate = 150
hombres.fresa = 21
mujeres.chocolate = 100
mujeres.Estudiante = 34
n.personas <- sum(hombres.chocolate, hombres.fresa, mujeres.chocolate)
Estudiante <- sum(hombres.chocolate, mujeres.chocolate)datos <- data.frame(Empleado = c(hombres.fresa, mujeres.chocolate),Estudiante)
kable(datos, caption = "porcentaje de las personas que podrian participar")| Empleado | Estudiante |
|---|---|
| 21 | 250 |
| 100 | 250 |
Voy a ir a una fiesta 11:00pm pero me condicionaron a limpiar la casa de mi abuelo que es muy grande a las 4:00 am, antes de las 9:00pm y hace 25min de la casa dado a que me tardo 40 min en barrer y trapear. La probabilidad de que limpie antes de las 7:00 pm es de P(S)=0.25P(S)=0.25, sino acabo estas rerian las concecuencias son regañarla, no pasa nada y dejarla salir. esta es tiempo es P(L)=0.40P(L)=0.40 y la probabilidad de que salga y que termine a tiempo es P(S∩L)=0.32 P(S∩L)=0.32
prob.S <- 0.25
prob.L <- 0.40
prob.S.inter.L <- 0.13prob.L.dado.S <- prob.S.inter.L / prob.S
paste("La probabilidad de que vaya: ", round(prob.L.dado.S * 100), "%")## [1] "La probabilidad de que vaya: 52 %"Una tienda de ropa empezo a vender papas preparas y dulces pero antes de eso hizo una encuesta y estos son los resultados
El 20% de la clientela de acuerdo
El 45% de la de la clientela no de acuerdo
P.h <- 0.45
P.h.inter.m <- 0.20
P.m.dado.h <- P.h.inter.m / P.h
paste("¿Qué porcentaje quisiera que la tienda departamental tambien vendan papas y dulces? ", round(P.m.dado.h * 100, 2), "%")## [1] "¿Qué porcentaje quisiera que la tienda departamental tambien vendan papas y dulces? 44.44 %"Clasificación según el género y el nivel de personas que van a terapia, de una muestra aleatoria de 633 adultos.
| preocupacion | Hombre | Mujer |
|---|---|---|
| va habitualmente | 38 | 45 |
| Va cada año | 28 | 40 |
| Nunca ah ido | 200 | 280 |
Si se elige una persona al azar de este grupo, ¿cuál es la probabilidad de que…
la persona sea mujer, dado que su preocupacion es de haya ido una vez a terapia?;
|
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Anderson, David R., Dennis J. Sweeney, and Thomas A. Williams. 2008. Estadística Para Administración y Economía. 10th ed. Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur: Cengage Learning,.
Benítez Morales, Alejandro. n.d. “Probabilidad y Estadística, Apuntes Digitales.” http://cidecame.uaeh.edu.mx/lcc/mapa/PROYECTO/libro19/index.html.
Cevallos, Lorenzo, Jorge Zambrano, Maikel Leyva, Yudelnabis, and Florentin Smarandache. 2018. Enfoque Didáctico de La Teoría de Conjuntos y Probabilidades. Guayaquil, Guayas, Ecuador: Asociación Latinoamericana de Ciencias Neutrosóficas Facultad de Ciencias Matemáticas y Físicas Universidad de Guayaquil.
HotMath. n.d. “HotMath.” https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/conditional-probability.
matemovil. n.d. “Probabilidad Condicional, Ejercicios Resueltos.” https://matemovil.com/probabilidad-condicional-ejercicios-resueltos/.
Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers, and Sharon L. Myers. 2012. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Novena Edición. México: Pearson.
Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers, Sharon L. Myers, and Keying Ye. 2007. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Octava Edición. México: Pearson Education.