1.- Objetivo

Determinar un modelo de regresión lineal simple para estimar y predecir resultados a partir del modelo.

2.- Descripción

Desarrollar el modelo de regresión lineal paso a paso identificar los coeficientes de ecuación por el método de mínimos cuadrados.

Con los coeficientes encontrados se van a realizar predicciones con nuevos valores de la variable depeiente \(x\).

3.- Marco teórico

library(ggplot2) # Operaciones con datos
library(dplyr) # Gráficos
library(knitr) # TAblas amigables
library (corrplot) # Para gráficos de correlaciones
library(PerformanceAnalytics) # Para gráficos de correlaciones
library(mosaic) # Para distribución normal

4.- Desarrollo

Con lo anteriormente descrito, se construyen modelos de regresión lineal simple para cada conjunto de datos en donde se busca encontrar e interpretar aspectos siguientes:

  1. Generar o importar los datos y contextualizar los datos.

  2. Identificar variables independiente y dependiente es decir, x e y.

  3. Visualizar el modelo de dispersión y observar la relación lineal.

  4. Determinar el coeficiente de correlación de Pearson r e interpretar su significado.

  5. Construir el modelo,

  6. Determinar los coeficiente a y b e interpretar su significado.

  7. Determinar la recta de regresión o tendencia e interpretar su significado

  8. Identificar con summary(modelo) el valor del coeficiente de determinación R-Square e interpretar su significado

  9. Predecir con valore nuevos

  10. Establecer conclusiones e interpretaciones finales de cada ejercicio.

4.1.- American Women

Es un conjunto de datos provistos por los paquetes base de R, se encuentra varios de ellos con la función data() y se utilizará el de nombre women().

Los datos son promedios pesos y estaturas de mujeres de Estados Unidos.

4.1.1.- Datos

datos <- women

names(datos) <- c('estatura', 'peso')
datos
##    estatura peso
## 1        58  115
## 2        59  117
## 3        60  120
## 4        61  123
## 5        62  126
## 6        63  129
## 7        64  132
## 8        65  135
## 9        66  139
## 10       67  142
## 11       68  146
## 12       69  150
## 13       70  154
## 14       71  159
## 15       72  164
kable(x = datos, caption = "Promedios de estaturas y pesos de mujeres Americanas")
Promedios de estaturas y pesos de mujeres Americanas
estatura peso
58 115
59 117
60 120
61 123
62 126
63 129
64 132
65 135
66 139
67 142
68 146
69 150
70 154
71 159
72 164

4.1.2.- Variables

  • La variable idependiente será la estatura \(height\).

  • La variable dependiente será el peso \(weight\).

4.1.3.- Gráfico de dispersión

ggplot(data = datos, aes(x=estatura, y=peso))   +
  geom_point(colour='blue') +
  xlab("Estaturas") + 
  ylab("Pesos") + 
  ggtitle("Dispersión de los promedios de alturas y pesos de mujeres Americanas")

Se observa una relación absolutamente lineal, se visualiza el histograma para asegurarse de que las variables se comportan bajo una distribución normal además de no tener datos atípicos por lo que determinar el coeficiente de Pearson es adecuado.

4.1.4.- Coeficiente de correlación de Pearson

correla <- cor(datos$estatura, datos$peso)
correla
## [1] 0.9954948
chart.Correlation(R = datos, histogram = T, pch = 19)

Se observa una correlación positiva muy fuerte casi perfecta en los datos.

4.1.5.- Modelo de regresión lineal simple

Se construye el modelo con la fórmula peso en función de la estatura de acuerdo a los datos.

modelo <- lm(data = datos, formula = peso~estatura)
sm <- summary(modelo)
sm
## 
## Call:
## lm(formula = peso ~ estatura, data = datos)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -1.7333 -1.1333 -0.3833  0.7417  3.1167 
## 
## Coefficients:
##              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) -87.51667    5.93694  -14.74 1.71e-09 ***
## estatura      3.45000    0.09114   37.85 1.09e-14 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 1.525 on 13 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.991,  Adjusted R-squared:  0.9903 
## F-statistic:  1433 on 1 and 13 DF,  p-value: 1.091e-14

4.1.6.- Coeficientes a y b

Coeficiente del modelo de regresión lineal simple \(a\) y \(b\)

a <- modelo$coefficients[1]
b <- modelo$coefficients[2]

La ecuación de mínimos cuadrados es de la siguiente manera:

\[Y = a + bx_i\]

4.1.7.- Linea de tendencia

ggplot(data = datos, aes(x=estatura, y=peso))   +
  geom_point(colour='blue') +
  geom_line(aes(x = estatura, y = modelo$fitted.values), color = "red") +
  xlab("Estaturas") + 
  ylab("Pesos") + 
  ggtitle("Linea de tendencia sobre datos")

¿Cuál debiera ser el peso de una persona que mide aproximadamente 60 70 u 80 pulgadas?

nuevas.estaturas <- c(60, 70, 80)
Y = a + b * nuevas.estaturas
Y
## [1] 119.4833 153.9833 188.4833

o se puede predecir mediante la función predict()

predict(object = modelo, newdata = data.frame(estatura = nuevas.estaturas))
##        1        2        3 
## 119.4833 153.9833 188.4833
# predict(object = modelo, newdata = data.frame(estatura = estaturas))

4.1.8.- Interpretación

¿Cuál es el valor de R_Squared y que significa?. 0.991 significa que el peso de las personas es representado en un 99.1% por la estatura de las mismas.

  • En este caso se puede ejemplificar la regresión lineal simple, esta nos ayuda a predecir el comportamiento de una variable que depende de otra; para esta predicción se nececita de dos variables: una independiente y otra que dependa de la primera, esta última es muy importante, ya que si se modifican el valor de la primera la dependiente cambiará su comportamiento (como se puede observar en este caso con las estaturas y los pesos). Ambas variables cuentan con el coeficiente de correlación, el cual es necesario para saber como se comportarán ambas variables, en el caso recién visto el coeficiente de correlación es muy bueno, ya que si una aumenta, la otra también aumentará. Aparte se cuenta con los coeficientes \(a\) y \(b\), los cuales son elementos importantes de la fórmula.

Referencias bibliográficas

Amat Rodrigo, Joaquín. 2016. “Correlación Lineal y Regresión Lineal Simple.” https://www.cienciadedatos.net/documentos/24_correlacion_y_regresion_lineal. Anderson, David R., Dennis J. Sweeney, and Thomas A. Williams. 2008. Estadística Para Administración y Economía. 10th ed. Australia Brasil Corea España Estados Unidos Japón México Reino Unido Singapur: Cengage Learning,. Hernández Sampieri, Roberto, Carlos Fernández Collado, and María del Pilar Baptista Lucio. 2014. Metodología de La Investigación. Sexta. Lind, Douglas, William Marchal, and Samuel Wathen. 2015. Estadística Aplicada a Los Negocios y La Economía. Decimo Sexta. México, D.F.: McGraw-Hill. Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers, and Sharon L. Myers. 2012. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Novena Edición. México: Pearson.