Ecuaciones Diferenciales
El modelo de oferta y demanda, utiliza para su explicación matemática y económica, las ecuaciones diferenciales lineales, se lleva a cabo una explicación de cómo obtener una solución analítica y gráfica de dichas ecuaciones.
Ecuación lineal de primer orden
Es de la forma
\[\begin{equation} y’+p(x)y=q(x) \end{equation}\]
En donde p(x) y q(x) son funciones continuas de x. Esta ecuación es una ecuación lineal de primer orden no homogénea.
Si q(x)=0, entonces
\[\begin{equation} y’ + p(x)y=0 \end{equation}\]
Esta ecuación es una ecuación lineal de primer orden homogénea.
Solución de una ecuación de primer orden
Para hallar la solución general de la EDO lineal no homogénea, existen varios procedimientos.
Uno de ellos, denominado factor integrante permite encontrar la solución general de la citada ecuación como:
\[ye^{\int p(x)dx}=\int q(x)e^{\int p(x)dx}dx+C\]
La cual se puede escribir de la siguiente forma:
\[y=Ce^{-\int p(x)dx}+e^{-\int p(x)}\int q(x)e^{\int p(x)dx}dx\]
Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes
Una ecuación lineal homogénea de segundo orden con coeficinetes constantes es de la forma
\[y''+ a_1 y'+ a_2y=0\]
donde \(a_1\) y \(a_2\) son constantes reales
Para hallar la solucion general de esta ecuacion, se aplica la técnica de la ecuación característica la cual es una ecuación algebraica asociada a toda ecuación de este tipo. Para este caso la ecuación característica es de la forma
\[λ^2+a_1λ+a_2=0\]
Raíces complejas conjugadas
Las raíces de la ecuación característica son de la forma \[\begin{equation} λ=α±iβ \end{equation}\] En consecuencia las funciones linealmente independientes soluciones de la ecuacion son \[\begin{equation} e^{ax} cosβ \end{equation}\] y \[\begin{equation}e^{ax} senβ \end{equation}\]
De esta manera la solución de la ecuación lineal homogéna con coeficientes es
\[y=C_1e^{ax}cosβx+C_2e^{ax}Senβx\]
Ecuación lineal de segundo orden
Es de la forma: \(y''+p(x)y'+q(x)y = f(x)\)
en donde las funciones f(x) y q(x) son continuas en un intervalo abierto de números reales. Esta es una ecuación lineal de segundo orden no homogéneo.
Si \(f(x) = 0\) entonces la ecuación se puede escribir como:
\[\begin{equation} y''+p(x)y'+q(x)y = 0 \end{equation}\]
Esta es una ecuación lineal de segundo orden y homogénea.
Ecuaciones Lineales no homogéneas
Una ecuación lineal no homogéna con coeficientes constantes es de la forma
\(y''+a_1y'+a_2y=f(x)\)
En donde \(a_1\) y \(a_2\) son constantes reales y f(x) es una funcion continua en el intervalo abierto. La solucion general de la ecuacion es la suma de la solucion general y de la ecuacion homogenea corresponiente y una solucion particular Yp de la ecuacion no homogenea, esto es
\[y=y_h+y_p\]
La solución \(y_p\) se la obtiene por medio del método de los coeficientes indeterminados.
Método de coeficientes indeterminados
En dependencia de la forma de f(x) y las raices de la ecuación característica se pueden obetener las soluciones particulares buscads \(y_p\).
en donde \(a_1\) y \(b_1\) son constantes reales. Aplicando el principio económico de oferta y demanda D=S se obtiene:
\[a_1p(t)+a_2p'(t)+a_3=b_1p(t)+b_2p'(t)+b_3\] OFERTA Y DEMANDA
Sea p=p(t) la función precio de un bien en el tiempo. El número de unidades del bien que desean los consumidores por unidad de tiempo, en cualquier tiempo (t) se llama demanda y se detona D=D(t). Esta demanda puede depender no sólo del precio p en cualquier tiempo (t), sino también de la dirección en la cual los consumidores creen que tomarán los precios, esto es, la tasa de cambio del precio \(p'(t)\).
Con símbolos, la dependencia de \(D(t), p(t)\) y de \(p'(t)\) se puede escribir como:
\[\begin{equation} D=f(p(t)), p'(t) \end{equation}\]
Así, f es la función de la demanda Análogamente, el número de unidades del bien que los productores tienen disponible por unidad de tiempo (t), se llama oferta y se detona por S=S(t). Como en el caso de la demanda, la oferta depende de p(t) y p’(t), esto es:
\[\begin{equation} S=g(p(t)), p'(t) \end{equation}\]
Por lo tanto, g es la función de oferta.
Para que las anteriores consideraciones tengan sentido, se debe de asumir lo siguiente:
• No se consideren los precios de otros bienes: En este modelo económico los precios de otros bienes en el mercado no se tienen en cuenta
• Los precios, demanda y oferta son continuos: Los precios toman valores discretos, pero en la práctica, se pueden aproximar con un buen grado de precisión adoptando valores continuos.
Principio económico de la oferta y demanda El precio de un bien en cualquier tiempo (t) o sea p(t), está determinado por la condición de que la demanda en (t) es igual a la oferta en (t), es decir
\[\begin{equation} F(p(t), p'(t)) = g(p(t), p'(t)) \end{equation}\]
Como se puede ver en la ecuación anterior es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, con la función desconocida p=p(t) Ahora bien, las formas más simples de f y g son funciones lineales en p(t) y p(t), esto es:
\[D=a_1p(t)+a_2p'(t)+a_3\]
\[S=b_1p(t)+b_2p'(t)+b_3\]
Los casos que se pueden presentar son los siguientes:
Caso 1.- Si \(p_0=(b_3-a_3)/(a_1-b_1)\)entonces se obtiene que \(p(t)=p_0\) situación en la cual los precios son constantes todo el tiempo.
Caso 2.- Aquí el precio p(t) tiende a \((b_3–a_3)/(a_1–b_1)\) como el límite, cuando t crece, asumiendo que este límite es positivo. En este caso se tiene estabilidad de precios y el límite \((b_3–a_3)/(a_1–b_1)\) se llama precio de equilibrio.
Caso 3.- \((a_1-b_1)/(a_2-b_2)<0\). En este caso, el precio \(p(t)\) crece indefinidamente, a medida que t crece, asumiendo que \(p_0>(b_3-a_3)/(a_1-b_1)\).Se presenta aquí inflación continuada o inestabilidad de precios.
Problema 1
La oferta y la demanda de un bien están dados en miles de unidades respectivamente por \(S=160-5p(t)-3p'(t)\) y \(D=40+3p(t)+p'(t)\). El precio del bien en \(t=0\), es US$20.
\(a)\) Encontrar el precio en cualquier tiempo \(t\) posterior y obtener su gráfico.
Solución
De acuerdo con el principio económico de oferta y demanda, se puede escribir: \[160-5p(t)-3p'(t)=40+3p(t)+p'(t)\] \[-5p(t)-3p'(t)-3p(t)-p'(t)=40-160\] \[-8p(t)-4p'(t)=-120\]
\[-2p(t)-p'(t)=-30\] \[p'(t)+2p(t)=30\]
La solución general de la ecuación lineal y no homogénea anterior es: \[p(t)=Ce^{-2t}+15\]
\(b)\) Determinar si hay estabilidad de precio y el precio de equilibrio si existe.
Solución
Para determinar si existe estabilidad de precio y el precio de equilibrio, es necesario resolver el PVI: \[p'(t)+2p(t)=30 ; p(0)=20\]
Puesto que \(p(t)=Ce^{-2t}+15\), al aplicar la condición inicial \(p(0)=20\) se obtiene: \[20=Ce^{-2t}+15 ; C=5\] De esta manera el precio está definido como: \[p(t)=5e^{-2t}+15\]
Problema 2
La demanda y la oferta de un bien están dadas en miles de unidades por las ecuaciones \(D=240-8p(t)-2p'(t)\) y \(S=24(2-e^{-2t})+16p(t)+10p'(t)\) respectivamente. En \(t=0\), el precio del bien es de US$12.
\(a)\) Encontrar el precio en cualquier tiempo \(t\) y obtener su gráfico.
Solución
De acuerdo al principio económico de oferta y demanda (S=D), se tiene:
\[24(2-e^{-2t})+16p(t)+10p'(t)=240-8p(t)-2p'(t)\] \[10p'(t)+16p(t)+2p'(t)+8p(t)=240-24(2-e^{-2t})\]
Simplificando obtenemos lo siguiente:
\[p'(t)+2p(t)=16+2(e^{-2t})\]
Lo anterior se identifica como una ecuación lineal no homogénea y se ocupará el método de factor integrante [M(x)] para obtener la solución general.
\[M(x)= \begin{equation} e^{\int2dt} \end{equation}\]
Por tanto, \(M(x)=e^{2t}\)
Dicho factor multiplica la simplificación de la ecuación inicial y se integran ambas partes, tal como se muestra a continuación.
\[e^{2t}[p'(t)+2p(t)]=e^{2t}[16+2(e^{-2t})]\] \[e^{2t}[p'(t)+2p(t)]=16e^{2t}+2\]
Integrando ambas partes y despejando p se obtiene la solución general: \(p(t)=Ce^{-2t}+(8+2t)e^{-2t}\)
\(b)\) Determinar si hay estabilidad de precio y el precio de equilibrio si existe alguno.
Solución
Para examinar si existe o no estabilidad de precio, se aplica la condición inicial \(p(0) = 12\)
\[p(0)=[8+2(0)]e^{-2(0)}+Ce^{-2(0)}\] \[12=(8+0)1+C\]
De lo anterior se obtiene C = 4. Sustituyendo este valor en la expresión de p llegamos a la solución particular:
\[p=4e^{-2t}+8+2te^{-2t};p= (4+2t)e^{-2t}+8\]
Esta función determina el precio en cualquier tiempo \(t\), y su gráfico se puede ver a continuación
Cuando \(t\) tiende a infinito, \(p\) es igual a 8, entonces se presenta estabilidad de precio y el precio de equilibrio es US$8.
Problema 3
Si la demanda y la oferta de cierto bien de consumo de consumo están definidas respectivamente por \(D=5p''-4p'+11\) y \(S=6p''-2p'+5p-4\) estudiar el comportamiento de p.
Solución
Al igualar D y S se define la ecuación lineal no homogénea de segundo orden: \[p''+2p'+5p=15\] La ecuación característica asociada es \(λ^2+2λ+5=0\) cuyas raíces son complejas conjugadas de la forma \(λ=1+2i\). Las funciones linealmente independientes que le corresponden son: \(e^{-t}cos2t\) y \(e^{-t}sen2t\).
Por tanto, la solución general de la ecuación homogénea correspondiente es:
\[Y_h =C_1e^{-t}cos2t+C_2e^{-t}sen2t\] Ahora bien, la solución particular de la ecuación no homogénea es \(Y_p=3\). En consecuencia la solución general de la ecuación no homogénea es: \[Y_h =C_1e^{-t}cos2t+C_2e^{-t}sen2t+3\] La siguente figura ilustra algunas curvas integrales:
Nótese que una solución particular de dicha ecuación es precisamente \(P_e= 3\) el precio de equilibrio. Además la trayectoria temporal del precio converge de manera oscilante al precio de equilibrio \(P_e=3\).
Fuente: Hernán Alberto Escobar J. Oferta y demanda: Un modelo matemático con ecuaciones diferenciales. Universidad de Nariño. Vol. XI. 2010, pág. 7-34.