1. Intercambiadores de calor

En procesos indsutriales en los cuales se usan fluidos como medios de enfiramiento o calentamientO tales como pasteurización, esterilización y refrigeración, entre otros, se requieren dispositivos que permitan alcanzar temperaturas y cauadales deseados de dichos fluidos. Los equipos más usados para lograr este objetivo se conocen como intercambiadores de calor. En estos dispositivos un fluido con mayor temperatura (fluido caliente) transfiere calor a un fluido a menor temperatura (fluido frío), cuyo objetivo puede ser enfirar el fluido caliente o calentar el fluido frío según los requierimientos del proceso.

En los intercambiadores de calor, donde ninguno de los fluidos cambia de estado físico, la transferencia de calor ocurre debido al intercambio de calor sensible desde el fluido caliente hacia el fluido frío. A partir de esta caractrística del proceso, en la que un fluido transfiere calor a otro, sin mezclarse, toma importancia cuantificar la fracción de energía térmica (calor sensible) que recibe el fluido frío desde el fluido caliente. La variable del proceso que permite cuantificar dicha fracción se conoce como eficiencia \(\eta\), la cual se defino como:

\(\eta=Q_f/Q_c\)

Donde:

\(Q_f\) es el calor sensible del fluido frío

\(Q_c\) es el calor sensible del fluido caliente

Tanto el \(Q_f\) y \(Q_c\) dependen del caudal volumétrico y la diferencia de temperaturas del flido frío y el fluído caliente, respectivamente.

Con el objetivo de conocer y analizar el desempeño de tres diferentes tipos intercambiadores, en la práctica de la asignatura de Trnasferencia de calor, se realizan experimentos controlados, en los cuales se cauntifica la eficiencia de los equipos mediante la medición de caudales y temperaturas de agua caliente y agua fría que circulan a través de los intercambiadores. Para el generar las observaciones exprimentales se utilizaron tres tipos de intercambiadores:

1- Tubos concéntricos

Figura 1

2- Tubos y coraza

Figura 2

3- Serpentín

Figura 3

En la Fig. 4 se puede observar el diagrama de instrumentación general de los equipos con los que se trabajó y se controlaron las experimentaciones.

Figura 4

Para este ejercicio es de interés controlar las temperaturas a las cuales ingresa el fluido caliente (TE-1) y frío (TE-3) y sus respectivos caudales para cuantificar las eficiencia \(\eta\) para cada tipo de intercambiador.

2. Diseño completamente aleatorizado

Dado que se tienen tres intercambiadores y se desea identificar si tienen la misma eficiencia, el análisis adecuado está enmarcado en un diseño completamente aleatorizado, así que:

Una vez se ha fijado la temperatura a la que ingresa el fluido caliente, las temperaturas se toman de manera aleatoria y luego se calcula la eficiencia. Una vez obtenidos los datos, el procedimiento de análisis estadístico se realiza haciendo los siguientes pasos:

Paso 1. Análisis descriptivo

A continuación se presentan las temperaturas tomadas en cada uno de los tres intercambiadores:

De manera descriptiva, se muestran las medidas de posición y de tendencia central de las eficiencias para cada uno de los intercambiadores:

summary(datos)#medidas descriptivas de cada uno de los intercambiadores
##        I1               I2               I3        
##  Min.   :0.7139   Min.   :0.7450   Min.   :0.8035  
##  1st Qu.:0.7489   1st Qu.:0.7934   1st Qu.:0.8604  
##  Median :0.7697   Median :0.8322   Median :0.8975  
##  Mean   :0.7757   Mean   :0.8369   Mean   :0.8915  
##  3rd Qu.:0.7890   3rd Qu.:0.8915   3rd Qu.:0.9200  
##  Max.   :0.8970   Max.   :0.9058   Max.   :0.9760

De manera complementaria, un gráfico boxplot permite identificar además, la presencia de datos atípicos y la dispersión de los datos. Para el primer intercambiador, se observa una eficiencia atípica por encima del límite superior.

boxplot(datos)#permite obtener boxplot por tipo de intercambiador

De acuerdo con el gráfico anterior, Intercambiador de Tubos Concéntricos (I1) tiene una menor eficiencia que los otros dos intercambiadores, pero a su vez es el menos disperso. El intercambiador de Tubos y Coraza (I2) es el más disperso y, el intercambiador de Serpentín (I3) es el que presenta mayores eficiencias. De manera exploratoria, es posible que las eficiencias promedio de los intercambiadores I2 e I3 sean similares.

Paso 2. Organizar base de datos

Considerando que se desea hacer un análisis completamente aleatorizado, es necesario que los datos estén organizados en forma de vector.

grupos=stack(datos)#organiza los datos en una sola columna
names(grupos)=c("Eficiencia","Intercambiador")#asigna nombres a las columnas
DT::datatable(grupos)#visualizar los datos

Paso 3. Plantear las pruebas de hipótesis de interés

Interesa determinar si la eficiencia promedio es igual en los tres intercambiadores o si hay por lo menos un intercambiador que tenga una eficiencia promedio diferente a los demás. La notación está dada por:

\[H_{0}:\mu_{1}=\mu_{2}=\mu_{3}\] \[H_{a}:\mu_{i}\neq\mu_{j}, i\neq{j}\]

Paso 4. Obtener el análisis de varianza (ANOVA) e interpretar los resultados (valor crítico \(F\) y \(p-value\))

El análisis de varianza para el experimento de interés se presenta a continuación:

modelo=lm(Eficiencia~Intercambiador,data=grupos)#obtiene los coeficientes del modelo subyacente
anova(modelo)#permite obtener el ANOVA
## Analysis of Variance Table
## 
## Response: Eficiencia
##                Df   Sum Sq  Mean Sq F value    Pr(>F)    
## Intercambiador  2 0.087313 0.043656  17.518 4.862e-06 ***
## Residuals      36 0.089715 0.002492                      
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
qf(0.95,2,36)#Valor crítico para el ANOVA
## [1] 3.259446

En este caso se rechaza la hipótesis nula porque \(valor-p<0.05\), lo que indica que por lo menos dos intercambiadores tienen eficiencia promedio diferente. De manera complementaria, el el estadístico de prueba \(17.518\) es mayor que el valor crítico \(3.259446\), lo que conduce también al rechazo de la hipótesis nula.

Paso 5. Si en el paso anterior hay significancia estadística, se hacen pruebas de comparación de medias para identificar el o los tratamientos con los que se obtiene una variable respuesta diferente.

Para este análisis, se hacen las pruebas LSD, Duncan, Tukey, Scheffe y Bonferroni.

a. Prueba de la Diferencia Mínima Significativa - LSD

En este caso, interesa comparar las eficiencias promedio por pares, de tal forma que las hipótesis a contrastar son \(H_{0}:\mu_{i}=\mu_{j}\) vs \(H_{a}:\mu_{i}\neq\mu_{j}\). Se rechaza \(H_{0}\) si \(|\overline{y}_{i.}-\overline{y}_{j.}|>t_{\alpha/2;N-k}\sqrt{CME\frac{1}{n_{i}}\frac{1}{n_{j}}}\). Los resultados para este experimento se presentan a continuación.

library(agricolae)
LSD.test(modelo, "Intercambiador",group = FALSE, console = T)#prueba LSD
## 
## Study: modelo ~ "Intercambiador"
## 
## LSD t Test for Eficiencia 
## 
## Mean Square Error:  0.00249209 
## 
## Intercambiador,  means and individual ( 95 %) CI
## 
##    Eficiencia        std  r       LCL       UCL       Min       Max
## I1  0.7756506 0.04938452 13 0.7475705 0.8037307 0.7138999 0.8970111
## I2  0.8368947 0.05401900 13 0.8088147 0.8649748 0.7450387 0.9058348
## I3  0.8914865 0.04603680 13 0.8634065 0.9195666 0.8035097 0.9760135
## 
## Alpha: 0.05 ; DF Error: 36
## Critical Value of t: 2.028094 
## 
## Comparison between treatments means
## 
##          difference pvalue signif.         LCL         UCL
## I1 - I2 -0.06124412 0.0035      ** -0.10095534 -0.02153290
## I1 - I3 -0.11583593 0.0000     *** -0.15554715 -0.07612471
## I2 - I3 -0.05459181 0.0084      ** -0.09430303 -0.01488059

De acuerdo con los resultados, hay diferencias significativas entre los tres intercambiadores al obtener valores-p por debajo de 0.05. Al comparar el intercambiador 1 con el intercambiador 2 (I1-I2), se obtiene una diferencia negativa, lo que implica que la eficiencia promedio del intercambiador 2 es mayor que la del intercambiador 1, y esto se ve reflejado en un intervalo de confianza completamente negativo. Para los otros pares que se están analizando, se observa el mismo comportamiento. De esta manera, puede concluirse que el Intercambiador 1 tiene la menor eficiencia promedio y el intercambiador 3 tiene la mayor eficiencia promedio.

b. Prueba de Duncan
Prueba=waller.test(modelo,"Intercambiador",console=FALSE,group=TRUE)#prueba de Duncan
Prueba
## $statistics
##        Mean Df       CV    MSerror  F.Value Waller CriticalDifference
##   0.8346773 36 5.980854 0.00249209 17.51796  1.858         0.03638068
## 
## $parameters
##            test         name.t ntr   K
##   Waller-Duncan Intercambiador   3 100
## 
## $means
##    Eficiencia        std  r       Min       Max       Q25       Q50       Q75
## I1  0.7756506 0.04938452 13 0.7138999 0.8970111 0.7488545 0.7696824 0.7890486
## I2  0.8368947 0.05401900 13 0.7450387 0.9058348 0.7934315 0.8322474 0.8914580
## I3  0.8914865 0.04603680 13 0.8035097 0.9760135 0.8604405 0.8975021 0.9199614
## 
## $comparison
## NULL
## 
## $groups
##    Eficiencia groups
## I3  0.8914865      a
## I2  0.8368947      b
## I1  0.7756506      c
## 
## attr(,"class")
## [1] "group"

Al revisar las agrupaciones que arroja la prueba de Duncan (tres grupos), se puede concluir que las eficiencias promedio de cada intercambiador son diferentes, que no se traslapan, y por lo tanto la mayor eficiencia se obtiene con el intercambiador 3 y la menor con el intercambiador 1.

c. Prueba de Tukey
modelo=aov(Eficiencia~Intercambiador,data=grupos)#forma alternativa para obtener ANOVA
intervalos=TukeyHSD(modelo)#prueba de Tukey 
intervalos
##   Tukey multiple comparisons of means
##     95% family-wise confidence level
## 
## Fit: aov(formula = Eficiencia ~ Intercambiador, data = grupos)
## 
## $Intercambiador
##             diff         lwr       upr     p adj
## I2-I1 0.06124412 0.013383407 0.1091048 0.0095123
## I3-I1 0.11583593 0.067975217 0.1636966 0.0000027
## I3-I2 0.05459181 0.006731098 0.1024525 0.0223720
plot(intervalos)#grafica los intervalos de Tukey

Al igual que las pruebas anteriores, la prueba de Tukey indica que las diferencias entre las eficiencias promedio de los intercambiadores son significativas, esto es, se obtienen valores-p menores que 0.05. La diferencia entre el intercambiador 2 y el intercambiador 1 (I2-I1) es positiva, y el intervalo de confianza también lo es, lo que indica que la eficiencia promedio del intercambiador 2 es mayor que la eficiencia promedio del intercambiador 1. Al revisar las otras diferencias, se confirma que la mayor eficiencia promedio se obtiene con el intercambiador 3 y la menor con el intercambiador 1. Esta conclusión se evidencia de forma gráfica al observar que ningún intervalo incluye el cero.

d. Prueba de Scheffe
scheffe.test(modelo, "Intercambiador",console=TRUE)#prueba de Scheffe
## 
## Study: modelo ~ "Intercambiador"
## 
## Scheffe Test for Eficiencia 
## 
## Mean Square Error  : 0.00249209 
## 
## Intercambiador,  means
## 
##    Eficiencia        std  r       Min       Max
## I1  0.7756506 0.04938452 13 0.7138999 0.8970111
## I2  0.8368947 0.05401900 13 0.7450387 0.9058348
## I3  0.8914865 0.04603680 13 0.8035097 0.9760135
## 
## Alpha: 0.05 ; DF Error: 36 
## Critical Value of F: 3.259446 
## 
## Minimum Significant Difference: 0.04999333 
## 
## Means with the same letter are not significantly different.
## 
##    Eficiencia groups
## I3  0.8914865      a
## I2  0.8368947      b
## I1  0.7756506      c

Análogamente con las pruebas anteriores, se obtienen las mismas conclusiones.

e. Prueba de Bonferroni
LSD.test(modelo, "Intercambiador", p.adj= "bon",console=TRUE)#prueba de Bonferroni
## 
## Study: modelo ~ "Intercambiador"
## 
## LSD t Test for Eficiencia 
## P value adjustment method: bonferroni 
## 
## Mean Square Error:  0.00249209 
## 
## Intercambiador,  means and individual ( 95 %) CI
## 
##    Eficiencia        std  r       LCL       UCL       Min       Max
## I1  0.7756506 0.04938452 13 0.7475705 0.8037307 0.7138999 0.8970111
## I2  0.8368947 0.05401900 13 0.8088147 0.8649748 0.7450387 0.9058348
## I3  0.8914865 0.04603680 13 0.8634065 0.9195666 0.8035097 0.9760135
## 
## Alpha: 0.05 ; DF Error: 36
## Critical Value of t: 2.51104 
## 
## Minimum Significant Difference: 0.04916758 
## 
## Treatments with the same letter are not significantly different.
## 
##    Eficiencia groups
## I3  0.8914865      a
## I2  0.8368947      b
## I1  0.7756506      c

Todas las pruebas de comparación de medias demuestran que la eficiencia promedio se ve afectada por el tipo de intercambiador, obteniéndose una mayor eficiencia promedio con el intercambiador de Serpentín (I3) mientras que la menor eficiencia se alcanza con el intercambiador de Tubos Concéntricos (I1).

Paso 6. Probar normalidad, homocedasticidad e independencia de residuales.

Pruebas de normalidad

library(normtest)#librería requerida para pruebas de normalidad
qqnorm(modelo$residuals)#Gráfico QQ-plot para estudiar normalidad de forma gráfica
qqline(modelo$residuals)#Adiciona una línea al gráfico QQ-plot

shapiro.test(modelo$residuals)#Prueba de Shapiro-Wilk
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  modelo$residuals
## W = 0.98265, p-value = 0.7975
jb.norm.test(modelo$residuals)#Prueba de Jarque-Bera
## 
##  Jarque-Bera test for normality
## 
## data:  modelo$residuals
## JB = 0.80222, p-value = 0.606
library(nortest)#librería requerida para otras pruebas de normalidad
sf.test(modelo$residuals)#Prueba Shapiro-Francia 
## 
##  Shapiro-Francia normality test
## 
## data:  modelo$residuals
## W = 0.98405, p-value = 0.7588
ad.test(modelo$residuals)# Prueba Anderson-Darling
## 
##  Anderson-Darling normality test
## 
## data:  modelo$residuals
## A = 0.25828, p-value = 0.6992
cvm.test(modelo$residuals)# Prueba Cramer-Von Mises
## 
##  Cramer-von Mises normality test
## 
## data:  modelo$residuals
## W = 0.043205, p-value = 0.6124
lillie.test(modelo$residuals)# Prueba Lilliefors test 
## 
##  Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) normality test
## 
## data:  modelo$residuals
## D = 0.07659, p-value = 0.8165
pearson.test(modelo$residuals)# Prueba Pearson's chi-square 
## 
##  Pearson chi-square normality test
## 
## data:  modelo$residuals
## P = 3.6923, p-value = 0.7182

De acuerdo con los resultados obtenidos en todas las pruebas de normalidad realizadas, el \(p-value>0.05\), así que se acepta la hipótesis nula, y por lo tanto los residuales se ajustan a una distribución normal.

Prueba de homocedasticidad

library(lmtest) #librería requerida para prueba Breusch-Pagan
bptest(modelo)#prueba Breusch-Pagan para homocedasticidad
## 
##  studentized Breusch-Pagan test
## 
## data:  modelo
## BP = 0.417, df = 2, p-value = 0.8118

En este caso, también se acepta la hipótesis nula de que la desviación de los residuales es constante, toda vez que el \(p-value>0.05\).

Prueba de independencia

library(lmtest) #librería requerida para prueba Durbin-Watson
dwtest(modelo, alternative = "two.sided")#Prueba Durbin-Watson
## 
##  Durbin-Watson test
## 
## data:  modelo
## DW = 2.0863, p-value = 0.9548
## alternative hypothesis: true autocorrelation is not 0

En este caso, también se acepta la hipótesis nula de que los residuales son independientes, toda vez que el \(p-value>0.05\).

De acuerdo con lo anterior, se cumplen los supuestos de normalidad, homocedasticidad e independencia.

3. Modelo de regresión lineal con variables dicotómicas

El modelo de regresión lineal teniendo en cuenta como variable independiente el tipo de intercambiador y como variable dependiente (respuesta) la eficiencia, es el siguiente, teniendo como variable de referencia el intercambiador I1:

\[\eta_i=\beta_0+\beta_1I_2+\beta_1I_3+\epsilon_i\]

modelorl=lm(Eficiencia~Intercambiador,data=grupos)#obtiene los coeficientes del modelo subyacente
summary(modelorl)#permite obtener el modelo de regresión lineal
## 
## Call:
## lm(formula = Eficiencia ~ Intercambiador, data = grupos)
## 
## Residuals:
##       Min        1Q    Median        3Q       Max 
## -0.091856 -0.035627 -0.004725  0.036828  0.121360 
## 
## Coefficients:
##                  Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)       0.77565    0.01385  56.022  < 2e-16 ***
## IntercambiadorI2  0.06124    0.01958   3.128  0.00348 ** 
## IntercambiadorI3  0.11584    0.01958   5.916    9e-07 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.04992 on 36 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.4932, Adjusted R-squared:  0.4651 
## F-statistic: 17.52 on 2 and 36 DF,  p-value: 4.862e-06
   qf(0.95,2,36)#Valor crítico para el ANOVA
## [1] 3.259446

De acuerdo con los resultados anteriores, el modelo de regresión estimado, teniendo en cuenta tanto el modelo como los coeficientes son estadísticamente significativos, es:

\[\hat{\eta}=\hat{\beta}_0+\hat{\beta}_1I_2+\hat{\beta}_2I_3\] Donde \(\hat{\beta}_0=0.77565\), \(\hat{\beta}_1=0.06124\) y \(\hat{\beta}_2=0.11584\). El valor de \(\hat{\beta}_0\) indica que la eficiencia promedio que se obtiene con el intercambiador 1 es 0.77565. El valor de \(\hat{\beta}_1\) indica que, si se utiliza el intercambiador 2, se obtiene un incremento en la eficiencia promedio de 0.06124 con respecto a la del intercambiador 1. Finalmente, el valor de \(\hat{\beta}_2\) indica que, si se utiliza el intercambiador 3, se obtiene un incremento en la eficiencia promedio de 0.11584 con respecto a la del intercambiador 1. Estos resultados son coherentes con las pruebas de comparación de medias, que muestran que el intercambiador en el que se obtiene una mayor eficiencia promedio es el intercambiador de Serpentín (I3).

El modelo tiene un coeficiente de determinación ajustado \(R^2_{aj}=0.4651\), lo que indica que el \(46.51%\) de la variabilidad de la eficiencia es explicado por este modelo incluyendo como variable independiente el tipo de intercambiador. Este valor se considera bajo para datos obtenidos bajo experimentación en laboratorio, y sería interesante realizar otro diseño de experimentos en el que se incluyan variables independientes determinísticas como temperaturas de salida de fluido caliente, temperaturas de salida de fluido frío, o los caudales volumétricos y analizar su comportamiento frente a la eficiencia de un tipo de intercambiador.

Los intervalos de confianza al 95% para cada uno de los parámetros del modelo están dados por:

  confint(lm(Eficiencia~Intercambiador,data=grupos))
##                       2.5 %    97.5 %
## (Intercept)      0.74757054 0.8037307
## IntercambiadorI2 0.02153290 0.1009553
## IntercambiadorI3 0.07612471 0.1555471

De manaera adicional, se verifica el cumplimiento de supuestos de normalidad, homocedasticidad e independencia, usando pruebas analíticas. En todos los casos, el \(valor-p>0.05\), por lo tanto los residuales son normales, tienen varianza constante y son independientes.

  shapiro.test(modelorl$residuals)# prueba analítica de normalidad
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  modelorl$residuals
## W = 0.98265, p-value = 0.7975
qqnorm(modelo$residuals)#Gráfico para estudiar normalidad
qqline(modelo$residuals)#agrega una línea de tendencia

plot(fitted(modelo),residuals(modelo),xlab="Valores ajustados",ylab="Residuales",main="Residuales vs Valores ajustados")#Gráfico para estudiar homocedasticidad
abline(h=0) #agrega una línea en 0

bptest(modelorl) # prueba analítica de homocedasticidad
## 
##  studentized Breusch-Pagan test
## 
## data:  modelorl
## BP = 0.417, df = 2, p-value = 0.8118
plot(residuals(modelo),ylab="Residuales",xlab="Tiempo",main="Residuales vs Tiempo")#Gráfico para estudiar independencia
abline(h=0) #agrega una línea en 0

  dwtest(modelorl) # prueba analítica de independencia
## 
##  Durbin-Watson test
## 
## data:  modelorl
## DW = 2.0863, p-value = 0.4774
## alternative hypothesis: true autocorrelation is greater than 0

Finalmente, se hace un análisis de influencia, y se identifica que las observaciones potencialmente influyentes son la 1, 4, 13 y 15, sin embargo, no son influyentes por tener distancias de Cook por debajo de 1, así que no es necesario retirar estos datos porque su presencia no afecta los resultados obtenidos.

library(car)
## Loading required package: carData
influencePlot(modelorl)

##       StudRes        Hat        CookD
## 1   1.2073666 0.07692308 0.0399842202
## 4  -0.1227219 0.07692308 0.0004301195
## 13  2.7515884 0.07692308 0.1778486808
## 15 -1.9926159 0.07692308 0.1018851769
outlierTest(modelorl)
## No Studentized residuals with Bonferroni p < 0.05
## Largest |rstudent|:
##    rstudent unadjusted p-value Bonferroni p
## 13 2.751588          0.0093304      0.36388
dffits(modelorl)
##            1            2            3            4            5            6 
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