caso 17
Lucero Liliana Melo Valdez
17/6/2021
1 Objetivo
Calcular probabilidades y probabilidades acumuladas bajo la fórmula de distribución de Poisson.
2 Descripción
Realizar distribuciones de probabilidad conforme a la distribución de probabilidad de Poisson a partir devalores iniciales dado en cada ejercicio.
Se generan las tablas de probabilidad conforme a distribución Poisson, se identifican los valores de probabilidad cuando la variable discreta xx tenga algún exactamente algún valor, ≤≤ a algún valor o >> o ≥≥, entre otros.
Se utilizan las funciones dpois() para la función de probabilidad o densidad y ppois() para la probabilidad acumulada.
También se utiliza la función f.prob.poisson() que ha sido programada con anticipación y calcula la probabilidad de un valor de variable aleatoria discreta. Esta función se encuentra en el enlace: https://github.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/blob/master/funciones/funciones.distribuciones.r
3 Fundamento teórico
Otra variable aleatoria discreta que tiene numerosas aplicaciones prácticas es la variable aleatoria de Poisson. Su distribución de probabilidad da un buen modelo para datos que representa el número de sucesos de un evento especificado en una unidad determinada de tiempo o espacio (Mendenhall, Beaver, and Beaver 2010).
Los experimentos que dan valores numéricos de una variable aleatoria X, el número de resultados que ocurren durante un intervalo dado o en una región específica, se llaman experimentos de Poisson (Walpole, Myers, and Myers 2012)
Un proceso de Poisson es un experimento aleatorio donde se observa la aparición de un suceso concreto (éxito) sobre un soporte continuo (generalmente el tiempo). Además, debe cumplirse que los sucesos ocurren de forma independiente y con media estable (el número medio de sucesos por unidad de medida es constante).
Ejemplos interesantes de procesos de Poisson son: clientes que acuden a un mostrador por unidad de tiempo, llamadas por unidad de tiempo a una centralita, defectos por metro de cable, baches por kilómetro de autopista, entre otros.(Quintela 2019a).
Esta distribución, suele usarse para estimar el número de veces que sucede un hecho determinado (ocurrencias media) en un intervalo de tiempo o de espacio. Por ejemplo:
La variable de interés va desde el número de automóviles que llegan (llegadas) a un lavado de coches en una hora o,
El número de reparaciones necesarias en 10 kms. de una autopista o,
El número de fugas en 100 kms.de tubería, entre otros
Número de asistencia promedio de estudiantes en una clase virtual durante un mes (Anderson, Sweeney, and Williams 2008).
3.1 Fórmula
f(x)=e−μμxx!f(x)=e−μμxx!
en donde:
f(x)f(x) es la función de probabilidad para valores discretos de x=0,1,2,3..,nx=0,1,2,3..,n.
$$ es el valor medio esperado en cierto lapso de tiempo. Algunas veces expresado como λλ
xx es la variable aleatoria. Es una variable aleatoria discreta (x=0,1,2,…)(x=0,1,2,…)
ee valor constante, es la base de los logaritmos naturales 2.717282.71728. Puede generarse por medio de exp(1).
Propiedades de un evento Poisson:
La probabilidad de ocurrencia es la misma para cualquiera de dos intervalos de la misma longitud.
La ocurrencia o no ocurrencia en cualquier intervalo es independiente de la ocurrencia o no ocurrencia en cualquier otro intervalo.
3.2 Esperanza, varianza y desviación estándard
Los valores de la esperanza (o media) y de la varianza para la distribución de Poisson son respectivamente:
El valor medio o esperanza:
E(X)=λE(X)=λ
La varianza:
Var(X)=σ2=λVar(X)=σ2=λ
La desviación:
σ=Var(x)−−−−−−√=σ2−−√σ=Var(x)=σ2
4 Desarrollo
El desarrollo de los ejercicios comienza con la carga de librerías luego una serie de ejercicios relacionados con la distribución de Poisson, de cada uno de ellos se muestra la tabla de probabilidad se calculan algunas de sus probabilidades y se determina la esperanza, la varianza y las desviaciones. Al final se busca la interpretación de cada ejercicio.
4.1 Cargar librerías
Para nuevas librerías se requiere instalar con anticipación, ejemplo, install.packages(“cowplot”).
library(dplyr)##
## Attaching package: 'dplyr'## The following objects are masked from 'package:stats':
##
## filter, lag## The following objects are masked from 'package:base':
##
## intersect, setdiff, setequal, unionlibrary(ggplot2)
library(mosaic) # Gráficos de distribuciones## Registered S3 method overwritten by 'mosaic':
## method from
## fortify.SpatialPolygonsDataFrame ggplot2##
## The 'mosaic' package masks several functions from core packages in order to add
## additional features. The original behavior of these functions should not be affected by this.##
## Attaching package: 'mosaic'## The following object is masked from 'package:Matrix':
##
## mean## The following object is masked from 'package:ggplot2':
##
## stat## The following objects are masked from 'package:dplyr':
##
## count, do, tally## The following objects are masked from 'package:stats':
##
## binom.test, cor, cor.test, cov, fivenum, IQR, median, prop.test,
## quantile, sd, t.test, var## The following objects are masked from 'package:base':
##
## max, mean, min, prod, range, sample, sum
4.2 Cargar funciones
Hide
#source("../funciones/funciones.distribuciones.r")
# o
source("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/funciones/funciones.distribuciones.r")##
## Attaching package: 'gtools'## The following object is masked from 'package:mosaic':
##
## logit4.3 Ejercicios
Se describen ejercicios en donde se encuentra la función de distribución
- Llegada de automóviles a rampa de un cajero
4.3.1 Llegadas de automóviles a rampa de un cajero
Suponga que desea saber el número de llegadas, en un lapso de 15 minutos, a la rampa del cajero automático de un banco.(anderson_estadistica_2008?)
Si se puede suponer que la probabilidad de llegada de los automóviles es la misma en cualesquiera de dos lapsos de la misma duración y si la llegada o no–llegada de un automóvil en cualquier lapso es independiente de la llegada o no–llegada de un automóvil en cualquier otro lapso, se puede aplicar la función de probabilidad de Poisson.
Dichas condiciones se satisfacen y en un análisis de datos pasados encuentra que el número promedio de automóviles que llegan en un lapso de 15 minutos es igual a 10;
Aquí la variable aleatoria es xx número de automóviles que llegan en un lapso de 15 minutos.
4.3.1.1 Tabla de probabilidad
Valores iniciales
Hide
x <- 0:30 # Valores de variables aleatorias
media <- 10 # Llegada de automóvilesSe construye la tabla con la función cargada del enlace: https://github.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/blob/master/funciones/funciones.distribuciones.r
Hide
tabla1 <- data.frame(x=x, f.prob.x = f.prob.poisson(media, x))
tabla1 <- cbind(tabla1, f.acum.x = cumsum(tabla1$f.prob.x))
tabla1## x f.prob.x f.acum.x
## 1 0 4.539993e-05 4.539993e-05
## 2 1 4.539993e-04 4.993992e-04
## 3 2 2.269996e-03 2.769396e-03
## 4 3 7.566655e-03 1.033605e-02
## 5 4 1.891664e-02 2.925269e-02
## 6 5 3.783327e-02 6.708596e-02
## 7 6 6.305546e-02 1.301414e-01
## 8 7 9.007923e-02 2.202206e-01
## 9 8 1.125990e-01 3.328197e-01
## 10 9 1.251100e-01 4.579297e-01
## 11 10 1.251100e-01 5.830398e-01
## 12 11 1.137364e-01 6.967761e-01
## 13 12 9.478033e-02 7.915565e-01
## 14 13 7.290795e-02 8.644644e-01
## 15 14 5.207710e-02 9.165415e-01
## 16 15 3.471807e-02 9.512596e-01
## 17 16 2.169879e-02 9.729584e-01
## 18 17 1.276400e-02 9.857224e-01
## 19 18 7.091109e-03 9.928135e-01
## 20 19 3.732163e-03 9.965457e-01
## 21 20 1.866081e-03 9.984117e-01
## 22 21 8.886101e-04 9.993003e-01
## 23 22 4.039137e-04 9.997043e-01
## 24 23 1.756147e-04 9.998799e-01
## 25 24 7.317277e-05 9.999531e-01
## 26 25 2.926911e-05 9.999823e-01
## 27 26 1.125735e-05 9.999936e-01
## 28 27 4.169389e-06 9.999977e-01
## 29 28 1.489067e-06 9.999992e-01
## 30 29 5.134715e-07 9.999997e-01
## 31 30 1.711572e-07 9.999999e-01Se construye la tabla2 con las funciones dpois() y ppois() , los valores deben ser los mismos que la tabla1.
Hide
tabla2 <- data.frame(x=x, f.prob.x = dpois(x = x, lambda = media))
tabla2 <- cbind(tabla2, f.acum.x = ppois(q = x, lambda = media))
tabla2## x f.prob.x f.acum.x
## 1 0 4.539993e-05 4.539993e-05
## 2 1 4.539993e-04 4.993992e-04
## 3 2 2.269996e-03 2.769396e-03
## 4 3 7.566655e-03 1.033605e-02
## 5 4 1.891664e-02 2.925269e-02
## 6 5 3.783327e-02 6.708596e-02
## 7 6 6.305546e-02 1.301414e-01
## 8 7 9.007923e-02 2.202206e-01
## 9 8 1.125990e-01 3.328197e-01
## 10 9 1.251100e-01 4.579297e-01
## 11 10 1.251100e-01 5.830398e-01
## 12 11 1.137364e-01 6.967761e-01
## 13 12 9.478033e-02 7.915565e-01
## 14 13 7.290795e-02 8.644644e-01
## 15 14 5.207710e-02 9.165415e-01
## 16 15 3.471807e-02 9.512596e-01
## 17 16 2.169879e-02 9.729584e-01
## 18 17 1.276400e-02 9.857224e-01
## 19 18 7.091109e-03 9.928135e-01
## 20 19 3.732163e-03 9.965457e-01
## 21 20 1.866081e-03 9.984117e-01
## 22 21 8.886101e-04 9.993003e-01
## 23 22 4.039137e-04 9.997043e-01
## 24 23 1.756147e-04 9.998799e-01
## 25 24 7.317277e-05 9.999531e-01
## 26 25 2.926911e-05 9.999823e-01
## 27 26 1.125735e-05 9.999936e-01
## 28 27 4.169389e-06 9.999977e-01
## 29 28 1.489067e-06 9.999992e-01
## 30 29 5.134715e-07 9.999997e-01
## 31 30 1.711572e-07 9.999999e-014.3.1.2 Gráfica de probabilidad
Con la función ggplot() se hace la curva de la distribución, en rojo los puntos y en azul la curva o linea con cualquiera de las dos tablas, tabla1 o tabla2.
En g1 se construye la gráfica de densidad P(x)P(x) y en g2 se construye la gráfica de a probabilidad acumulada F(x)F(x). Las dos gráficas se construyen.
#### **4.3.1.3 Probabilidad de que lleguen cinco**
Si la administración desea saber la probabilidad de que lleguen exactamente 55 automóviles en 15 minutos, P(x=5)P(x=5).
Utlizando la función *f.prob.poisson()* creada que se encuentra en el enlace <https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/funciones/funciones.distribuciones.r> y calcula la función de probabilidad conforme a la fórmula.
Hide
```r
x <- 5
prob <- round(f.prob.poisson(media, x),8)
paste("La probabilidad de que sean exactamente 5 automóviles es de : ", prob)## [1] "La probabilidad de que sean exactamente 5 automóviles es de : 0.03783327"- Utilizando la función dpois() del paquete base de R
Hide
prob2 <- round(dpois(x = x, lambda = media),4)
paste("La probabilida de que sean exactamente 5 automóviles es de : ", prob2)## [1] "La probabilida de que sean exactamente 5 automóviles es de : 0.0378"4.3.1.4 Probabilidad de que sea x menor o igual a diez
P(x≤10)=P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)+P(x=3)+…+P(x=10)P(x≤10)=P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)+P(x=3)+…+P(x=10) o la probabilidad acumulada hasta 1010 F(x=10)F(x=10)
Hide
tabla1$f.acum[10+1]## [1] 0.5830398Hide
paste("La probabilidad de que el valor de x sea menor o igual a 10 es: ", tabla1$f.acum[10+1], " o ", round(tabla1$f.acum[10+1] * 100,4), "%" )## [1] "La probabilidad de que el valor de x sea menor o igual a 10 es: 0.583039750192986 o 58.304 %"Con ppois() que determina el valor acumulado
Hide
ppois(q = 10, lambda = media)## [1] 0.5830398con la función sum() y dpois()
Hide
sum(dpois(x = 0:10, lambda = media))## [1] 0.58303984.3.1.5 Probabilidad con media diferente
En el ejemplo anterior se usó un lapso de 15 minutos, pero también se usan otros lapsos. Suponga que desea calcular la probabilidad de una llegada en un lapso de 3 minutos.
Regla de tres:
10=1510=15
?=3?=3
Hide
media <- (3 * 10) / 15
media## [1] 2Entonces, la probabilidad de xx llegadas en un lapso de 3 minutos tiene una media μ=2μ=2 está dada por la siguiente nueva función de probabilidad de Poisson.
f(x)=e−22xx!f(x)=e−22xx!
Entonces nueva probabilidad para cuando x=5x=5
Hide
prob <- round(dpois(x = 5, lambda = 2),4)
paste("La probabilidad cuando x = 5 y media igual a 2 es del:", prob * 100, "%")## [1] "La probabilidad cuando x = 5 y media igual a 2 es del: 3.61 %"4.3.1.6 Valor esperado
La esperanza o valor esperado es igual a: 1010 dado los valores iniciales del ejercicio
4.3.1.7 Varianza y desviación
La varianza es 10 y la desviación estándard es: 3.1623
4.3.1.8 Interpretación
usando las funciones dpois() y ppois() para para un conjunto de valores con las funciones de masa de probabilidad y ppois (distribución).; a partir de las tablas, con la función ggplot() que se usa para graficarse hace la curva de la distribución, Entonces, la probabilidad de Poisson f(x)=e−22xx!f(x)=e−22xx!. luego de eso se que otros valores como el valor esperado es igual a: 10 dado los valores iniciales del ejercicio, a varianza es 10 y la desviación estándard es: 3.1623.
4.3.2 Accidentes en industria
En ciertas instalaciones industriales los accidentes ocurren con muy poca frecuencia. Se sabe que la probabilidad de un accidente en cualquier día dado es 0.0050.005 y los accidentes son independientes entre sí (walpole_probabilidad_2012?).
La variable media es el números de accidentes promedio por dia. xx será los valores de la variable aleatoria.
4.3.2.1 Tabla de distribución
Valores iniciales
Hide
n <- 365 # Dias del año
prob <- 0.005
media <- n * prob # media al año
media <- round(media, 0)
media## [1] 2Hide
x <- 0:10La media es 2
La variable aleatoria son los dias desde x=1x=1…hasta x=nx=n
La tabla de distribución de probablidad de Poisson con media igual a 2 usando dpois() y cumsum()
Hide
tabla <- data.frame(x=x, f.prob.x = round(dpois(x = x, lambda = media),4))
tabla <- cbind(tabla, f.acum.x = cumsum(tabla$f.prob.x))
tabla## x f.prob.x f.acum.x
## 1 0 0.1353 0.1353
## 2 1 0.2707 0.4060
## 3 2 0.2707 0.6767
## 4 3 0.1804 0.8571
## 5 4 0.0902 0.9473
## 6 5 0.0361 0.9834
## 7 6 0.0120 0.9954
## 8 7 0.0034 0.9988
## 9 8 0.0009 0.9997
## 10 9 0.0002 0.9999
## 11 10 0.0000 0.99994.3.2.2 Gráfica de probabilidad
Se construyen tanto la gráfica de densidad (lado izquierdo) como la gráfica de función acumulada (lado derecho).
Hide
4.3.2.3 Probabilidad de un accidente al dia
¿Cuál es la probabilidad de que en cualquier periodo dado habrá un accidente en un día?
P(x=1)P(x=1)
Recorddar que el índice de la tabla empieza en el valor cero de tal forma que se necesita el siguiente valor x+1 en la tabla:
Hide
x <- 1
prob <- tabla$f.prob.x[x+1]
paste("La probabiidad del valor de x=1 es: ", prob)## [1] "La probabiidad del valor de x=1 es: 0.2707"o mediante la función dpois() y
Hide
dpois(x = 1, lambda = media)## [1] 0.27067064.3.2.4 Probabilidad de tres o menos
¿Cuál es la probabilidad de que haya a lo más tres días con un accidente?
- El indice en la taba comienza en cero
Hide
x <- 3
prob <- tabla$f.acum.x[x+1]
paste("La probabiidad del valor de x<=3 es: ", prob)## [1] "La probabiidad del valor de x<=3 es: 0.8571"Función acumulada F(x=3)F(x=3) o lo que es lo mismo P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)+P(x=3)P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)+P(x=3)
Hide
ppois(q = 3, lambda = media)## [1] 0.85712354.3.2.5 Interpretación
las probabilidades hay de que haya accidentes en industrias,para esto nos ayudara una tabla de distribucio.dado a que la media es 2 y La variable aleatoria son los dias desde 1…hasta n (numero), entonces se saca la gráfica de densidad y la gráfica de función acumulada respectivamnete. La probabilidad de un accidente usando la función dpois().
4.3.3 Fabricante de automóviles
Un fabricante de automóviles se preocupa por una falla en el mecanismo de freno de un modelo específico. La falla puede causar en raras ocasiones una catástrofe a alta velocidad. Suponga que la distribución del número de automóviles por año que experimentará la falla es una variable aleatoria de Poisson con λ=5λ=5 (walpole_probabilidad_2012?).
4.3.3.1 La tabla de distribución cuando media igual a 5
Se construye la tabla de distribución de veinte valores en variable aleatoria y media igual a cinco.
Hide
x <- 0:20
media <- 5
tabla <- data.frame(x=x, f.prob.x = round(dpois(x = x, lambda = media),8), f.acum.x = round(ppois(q = x, lambda = media), 8))
tabla## x f.prob.x f.acum.x
## 1 0 0.00673795 0.00673795
## 2 1 0.03368973 0.04042768
## 3 2 0.08422434 0.12465202
## 4 3 0.14037390 0.26502592
## 5 4 0.17546737 0.44049329
## 6 5 0.17546737 0.61596065
## 7 6 0.14622281 0.76218346
## 8 7 0.10444486 0.86662833
## 9 8 0.06527804 0.93190637
## 10 9 0.03626558 0.96817194
## 11 10 0.01813279 0.98630473
## 12 11 0.00824218 0.99454691
## 13 12 0.00343424 0.99798115
## 14 13 0.00132086 0.99930201
## 15 14 0.00047174 0.99977375
## 16 15 0.00015725 0.99993099
## 17 16 0.00004914 0.99998013
## 18 17 0.00001445 0.99999458
## 19 18 0.00000401 0.99999860
## 20 19 0.00000106 0.99999965
## 21 20 0.00000026 0.999999924.3.3.2 Gráfica de probabilidades
Se visualizan la gráficas
Hide
#### **4.3.3.3 Probabilidad a lo mas tres**
¿Cuál es la probabilidad de que, a lo más, 3 automóviles por año sufran una catástrofe?
P(X≤3)P(X≤3)
P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)
Hide
```r
x <- 3
prob <- tabla$f.acum.x[x+1]
paste("La probabiidad del valor de x<=3 es: ", round(prob * 100,4), "%")## [1] "La probabiidad del valor de x<=3 es: 26.5026 %"o por medio de la función ppois()
Hide
ppois(q = 3, lambda = media)## [1] 0.26502594.3.3.4 Probabilidad de mas de uno
¿Cuál es la probabilidad de que más de 1 automóvil por año experimente una catástrofe?
1−F(X≤1)1−F(X≤1)
1−(P(X=0)+P(x=1))1−(P(X=0)+P(x=1))
Hide
x <- 1
prob <- 1 - tabla$f.acum.x[x+1]
paste("La probabiidad del valor de x>1 es: ", round(prob * 100,4), "%")## [1] "La probabiidad del valor de x>1 es: 95.9572 %"o bie con la función ppois() y la opción lower.tail = FALSE
Hide
ppois(q = x, lambda = media, lower.tail = FALSE)## [1] 0.95957234.3.3.5 Interpretación
Pendiente
4.3.4 Crucero peligroso
Supóngase que se está investigando la seguridad de un crucero muy peligroso. Los archivos de la policía indican una media de cinco λ=5λ=5 accidentes por mes en el crucero.
El número de accidentes está distribuido conforme a la distribución de Poisson, y la división de seguridad en carreteras quiere calcular la probabilidad de exactamente 0,1,2,3 y 40,1,2,3 y 4 accidentes en un mes determinado (gestiopolis, n.d.).
4.3.4.1 Tabla de probabilidad
Valores iniciales
Hide
x <- 0:10
media <- 5Construyendo los valores de la tabla de distribución P(x=0,1,2…10)P(x=0,1,2…10). Para responder a la pregunta del ejercicio, solo interesan solo los valores P(0)P(0), P(1)P(1), P(2)P(2), P(3)P(3), P(4)P(4)
Hide
tabla <- data.frame(x = x, f.prob.x = dpois(x = x, lambda = media), f.acum.x = ppois(q = x, lambda = media))
tabla## x f.prob.x f.acum.x
## 1 0 0.006737947 0.006737947
## 2 1 0.033689735 0.040427682
## 3 2 0.084224337 0.124652019
## 4 3 0.140373896 0.265025915
## 5 4 0.175467370 0.440493285
## 6 5 0.175467370 0.615960655
## 7 6 0.146222808 0.762183463
## 8 7 0.104444863 0.866628326
## 9 8 0.065278039 0.931906365
## 10 9 0.036265577 0.968171943
## 11 10 0.018132789 0.9863047314.3.4.2 Gráfica de probabilidad
Se construyen las gráficas de densidad o valores de probabilidad de cada variable aleatoria discreta y la función de la probabilidad acumulada respectivamente.
Hide
4.3.4.3 Interpretación
es como el ejerciocio anterior, ya que El número de accidentes está distribuido conforme a la distribución de Poisson, y la división de seguridad en carreteras quiere calcular la probabilidad de exactamente entonces es el mismo precedimiento que el anterior
4.3.5 Accidentes de cazadores
Supóngase que en un hotel donde descansan sufridos cazadores de elefantes ocurren de manera aleatoria e independiente dos accidentes de caídas con rompimiento de cadera por semana. Determinar la probabilidad de que ocurra un accidente en una semana (Quintela 2019b).λ=2λ=2 se necesita calcular P(x=1)P(x=1)
Hide
paste("La probabilidad de ocurra un accidente en una semana es : ", dpois(x = 1, lambda = 2) ," o ", round(dpois(x = 1, lambda = 2) * 100, 2), "%")## [1] "La probabilidad de ocurra un accidente en una semana es : 0.270670566473225 o 27.07 %"4.3.5.1 Interpretación
la probabilidad de que ocurra un accidente de cazadores de elefantes los cuales se rompen alguna parte del cuerpo, por semana, λ=2 se necesita calcular P(x=1), eque es igual a 27.07 %
Referencias Bibliográficas
Anderson, David R., Dennis J. Sweeney, and Thomas A. Williams. 2008. Estadística Para Administración y Economía. 10th ed. Australia Brasil Corea España Estados Unidos Japón México Reino Unido Singapur: Cengage Learning,.
gestiopolis. n.d. “¿Qué Es La Distribución de Poisson?” https://www.gestiopolis.com/que-es-la-distribucion-de-poisson/.
Mendenhall, William, Robert J. Beaver, and Barbara M. Beaver. 2010. Introducción a La Probabilidad y Estadística. 13th ed. Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.,.
Quintela, Alejandro. 2019a. Estadística básica Edulcorada. https://bookdown.org/aquintela/EBE/.
———. 2019b. Estadística básica Edulcorada. https://bookdown.org/aquintela/EBE/.
Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers, and Sharon L. Myers. 2012. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Novena Edición. México: Pearson.