Một vài ý niệm lịch sử

Kermack và Mc Kendrick là những người tiên phong đưa ra các phương trình vi phân dành cho mô hình SIR vào năm 1927, mô hình này là viết tắt của (Susceptible – có khả năng bị nhiễm) – (Infected – Nhiễm bệnh) – (Recovered or Removed– Phục hồi). Những căn bệnh truyền nhiễm có thể được phân loại dựa theo sự tồn tại (persitence within the host) trong cơ thể vật chủ và tốc độ tấn công lây lan của nó đối với các độ tuổi khác nhau. Một vài bệnh truyền nhiễm có thể chiếm lấy vật chủ trong một thời gian dài với lý do hệ miễn dịch không thể tiêu diệt được nó (the immune system).

Nội dung này của Kermack và Mc Kendrick có thể khái quát lại như sau: Một trong những đặc điểm chính trong nghiên cứu dịch tễ chính là sự khó khăn trong việc tìm ra các yếu tố mang tính nguyên nhân, hệ quả để giải thích cho sự bùng phát thường xuyên của các dịch bệnh đối với nhân loại. Vấn đề này có thể được hình dung như sau: Một hoặc nhiều cá nhân bị nhiễm bệnh truyền nhiễm có cơ hội hoặc được đưa vào trong cộng đồng người nào đó, nhiều hay ít người có khả năng bị nhiễm bệnh từ những người đã bị nhiễm bệnh là một câu hỏi. Dịch bệnh bùng phát từ những người nhiễm bệnh lây truyền sang người không bị bệnh thông qua một quan hệ lây nhiễm nào đó (contact infection). Mỗi một cá nhân bị nhiễm bệnh sau đó sẽ trải qua một thời kỳ bị nhiễm bệnh, và cuối cùng sẽ miễn nhiễm thông qua phục hồi hoặc bị tử vong. Cơ hội phục hồi hoặc bị chết sẽ thay đổi từ ngày qua ngày thông qua quá trình nhiễm bệnh của anh ta. Khi dịch bệnh bùng phát, số lượng những người không bị nhiễm bệnh trong cộng đồng sẽ giảm dần. Trong một thời gian thì dịch bệnh có thể chấm dứt. Một trong những vấn đề quan trọng nhất của dịch tễ học là cần xác minh xem có hay không sự chấm dứt dịch bệnh chỉ xảy ra khi mà không còn các cá nhân có thể bị nhiễm bệnh tồn tại, hoặc là sự tác động qua lại lẫn nhau (interplay) của các yếu tố lây nhiễm, phục hồi và tử vong sẽ dẫn đến sự kết thúc dịch bệnh.

Các khái niệm liên quan tới Virus:

Virus và dịch bệnh:

Khi tìm hiểu về một chủng hoặc loại virus nào đó, trước hết chúng ta cần nắm được 2 điều cơ bản về virus:

  • How contagious is the virus? Virus lây lan như nào
  • How virutlent is the virus? Độc lực của virus ra sao, tức là khả năng gây chết và tử vong đối với người bị nhiễm bệnh ra sao?

Như vậy đây là 2 câu hỏi mang tính khái quát nhất về 2 đặc tính quan trọng của virus: đó chính là tính lây lan và khi đã lây lan rồi thì độc lực (khả năng gây tử vong) là như thế nào?

Hệ số lây nhiễm cơ bản và tỷ lệ tử vong

Hệ số lây nhiễm cơ bản

Sự lây nhiễm của Virus thường được tóm tắt bởi hệ số \(R_{0}\) – The basic reproduction Đây là một hệ số rất quan trọng trong dịch tễ học. Thông qua hệ số này, các nhà hoạch định chính sách, quản lý có thể đưa ra được quyết định đối với từng quốc gia dadng chịu ảnh hưởng bởi dịch (các chính sách về phong tỏa (blockdown), hạn chế, social distancing….). Việc tính toán được chỉ số này mang tính chất quyết định đối với nền kinh tế, sức khỏe dân cư của từng quốc gia và vùng lãnh thổ.

Hệ số \(R_{0}\) cho phép chúng ta biết khả năng diễn biến của đại dịch. Tuy nhiên việc ước lượng hệ số này lại khác nhau ở từng khu vực đang diễn ra dịch. Hệ số này ngoài việc cho chúng ta biết khả năng diễn biến của dịch còn cho chúng ta biết cách mà chúng ta đang đối phó với dịch ra sao, hay nói cách khác chính là hành vi ứng xử của người dân với dịch bệnh của mỗi khu vực (behaviour). Lấy ví dụ: Cùng một số lượng người, nếu đi chơi hoặc tập trung đông không khẩu trang và thực hiện các hành vi kiểm soát y tế, khả năng lây lan dịch bệnh sẽ rất cao, dẫn đến sự gia tăng của \(R_{0}\), tuy nhiên cùng với số lượng người này, nếu giãn cách khoảng cách, thực hiện đeo khẩu trang và rửa tay sát khuẩn thì sẽ kiểm soát được hệ số này.

Ý nghĩa của R-nought

Hệ số \(R_{0}\) đôi khi còn được gọi là \(R-nought\) hay \(R-zero\) có một số cách quy ước như sau trong dịch tễ:

  • Nếu \(R_{0}\geq 1\) thì dịch bệnh sẽ diễn biến nhanh và bùng phát
  • Nếu \(R_{0}<1\) thì dịch bệnh sẽ suy yếu và giảm dần

Ví dụ: Nếu hệ số này bằng 2, có nghĩa là trung bình ban đầu người bị nhiễm bệnh sẽ lây lan sang cho 2 người khác nữa và cứ tiếp tục như vậy. Bệnh sởi có chỉ số lây nhiễm khá cao từ 12 đến 18. Dịch Ebola rơi vào khoảng 1,5 đến 2,5. Tuy nhiên hệ số này phụ thuộc vào nhiều yếu tố khác nhau, lấy ví dụ như bệnh SARS, bệnh này chỉ có thể truyền nhiễm khi người mắc bệnh có biểu hiện triệu chứng, do vậy nếu có triệu chứng này người bị nhiễm có thể đến cơ sở y tế để kiểm tra trước khi lây nhiễm cho người khác và do đó làm giá trị của \(R_{0}\) giảm xuống dưới 1.

Tỷ lệ tử vong vì dịch bệnh CFR

CFR - Case fatality rate hay còn được gọi là tỷ lệ tử vong, là thuật ngữ thường được sử dụng trong dịch tễ. Ước lượng: \[CFR-Covid19 = \frac{\sum{number\quad of\quad deaths}}{\sum number\quad of\quad infections}\] Như vậy: Tử số - Số người chết vì COVID 19 và Mẫu số - Số người mắc COVID 19. Với đại dịch COVID 19 một điều rất đáng chú ý là tỷ lệ tử vong của người nhiễm COVID 19 rất khác biệt giữa các độ tuổi khác nhau.

Tỷ lệ tử vong theo độ tuổi vì COVID 19

Một điều đáng lưu tâm nữa, đó là sự chủ quan trong việc bị nhiễm Virus này, quan niệm cho rằng ừ thì những người già dễ bị nhiễm Virus hơn “Già thì dễ mắc bệnh”, gây nên sự chủ quan cho nhiều người khi nhìn vào tỷ lệ mắc bệnh này. Và quan niệm “Sinh lão Bệnh tử ở đây”, đây là một quan niệm rất sai lầm.

Đường cong dịch tễ (Infection Curve)

Thuật ngữ “Infection curve” – Đường cong lây nhiễm là một khái niệm quan trọng nhất trong phòng chống sự bùng phát của đại dịch, đi đôi với khái niệm này là khái niệm làm phẳng đường cong dịch tễ.

Đường cong dịch tễ

Chúng ta cùng tưởng tượng rằng, khi dịch bệnh bùng phát nghĩa là số lượng ca lây nhiễm tăng vọt, nếu không sử dụng các chính sách phù hợp thì đường cong dịch tễ sẽ như một cái chuông nhọn như đường màu đỏ, khi đó vượt quá sức tải của chăm sóc y tế, gây đổ vỡ hệ thống y tế. Tuy nhiên khi có sự kiểm soát chặt đường cong này với các chính sách quyết liệt (ví dụ như ở Việt Nam làm rất tốt công việc truy vết và xác minh các ca F0 và F1…) thì đường cong này nằm bẹp gần với trục Ox và do đó dịch bệnh không bị bùng phát và hệ thống y tế được đảm bảo hoạt động tốt nhất.

Như vậy cần hiểu rằng khi chúng ta làm phẳng đường cong này có nghĩa là chúng ta đang cố gắng hạn chế sự lây lan của dịch bệnh (To slow down the rate of deaths and the number of infections)

Một số người có thể đặt ra câu hỏi, việc làm chậm quá trình của bệnh dịch bản chất là kéo dài thời gian của dịch ra, vậy tại sao không cho nó lây lan luôn một thể rồi kiểm soát, câu trả lời chính là nếu chúng ta không làm như vậy, sẽ không đủ số lượng giường ICU cho các bệnh nhân. Lấy ví dụ như ở Mỹ, có khoảng 327 triệu người nếu chỉ 1% trong đó nhiễm bệnh cùng 1 lúc thì sẽ phải cần tới gần 32.700 giường ICU cho các bệnh nhân này, điều này đè nặng lên áp lực y tế và gây quá tải. Ví dụ thứ 2 đó là về thời gian phong tỏa các thành phố, Lấy ví dụ ở Philadelphia và Saint Louis về kiểm soát đại dịch, Philadelphia mất 2 tuần để phong tỏa các sự kiện, điều này làm đường cong CFR tăng rất cao, trong khi đường cong của Saint Louis này cực phẳng vì vùng này chỉ mất có 2 ngày để phong tỏa các sự kiện. Đây chính là lý do tại sao chúng ta cần phải phong tỏa nhanh và sớm các sự kiện khi dịch bùng phát.

Graphs of model

Vấn đề mà chúng ta quan tâm nhất chính là hình thái của đường màu đỏ và làm thế nào để làm phẳng nó (flattening the curve) càng phẳng càng tốt.

Một số thông tin khác về COVID 19

  • Dịch cúm Tây Ban Nha năm 1918 làm cho hơn 50 triệu người trên thế giới tử vong
  • Ban đầu khi khởi phát COVID 19, chính phủ Pháp cho rằng khẩu trang bình thường không có tác dụng, những người sử dụng khẩu trang là những người bị nhiễm bệnh và đa số người dân ở Châu Âu đều tin vào điều này và hậu quả đã xảy ra thì đã rõ.
  • Rất nhiều người Mỹ cho rằng COVID 19 là virus do con người tạo ra và sử dụng để buôn bán Vaccine.
  • Việc tìm hiểu thông tin Virus thông qua các mô hình toán học rất thú vị, tại Pháp học sinh cấp 3 được tiếp cận các thông tin Virus thông qua các mô hình như SIS, SIR. Điều này cho phép không những có thể tiếp cận với các phương trình vi phân trong Toán học, ngoài ra nó còn cho phép các em học sinh có cái nhìn toàn diện hơn về đại dịch.

Mô hình SIR

Khái niệm

SIR là viết tắt của (Susceptible – có khả năng bị nhiễm) – (Infected – Nhiễm bệnh) – (Recovered or Removed– Phục hồi). Về bản chất mô hình này còn được gọi là mô hình ngăn dân số (compartmental model) vì theo đó, dân số của 1 quần thể hay cộng đồng nào đó được chia thành 3 ngăn khác nhau lần lượt gọi là S, I và R. Mô hình SIR là một mô hình toán học cơ bản về dịch bệnh, được giới thiệu trong bài báo kinh điển của Kermack và McKendrick năm 1927. Trong mô hình này, dân số được chia thành 3 nhóm, dựa theo trạng thái đối với bệnh:

  1. Những người có khả năng mắc bệnh (Susceptible)
  2. Những người đang nhiễm bệnh và có thể lây cho người khác (Infected)
  3. Những người không còn khả năng mắc bệnh (Removed hay Recovered). Trong mô hình này, trạng thái của một người chỉ có thể chuyển từ S sang I (nhiễm bệnh), hoặc từ I sang R (bình phục hoặc chết, nhưng không thể nhiễm lại).

Số người thuộc mỗi nhóm tại một thời điểm t được ký hiệu lần lượt là S(t), I(t) và R(t). Trong mô hình SIR đơn giản, tổng dân số được coi là không đổi, có nghĩa S(t) + I(t) + R(t) = N không phụ thuộc vào t. Đại lượng được quan tâm nhất là I(t): chiều tăng hay giảm (theo t) và độ lớn của nó cho biết xu hướng lây lan và quy mô của dịch bệnh. Khi dân số N “đủ lớn”, sự vận động của hệ SIR có thể được xấp xỉ bằng hệ phương trình vi phân sau:

\[\begin{eqnarray*} \frac{dS}{dt} & = & -\beta SI\\ \frac{dI}{dt} & = & \beta SI - \gamma I\\ \frac{dR}{dt} & = & \gamma I \end{eqnarray*}\]

Model SIR or Compartmental Model

Các hệ số của mô hình SIR

Hệ số Beta và Gamma

Hệ số Beta

Đối với tài chính

Hệ số Beta (hay Chỉ số Beta of a stock or portfolio) là hệ số đo lường mức độ rủi ro hệ thống của 1 cổ phiếu (hay 1 danh mục đầu tư), bằng cách so sánh mức độ biến động giá của cổ phiếu đó so với mức độ biến động chung của toàn thị trường.

Hệ số Beta thường được so sánh với 1 để xác định rủi ro của cổ phiếu. Nếu:

  • Beta =1: cho thấy biến động giá chứng khoán ngang bằng với mức biến động của thị trường.
  • Beta >1: cho thấy biến động giá chứng khoán cao hơn mức biến động của thị trường (các ngành công nghệ cao, nghành Bất Động Sản)
  • Beta <1: cho thấy biến động giá thấp hơn biến động của bị trường (các ngành dịch vụ công ích, các ngành mang tính thiết yếu của xã hội như Sữa Vinamilk…)

Đối với dịch tễ học

Trong dịch tễ học \(\beta\) được gọi là tốc độ lây nhiễm hay tỷ lệ nhiễm bệnh (Infection Rate), có thể hiểu một cách đơn giản thì đây chính là xác suất trung bình mà một người khỏe mạnh có thể bị nhiễm bệnh, tức là chuyển từ ngăn S sang ngăn I. Đối với từng quốc gia thì hệ số này có sự ước lượng khác nhau, do 2 lý do:

  • Do tốc độ lây lan Virus ở từng quốc gia liên quan đến từng biến chúng khác nhau, ví dụ: Biến chủng ở Ấn Độ hiện nay có nguy cơ lây nhiễm tăng gần 40% so với các biến chủng thông thường khác.
  • Do chính sách ứng phó với đại dịch ở từng quốc gia là khác nhau, ví dụ: Việt Nam thực hiện khá tốt chính sách social distancing (giãn cách xã hội), tracing the suspecious cases (truy vết các trường hợp nghi ngờ)… do đó tỷ lệ nhiễm bệnh thấp hơn so với các nơi khác. Việc ước lượng hoặc quy ước chuẩn giá trị của hệ số \(\beta\) rất khác nhau và cũng do quy ước của các nhà dịch tễ học ở từng quốc gia với từng đại dịch cụ thể.

Hệ số Gamma

Hệ số Gamma là hệ số hồi phục của bệnh nhân nhiễm bệnh (Recovery rate), tham số này còn được tính nghịch đảo để suy ra thời gian nhiễm bệnh trung bình của một bệnh nhân khi nhiễm bệnh

Ước lượng R-zero qua Beta và Gamma

Lập hệ phương trình vi phân tại thời điểm t cho các trạng thái của hệ SIR và ước tính 2 hệ số quan trọng là \(\beta\) và \(\gamma\). Khi ước tính được hai hệ số này, chúng ta tính được \[R_{0}=\frac{\beta}{\gamma}\] Như vậy hệ số \(R_{0}\) sẽ được ước lượng qua hai hệ số nói trên, tuy nhiên việc tính toán hai hệ số trên thì còn tùy cách mà các nhà dịch tễ tính toán và ước lượng vì diễn biến ở mỗi vùng và các quốc gia là khác nhau.

Mô phỏng SIR

Giả sử chúng ta muốn đánh giá mức độ lây lan của một loại bệnh dịch nào đó (có thể là COVID 19) bằng mô hình SIR trong 90 ngày sắp tới với các điều kiện ban đầu như sau:

  • Tại thời điểm ban đầu cộng đồng dân số có 10 người bị nhiễm bệnh và những người này có khả năng lây truyền bệnh cho các cá thể khác (vì không được được cách ly chẳng hạn).
  • Tổng dân số trong cộng đồng là 100 (chú ý rằng tại mọi thời điểm thì S + I + R = Total Population = 100 = const).

R có khá nhiều thư viện có thể sử dụng để thực hiện SIR (trong đó có thư viện EpiModel).

So sánh, ví dụ, mức độ lây lan của bệnh dịch căn cứ theo thước đo số người bị nhiếm tương ứng với hai kịch bản khác nhau của mức độ lây nhiễm trong khi cố định các tham số khác:

Figure 2 chỉ ra rằng với kịch bản 2 (có hệ số lây nhiễm 0.005) thì sẽ nhanh chóng đạt đến số người bị nhiễm bệnh cực đại (điểm màu vàng) sau đó giảm nhanh chóng. Nếu hệ số lây nhiễm giảm đi 5 lần thì số người nhiễm đạt cực đại thấp hơn chừng 3.4 lần (điểm màu xanh) nhưng sau đó thì số người nhiễm sẽ giảm chậm hơn so với kịch bản 1 (căn cứ vào độ dốc). Cái này cũng dễ hiểu vì nếu một dịch bệnh mà lây lan nhanh thì ngay sau khi đạt đỉnh, số người nhiễm sẽ giảm không phanh, thậm chí có thể tụt ngay về zero. Vì vật chủ nhiễm bệnh đã chết hết cả (Removed) hoặc đạt trạng thái được miễn dịch (Immunity): một bệnh dịch cụ thể thì nếu một người bị nhiễm nhưng sống sót thì sẽ không bao giờ mắc lại bệnh đó nữa.