hllinas2023

1 Paquetes utilizados

En estas notas de clase utilizaremos, de manera especial, los siguientes paquetes:

  • glsm: paquete de autoría propia (Llinás H, Villalba J, Borja J, Tilano J (2025)) que permite calcular de forma sencilla y precisa el log-verosímil del modelo saturado cuando la variable respuesta Y es multinomial (tiene más de dos niveles). Además, incluye conjuntos de datos de ejemplo útiles para ilustrar su aplicación.

  • tidyverse: una colección de paquetes útiles para la manipulación y visualización de datos (dplyr, ggplot2, tibble, entre otros), que permite mantener una sintaxis coherente y eficiente a lo largo del análisis.

library(glsm)      #Regresión logística (caso multinomial)
library(tidyverse) #Incluye a dplyr y ggplot2
library(plotly)
library(plyr)
library(jmv)       #Análisis descriptivos

2 Otros paquetes R para modelado multinomial

Existe una amplia gama de paquetes R disponibles para el modelado multinomial, algunos de los cuales incluso permiten la incorporación de efectos aleatorios (este tema de los efectos aleatorios no se explicará en este documento). En este documento, utilizaremos algunos de ellos para algunos cálculos.

2.0.1 Efectos fijos

Los siguientes paquetes se utilizan con frecuencia y se citan para situaciones en las que solo se utilizan efectos fijos:

  1. La función multinom en la librería nnet (Venables & Ripley 2002). Es el paquete de mayor uso y se basa en redes neuronales.

  2. La función vglm en la librería VGAM (Yee 2021). Se basa en modelos con vectores generalizados aditivos, con una amplia gama de distribuciones para la variable de respuesta.

  3. La función polr en la librería MASS (Venables & Ripley 2002). También es útil para Variables de respuesta categórica ordenadas.

  4. LA función glmnet en la librería glmnet (Friedman et al. 2010). Utiliza métodos de contracción donde las estimaciones de coeficientes se pueden reducir a cero durante el procesoel modelo adecuado.

2.0.2 Efectos fijos y aleatorios

Curiosamente, un número creciente de paquetes también se ajusta a modelos multinomiales tanto con efectos como efectos aleatorios (modelos multinomiales de efectos mixtos), por ejemplo:

  1. La función bayesx en la librería R2BayesX (Belitz et al. 2017, Umlauf et al. 2015), utiliza un enfoque bayesiano para la estimación de parámetros.

  2. La función npmlt en la librería mixcat (Papageorgiou y Hinde 2012).

  3. La función clmm en la librería ordinal (Christensen 2018), para categorías ordenadas de la variable de respuesta.

2.0.3 Sobre el paquete glsm

  • El paquete glsm, desarrollado por Llinás H, Villalba J, Borja J, Tilano J (2025), es una contribución propia que puede descargarse desde el repositorio oficial de CRAN. Su propósito principal es facilitar la estimación del log-verosimilitud del modelo saturado, herramienta clave en la evaluación comparativa de modelos logísticos.

  • Cuando la variable de respuesta \(Y\) es multinomial (tiene más de dos niveles), la función glsm() calcula automáticamente el valor del log-verosímil del modelo saturado. Este valor permite comparar otros modelos y evaluar su bondad de ajuste relativa.

  • El paquete glsm no solo incluye funciones especializadas, sino también un conjunto de dato integrado que permiten realizar pruebas y ejemplos de manera práctica: hsbdemo.

  • Más detalles sobre este paquete se describen en siguientes documentos:

3 Introducción

Los métodos de regresión se han convertido en una herramienta fundamental dentro del análisis de datos, ya que permiten describir la relación entre una variable de respuesta y una o más variables explicativas. Con frecuencia, la variable de respuesta es discreta, asumiendo dos o más categorías posibles.

En estos casos, el modelo de regresión logística es uno de los más utilizados, especialmente cuando el interés es analizar la probabilidad de ocurrencia de cada categoría de la variable dependiente.

En el documento Rpubs :: Modelos lineales generalizados se explicó que la regresión logística forma parte de los Modelos Lineales Generalizados (GLM), y en Rpubs :: Regresión Logística binaria se abordó el caso binario.

En este documento se estudiará el caso multinomial, en el cual la variable de respuesta puede asumir tres o más categorías. Para comprender en profundidad estos modelos, resulta esencial revisar cuatro casos particulares que sirven como base conceptual:

  • Modelo de Bernoulli.

  • Modelo completo.

  • Modelo nulo.

  • Modelo saturado.

En el documento Rpbus :: Modelos completo, nulo y saturado se describieron sus propiedades, con los ejemplos correspondientes. En este documento, se utilizarán las notaciones utilizados allá, así como los resultados encontrados en los ejemplos aplicados en esos documentos. A pesar de ello, se hará una breve descripción del modelo saturado, el cual será base para la teoría que se explicará posteriormente.

4 Datasets

Para las aplicaciones, se utilizará la base datos hbsdemo de la librería glsm Llinás H, Villalba J, Borja J, Tilano J (2025).

datos <- glsm::hsbdemo
names(datos)
##  [1] "Student" "id"      "gender"  "ses"     "schtyp"  "prog"    "read"   
##  [8] "write"   "math"    "science" "socst"   "honors"  "awards"  "cid"    
## [15] "prog0"   "prog1"   "prog2"

El conjunto de datos contiene variables sobre 200 estudiantes. Los estudiantes que ingresan a la escuela secundaria hacen la elección de un programa (prog) de tres posibles: general (general), vocacional (vocation) y académico (academic). Su elección puede ser modelada usando algunas variables predictoras. A continuación, se describen las variables:

  1. Student y ID, el estudiante y su código de identificación.

  2. gender, el género del estudiante: female, male.

  3. ses, el estrato socioeconómico: low, middle, high.

  4. schtype, el tipo de escuela: private, public.

  5. prog, el tipo de programa elegido por el estudiante: general, vocaction y académic, la cual será nuestra variable de respuesta.

  6. read, write, math, science y socst son variables continuas que representan los puntajes en lectura, escritura, matemática, ciencia y sociales, respectivamente.

  7. Honors, estado de honores: enrolled, not enrolled.

  8. awards, número de premios recibidos: de 0 a 9.

  9. cid, puntaje no especificado: de 0 a 20.

  10. prog0, variable binaria: 1=si prog=general, 0= de otro modo.

  11. prog1, variable binaria: 1=si prog=vocation, 0= de otro modo.

  12. prog2, variable binaria: 1=si prog=academic, 0= de otro modo.

Las primeras 10 observaciones son:

Student id gender ses schtyp prog read write math science socst honors awards cid prog0 prog1 prog2
1 45 female low public vocation 34 35 41 29 26 not enrolled 0 1 0 1 0
2 108 male middle public general 34 33 41 36 36 not enrolled 0 1 1 0 0
3 15 male high public vocation 39 39 44 26 42 not enrolled 0 1 0 1 0
4 67 male low public vocation 37 37 42 33 32 not enrolled 0 1 0 1 0
5 153 male middle public vocation 39 31 40 39 51 not enrolled 0 1 0 1 0
6 51 female high public general 42 36 42 31 39 not enrolled 0 1 1 0 0
7 164 male middle public vocation 31 36 46 39 46 not enrolled 0 1 0 1 0
8 133 male middle public vocation 50 31 40 34 31 not enrolled 0 1 0 1 0
9 2 female middle public vocation 39 41 33 42 41 not enrolled 0 1 0 1 0
10 53 male middle public vocation 34 37 46 39 31 not enrolled 0 1 0 1 0

5 Diferentes métodos de análisis

Considerando un datasets como el descrito anteriormente (u otro más complejo), se podrían intentar aplicar cualquiera de los siguientes métodos que se indican a continuación:

  1. Regresión logística multinomial, el objetivo principal de este documento.

  2. Regresión probit multinomial, el cual es muy similar a la regresión logística multinomial, pero con términos de error normal independientes.

  3. Análisis de función discriminante con múltiples grupos. Un método multivariado para variables de respuestas multinomiales.

  4. Análisis de regresión logística múltiple, uno para cada par de respuestas. Un problema con esta metodología es que cada análisis se ejecuta potencialmente en una muestra diferente. El otro problema es que, sin restringir los modelos logísticos, podríamos estimar la probabilidad de elegir todas las categorías de respuestas posibles mayor que 1.

  5. Reducir el número de categorías a dos y luego hacer una regresión logística. Esta propuesta tiene pérdida de información y, en general, se está cambiando las preguntas de investigación originales por otras muy diferentes.

  6. Regresión logística ordinal. Si la variable de respuesta tiene niveles ordenados y si también satisface el supuesto de probabilidades proporcionales, la aplicación de este método hará que el modelo sea más parsimonioso, es decir, se pueden encontrar un modelo con pocas variables y sin pérdida de información significativa.

  7. La regresión probit multinomial de alternativa específica. Permite diferentes estructuras de error, por lo tanto, permite relajar el supuesto de Independencia de Alternativas Irrevelantes (en inglés: Independence of Irrelevant Alternatives, IIA). Esto requiere que la estructura de datos sea específica para cada elección.

  8. El modelo logit anidado, que es otra forma de relajar el supuesto de IIA. También requiere que la estructura de datos sea específica de la elección.

6 Modelo saturado

6.0.1 Supuesto 1

El modelo saturado está caracterizado por dos supuestos.

Hypothesis 6.1 (Supuesto 1 en el modelo saturado) Se supone que:

  1. Se tienen \(K\) variables explicativas \(X_1, \cdots, X_K\) (algunas pueden ser numéricas y otras categóricas) con valores \(x_{i1}, \cdots, x_{iK}\) para \(i=1, \cdots, n\) (fijadas u observadas por el estadístico, según sean variables determiní}sticas o aleatorias).

  2. Entre las \(n\) kuplas \((x_{i1}, \cdots, x_{iK})\) de los valores de la variable explicativa \(X\) haya \(J\) kuplas diferentes, definiendo las \(J\) poblaciones. Por tanto, \(J \le n\).

Remark. Para cada población \(j=1, \cdots ,J\) se denota:

  • El número de observaciones \(Y_{ij}\) (o de observaciones \(U_{rij}\) en la categoría \(r\)) en cada población \(j\) por \(n_j\), siendo \(n_1+\cdots +n_J=n\);

  • Para cada \(r=0,1,2\) fijo, la suma de las \(n_j\) observaciones \(U_{rij}\) en \(j\) por

\[Z_{rj}:=\sum\limits_{i=1}^{n_j}U_{rij} \quad \mbox{con valor}\quad z_{rj}=\sum\limits_{i=1}^{n_j} u_{rij},\quad \mbox{siendo}\quad \sum\limits^J_{j=1}z_{rj}= \sum\limits^n_{i=1} u_{ri}\]

6.0.2 Ejemplo 1: tabla para el modelo saturado

En la Tabla 6.1 se ilustra hipotéticamente un conjunto de datos con \(J=2\) poblaciones.

Table 6.1: Ilustración de un conjunto de datos agrupado en \(J=2\) poblaciones
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
\(Y\) \(X_1\) \(X_2\) \(X_3\) \(X_4\) \(X_5\) \(U_0\) \(U_1\) \(U_2\) \(j\) \(n_j\) \(Z_1j\) \(Z_2j\) \(Z_3j\)
Población: Bajo, 80, Si, 170, Estrato 1
1 Bajo 80 Si 170 Estrato 1 0 1 0 \(j=1\) \(n_1=7\) \(Z_1=2\) \(Z_2=2\) \(Z_1=3\)
0 Bajo 80 Si 170 Estrato 1 1 0 0
2 Bajo 80 Si 170 Estrato 1 0 0 1
0 Bajo 80 Si 170 Estrato 1 1 0 0
2 Bajo 80 Si 170 Estrato 1 0 0 1
1 Bajo 80 Si 170 Estrato 1 0 1 0
2 Bajo 80 Si 170 Estrato 1 0 0 1
Población: Alto, 100, No, 180, Estrato 2
1 Alto 100 No 180 Estrato 2 0 1 0 \(j=2\) \(n_2=5\) \(Z_2=1\) \(Z_2=3\) \(Z_2=1\)
2 Alto 100 No 180 Estrato 2 0 0 1
0 Alto 100 No 180 Estrato 2 1 0 0
1 Alto 100 No 180 Estrato 2 0 1 0
1 Alto 100 No 180 Estrato 2 0 1 0
General. \(Y\) es la variable de respuesta; \(X_1, \cdots, X_5\) son las variables explicativas; \(U_r\) son las variables de respuestas dicotomizadas; \(j\) es la población; \(n_j\) es el tamaño de la población \(j\); \(Z_{rj}\) es el número de éxitos en la población \(j\), ubicado en el nivel \(r\).

6.0.3 Supuesto 2

Hypothesis 6.2 (Supuesto 2 en el modelo saturado) Para mayor simplicidad en la escritura, se abreviará la j-ésima población \((x_{j1}, \cdots ,x_{jK})\) por el símbolo \(\star\). Para cada \(r=0,1,2\) fijo, cada población \(j=1, \cdots ,J\) y cada observación \(i=1,\cdots,n\) en \(j\), se supone que:

  1. \((U_{rij}|\star)\) es de Bernoulli. Es decir,

\[(U_{rij}|\star) \sim {\cal B}(1,p_{rj})\]

  1. Las variables \((U_{rij}|\star)\) son independientes entre sí.

  2. La esperanza y la varianza son, respectivamente,

\[p_{rj}=P(U_{rij}=1|\star)=E(U_{rij}|\star), \qquad V(U_{rij}|\star)=p_{rj}(1-p_{rj})\]

6.0.4 Implicaciones del supuesto 2

A continuación, se oprimirá el símbolo \(\star\).

Remark. El supuesto 2 implica:

  1. Para cada \(r=0,1,2\) y cada poblaci'on \(j=1, \cdots ,J\), todos los \(p_{rij}\), \(i=1, \cdots ,n\) dentro de cada población \(j\) son iguales. Es decir, se tiene como parámetro el vector \(2J\)-dimensional:

\[p=(p_{01}, p_{11}, \ldots ,p_{0J},p_{1J})^T\]

  1. Para cada \(r=0,1,2\) y cada población \(j=1, \cdots ,J\):

    • La variable \(Z_{rj}\) es binomial. Es decir,

    \[Z_{rj}\sim{\cal B}(n_j,p_{rj})\]

    • Las variables \(Z_{rj}\) son independientes entre las poblaciones.

6.0.5 Log L y estimaciones

Theorem 6.1 (Log-verosimilitud en el modelo saturado) En el modelo saturado, el logaritmo de la función de máxima verosimilitud será

\[\begin{eqnarray} {\cal L}(p) &= & \sum^J_{j=1}\left[z_{0j}\ln p_{0j} \;+\; z_{1j}\ln p_{1j} \;+\; (n_j- z_{0j}-z_{1j})\ln (1-p_{0j}-p_{1j})\right] \tag{6.1} \end{eqnarray}\]

Theorem 6.2 (Estimaciones en el modelo saturado) En el modelo saturado, las ML-estimaciones de \(p_{rj}\) son \(\tilde{p}_{rj}=\frac{Z_{rj}}{n_j}\), con valores \(\tilde{p}_{rj}=\frac{z_{rj}}{n_j}\),\(j=1,\cdots ,J\). Además,

\[\begin{eqnarray} {\cal L}(\widetilde{p}) &=& \sum^J_{j=1} n_j[\tilde{p}_{0j}\ln \tilde{p}_{0j} \;+\; \tilde{p}_{1j}\ln \tilde{p}_{1j} \; + \;(1-\tilde{p}_{0j}-\tilde{p}_{1j})\ln(1-\tilde{p}_{0j}-\tilde{p}_{1j})] \end{eqnarray}\]

También se cumple que

\[{\cal L}(\widetilde{p})<0\quad \mbox{para}\quad 0< \tilde{p}_j <1\]

6.0.6 Ejemplo 2: estimaciones en el modelo saturado

Example 6.1 Para los datos del archivo hsbdemo, en el modelo saturado, hay \(J=6\) poblaciones y se cumple que \({\cal L}(\tilde{p})=-194.5159\).

En R (manual).

En R, se puede verificar así (los valores obtenidos se pueden ver en la Tabla 6.2):

datos <- glsm::hsbdemo

datos %>%
  dplyr::group_by(gender,ses) %>%
  dplyr::summarise(nj = n(),
            z0j = sum(prog0),
            z1j = sum(prog1),
            z2j = sum(prog2)) %>%
  dplyr::mutate(p0j = round(z0j/nj,4),
         p1j = round(z1j/nj,4),
         p2j = round(z2j/nj,4),
         LogL_ref2 = ifelse(z0j==0 | z0j== nj| z1j==0 | z1j==nj |z0j+z1j==0 | z0j+z1j==nj, 0,
                     z0j*log(p0j)+z1j*log(p1j)+(nj-z0j-z1j)*log(1-p0j-p1j)),
         LogL_ref2 = round(LogL_ref2, 4)) -> saturado
        
LogL_saturado <- sum(saturado$LogL_ref2)
## [1] -194.5159
Table 6.2: Estimación en el modelo saturado: \({\cal L}(\tilde{p})= \sum\limits_{j=1}^J {\cal L}_j(\tilde{p}) =-194.5159\)
gender ses \(n_j\) \(z_{0j}\) \(z_{1j}\) \(z_{2j}\) \(p_{0j}\) \(p_{1j}\) \(p_{2j}\) \({\cal L}_j(\tilde{p})\)
female high 29 5 3 21 0.1724 0.1034 0.7241 -22.3736
female low 32 9 8 15 0.2812 0.2500 0.4688 -33.8722
female middle 48 10 16 22 0.2083 0.3333 0.4583 -50.4274
: : :
male high 29 4 4 21 0.1379 0.1379 0.7241 -22.6263
male low 15 7 4 4 0.4667 0.2667 0.2667 -15.9090
male middle 47 10 15 22 0.2128 0.3191 0.4681 -49.3074

Con el paquete glsm :: glsm.

El paquete glsm permite calcular directamente los valores de:

  • \(J\): número de poblaciones únicas (combinaciones de predictores) en el modelo saturado.
  • \(\mathcal{L}(\tilde{p})\): log-verosimilitud del modelo saturado, es decir, el valor máximo que puede alcanzar la log-verosimilitud cuando el modelo reproduce exactamente cada observación.

Podemos obtener ambos valores (o visualizar la tabla completa) podemos proceder de la siguiente manera:

datos  <- glsm::hsbdemo
modelo <- glsm(prog ~ gender + ses, data = datos, ref = "academic")

modelo                                             # Opción 1
cbind(modelo$Populations, modelo$Log_Lik_Saturate) # Opción 2
modelo$Esm                                         # Opción 3

Con glsm :: glsm: resultado con la opción 1.

En la salida del modelo, los valores de \(J\) y \(\mathcal{L}(\tilde{p})\) aparecen como Populations in Saturate Model (parte superior) y Saturate (en el bloque de log-likelihood):

## 
## Call:
## glsm(formula = prog ~ gender + ses, data = datos, ref = "academic")
## 
## Populations in Saturated Model: 6
## 
## Coefficients: 
##                         Coef(B) Std.Error    Exp(B)
## (Intercept):general  -1.6547758 0.4175354 0.1911349
## (Intercept):vocation -1.8469099 0.4478055 0.1577238
## gendermale:general    0.2216624 0.3716764 1.2481500
## gendermale:vocation   0.1098969 0.3599743 1.1161630
## seslow:general        1.4118732 0.5064763 4.1036349
## seslow:vocation       1.3534875 0.5548849 3.8709018
## sesmiddle:general     0.7550865 0.4561360 2.1277956
## sesmiddle:vocation    1.4430949 0.4709456 4.2337787
## 
## Log Likelihood: 
##          Estimation
## Complete     0.0000
## Null      -204.0967
## Logit     -195.5208
## Saturate  -194.5159

Con glsm :: glsm: resultado con la opción 2.

Ambos valores también pueden extraerse directamente desde el objeto del modelo (usando modelo$Populations y modelo$Log_Lik_Saturate):

## Número de poblaciones (J): 6
## Log-verosimilitud del modelo saturado (LogL): -194.5159

El valor \(\mathcal{L}(\tilde{p})\) sirve como referencia superior para evaluar la calidad del ajuste de otros modelos (por ejemplo, el nulo o el logístico): cualquier modelo ajustado tendrá una log-verosimilitud menor o igual a la del modelo saturado.

Con glsm :: glsm: resultado con la opción 3.

gender ses n z_academic_j z_general_j z_vocation_j p_academic_j_tilde p_general_j_tilde p_vocation_j_tilde Lp
female high 29 21 5 3 0.7241379 0.1724138 0.1034483 -22.37358
female low 32 15 9 8 0.4687500 0.2812500 0.2500000 -33.87224
female middle 48 22 10 16 0.4583333 0.2083333 0.3333333 -50.42744
male high 29 21 4 4 0.7241379 0.1379310 0.1379310 -22.62625
male low 15 4 7 4 0.2666667 0.4666667 0.2666667 -15.90903
male middle 47 22 10 15 0.4680851 0.2127660 0.3191489 -49.30740

7 Modelo logístico

7.0.1 Recordatorio: Rango y rango completo de una matriz

Definición

El rango de una matriz es el número máximo de columnas (o filas) linealmente independientes. En otras palabras, mide cuánta información nueva aportan las columnas de la matriz entre sí.

Una matriz tiene rango completo cuando su rango es igual al número de columnas (o al número de filas, si la matriz tiene más columnas que filas). Esto significa que no hay colinealidad exacta entre las columnas.

Ejemplo 3: Matriz con rango completo

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix} \]

Las columnas de \(A\) no son múltiplos una de la otra. Por tanto, \(Rg(A) = 2\) y la matriz tiene rango completo. En este caso, como es una matriz cuadrada, también será invertible.

Ejemplo 4: Matriz con columnas linealmente dependientes

\[ B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \\ \end{pmatrix} \]

Aquí, la segunda columna es el doble de la primera, es decir, hay colinealidad. Entonces \(Rg(B) = 1\), y no tiene rango completo.

7.0.2 Supuestos

Hypothesis 7.1 (Supuesto 3: matriz de diseño) Se hacen los supuestos 1 y 2 del modelo saturado (véase las hipótesis 6.1 y 6.2), donde adicionalmente se supone que la matriz de diseño

\[C=\left(\begin{array}{cccc} 1 & x_{11} &\cdots &x_{1K}\\ 1 & x_{21} &\cdots &x_{2K}\\ \vdots &\vdots & &\vdots\\ 1 &x_{J1} &\cdots &x_{JK}\\ \end{array}\right)\]

tiene rango completo \(Rg(C)=1+K\leq J\). Esto significa que todas las columnas de la matriz \(C\) son linealmente independientes, es decir:

  • No hay redundancia entre las variables (por ejemplo, una covariable no puede ser combinación exacta de otras).

  • El modelo puede estimar todos los parámetros asociados a las covariables sin problemas de colinealidad.

  • El número de combinaciones observadas \(J\) debe ser mayor o igual al número de parámetros a estimar \((1 + K)\), para que haya información suficiente.

En la práctica:

Para poder ajustar el modelo logístico sin problemas, debe cumplirse que el número total de combinaciones observadas sea al menos igual al número de parámetros a estimar. Si no se cumple, el sistema de ecuaciones para los parámetros no tiene solución única y el modelo fallará.

7.0.3 El modelo

Hypothesis 7.2 (Supuesto 4: modelo logístico) Para llegar a un modelo logístico se toma como referencia una de las categorías de la variable dependiente \(Y\), digamos 2, y se hace el supuesto adicional:

\[\begin{eqnarray} \mbox{Logit}(p_{0j}) &:=& \ln\left(\frac{p_{0j}}{p_{2j}}\right)= \delta_0 + \beta_{01} x_{j1} + \cdots + \beta_{0K} x_{jK} \\ \mbox{Logit}(p_{1j}) &:=& \ln\left(\frac{p_{1j}}{p_{2j}}\right)= \delta_1 + \beta_{11} x_{j1} + \cdots + \beta_{1K} x_{jK} \tag{7.1} \end{eqnarray}\]

Remark. Tenemos que:

  1. El vector de los \(2(1+K)\) parámetros en el modelo es:

\[\alpha = (\beta_0,\beta_1)^T= (\delta_0,\beta_{01},\cdots,\beta_{0K}, \delta_1,\beta_{11},\cdots,\beta_{1K})^T\]

  1. Nótese que el supuesto sobre \(Rg( C)=1+K\), hace identificable al parámetro \(\alpha\). Esto quiere decir que el parámetro \(\alpha\) se puede estimar de manera única a partir de los datos.

8 Riesgo

Definition 8.1 (Riesgo) En la práctica, la probabilidad \(p_{rj}\) es conocida como riesgo.

Theorem 8.1 (Fórmula para el riesgo) Sea \(g_{rj}:=\delta_r \;+\; \beta_{r1}\,x_{j1} \;+\;\cdots \;+\; \beta_{rK} \,x_{jK}\). Entonces, la probabilidad

\[p_{rj}=P(Y_j=r|x_{j1}, \cdots, x_{jK})\]

de obtener el valor \(r\) en la población \(j=1, \ldots, J\), dado los valores \(x_{j1}, \cdots, x_{jK}\), viene dada por:

\[\begin{equation} p_{rj} \;= \; \frac{e^{g_{rj}}}{1 + e^{g_{0j}} + e^{g_{1j}}} \tag{8.1} \end{equation}\]

9 La función Log L en el modelo logístico

Theorem 9.1 (Log de la función de verosimilitud en el modelo logístico) Sea \(g_{rj}:=\delta_r \;+\; \beta_{r1}\,x_{j1} \;+\;\cdots \;+\; \beta_{rK} \,x_{jK}\). Entonces, el logaritmo de la función de verosimilitud se puede escribir, en función de \(\alpha\), como:

\[\begin{eqnarray} {\cal L}({\alpha}) &=& \sum\limits_{j=1}^J\left[z_{0j}g_{0j} + (n_j-z_{0j}-z_{1j})g_{1j} - n_j\ln\left(1 + e^{g_{0j}} + e^{g_{1j}} \right)\right] \tag{9.1} \end{eqnarray}\]

10 Método de estimación

El método que se propone para calcular las ML-estimaciones en un modelo logístico es el método iterativo de Newton-Raphson. Generalmente, el método requiere:

  1. Una estimación inicial para el valor que maximiza la función.

  2. La función es aproximada en una vecindad de aquella estimación por un polinomio de segundo grado.

  3. Entonces,la siguiente estimación se calcula como el máximo de dicho polinomio.

  4. Luego, se repite el proceso, usando esta estimación como la estimación inicial.

  5. De esta manera, el método genera una sucesión de estimaciones. Estas estimaciones convergen a la localización del máximo cuando la función es adecuada y/o la estimación inicial es buena.

Para más detalles, ver el teorema 5.1 en LLinás, Arteta y Tilano (2016) o el teorema 6 en Orozco, Llinás y Fonseca (2020). El paquete glsm (Llinás H, Villalba J, Borja J, Tilano J (2025)) calcula estas estimaciones.

11 Casos agrupado y no agrupado

  1. Cuando se trabaja con el modelo saturado, se tiene el caso de utilizar datos agrupados.

  2. Cuando se tiene el caso especial \(n_j=1\), para todo \(j\) (lo que implica que \(J=n\)) se habla de datos no agrupados.

  3. La distinción entre datos agrupados y no agrupados es importante por dos razones:

  1. Algunos métodos de análisis apropiados a datos agrupados no son aplicables a datos no agrupados.

  2. Las aproximaciones asintóticas pueden estar basados en uno de estos dos casos distintos:

  1. \(n\to\infty\).

  2. \(J\to\infty\), caso que es únicamente es apropiado para datos no agrupados.

  1. En la práctica:

  1. Cuando se tienen datos agrupados es importante tener en cuenta que \(J\) debe ser fijo. Por esta razón, debe tomarse como base el modelo saturado. Es decir, se empieza el análisis usando los vectores \(Z_{rj}\), \(j=1,\cdots,J\), \(r=0, 1,\ldots, R-1\).

  2. Si \(J\to\infty\) (por ejemplo, si \(J=n\)), entonces, en el modelo saturado no se puede considerar a \(J\) como fijo. Obsérvese que esta situación se presenta cuando se tienen datos no agrupados. En este caso, no se puede tomar como base el modelo saturado. Ahora se empezaría el análisis utilizando, de una vez, las observaciones \(Y_i\), \(i=1,\cdots, n\).

12 Ejemplo 5: Enunciado

Considere los datos del archivo hsbdemo. Suponga que se quiere analizar un modelo de regresión logística, considerando a prog como variable dependiente y ses y write como independientes. Tome como referencia al valor prog=academic.

  1. Escriba, matemáticamente, el vector de parámetros logísticos y el de sus estimadores.

  2. Escriba, matemáticamente, La probabilidad estimada de que un individuo tenga enfermedades coronarias (chd=1), cuando tiene una edad determinada (digamos, age\(=x_j\)).

  3. Escriba, matemáticamente, el modelo logístico estimado.

  4. Obtenga las estimaciones \(\hat{\delta}\) y \(\hat{\beta}\) de los parámetros logísticos \(\delta\) y \(\beta\) utilizando las funciones:

  • summary :: multinom :: nnet.

  • summary :: vglm :: VGAM.

  • summary :: glsm :: glsm.

  1. Utilizando las estimaciones halladas en los incisos (d), escriba en el modelo correspondiente .

  2. Haga la gráfica del riesgo versus write, cuando ses=low. ¿Es directa o indirecta esta relación? Utilize las funciones:

  • multinom :: nnet.

  • glsm :: glsm.

  1. Halle las razones odds correspondientes. Utilize las funciones:

  • multinom :: nnet.

  • glsm :: glsm.

  1. Calcular las probabilidades predichas para cada uno de los niveles de la variable de respuesta. Utilize las funciones:

  • multinom :: nnet.

  • glsm :: glsm.

  1. Mantener fija la variable write=35 y examinar las probabilidades predichas para cada nivel de ses. Utilize las funciones:

  • multinom :: nnet.

  • glsm :: glsm.

  1. Mantener fija la variable write en su media y examinar las probabilidades predichas para cada nivel de ses. Utilize las funciones:

  • multinom :: nnet.

  • glsm :: glsm.

  1. Examinar los cambios en la probabilidad predicha asociados con cada nivel de ses, manteniendo write fija en su media. Utilize las funciones:

  • multinom :: nnet.

  • glsm :: glsm.

  1. Examinar las probabilidades predichas promediadas para diferentes valores de la variable predictora continua write dentro de cada nivel de ses. Utilize las funciones:

  • multinom :: nnet.

  • glsm :: glsm.

  1. Usar las predicciones que se generó en el inciso anterior y grafique las probabilidades predichas contra la puntuación de write, para cada nivel de ses y para diferentes niveles de la variable de respuesta. Utilize las funciones:

  • multinom :: nnet.

  • glsm :: glsm.

  1. Halle los errores estándares estimados de los estimadores de los parámetros logísticos, utilizando las funciones:

  • multinom :: nnet.

  • vglm :: VGAM.

  • glsm :: glsm.

  1. Calcule \({\cal L}(\hat{\alpha})\), la estimación del logaritmo de la función de máxima verosimilitud en el modelo logístico. Utilize las funciones:

  • multinom :: nnet.

  • vglm :: VGAM.

  • glsm :: glsm.

13 Ejemplo 5: Solución

13.0.1 Solución inciso (a)

Los vector de parámetros y de sus estimadores son, respectivamente,

\[\alpha =(\delta_0,\beta_{01}, \beta_{02}, \delta_1,\beta_{11}, \beta_{12})^T, \qquad \hat{\alpha} =\left(\hat{\delta}_0, \hat{\beta}_{01}, \hat{\beta}_{02}, \hat{\delta}_1, \hat{\beta}_{11}, \hat{\beta}_{12}\right)^T\]

Aquí, \(T\) indica la transpuesta del vector.

13.0.2 Solución inciso (b)

La probabilidad estimada de que un estudiante elija el programa \(r=0,1,2\), cuando tiene un estrato socioeconómico determinado (digamos, age\(=x_j\)), se puede escribir así:

\[\hat{p}_{rj} = \hat{P}(\mbox{prog}=r \,|\, \mbox{ses}=s_j, \, \mbox{write}=w_j )\]

13.0.3 Solución inciso (c)

Sea

\[\hat{g}_{rj}:=\hat{\delta}_r + \hat{\beta}_{r1} s_j+ \hat{\beta}_{r2} w_j\]

donde \(s_j\) es un posible valor de la variable ses y \(w_j\) es un posible valor de la variable write. Sabiendo que \(\hat{p}_{rj}\) es como en el inciso anterior, el modelo estimado se puede escribir teniendo en cuenta la ecuación (7.1) o la (8.1):

\[\mbox{Logit}(\hat{p}_{rj}):= \ln\left(\frac{\hat{p}_{rj}}{\hat{p}_{2j}}\right) = \hat{g}_{rj}, \qquad \qquad \hat{p}_{rj} \;= \; \frac{e^{\hat{g}_{rj}}} {1 + e^{\hat{g}_{0j}}+ e^{\hat{g}_{1j}}} \]

13.0.4 Solución inciso (d)

Con la función summary :: multinom :: nnet

En R, las estimaciones de los parámetros logísticos \(\delta_r\) y \(\beta_r\) se pueden obtener con la función multinom() del paquete nnet. En la salida de summary(), que se muestra en la figura 13.1, solo debe tenerse en cuenta los resultados que se indican en el recuadro rojo. Primero, debemos elegir el nivel de referencia de nuestra variable de respuesta especificándolo con la función relevel. Es importante recalcar que se ha tomado como referencia a prog=academic:

library(nnet)
prog <- relevel(as.factor(prog), ref = "academic")

modelo <- multinom(prog ~ ses + write, data=datos)
summary(modelo)
Estimaciones de los parámetros logísticos con nnet. Fuente: Elaboración propia.

Figure 13.1: Estimaciones de los parámetros logísticos con nnet. Fuente: Elaboración propia.

Con la función summary :: vglm :: VGAM

En R, las estimaciones de los parámetros logísticos \(\delta_r\) y \(\beta_r\) también pueden obtenerse con vglm() del paquete VGAM. Antes de ajustar el modelo, es indispensable fijar el nivel de referencia de la respuesta; aquí usaremos prog = "academic". En la salida de summary(), deben interpretarse los coeficientes por categoría (en relación con la referencia) y sus errores estándar, z-values y \(p\)-valores. El enlace por defecto en multinomial() corresponde al baseline-category logit.

library(VGAM)

modelo <- vglm(prog ~ ses + write, multinomial(refLevel = 1), data=datos)
summary(modelo)
Estimaciones de los parámetrdos logísticos con nnet. Fuente: Elaboración propia.

Figure 13.2: Estimaciones de los parámetrdos logísticos con nnet. Fuente: Elaboración propia.

Con la función summary :: glsm :: glsm

Como alternativa a VGAM y nnet, el paquete glsm implementa el modelo logístico multinomial (baseline-category logit) con una interfaz orientada a docencia y reporte. Al igual que antes, se debe fijar la categoría de referencia. La función glsm() entrega un resumen con coeficientes por categoría, errores estándar, estadísticos de Wald, \(p\)-valores, y medidas de verosimilitud útiles para comparar con los modelos nulo, completo y saturado.

datos <- glsm::hsbdemo

# Ajuste (cambia 'ref' si deseas otra categoría de referencia)
modelo <- glsm(prog ~ ses + write, data = datos, ref = "academic")

# Salida 1: Resumen tabular (coeficientes, SE, Wald, p, Exp(B)):
summary(modelo)

# Salida 2:  Coeficientes en escala logit:
coef(modelo)

Salida 1:

## 
## Call:
## glsm(formula = prog ~ ses + write, data = datos, ref = "academic")
## 
## Coefficients: 
##                        Coef(B) Std.Error    Exp(B)      Wald DF   P.value    
## (Intercept):general   1.689354  1.226940  5.415982  1.895809  1 0.1685481    
## (Intercept):vocation  4.235530  1.204650 69.098279 12.362147  1 0.0004381 ***
## seslow:general        1.162832  0.514220  3.198980  5.113707  1 0.0237376 *  
## seslow:vocation       0.982670  0.595530  2.671581  2.722757  1 0.0989270 .  
## sesmiddle:general     0.629541  0.465028  1.876749  1.832691  1 0.1758101    
## sesmiddle:vocation    1.274063  0.511065  3.575351  6.214826  1 0.0126685 *  
## write:general        -0.057928  0.021411  0.943718  7.320093  1 0.0068188 ** 
## write:vocation       -0.113603  0.022219  0.892613 26.141569  1 3.173e-07 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Analysis of Deviance (Chi-squared): 
##                   Deviance  DF   P.value    
## Null vs Logit        48.23   6 1.063e-08 ***
## Logit vs Complete   359.96 392    0.8755    
## Logit vs Saturate   226.18 120 1.615e-08 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Salida 2:

##  (Intercept):general (Intercept):vocation       seslow:general 
##           1.68935423           4.23552982           1.16283199 
##      seslow:vocation    sesmiddle:general   sesmiddle:vocation 
##           0.98267029           0.62954098           1.27406340 
##        write:general       write:vocation 
##          -0.05792841          -0.11360264

13.0.5 Solución inciso (e)

Sabemos que:

\[\hat{p}_{rj} = \hat{P}(\mbox{prog}=r \,|\, \mbox{ses}=s_j, \, \mbox{write}=w_j )\]

y

\[\hat{g}_{rj}\;:=\; \hat{\delta}_r + \hat{\beta}_{r1} s_j+ \hat{\beta}_{r2} w_j \]

donde \(s_j\) es un posible valor de la variable ses y \(w_j\) es un posible valor de la variable write. Además, el modelo estimado se puede escribir teniendo en cuenta la ecuación (7.1) o la (8.1):

\[\mbox{Logit}(\hat{p}_{rj}):= \ln\left(\frac{\hat{p}_{rj}}{\hat{p}_{2j}}\right) = \hat{g}_{rj}, \qquad \qquad \hat{p}_{rj} \;= \; \frac{e^{\hat{g}_{rj}}} {1 + e^{\hat{g}_{0j}} + e^{\hat{g}_{1j}}} \]

El modelo estimado se puede escribir utilizando una de las dos expresiones anteriores. Por ejemplo, para ses=low:

\[\begin{eqnarray*} \mbox{general} &:& \hat{g}_{0j} \;=\; \hat{\delta}_0 + \hat{\beta}_{01} s_j+ \hat{\beta}_{02} w_j \;=\; 1.6895 + 1.1628 - 0.0579 \,w_j \;=\; 2.8523 - 0.0579 \,w_j\\ \mbox{vocation} &:& \hat{g}_{1j}\;:=\; \hat{\delta}_1 + \hat{\beta}_{11} s_j+ \hat{\beta}_{12} \,w_j \;=\; 4.2356 + 0.9827 - 0.1136 \,w_j \;=\; 5.2183 - 0.1136 \,w_j \end{eqnarray*}\]

Por lo tanto, las ecuaciones correspondientes son:

\[\begin{eqnarray*} \mbox{general} &:& \hat{p}_{0j} \;= \; \frac{e^{\hat{g}_{0j}}} {1 + e^{\hat{g}_{0j}}+ e^{\hat{g}_{1j}}}\\ \mbox{vocation} &:& \hat{p}_{1j} \;= \; \frac{e^{\hat{g}_{1j}}} {1 + e^{\hat{g}_{0j}} + e^{\hat{g}_{1j}}} \end{eqnarray*}\]

13.0.6 Solución inciso (f)

La gráfica correspondiente se muestra en la figura 13.3. Cuando ses=low, se observa que hay una relación indirecta entre write y prog, el riesgo de que un estudiante seleccione un programa.

Con el paquete multinom :: nnet.

library(nnet)

prog <- relevel(as.factor(prog), ref = "academic")

modelo <- multinom(prog ~ ses + write, data=datos)
s<- summary(modelo)

W <- seq(0, 100, 0.05)

g_0 <- s$coefficients[1,1] + s$coefficients[1,2] + s$coefficients[1,4]*W
g_1 <- s$coefficients[2,1] + s$coefficients[2,2] + s$coefficients[2,4]*W

p_0 <- exp(g_0)/(1 + exp(g_0) + exp(g_1))
p_1 <- exp(g_1)/(1 + exp(g_0) + exp(g_1))
p_2 <- 1- (p_0 + p_1)

ggplot() +
geom_point(mapping=aes(y=p_0, x = W, color="p_0"),size=1.5 ) +
geom_point(mapping=aes(y=p_1, x = W, color="p_1"),size=1.5) +  
geom_point(mapping=aes(y=p_2, x = W, color="p_2"),size=1.5) +

labs(x="Write", y="Probabilidad de éxito", fill= "") + 

facet_wrap(. ~ "Gráfica dentro del grupo de ses=low") +    
theme_bw(base_size = 12) +
scale_color_discrete(name = "Tipo de programa", labels = c("(a) General", "(b) Vocation", "(c) Academic"))

Con el paquete glsm :: glsm.

library(glsm)
datos <- glsm::hsbdemo
modelo <- glsm(prog ~ ses + write, data = datos, ref = "academic")

B <- as.matrix(coef(modelo))  

W <- seq(0, 100, 0.05)

g_0 <- B[1,1] + B[3,1] + B[7,1]*W
g_1 <- B[2,1] + B[4,1] + B[8,1]*W

p_0 <- exp(g_0)/(1 + exp(g_0) + exp(g_1))
p_1 <- exp(g_1)/(1 + exp(g_0) + exp(g_1))
p_2 <- 1- (p_0 + p_1)

ggplot() +
geom_point(mapping=aes(y=p_0, x = W, color="p_0"),size=1.5 ) +
geom_point(mapping=aes(y=p_1, x = W, color="p_1"),size=1.5) +  
geom_point(mapping=aes(y=p_2, x = W, color="p_2"),size=1.5) +

labs(x="Write", y="Probabilidad de éxito", fill= "") + 

facet_wrap(. ~ "Gráfica dentro del grupo de ses=low") +    
theme_bw(base_size = 12) +
scale_color_discrete(name = "Tipo de programa", labels = c("(a) General", "(b) Vocation", "(c) Academic"))
Comparación de dos Logits

Figure 13.3: Comparación de dos Logits

13.0.7 Solución inciso (g)

En R, las estimaciones de los odds se pueden obtener con las funciones multinom :: nnet, vglm :: VGAM o glsm::glsm. Simplemente debe utilizar la función exp() a los coeficientes del modelo, como se resalta en el recuadro rojo de la figura 13.4. Recuerde que, primero, debemos elegir el nivel de referencia de nuestra variable de respuesta (en nuestro caso, prog=academic y es el nivel 1 en el datasets). En nnet se especifica con la función relevel; y en VGAM, se coloca refLevel=1 dentro de la familia multinomial().

Con el paquete multinom :: nnet.

library(nnet)
prog <- relevel(as.factor(prog), ref = "academic")
modelo <- multinom(prog ~ ses + write, data=datos)

library(VGAM)
modelo <- vglm(prog ~ ses + write, multinomial(refLevel = 1), data=datos)

exp(coef(modelo))
Estimaciones de los odds. Fuente: Elaboración propia.

Figure 13.4: Estimaciones de los odds. Fuente: Elaboración propia.

Con el paquete glsm :: glsm.

library(glsm)

datos <- glsm::hsbdemo
modelo <- glsm(prog ~ ses + write, data = datos, ref = "academic")

exp(coef(modelo))     
##  (Intercept):general (Intercept):vocation       seslow:general 
##            5.4159821           69.0982789            3.1989800 
##      seslow:vocation    sesmiddle:general   sesmiddle:vocation 
##            2.6715806            1.8767489            3.5753512 
##        write:general       write:vocation 
##            0.9437175            0.8926126

Algunas interpretaciones (en el modelo del programa general relativo a académico).

  1. *ses=low. Esta es la razón del riesgo relativo comparando ses=low con ses=high para la preferencia del programa general al académico, Para low relativo a high, el riesgo relativo de preferencia de general, en vez de académico, se esperaría que aumentara en un factor de 3.199, dado que las otras variables del modelo se mantienen fijas. En otras palabras, los estudiantes con ses=low son más probables que los hombres en seleccionar programa general sobre el académico.

  2. write. Esta es la razón del riesgo relativo para una unidad de incremento en los puntajes de write para la preferencia del programa general al académico, dado que las otras variables del modelo se mantienen fijas. Si un estudiante fuera a incrementar su puntaje en escritura en una unidad, el riesgo relativo para preferir el programa general (en vez del académico), se esperaría que decreciera en un factor de 0.9437, dado que las otras variables del modelo se mantienen fijas..

13.0.8 Solución inciso (h)

Se pueden calcular las probabilidades predichas para cada uno de los niveles de la variable de respuesta.

Con el paquete multinom :: nnet.

Utilizando la función fitted():

library(nnet)
prog <- relevel(as.factor(prog), ref = "academic")
modelo <- multinom(prog ~ ses + write, data=datos)

head(fitted(modelo))
## # weights:  15 (8 variable)
## initial  value 219.722458 
## iter  10 value 179.983731
## final  value 179.981726 
## converged
Table 13.1: Probabilidades predichas
1 2 3 4 5 6
Student ses write \(P_2\) (academic) \(P_0\) (general) \(P_1\) (vocation)
1 low 35 0.1483 0.3383 0.5135
2 middle 33 0.1202 0.1806 0.6992
3 high 39 0.4187 0.2368 0.3445
4 low 37 0.1727 0.3508 0.4765
5 middle 31 0.1001 0.1689 0.7309
6 high 36 0.3534 0.2378 0.4088

Con el paquete glsm :: glsm.

Utilizando la función modelo$Elm:

library(glsm)
datos <- glsm::hsbdemo
modelo <- glsm(prog ~ ses + write, data = datos, ref = "academic")

a <- modelo$Elm

kable(head(a[,c(1,2,7, 8, 9)]))
ses write p_academic_j p_general_j p_vocation_j
high 33 0.2917550 0.2336048 0.4746402
high 38 0.3966377 0.2377210 0.3656413
high 41 0.4631025 0.2332796 0.3036179
high 42 0.4852972 0.2307010 0.2840018
high 49 0.6324619 0.2004334 0.1671047
high 52 0.6876337 0.1831551 0.1292113

13.0.9 Solución inciso (i)

Observe que, por ejemplo, los valores de la primera fila de la tabla del inciso (j), se obtienen reemplazando ses=low y write=35, en las las fórmulas para las calcular las probabilidades estimadas, como se indica en la parte (c).

Con el paquete multinom :: nnet.

library(nnet)
prog <- relevel(as.factor(prog), ref = "academic")
modelo <- multinom(prog ~ ses + write, data=datos)

s<- summary(modelo)

W <- 35
g_0 <- s$coefficients[1,1] + s$coefficients[1,2] + s$coefficients[1,4]*W
g_1 <- s$coefficients[2,1] + s$coefficients[2,2] + s$coefficients[2,4]*W
p_0 <- exp(g_0)/(1 + exp(g_0) + exp(g_1))
p_1 <- exp(g_1)/(1 + exp(g_0) + exp(g_1))
p_2 <- 1- (p_0 + p_1)
predichos <- c(p_0,p_1,p_2)
predichos
## # weights:  15 (8 variable)
## initial  value 219.722458 
## iter  10 value 179.983731
## final  value 179.981726 
## converged
## [1] 0.3382509 0.5134769 0.1482721

Con el paquete glsm :: glsm.

library(glsm)
datos <- glsm::hsbdemo
modelo <- glsm(prog ~ ses + write, data = datos, ref = "academic")

B <- as.matrix(coef(modelo))  

W <- 35

g_0 <- B[1,1] + B[3,1] + B[7,1]*W
g_1 <- B[2,1] + B[4,1] + B[8,1]*W
  
p_0 <- exp(g_0)/(1 + exp(g_0) + exp(g_1))
p_1 <- exp(g_1)/(1 + exp(g_0) + exp(g_1))
p_2 <- 1- (p_0 + p_1)

predichos <- c(p_0,p_1,p_2)
predichos
##  (Intercept):general (Intercept):vocation  (Intercept):general 
##            0.3382488            0.5134731            0.1482781

13.0.10 Solución inciso (j)

Para examinar los cambios en la probabilidad predicha asociados con una de nuestras dos variables (en este caso, ses), se pueden crear pequeños conjuntos de datos que varíen la variable mientras se mantiene la otra constante (en este caso, sería write). Primero haremos esto manteniendo la variable write en su media y examinar las probabilidades predichas para cada nivel de ses.

Con el paquete multinom :: nnet.

library(nnet)
prog <- relevel(as.factor(prog), ref = "academic")
modelo <- multinom(prog ~ ses + write, data=datos)

Nuevo <- data.frame(ses = c("low", "middle", "high"), write = mean(write))
Tabla <- predict(modelo, newdata = Nuevo, "probs")
Tabla
## # weights:  15 (8 variable)
## initial  value 219.722458 
## iter  10 value 179.983731
## final  value 179.981726 
## converged
##    academic   general  vocation
## 1 0.4396813 0.3581915 0.2021272
## 2 0.4777451 0.2283359 0.2939190
## 3 0.7009046 0.1784928 0.1206026

Con el paquete glsm :: glsm.

#Error in UseMethod("predict"):  
#No applicable method for 'predict' applied to an object of class "glsm"

library(glsm)
datos <- glsm::hsbdemo
modelo <- glsm(prog ~ ses + write, data = datos, ref = "academic")

Nuevo <- data.frame(ses = c("low", "middle", "high"), write = mean(write))
Tabla <- predict(modelo, newdata = Nuevo, "probs")
Tabla

13.0.11 Solución inciso (k)

Ahora sí se examinarán los cambios en la probabilidad predicha asociados con una de nuestras dos variables (en este caso, ses), manteniendo write fija en su media.

Con el paquete multinom :: nnet.

library(nnet)
prog <- relevel(as.factor(prog), ref = "academic")
modelo <- multinom(prog ~ ses + write, data=datos)
## # weights:  15 (8 variable)
## initial  value 219.722458 
## iter  10 value 179.983731
## final  value 179.981726 
## converged
s<- summary(modelo)

W <- mean(write)

g_0 <- s$coefficients[1,1] + s$coefficients[1,2] + s$coefficients[1,4]*W
g_1 <- s$coefficients[2,1] + s$coefficients[2,2] + s$coefficients[2,4]*W

p_0 <- exp(g_0)/(1 + exp(g_0) + exp(g_1))
p_1 <- exp(g_1)/(1 + exp(g_0) + exp(g_1))
p_2 <- 1- (p_0 + p_1)

predichos <- c(p_0,p_1,p_2)
predichos
## [1] 0.3581915 0.2021272 0.4396813

Con el paquete glsm :: glsm.

library(glsm)
datos <- glsm::hsbdemo
modelo <- glsm(prog ~ ses + write, data = datos, ref = "academic")

B <- as.matrix(coef(modelo))  

W <- mean(write)

g_0 <- B[1,1] + B[3,1] + B[7,1]*W
g_1 <- B[2,1] + B[4,1] + B[8,1]*W
  
p_0 <- exp(g_0)/(1 + exp(g_0) + exp(g_1))
p_1 <- exp(g_1)/(1 + exp(g_0) + exp(g_1))
p_2 <- 1- (p_0 + p_1)

predichos <- c(p_0,p_1,p_2)
predichos
##  (Intercept):general (Intercept):vocation  (Intercept):general 
##            0.3581927            0.2021232            0.4396841

13.0.12 Solución inciso (l)

las probabilidades predichas promediadas para diferentes valores de la variable predictora continua write dentro de cada nivel de ses se pueden hallar siguiendo los pasos siguientes (que se ilustran en el código de abajo):

Paso 1: Se crea un data frame con diferentes valores de ses y write.

Paso 2: Se calculan y se almacenan las probabilidades predichas para cada nivel de ses.

Paso 3: Se calculan las probabilidades promedios dentro de cada nivel de ses.

Con el paquete multinom :: nnet.

library(nnet)
prog <- relevel(as.factor(prog), ref = "academic")
modelo <- multinom(prog ~ ses + write, data=datos)

# Paso 1:
  Nuevo <- data.frame(ses = rep(c("low", "middle", "high"), each = 51), write = rep(c(20:70),3))
  head(Nuevo)

# Paso 2: 
  Predichos <- cbind(Nuevo, predict(modelo, newdata = Nuevo, type = "probs", se = TRUE))
  Predichos

# Paso 3: 
  Predichos %>% 
  dplyr::group_by(ses) %>% 
  dplyr::summarise(P0_general=mean(general),
                   P1_vocation=mean(vocation),
                   P2_academic=mean(academic))
## # weights:  15 (8 variable)
## initial  value 219.722458 
## iter  10 value 179.983731
## final  value 179.981726 
## converged
Table 13.2: Probabilidades predichas
1 2 3 4
ses \(P_0\) (general) \(P_1\) (vocation) \(P_2\) (academic)
high 0.1842 0.2898 0.526
low 0.313 0.3554 0.3316
middle 0.1875 0.4595 0.353

Con el paquete glsm :: glsm.

#Error in UseMethod("predict") : 
#  No applicable method for 'predict' applied to an object of class "glsm"

library(glsm)
datos <- glsm::hsbdemo
modelo <- glsm(prog ~ ses + write, data = datos, ref = "academic")

# Paso 1:
  Nuevo <- data.frame(ses = rep(c("low", "middle", "high"), each = 51), write = rep(c(20:70),3))
  head(Nuevo)

# Paso 2: 
  Predichos <- cbind(Nuevo, predict(modelo, newdata = Nuevo, type = "probs", se = TRUE))
  Predichos

# Paso 3: 
  Predichos %>% 
  dplyr::group_by(ses) %>% 
  dplyr::summarise(P0_general=mean(general),
                   P1_vocation=mean(vocation),
                   P2_academic=mean(academic))

13.0.13 Solución inciso (m)

Usando las predicciones que se generó en el inciso anterior a través del objeto Predichos, graficaremos las probabilidades predichas contra la puntuación de write, para cada nivel de ses y para diferentes niveles de la variable de respuesta. Utilizaremos la función reshape2::melt() con el fin de convertir la tabla de predichos en una de tipo long y, así, utilizarla para ggplot2.

Con el paquete multinom :: nnet.

library(nnet)
prog <- relevel(as.factor(prog), ref = "academic")
modelo <- multinom(prog ~ ses + write, data=datos)

library(reshape2)
Tabla <- melt(Predichos, id.vars = c("ses", "write"), value.name = "probability")

ggplot(Tabla, aes(x = write, y = probability, colour = ses)) + 
  geom_line() + 
  facet_wrap(variable ~ ., scales = "free")
## # weights:  15 (8 variable)
## initial  value 219.722458 
## iter  10 value 179.983731
## final  value 179.981726 
## converged

Con el paquete glsm :: glsm.

# Error: objeto 'Predichos' no encontrado

library(glsm)
datos <- glsm::hsbdemo
modelo <- glsm(prog ~ ses + write, data = datos, ref = "academic")

library(reshape2)
Tabla <- melt(Predichos, id.vars = c("ses", "write"), value.name = "probability")

ggplot(Tabla, aes(x = write, y = probability, colour = ses)) + 
  geom_line() + 
  facet_wrap(variable ~ ., scales = "free")+
  ylim(0, 1)+
  theme_bw(base_size = 12) +
  labs(y="Probabilidad")

13.0.14 Solución inciso (n)

Con el paquete multinom :: nnet.

En R, las estimaciones de los errores estándares se pueden obtener con la función multinom() del paquete nnet. En la salida de summary(), que se muestra en la figura 13.5, solo debe tenerse en cuenta los resultados que se indican en el recuadro rojo. Primero, debemos elegir el nivel de referencia de nuestra variable de respuesta especificándolo con la función relevel. Es importante recalcar que se ha tomado como referencia a prog=academic:

library(nnet)
prog <- relevel(as.factor(prog), ref = "academic")
modelo <- multinom(prog ~ ses + write, data=datos)

summary(modelo)
Estimaciones de los errores estándares con nnet. Fuente: Elaboración propia.

Figure 13.5: Estimaciones de los errores estándares con nnet. Fuente: Elaboración propia.

Con el paquete vglm :: VGAM.

En R, las estimaciones de los errores estándares se pueden obtener con la función multinom() del paquete nnet. En la salida de summary(), que se muestra en la figura 13.6, solo debe tenerse en cuenta los resultados que se indican en el recuadro rojo. Primero, debemos elegir el nivel de referencia de nuestra variable de respuesta especificándolo con la función relevel. Es importante recalcar que se ha tomado como referencia a prog=academic:

library(VGAM)
modelo <- vglm(prog ~ ses + write, multinomial(refLevel = 1), data=datos)

summary(modelo)
Estimaciones de los errores estándares con VGAM. Fuente: Elaboración propia.

Figure 13.6: Estimaciones de los errores estándares con VGAM. Fuente: Elaboración propia.

Con el paquete glsm :: glsm.

En R, las estimaciones de los errores estándares también se pueden obtener con la función glsm() del paquete glsm. Con la función summary, se pueden visualizar en el bloque de Coeffcients, en la clumna de Std.Error (opción 1). También se pueden obtener con modelo$Std.Error (opción 2).

library(glsm)
datos <- glsm::hsbdemo
modelo <- glsm(prog ~ ses + write, data = datos, ref = "academic")

summary(modelo)  # Opción 1
modelo$Std.Error # Opción 2

Opción 1.

## 
## Call:
## glsm(formula = prog ~ ses + write, data = datos, ref = "academic")
## 
## Coefficients: 
##                        Coef(B) Std.Error    Exp(B)      Wald DF   P.value    
## (Intercept):general   1.689354  1.226940  5.415982  1.895809  1 0.1685481    
## (Intercept):vocation  4.235530  1.204650 69.098279 12.362147  1 0.0004381 ***
## seslow:general        1.162832  0.514220  3.198980  5.113707  1 0.0237376 *  
## seslow:vocation       0.982670  0.595530  2.671581  2.722757  1 0.0989270 .  
## sesmiddle:general     0.629541  0.465028  1.876749  1.832691  1 0.1758101    
## sesmiddle:vocation    1.274063  0.511065  3.575351  6.214826  1 0.0126685 *  
## write:general        -0.057928  0.021411  0.943718  7.320093  1 0.0068188 ** 
## write:vocation       -0.113603  0.022219  0.892613 26.141569  1 3.173e-07 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Analysis of Deviance (Chi-squared): 
##                   Deviance  DF   P.value    
## Null vs Logit        48.23   6 1.063e-08 ***
## Logit vs Complete   359.96 392    0.8755    
## Logit vs Saturate   226.18 120 1.615e-08 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Opción 2.

##  (Intercept):general (Intercept):vocation       seslow:general 
##           1.22694022           1.20464972           0.51422012 
##      seslow:vocation    sesmiddle:general   sesmiddle:vocation 
##           0.59552969           0.46502835           0.51106550 
##        write:general       write:vocation 
##           0.02141082           0.02221890

13.0.15 Solución inciso (o)

La estimación del logaritmo de la función de máxima verosimilitud en el modelo logístico se puede obtener de varias maneras. Una es reemplazando los valores correspondientes en la ecuación (9.1):

\[ {\cal L}(\hat{\alpha}) \;=\; \sum\limits_{j=1}^J\left[z_{0j}\hat{g}_{0j} + (n_j-z_{0j}-z_{1j})\hat{g}_{1j} - n_j\ln\left(1 + e^{\hat{g}_{0j}} + e^{\hat{g}_{1j}} \right)\right]\;=\; -179.9817\]

donde \[\hat{g}_{rj}:=\hat{\delta}_r \;+\; \hat{\beta}_{r1}\,x_{j1} \;+\;\cdots \;+\; \hat{\beta}_{rK} \,x_{jK}\]

Las otras maneras para calcular \({\cal L}(\hat{\alpha})\) son con las funciones multinom::nnet, vglm::VGAM O glsm :: glsm. Con cualquier camino encontramos que \({\cal L}(\hat{\alpha})=-179.9817\).

Con el paquete multinom :: nnet.

Con la primera función se obtiene una salida (o al ejecutar summary) donde se obtiene, de alguna forma, ese valor. Ver recuadros rojos en la figura 13.7. Por ejemplo, en final value es el inverso aditivo y, en Residual Deviance se obtiene al dividir el valor de la salida por -2.

\[{\cal L}(\hat{\alpha}) \;=\; \frac{\text{Residual Deviance}}{-2} \;=\; -179.9817\]

library(nnet)
prog <- relevel(as.factor(prog), ref = "academic")
modelo <- multinom(prog ~ ses + write, data=datos)

summary(modelo)
Estimaciones del Log-Likelihood con nnet. Fuente: Elaboración propia.

Figure 13.7: Estimaciones del Log-Likelihood con nnet. Fuente: Elaboración propia.

Con el paquete vglm :: VGAM.

Con la segunda función se obtiene una salida (o al ejecutar summary) donde se obtiene, de alguna forma, ese valor. Ver recuadros rojos en la figura 13.8. Por ejemplo, en Log-Likelihood es exactamente ese valor y, en Residual Deviance se obtiene al dividir el valor de la salida por -2.

library(VGAM)
modelo <- vglm(prog ~ ses + write, multinomial(refLevel = 1), data=datos)

summary(modelo)
Estimaciones del Log-Likelihood con VGAM. Fuente: Elaboración propia.

Figure 13.8: Estimaciones del Log-Likelihood con VGAM. Fuente: Elaboración propia.

Con la función glsm: utilizar modelo$Elm

La matriz Elm contiene las sigientes variables.

library(glsm)
datos <- glsm::hsbdemo
modelo <- glsm(prog ~ ses + write, data = datos, ref = "academic")
a <- modelo$Elm
names(a)
##  [1] "ses"                "write"              "n"                 
##  [4] "z_academic_j"       "z_general_j"        "z_vocation_j"      
##  [7] "p_academic_j"       "p_general_j"        "p_vocation_j"      
## [10] "logit_p_general_j"  "logit_p_vocation_j" "v_academic_j"      
## [13] "v_general_j"        "v_vocation_j"

Con ayuda de algunas de estas variables, el objetivo es calcular el valor del log-verosímil \({\cal L}(\hat{\alpha})\) del modelo logístico ajustado. En el caso multinomial con 3 categorías, tomando como referencia la categoría academic, los dos logits corresponden a general y vocation. El log-verosímil se calcularía así:

\[ {\cal L}(\hat{\alpha}) \;=\; \sum_{j}\Big[z_{0j}\hat{g}_{0j} + z_{1j}\hat{g}_{1j} - n_j \log\!\left(1 + e^{\hat{g}_{0j}} + e^{\hat{g}_{1j}} \right)\Big]. \]

Por eso, de la matriz Elm se identifican las siguientes variables:

  • n ≡ \(n_j\)
  • z_general_j ≡ \(z_{0j}\)
  • z_vocation_j ≡ \(z_{1j}\)
  • logit_p_general_j ≡ \(\hat g_{0j}\)
  • logit_p_vocation_j ≡ \(\hat g_{1j}\)

O sea, de esa matriz, solo nos interesa las variables 1:6 y 10:11. La instrucción modelo$Elm[, c(1:6, 10,11)] devuelve una matriz con la información esencial para cada población \(j\):

library(glsm)
datos <- glsm::hsbdemo
modelo <- glsm(prog ~ ses + write, data = datos, ref = "academic")
modelo$Elm[, c(1:6, 10,11)]
ses write n z_academic_j z_general_j z_vocation_j logit_p_general_j logit_p_vocation_j
high 33 2 1 1 0 -0.2222833 0.4866427
high 38 1 1 0 0 -0.5119253 -0.0813704
high 41 2 2 0 0 -0.6857106 -0.4221784
high 42 1 1 0 0 -0.7436390 -0.5357810
high 49 3 1 0 2 -1.1491378 -1.3309995
high 52 6 5 0 1 -1.3229231 -1.6718074

De esta forma, el log-verosímil se calcula como:

# Calcular L desde los logits guardados en Elm
with(modelo$Elm, {
  g0 <- logit_p_general_j
  g1 <- logit_p_vocation_j
  z0 <- z_general_j
  z1 <- z_vocation_j
  nj <- n

  LL_desde_Elm_logit <- sum(z0 * g0 + z1 * g1 - nj * log(1 + exp(g0) + exp(g1)))
  LL_desde_Elm_logit
})
## [1] -179.9817

Con la función glsm: utilizar directamente modelo$Log_Lik_Logit

Con el código de abajo se extrae directamente el valor del log-verosímil mediante modelo$Log_Lik_Logit. Este valor corresponde a \({\cal L}(\hat{\alpha})\) calculado con la fórmula del log-verosímil del modelo logístico, y es el mismo que se obtiene previamente al sumar manualmente los términos individuales a partir de modelo$Elm.

#1. Con la función lsm:

library(glsm)
datos <- glsm::hsbdemo
modelo <- glsm(prog ~ ses + write, data = datos, ref = "academic")

modelo$Log_Lik_Logit
## [1] -179.9817

14 Relación (logit vs saturado) con glsm

14.0.1 Casos

Analizaremos relaciones entre el modelo logístico multinomial y el modelo saturado. Para cada clase no-referencia \(r\in\{1,\dots,2\}\) (por ejemplo, \(r\in\{\text{general},\text{vocation}\}\) si la referencia es academic), las ecuaciones del supuesto 7.2 de la sección 7 pueden escribirse como

\[ \begin{pmatrix} \mathrm{Logit}(p_{r1})\\ \mathrm{Logit}(p_{r2})\\ \vdots\\ \mathrm{Logit}(p_{rJ}) \end{pmatrix} = \underbrace{ \begin{pmatrix} 1 & x_{11} & \cdots & x_{1K}\\ 1 & x_{21} & \cdots & x_{2K}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ 1 & x_{J1} & \cdots & x_{JK} \end{pmatrix} }_{C\in\mathbb{R}^{J\times(1+K)}} \cdot \underbrace{ \begin{pmatrix} \delta_r\\ \beta_{r1}\\ \vdots\\ \beta_{rK} \end{pmatrix} }_{\alpha_r\in\mathbb{R}^{1+K}} \,=\, C\,\alpha_r \]

De aquí se desprenden dos casos:

\[(1) \; J=1+K; \qquad (2) \; J>1+K\]

14.0.2 Primer caso: \(J=1+K\)

En este caso, \(C\) es una matriz cuadrada e invertible. Por lo tanto,

\[\alpha_r=C^{-1}\cdot\left(\begin{array}{c} \mbox{Logit}(p_{r1}) \\ \mbox{Logit}(p_{r2})\\ \vdots \\ \mbox{Logit}(p_{rJ}) \\ \end{array}\right)\]

Es decir, hay una relación uno a uno entre los parámetros del modelo saturado y los del logístico. O sea, los dos modelos expresan lo mismo. Particularmente, las ML-estimaciones de las probabilidades \(p_{rj}\) son iguales en ambos modelos: \(\hat{p}_{rj}=\tilde{p}_{rj}\) para cada \(j=1,2, \ldots, K\) y cada \(r=0,1,2\).

Example 14.1 Considere los siguientes datos:

\[(\text{Edad},\text{Talla})\in\{(15,130),(20,140),(30,165)\}\] Observe que tenemos \(K=2\) variables y \(J=3= 1+K\) poblaciones. La variable de respuesta \(Y\) tiene ahora 3 clases: \(y\in\{A,B,C\}\) (base de referencia \(C\)). Tomamos los conteos por población: \[ \begin{array}{c|ccc|c} & A & B & C & n_j\\\hline j=1:(15,130) & 1 & 1 & 1 & 3\\ j=2:(20,140) & 2 & 2 & 1 & 5\\ j=3:(30,165) & 1 & 1 & 2 & 4 \end{array} \] De aquí, \(\hat p_{jA}\), \(\hat p_{jB}\), \(\hat p_{jC}\) y los logits \(\hat{L}_{jA}=\log(\hat p_{jA}/\hat p_{jC})\), \(\hat{L}_{jB}=\log(\hat p_{jB}/\hat p_{jC})\).

library(dplyr)
library(tidyr)
library(kableExtra)

# Poblaciones (mismo X que el caso binario)
Pobl <- data.frame(
  j    = 1:3,
  Edad = c(15, 20, 30),
  Talla= c(130,140,165)
)

# Conteos por categoría (A,B,C) en cada población
Z <- data.frame(
  j = 1:3,
  A = c(1,2,1),
  B = c(1,2,1),
  C = c(1,1,2)
) %>% 
  mutate(n = A+B+C,
         pA = A/n, pB = B/n, pC = C/n,
         LA = log(pA/pC), LB = log(pB/pC))

# Matriz de diseño C y su inversa (J = 1+K)
C <- as.matrix(cbind(1, Pobl$Edad, Pobl$Talla))
C_inv <- solve(C)

# Vectores de logits por categoría no-base (A y B)
L_A <- as.matrix(Z$LA)
L_B <- as.matrix(Z$LB)

# Parámetros logísticos por categoría: alpha_r = C^{-1} L_r
alpha_A <- C_inv %*% L_A
alpha_B <- C_inv %*% L_B

# Tabla de resultados (redondeada)
TAB_alphas <- data.frame(
  Parametro = c("(Intercept)","Edad","Talla"),
  `alpha_A` = round(alpha_A[,1], 6),
  `alpha_B` = round(alpha_B[,1], 6)
)

# Mostrar tabla con formato
kable(TAB_alphas, align = "ccc",
      col.names = c("Parámetro","α_A","α_B"),
      caption = "Parámetros logísticos obtenidos por inversión") %>%
  kable_styling() %>%
  kable_classic_2(full_width = FALSE)
Table 14.1: Table 14.2: Parámetros logísticos obtenidos por inversión
Parámetro α_A α_B
(Intercept) 53.372333 53.372333
Edad 1.247665 1.247665
Talla -0.554518 -0.554518

Verificación con glsm (baseline = C).

library(glsm)

# Expandimos a formato fila-a-fila para ajustar con el paquete
make_rows <- function(j, Edad, Talla, A, B, Cc){
  data.frame(
    Edad  = c(rep(Edad, A+B+Cc)),
    Talla = c(rep(Talla, A+B+Cc)),
    Y     = factor(c(rep("A",A), rep("B",B), rep("C",Cc)),
                   levels = c("A","B","C"))
  )
}

DF <- make_rows(1,15,130, 1,1,1) %>%
      bind_rows(make_rows(2,20,140, 2,2,1)) %>%
      bind_rows(make_rows(3,30,165, 1,1,2))

# Fijamos base C como referencia
DF$Y <- relevel(DF$Y, ref = "C")

# Ajuste multinomial
mod_glsm <- glsm(Y ~ Edad + Talla, data = DF, ref = "C") 

# Coeficientes del modelo (filas: A y B frente a base C)
B_glsm <- as.matrix(coef(mod_glsm))


kable(B_glsm, align = "ccccc",
      caption = "Coincidencia entre inversión analítica y ajuste glsm") %>%
  kable_styling() %>%
  kable_classic_2(full_width = FALSE)
Table 14.3: Table 14.4: Coincidencia entre inversión analítica y ajuste glsm
(Intercept):A 53.3723329
(Intercept):B 53.3723329
Edad:A 1.2476649
Edad:B 1.2476649
Talla:A -0.5545177
Talla:B -0.5545177

A continuación, presentamos la verificación puntual en las 3 poblaciones de que probabilidades predichas = proporciones saturadas:

softmax_baseC <- function(etaA, etaB){
  den <- 1 + exp(etaA) + exp(etaB)
  cbind(A = exp(etaA)/den,
        B = exp(etaB)/den,
        C = 1 - (exp(etaA)+exp(etaB))/den)
}

# Construimos etas en cada población usando los α hallados
X <- C                    # mismas filas: [1, Edad, Talla]
etaA <- as.vector(X %*% alpha_A)
etaB <- as.vector(X %*% alpha_B)

P_hat <- softmax_baseC(etaA, etaB)
colnames(P_hat) <- c("pA_hat","pB_hat","pC_hat")

TAB_prob <- cbind(Pobl[,c("Edad","Talla")],
                  `pA_sat` = round(Z$pA,3),
                  `pB_sat` = round(Z$pB,3),
                  `pC_sat` = round(Z$pC,3),
                  round(P_hat,3))

kable(TAB_prob, align = "ccccccc",
      caption = "Probabilidades: saturado (proporciones) vs. multinomial (predicción)") %>%
  kable_styling() %>%
  kable_classic_2(full_width = FALSE)
Table 14.5: Table 14.6: Probabilidades: saturado (proporciones) vs. multinomial (predicción)
Edad Talla pA_sat pB_sat pC_sat pA_hat pB_hat pC_hat
15 130 0.333 0.333 0.333 0.333 0.333 0.333
20 140 0.400 0.400 0.200 0.400 0.400 0.200
30 165 0.250 0.250 0.500 0.250 0.250 0.500

Conclusión. Con \(J=1+K\) la matriz \(C\) es invertible y existe correspondencia biunívoca entre el modelo saturado y el logístico multinomial (baseline-category). En el ejemplo: \[ \hat\alpha_A = C^{-1}\mbox{Logit}(\hat{p}_{jA}) \;=\; \begin{bmatrix} 53.3723\\ 1.247665\\ -0.554518 \end{bmatrix}, \qquad \hat\alpha_B = C^{-1}\mbox{Logit}(\hat{p}_{jB}) \;=\; \begin{bmatrix} 53.3723\\ 1.247665\\ -0.554518 \end{bmatrix}. \] Las probabilidades predichas en los tres puntos \((15,130),(20,140),(30,165)\) coinciden con las proporciones saturadas \((\hat p_{jr})\), verificando \(\hat p_{jr}=\tilde p_{jr}\).

14.0.3 Segundo caso: \(J>1+K\)

En este caso, el sistema está sobredeterminado. Primero hay que calcular \(\hat{\alpha}\) y a partir de éstas, se pueden calcular las \(\hat{p}_{rj}\) mediante:

\[\hat{p}_{rj}=\mbox{Logit}^{-1}(\hat{g_{rj}}), \quad j=1, \cdots, J,\]

donde \(\hat{g_{rj}}:=\hat{\delta}_r + \hat{\beta}_{r1}x_{j1}+\cdots + \hat{\beta}_{rK}x_{jK}\). En general, resultan que \(\hat{p}_{rj}\not=\tilde{p}_{rj}\).

Example 14.2 Usaremos glsm::hsbdemo con \(K=2\) predictores (gender, ses) y \(J=6\) poblaciones (todas las combinaciones de gender × ses). La respuesta es triclase prog ∈ {academic, general, vocation} con base academic. Dado que \(J=6 > 1+K=3\), se espera que \(\hat p_{jr}\) (modelo) no coincidan con \(\tilde p_{jr}\) (saturado).

library(dplyr)
library(tidyr)
library(kableExtra)
library(glsm)

# Datos y definición de niveles
datos <- glsm::hsbdemo
datos$prog   <- relevel(factor(datos$prog), ref = "academic")
datos$gender <- factor(datos$gender, levels = c("female","male"))
datos$ses    <- factor(datos$ses,    levels = c("low","middle","high"))

# J = número de poblaciones (celdas): gender × ses
cel <- datos |> dplyr::count(gender, ses, name = "n_celda")
J   <- nrow(cel)   # debería ser 6
K   <- 2           # predictores: gender, ses

# Probabilidades saturadas  \tilde p_{jr}  por celda (gender, ses)
sat <- datos |>
  dplyr::count(gender, ses, prog, name = "n") |>
  group_by(gender, ses) |>
  mutate(n_tot = sum(n),
         p_tilde = n / n_tot) |>
  ungroup() |>
  select(gender, ses, prog, p_tilde) |>
  pivot_wider(names_from = prog, values_from = p_tilde, values_fill = 0)

# Renombramos columnas para lectura:
# columnas esperadas: academic, general, vocation
colnames(sat) <- c("gender","ses","p_tilde_academic","p_tilde_general","p_tilde_vocation")

# Ajuste del modelo multinomial (baseline = academic)
mod <- glsm::glsm(prog ~ gender + ses, data = datos, ref = "academic")

# Predicciones por celda (mismas combinaciones de gender × ses)
grid <- expand.grid(gender = levels(datos$gender), ses = levels(datos$ses)) |>
        arrange(gender, ses)

P_hat <- as.data.frame(predict(mod, newdata = grid, type = "response"))
# Aseguramos nombres de columnas coherentes (ajusta si tu build usa otros):
# Se espera columnas en el orden de levels(datos$prog): academic, general, vocation
colnames(P_hat) <- paste0("p_hat_", levels(datos$prog))

pred <- bind_cols(grid, P_hat)

# Unimos saturado vs modelo y calculamos diferencias
cmp <- pred |>
  left_join(sat, by = c("gender","ses")) |>
  relocate(gender, ses,
           p_tilde_academic, p_hat_academic,
           p_tilde_general,  p_hat_general,
           p_tilde_vocation, p_hat_vocation) |>
  mutate(diff_academic = p_hat_academic - p_tilde_academic,
         diff_general  = p_hat_general  - p_tilde_general,
         diff_vocation = p_hat_vocation - p_tilde_vocation)

# Indicador global de igualdad exacta (poco probable)
iguales <- with(cmp,
                all.equal(p_hat_academic,  p_tilde_academic) == TRUE &&
                all.equal(p_hat_general,   p_tilde_general)  == TRUE &&
                all.equal(p_hat_vocation,  p_tilde_vocation) == TRUE)

# Tabla de comparación
kable(round(cmp, 4),
      align = "cccccccccc",
      caption = "Segundo caso (J > 1+K): Probabilidades saturadas vs. estimadas por el modelo multinomial (glsm).") |>
  kable_styling() |>
  kable_classic_2(full_width = FALSE)

Comentario.

  • Aquí \(J=6\) y \(1+K=3\); como \(J>1+K\), el ajuste por MLE impone restricciones paramétricas (sin interacción gender:ses en este ejemplo), por lo que las \(\hat p_{jr}\) no replican exactamente las proporciones saturadas \(\tilde p_{jr}\).

  • Si se agrega términos de interacción (prog ~ gender*ses) o más predictores, el modelo se flexibiliza, pero mientras \(J>1+K\), en general seguirá ocurriendo \(\hat p_{jr}\ne \tilde p_{jr}\) salvo en casos especiales.

15 Usando matrices Esm y Elm

En el objeto de glsm(), Esm guarda, por población \(j\), los conteos \(z_{jr}\), el tamaño \(n_j\), las proporciones saturadas \(\tilde p_{jr}\) y el log-verosímil saturado \(L^{(S)}_j\) (Lp).

##  [1] "ses"                "write"              "n"                 
##  [4] "z_academic_j"       "z_general_j"        "z_vocation_j"      
##  [7] "p_academic_j_tilde" "p_general_j_tilde"  "p_vocation_j_tilde"
## [10] "Lp"

Por otro lado, Elm guarda, por población \(j\), las probabilidades del modelo \(\hat p_{jr}\), los logits respecto a la base (logit_p_*_j) y, si está disponible, varianzas aproximadas (v_*_j).

##  [1] "ses"                "write"              "n"                 
##  [4] "z_academic_j"       "z_general_j"        "z_vocation_j"      
##  [7] "p_academic_j"       "p_general_j"        "p_vocation_j"      
## [10] "logit_p_general_j"  "logit_p_vocation_j" "v_academic_j"      
## [13] "v_general_j"        "v_vocation_j"

A continuación las combinamos (una fila por población \(j\)) para comparar \(\tilde p_{jr}\) vs. \(\hat p_{jr}\).

library(glsm)
library(dplyr)
library(kableExtra)

datos  <- glsm::hsbdemo
modelo <- glsm(prog ~ ses + write, data = datos, ref = "academic")

Esm <- modelo$Esm
Elm <- modelo$Elm

# Claves comunes para unir
keys <- intersect(names(Esm), names(Elm))
keys <- keys[keys %in% c("gender","ses","write","Edad","Talla","n")]

Esm_sel <- Esm %>%
  dplyr::select(all_of(keys),
                z_academic_j, z_general_j, z_vocation_j,
                p_academic_j_tilde, p_general_j_tilde, p_vocation_j_tilde,
                Lp) %>%
  dplyr::rename(L_saturado_j = Lp)    # <- usar SIEMPRE dplyr::rename

Elm_sel <- Elm %>%
  dplyr::select(all_of(keys),
                p_academic_j, p_general_j, p_vocation_j,
                logit_p_general_j, logit_p_vocation_j,
                v_academic_j, v_general_j, v_vocation_j)

SLM <- Esm_sel %>%
  dplyr::left_join(Elm_sel, by = keys) %>%
  dplyr::mutate(diff_academic = p_academic_j - p_academic_j_tilde,
                diff_general  = p_general_j  - p_general_j_tilde,
                diff_vocation = p_vocation_j - p_vocation_j_tilde)

kable(head(SLM[,c(1:9, 11:13)]),align = "c") %>%
  kable_styling() %>%
  kable_classic_2(full_width = TRUE)
ses write n z_academic_j z_general_j z_vocation_j p_academic_j_tilde p_general_j_tilde p_vocation_j_tilde p_academic_j p_general_j p_vocation_j
high 33 2 1 1 0 0.5000000 0.5 0.0000000 0.2917550 0.2336048 0.4746402
high 38 1 1 0 0 1.0000000 0.0 0.0000000 0.3966377 0.2377210 0.3656413
high 41 2 2 0 0 1.0000000 0.0 0.0000000 0.4631025 0.2332796 0.3036179
high 42 1 1 0 0 1.0000000 0.0 0.0000000 0.4852972 0.2307010 0.2840018
high 49 3 1 0 2 0.3333333 0.0 0.6666667 0.6324619 0.2004334 0.1671047
high 52 6 5 0 1 0.8333333 0.0 0.1666667 0.6876337 0.1831551 0.1292113

16 Ejercicios

Para la solución de los siguientes ejercicios, téngase en cuenta los siguientes comentarios:

  • Todos los datos mencionados aparecen en los links mencionados en este documento.

  • Siempre debe detallar el análisis del conjunto de datos (con las variables especificadas) basado en lo explicado en este documento.

16.0.1 Ejercicio 4 a 7

  1. Considere los datos hbsdemo, tomando a prog como variable dependiente y gender como variable independiente. Repita todos los análisis realizados en este documento.

  2. Considere los datos hbsdemo, tomando a prog como variable dependiente y schtyp como variable independiente. Repita todos los análisis realizados en este documento.

  3. Considere los datos hbsdemo, tomando a prog como variable dependiente y honors como variable independiente. Repita todos los análisis realizados en este documento.

  4. Considere los datos hbsdemo, tomando a prog como variable dependiente y awards como variable independiente. Repita todos los análisis realizados en este documento.

16.0.2 Ejercicios 8 a 10

  1. Considere los datos hbsdemo, tomando a prog como variable dependiente y ses y schtyp como variables independientes. Repita todos los análisis realizados en este documento.

  2. Considere los datos hbsdemo, tomando a prog como variable dependiente y ses y honors como variables independientes. Repita todos los análisis realizados en este documento.

  3. Considere los datos hbsdemo, tomando a prog como variable dependiente y ses y awards como variables independientes. Repita todos los análisis realizados en este documento.

16.0.3 Ejercicio 11 a 13

  1. Considere los datos hbsdemo, tomando a prog como variable dependiente y gender y schtyp como variables independientes. Repita todos los análisis realizados en este documento.

  2. Considere los datos hbsdemo, tomando a prog como variable dependiente y gender y honors como variables independientes. Repita todos los análisis realizados en este documento.

  3. Considere los datos hbsdemo, tomando a prog como variable dependiente y gender y awards como variables independientes. Repita todos los análisis realizados en este documento.

16.0.4 Ejercicio 14 a 16

  1. Considere los datos hbsdemo, tomando a prog como variable dependiente y schtyp y honors como variables independientes. Repita todos los análisis realizados en este documento.

  2. Considere los datos hbsdemo, tomando a prog como variable dependiente y schtyp y awards como variables independientes. Repita todos los análisis realizados en este documento.

  3. Considere los datos hbsdemo, tomando a prog como variable dependiente y honors y awards como variables independientes. Repita todos los análisis realizados en este documento.

16.0.5 Ejercicios 17 a 19

  1. Considere los datos hbsdemo, tomando a prog como variable dependiente y gender, ses y schtyp como variables independientes. Repita todos los análisis realizados en este documento.

  2. Considere los datos hbsdemo, tomando a prog como variable dependiente y gender, ses y honors como variables independientes. Repita todos los análisis realizados en este documento.

  3. Considere los datos hbsdemo, tomando a prog como variable dependiente y gender, ses y awards como variables independientes. Repita todos los análisis realizados en este documento.

16.0.6 Ejercicios 20 a 21

  1. Considere los datos hbsdemo, tomando a prog como variable dependiente y gender, schtyp y honors como variables independientes. Repita todos los análisis realizados en este documento.

  2. Considere los datos hbsdemo, tomando a prog como variable dependiente y gender, schtyp y awards como variables independientes. Repita todos los análisis realizados en este documento.

16.0.7 Ejercicios 22 a 24

  1. Considere los datos hbsdemo, tomando a prog como variable dependiente y ses, schtyp y honors como variables independientes. Repita todos los análisis realizados en este documento.

  2. Considere los datos hbsdemo, tomando a prog como variable dependiente y ses, schtyp y awards como variables independientes. Repita todos los análisis realizados en este documento.

  3. Considere los datos hbsdemo, tomando a prog como variable dependiente y schtyp, honors y awards como variables independientes. Repita todos los análisis realizados en este documento.

16.0.8 Ejercicios 25 a 27

  1. Considere los datos hbsdemo, tomando a prog como variable dependiente y gender, ses, schtyp y honors como variables independientes. Repita todos los análisis realizados en este documento.

  2. Considere los datos hbsdemo, tomando a prog como variable dependiente y gender, ses, schtyp y awards como variables independientes. Repita todos los análisis realizados en este documento.

  3. Considere los datos hbsdemo, tomando a prog como variable dependiente y gender, ses, schtyp, honors y awards como variables independientes. Repita todos los análisis realizados en este documento.

Bibliografía

Consultar el documento RPubs :: Regresión logística (bibliografía).

 

  
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