\(Índice\) \(de\) \(Gini\)
El índice de Gini o coeficiente de Gini es un indicador que se utiliza para medir la desigualdad de la distribución de la riqueza. Gráficamente es el área que se encuentra entre la curva de Lorenz y la recta de equidistribución. Un coeficiente igual a 0 representa total igualdad y uno igual a 1 perfecta desigualdad.
La recta de equidistribución, como su nombre lo dice es la línea hipotética donde existe igualdad absoluta. La curva de Lorenz representa la distribución del ingreso entre la población. Entre más cerca esté de la diagonal, más equitativa es la distribución. Una fórmula para calcularlo es la siguiente:
\(G=1- \sum_i (Y_{i-1}+Y_{i})*(N_{i}-N_{i-1})\)
En este proyecto se analizó la evolución de la desigualdad económica en nuestro país. Para ello tomamos como base el coeficiente de Gini y las fluctuaciones que ha sufrido dicho indicador en los últimos 50 años. Y por medio de interpolaciones de Lagrange obtuvimos la función matemática de las variaciones.
En la siguiente tabla se muestran los datos para el coeficiente de Gini para el periodo 1968-2018.
\[\begin{equation} \begin{array}{l|c|c|c|c|c|c|r} \text{Año} & 1968 & 1977 & 1984 & 1989 & 1992 & 1994 & 1996 & 1998 & 2000 & 2002 & 2004 & 2005 & 2006 & 2008 & 2010 & 2012 & 2014 & 2016 & 2018 \\ \hline \text{Gini} & 49.8 & 49.6 & 49.3 & 54.3 & 52.6 & 52.8 & 53.6 & 51.7 & 52.6 & 50.1 & 50 & 50.1 & 48.9 & 49.9 & 47.2 & 48.7 & 48.7 & 46.3 & 45.4 \\ \end{array} \end{equation}\]
\(Fuente:\) Elaboración propia con datos del Banco Mundial.
A continuación se muestran las fluctuaciones para diferentes intervalos del periodo estudiado
Intervalo \(1968-1998\)
El polinomio que describe el comportamiento del coeficiente de Gini para este intervalo es el siguiente polinomio de grado 7.
## -44.10928 + 122.9817*x - 32.5867*x^2 + 3.729429*x^3 - 0.2222367*x^4 +
## 0.00721668*x^5 - 0.0001210229*x^6 + 8.190188e-07*x^7Intervalo \(2000-2008\)
El polinomio que describe el comportamiento del coeficiente de Gini para este intervalo es el siguiente polinomio de grado 5.
## -720972.6 + 101569.5*x - 5713.543*x^2 + 160.4326*x^3 - 2.248698*x^4 +
## 0.01258681*x^5Intervalo \(2010-2018\)
El polinomio que describe el comportamiento del coeficiente de Gini para este intervalo es el siguiente polinomio de grado 4.
## 52267.9 - 4636.95*x + 154.0375*x^2 - 2.26875*x^3 + 0.0125*x^4Podemos observar que los polinomios interpolados de Lagrange pueden dar una función aproximada para las variaciones del índice de Gini. Sin embargo las aproximaciones dejan de ser precisas cuando los intervalos crecen o cuando hay un lapso extendido sin información.
A continuación se usará la interpolación de Lagrange para aproximar el valor del coeficiente de Gini para 6 periodos seleccionados: \(1968, 1977, 1989, 1998, 2008, 2018\)
## -2.081905*x + 60.24956*x^2 - 662.334*x^3 + 3945.029*x^4 - 14098.06*x^5 +
## 31613.02*x^6 - 44761.9*x^7 + 38804.56*x^8 - 18783.07*x^9 + 3885.582*x^10La integral de la curva de Equidistribución es 0.5
La integral de la curva de Lorenz es 0.2423848
El coeficiente de Gini obtenido por medio de las integrales es \(51.5\)
El error con el dato de la tabla es de \(1.72304\).
## -0.7885714*x + 24.75236*x^2 - 288.3242*x^3 + 1848.696*x^4 - 7078.672*x^5 +
## 16877.75*x^6 - 25204.61*x^7 + 22876.16*x^8 - 11520.34*x^9 + 2466.38*x^10La integral de la curva de Equidistribución es 0.5
La integral de la curva de Lorenz es 0.244328
El coeficiente de Gini obtenido por medio de las integrales es \(51.1\)
El error con el dato de la tabla es \(1.5344\).
## 0.03009921*x + 2.08245*x^2 - 17.89432*x^3 + 118.7653*x^4 - 490.4977*x^5 +
## 1278.009*x^6 - 2094.577*x^7 + 2092.427*x^8 - 1162.919*x^9 + 275.5732*x^10La integral de la curva de Equidistribución es 0.5
La integral de la curva de Lorenz es 0.2418738
El coeficiente de Gini obtenido por medio de las integrales es \(51.6\)
El error con el dato de la tabla es \(2.67476\).
## -1.434802*x + 40.93014*x^2 - 430.8542*x^3 + 2441.526*x^4 - 8234.711*x^5 +
## 17357.06*x^6 - 23098.88*x^7 + 18877.31*x^8 - 8658.51*x^9 + 1708.554*x^10La integral de la curva de Equidistribución es 0.5
La integral de la curva de Lorenz es 0.2379654
El coeficiente de Gini obtenido por medio de las integrales es \(52.4\)
El error con el dato de la tabla es \(0.70692\).
## -0.3540079*x + 10.17266*x^2 - 70.90102*x^3 + 216.0342*x^4 - 143.4925*x^5 -
## 801.8229*x^6 + 2351.108*x^7 - 2814.98*x^8 + 1627.26*x^9 - 372.0238*x^10La integral de la curva de Equidistribución es 0.5
La integral de la curva de Lorenz es 0.2524549
El coeficiente de Gini obtenido por medio de las integrales es \(49.5\)
El error con el dato de la tabla es \(0.39098\).
## -2.157024*x + 61.36585*x^2 - 644.0185*x^3 + 3641.303*x^4 - 12280.52*x^5 +
## 25926.97*x^6 - 34608.13*x^7 + 28394.51*x^8 - 13078.7*x^9 + 2590.388*x^10La integral de la curva de Equidistribución es 0.5
La integral de la curva de Lorenz es 0.2799805
El coeficiente de Gini obtenido por medio de las integrales es \(44\)
El error con el dato de la tabla es \(1.3961\).
\(Conclusión\)
Construir la curva de Lorenz por medio de un polinomio interpolado de Lagrange permitió conocer el valor del coeficiente de Gini para los años seleccionados, y aunque el valor no es exacto al registrado en la tabla inicial, podemos afirmar que son buenas aproximaciones especialmente en los dos años que el error absoluto resultó menor a 1. Por lo tanto esta manera de construir el coeficiente de Gini puede considerarse un método alternativo si el programa se encontrara predeterminado y solo fuera necesario colocar los datos correspondientes de la curva de Lorenz.
Un hecho relevante que debemos destacar en esta investigación es que, mientras que la desigualdad en la distribución personal del ingreso cayó en México entre 2000 y 2012, la pobreza extrema aumentó. La explicación de la caída en la desigualdad fue por aumento del ingreso de los más pobres y caída simultanea del ingreso de los más ricos, por la crisis. Pero el aumento de la pobreza tiene su origen, básicamente, en el estancamiento de los salarios y en la falta de generación de empleos. Como se sabe, las familias más pobres dependen de manera crucial de los ingresos por trabajo.
\(Referencias\)
Banco mundial. (2018). Índice de Gini-México. Obtenido de: https://datos.bancomundial.org/indicator/SI.POV.GINI?locations=MX
Lora, E., & Prada, S. (2016). Técnicas de medición económica: Metodología y aplicaciones en Colombia, Editorial Universidad Icesi, capítulo IV.