Review Materi Kuliah Kalkulus I

Catatan Kuliah

1 BILANGAN

1.1 Bilangan Asli

Asal mula manusia membuat bilangan Asli, \(\mathbb{N} = \{1,2,3,...\}\) yang digunakan untuk menghitung (counting).

Jika \(a,b \in \mathbb{N}\), maka kita bisa dapatkan \(a+b \in \mathbb{N}\) dan \(ab \in \mathbb{N}\).

Namun kita tidak bisa menjamin bahwa \(a-b\) atau \(\frac{a}{b}\) merupakan bilangan asli.

Hal ini penting karena manusia memiliki permasalahan yang bisa dituliskan sebagai persamaan linear seperti: \(a+x = b\) dan \(ax = b\). Akibatnya bilangan asli tidak bisa menyelesaikan persamaan linear tersebut.

1.2 Bilangan Bulat

Akibatnya manusia membuat bilangan Bulat (integer), \(\mathbb{Z} = \{...,-2,-1,0,1,2,..\}\).

Jika \(a,b \in \mathbb{N}\), maka \(a+x = b\) selalu memiliki solusi di \(\mathbb{Z}\).

Tapi \(ax = b\) tidak selalu memiliki solusi di \(\mathbb{Z}\).

1.3 Bilangan Rasional

Oleh karena itu manusia mengembangkan bilangan Rasional yang merupakan hasil bagi dari bilangan bulat. Didefinisikan \(\mathbb{Q} = \{ \frac{a}{b}, a,b \in \mathbb{Z}, b \neq 0 \}\).

Sekilas semua permasalahan sudah bisa diselesaikan dengan bilangan rasional. Namun demikian, ternyata ada satu permasalahan lain yang baru terpikirkan.

1.4 Bilangan Irasional

data.frame(x = 0:3, y = 0:3) %>% 
  ggplot(aes(x = x,
             y = y)) +
  geom_segment(x = 0, y = 0, xend = 1,yend = 0) +
  geom_segment(x = 0, y = 0, xend = 0,yend = 1) +
  geom_segment(x = 0, y = 1, xend = 1,yend = 0) +
  theme_void() +
  annotate("label",x = 0, y = .5, label = "1") +
  annotate("label",x = 0.5, y = 0, label = "1") +
  annotate("label",x = 0.5, y = 0.5, label = "Sebuah segitiga siku-siku\nBerapa panjang sisi ini?") +
  xlim(0,1) +
  ylim(0,1)

Dalam kasus di atas, panjang sisi segitiga tersebut adalah \(\sqrt(2)\). Nilai \(\sqrt(2)\) tidak bisa dituliskan sebagai bilangan rasional.

Oleh karena itu manusia memperluas bilangannya menjadi irasional \(\mathbb{Q}^C\).

Contoh lainnya: \(\sqrt(3), \pi\) dan lain sebagainya.

1.5 Bilangan Real

BIlangan Real adalah gabungan dari bilangan rasional dan irasional \(\mathbb{Q} \cup \mathbb{Q}^C\).

Bilangan real bisa digambarkan sebagai garis bilangan yang penuh.

data.frame(x = -3:3,
           y = 0) %>% 
  ggplot(aes(x = x,y = y)) +
  geom_line(aes(group = 1)) +
  geom_label(aes(label = x),
             alpha = .7,
             fill = "lightblue") +
  theme_void() +
  annotate("point",x = sqrt(2), y = 0) +
  annotate("label",x = sqrt(2),y = -.001,label = "sqrt(2)") +
  annotate("point",x = -pi/2, y = 0) +
  annotate("label",x = -pi/2,y = .001,label = "-pi/2") +
  ylim(-.01,.01)

1.5.1 Pertaksamaan di Bilangan Real

Jika \(x,y \in \mathbb{R}\), maka tepat satu dari tiga pernyataan berikut terpenuhi:

1. \(x < y\),
2. \(x = y\),
3. \(x > y\).

Selain itu, kita juga bisa menuliskan pertaksamaan dalam bentuk lainnya:

1. \(x \leq y\) berarti \(x < y\) atau \(x = y\),
2. \(x \geq y\) berarti \(x > y\) atau \(x = y\),

Apakah memungkinkan berlaku \(x \leq y\) dan \(x \geq y\) berlaku sekaligus? Apa artinya?

1.5.2 Ekivalen

Untuk setiap \(x,y \in \mathbb{R}\), pernyataan \(x \leq y\) ekivalen dengan pernyataan \(y - x \geq 0\). Berlaku juga sebaliknya.

1.5.3 Penulisan Desimal pada Bilangan Real

Bilangan real bisa ditulis sebagai penulisan desimal (sistem sepuluh). Misal \(x \in \mathbb{R}\), maka:

\[x = a_n 10^n + a_{n-1} 10^{n-1} + ... + a_1 10^1 + a_0 + a_{-1} 10^{-1} + + a_{-2} 10^{-2} + ...\]

dengan \(a_i \in \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) dan \(n \in \mathbb{N}\).

Contoh:

\[\frac{1}{2} = 0.5 = 5 . 10^{-1}\]

\[-\frac{4}{3} = -1.33333 = -(1 + 3.10^{-1} + 3.10^{-2} + 3.10^{-3} + ...)\]

Penulisan desimal dari bilangan rasional memiliki bentuk penulisan berulang.

Contoh:

Tunjukkan bahwa bilangan \(x = 0.123123123123...\) adalah bilangan rasional!

Kalikan saja \(x\) dengan \(1000\) lalu kita kurangin kembali dengan \(x\).

\[\begin{align*} &1000 x = 123.123123123... \\ &x = \underline{0.123123123123...} - \\ & 999x = 123 \\ & x = \frac{123}{999} \end{align*}\]

Angka seperti \(\pi\) bisa dikatakan irasional karena penulisannya tidak berulang.

1.5.4 Kepadatan Bilangan Rasional dan Irasional

Himpunan bilangan rasional dan irasional pada di \(\mathbb{R}\), artinya \(\forall x,y \in \mathbb{R}\) seberapapun dekatnya, selalu terdapat \(s \in \mathbb{Q}\) dan \(t \in \mathbb{Q}^C\), sehingga \(x < s < y\) dan \(x < t < y\).

Contohnya:

\(\sqrt(2)\) = 1.4142136 bisa didekati oleh bilangan 1, 1.4, 1.41, 1.414, dan seterusnya.

data.frame(x = 1:2,
           y = 0) %>% 
  ggplot(aes(x = x,y = y)) +
  geom_line(aes(group = 1)) +
  geom_label(aes(label = x),
             alpha = .7,
             fill = "lightblue") +
  theme_void() +
  annotate("point",x = sqrt(2), y = 0) +
  annotate("label",x = sqrt(2),y = -.001,label = "sqrt(2)") +
  annotate("point",x = 1.4, y = 0) +
  annotate("label",x = 1.4,y = .001,label = "1.4") +
  ylim(-.01,.01)

Bilangan irasional bisa dihampiri dengan bilangan rasional dengan tingkat kesalahan sekecil mungkin.

2 PEMBULATAN

Pembulatan adalah estimasi dari nilai sebenarnya, dilakukan dengan cara memotong ke bilangan yang terdekat.

Misal kita ingin menyatakan 0.375 dengan pembulatan satu angka di belakang koma yakni: 0.4. Tingkat kesalahannya adalah sebesar 0.05.

Semua bilangan yang dibulatkan menjadi 0.4 dan memiliki tingkat kesalahan 0.05 biasa ditulis sebagai \(0.4 \pm 0.05\), yakni berada pada rentang \(0.395 < x < 0.45\).

3 LOGIKA MATEMATIKA

Suatu pernyataan adalah kalimat yang memiliki hanya satu nilai kebenaran: benar atau salah.

Misalkan \(P\) adalah pernyataan, pernyataan yang menyangkan \(P\) disebut negasi dari P (notasi: \(\neg P\)).

Jika \(P\) berlaku maka \(Q\) berlaku dinotasikan \(P \Rightarrow Q\).

3.1 Konvers

Konvers dari \(P \Rightarrow Q\) adalah \(Q \Rightarrow P\).

3.2 Kontrapositif

Kontrapositifnya dari \(P \Rightarrow Q\) adalah \(\neg Q \Rightarrow \neg P\).

3.3 Contoh

Contoh:

Jika Amir memiliki KTP Bekasi, maka Amir adalah warga Jawa Barat.

• Konvers: Jika Amir adalah warga Jawa Barat, maka Amir memiliki KTP Bekasi.
  • Menghasilkan pernyataan yang salah.
• Kontrapositif: Jika Amir bukan warga Jawa Barat, maka Amir tidak memiliki KTP Bekasi.
  • Menghasilkan pernyataan yang benar.

3.4 Logika Matematika

Secara umum, pernyataan:

Jika \(x \in P\) mana \(x \in Q\) bernilai benar jika dan hanya jika \(P \subseteq Q\).

Peryataan di atas akan tepat sama dengan:

Jika \(x \notin Q\) maka \(x \notin P\).

3.5 Metode Pembuktian

Misalkan kita ingin membuktikan \(P \Rightarrow Q\), dengan \(P\) benar dan \(Q\) benar.

1. Bukti langsung
   • Kita hanya perlu membuktikan \(P \Rightarrow Q\).
   • Mulai dari \(P\) yang diketahui, lalu dengan aturan-aturan tertentu yang berlaku diperoleh \(Q\).
   • Misalkan jika \(P \Rightarrow P_1\), \(P_1 \Rightarrow P_2\),\(P_2 \Rightarrow P_n\),…,\(P_n \Rightarrow Q\).
   • Masing-masing \(P\) dan \(P_i\) bernilai benar, maka \(Q\) juga bernilai benar.
2. Bukti tak langsung
   • Kita perlu membuktikan \(\neg Q \Rightarrow \neg P\).
   • Mulai dari \(\neg Q\) lalu memperoleh \(\neg P\).
3. Kontradiksi
   • Mulai dari negasi pernyataan \(P\) dan \(\neg Q\) lalu memperoleh \(R\) dan \(\neg R\), dengan \(R\) adalah suatu penyataan (selain \(P,Q,\neg P, \neg Q\).)

4 PERTIDAKSAMAAN

4.1 Aturan manipulasi aljabar

4.1.1 Aturan penambahan

Jika \(a<b,c \in \mathbb{R}\), maka \(a+c<b+c\).

4.1.2 Aturan perkalian

Jika \(a<b,c>0\), maka \(ac<bc\). Jika \(a<b,c<0\), maka \(ac>bc\).

4.1.3 Aturan pengkuadratan

Jika \(a,b \geq 0, a<b\) maka \(a^2 < b^2\).

4.1.4 Aturan Kebalikan

Jika \(0 < a < b\) maka \(\frac{1}{a} < \frac{1}{b}\).

4.2 Interval

Interval adalah himpunan bilangan real \(x\) yang memenuhi \(a<x<b\) atau semacamnya.

4.3 Menyelesaikan Pertaksamaan

Bisa dengan faktorisasi, penggunaan kurva, atau grais bilangan.

5 NILAI MUTLAK

Untuk menaksir besarnya kesalahan penghampiran, perlu ukuran beda dua bilangan yang dinyatakan dalam nilai mutlak.

Nilai mutlak suatu bilangan dapat dipandang sebagai jarak bilangan dengan titik 0 pada garis bilangan.

data.frame(x = -3:3,
           y = 0) %>% 
  ggplot(aes(x = x,
             y = y)) +
  geom_line() +
  geom_point() +
  geom_label(aes(label = x,y = .1)) +
  ylim(-.001,2) +
  geom_segment(x = 0, xend = -2, y = .5, yend = .5,color = "darkred") +
  annotate("label",x = -1,y = .6, label = "|-2|") +
  geom_segment(x = 0, xend = 3, y = .7, yend = .7,color = "darkred") +
  annotate("label",x = 1.5,y = .8, label = "|3|") +
  theme_void()

\(|-2|\) dapat diartikan jarak \(-2\) ke titik 0.

Definisi:

\[|x| \left\{\begin{matrix} x, \text{ jika } x \geq 0\\-x, \text{ jika } x \leq 0 \end{matrix}\right.\]

5.1 Sifat Perkalian

\[|xy| = |x| |y|\]

5.2 Sifat Pembagian

\[|\frac{x}{y}| = \frac{|x|}{|y|}, \text{ dengan } y\neq 0\]

5.3 Sifat Penjumlahan

\[|x+y| \leq |x| + |y|\]

Ketaksamaan segitiga: penjumlahan dan nilai mutlak perlu penyelesaian.

per1 = function(x,y){
  abs(x+y)
}

per2 = function(x,y){
  abs(x) + abs(y)
}

data.frame(x = -10:10,
           a = 2) %>% 
  mutate(y1 = per1(x,a),
         y2 = per2(x,a)) %>% 
  ggplot() +
  geom_line(aes(x = x,
                y = y1),
            color = "blue") +
  geom_line(aes(x = x,
                y = y2),
            color = "red") +
  theme_linedraw() +
  geom_vline(xintercept = 0) +
  labs(x = "x",
       y = "y",
       title = "Contoh Perbandingan dari Dua Persamaan Mutlak") +
  annotate("label",x = 5,y = 2.5,label = "|x + 2|",color = "blue") +
  annotate("label",x = 5,y = 1.5,label = "|x| + |2|",color = "red")

5.4 Sifat Jarak

Jika:

\[a>0, |x| < a \Leftrightarrow -a<x<a\]

Setiap bilangan \(x\) yang jaraknya dari titik nol kurang dari \(a\).

Jika:

\[a>0, |x| > a \Leftrightarrow x <-a \text{ atau } x > a\]

5.5 Latihan Soal

5.5.1 Soal 1

Tuliskan \(3<x<7\) dengan menggunakan nilai mutlak!

Jawab:

\[3<x<7 \\ \Leftrightarrow -2 < x-5 < 2 \\ \Leftrightarrow |x-5| < 2\]

5.5.2 Soal 2

Tentukan \(a,b\) agar pernyataan ini benar! Jika \(a<x<b, \text{ maka } |x-1|<\frac{1}{2}\).

Jawab:

\[|x-1|<\frac{1}{2} \\ \Leftrightarrow -\frac{1}{2} < x-1 < \frac{1}{2} \\ \Leftrightarrow -1 < 2x - 2 < 1 \\ \Leftrightarrow 1 < 2x < 3 \\ \Leftrightarrow \frac{1}{2} < x < \frac{3}{2} \\ a = \frac{1}{2} \\ b = \frac{3}{2}\]

Solusi dengan grafik:

soal_1 = function(x)abs(x-1)

data.frame(x = seq(0,3,by = .02)) %>% 
  mutate(y = soal_1(x)) %>% 
  ggplot(aes(x = x, y = y)) +
  geom_line(color = "darkred") +
  annotate("label",
           x = 2,
           y = 1.5,
           label = "y = abs(x-1)",
           color = "darkred") +
  geom_hline(yintercept = .5,
             color = "steelblue") +
  annotate("label",
           x = 2,
           y = 0.6,
           label = "y = .5",
           color = "steelblue") +
  annotate("point",
           x = .5,
           y = .5) +
  annotate("point",
           x = 1.5,
           y = .5) +
  theme_linedraw() +
  labs(caption = "Kita tinggal melihat area di mana garis merah berada di bawah garis biru.")

5.5.3 Soal 3

Selesaikan pertidaksamaan \(|2x-3| < 2\)

Jawab:

\[|2x-3| < 2 \\ \Leftrightarrow -2 < 2x - 3 < 2 \\ \Leftrightarrow 1 < 2x < 5 \\ \Leftrightarrow \frac{1}{5} < x < \frac{5}{2}\]

5.5.4 Soal 4

Tentukan solusi dari \(|1-3x| \geq |2x-1|\)

Solusi dengan grafik:

per1 = function(x)abs(1-3*x)
per2 = function(x)abs(2*x-1)

data.frame(x = seq(-1,1,by = .02)) %>% 
  mutate(y1 = per1(x),
         y2 = per2(x)) %>% 
  ggplot() +
  geom_line(aes(x,y1),
            color = "darkred") +
  annotate("label",
           x = 0,
           y = 2,
           label = "abs(1-3x)",
           color = "darkred") +
  geom_line(aes(x,y2),
            color = "steelblue") +
    annotate("label",
           x = 0.5,
           y = 2,
           label = "abs(2x - 1)",
           color = "steelblue") +
  theme_linedraw() +
  annotate("point",
           x = 0,
           y = 1) +
  annotate("point",
           x = 2/5,
           y = per1(2/5)) +
  labs(caption = "Kita perlu mengecek titik di mana garis merah berada di atas garis biru.")

5.5.5 Soal 5

Diberikan \(\epsilon > 0\), tentukan bilangan \(\delta > 0\) sehingga jika bilangan real \(x\) memenuhi \(|x-2| < \delta\), maka \(|5x-10| < \epsilon\).

Jawab:

\[|5x-10| < \epsilon \Leftrightarrow |5(x-2)| < \epsilon \\ \Leftrightarrow 5 |x-2| < \epsilon \\ \Leftrightarrow |x-2| < \frac{\epsilon}{5} \\ \text{Jadi kita bisa memilih } \delta = \frac{\epsilon}{5} \text{, sehingga} \\ |x-2| < \delta \Rightarrow |x-2| < \frac{\epsilon}{5} \Rightarrow |5x-10| < \epsilon\]

5.5.6 Soal 6

Diberikan \(\epsilon > 0\), tentukan bilangan \(\delta > 0\) sehingga jika bilangan real \(x\) memenuhi \(|x-1| < \delta\), maka \(|x^2 - 1| < \frac{1}{2}\).

Jawab:

\[|x^2 - 1| < \frac{1}{2} \Leftrightarrow - \frac{1}{2} < x^2-1 < \frac{1}{2} \\ \Leftrightarrow \frac{1}{2} < x^2 < \frac{3}{2} \\ \Leftrightarrow \sqrt{\frac{1}{2}} < x < \sqrt{\frac{3}{2}}\]

Perhatikan bahwa:

\[|x-1| < \delta \Leftrightarrow -\delta < x-1 < \delta \\ \Leftrightarrow 1-\delta <x < 1+\delta\]

Sehingga kita harus memiliki:

\[1-\delta <x < 1+\delta \Rightarrow \sqrt{\frac{1}{2}} < x < \sqrt{\frac{3}{2}}\]

Artinya:

\[\sqrt{\frac{1}{2}} < 1-\delta \text{ dan } 1 + \delta < \sqrt{\frac{3}{2}}\]

5.5.7 Soal 7

Suatu gelas kimia berbentuk tabung memiliki kapasitas 1 liter (1.000 cc). Jari-jari dari tabung adalah 4 cm. Berapa dekat kita harus mengukur tinggi air \(h\) cm agar pengukuran \(\frac{1}{2}\) liter air memiliki kesalahan kurang dari 5%.

Jawab:

Misalkan \(V\) menyatakan volume air yang diberikan, maka \(V = \pi r^2 h = 16 \pi h\).

Kita menginginkan toleransi kesalahan pengukuran \(V\) dari 500 cc kurang dari 5%. Berarti:

\[|V-500| < 5\% * 500 \\ \Leftrightarrow |16 \pi h - 500| < 25 \\ \Leftrightarrow |h - \frac{500}{16 \pi}| < \frac{25}{16 \pi} \\ \Leftrightarrow |h - \frac{500}{16 \pi}| < 0.49\]

Maka pengukuran tinggu harus memiliki tingkat kesalahan kurang dari \(0.49\) cm.

5.5.8 Soal 8

Misalkan saya ingin membuat persegi panjang dengan ukuran panjang 10 cm. Berapa toleransi ukuran lebar agar luas persegi panjang yang dihasilkan adalah 50 \(cm^2\) dengan tingkat kesalahan kurang dari 4 \(cm^2\).

Jawab:

Misalkan \(l\) menandakan panjang, maka luas persegi panjang adalah \(L = p.l = 10l\). Saya diminta untuk menentukan \(\delta\) (toleransi) sehingga:

\[|l - l_{taksiran}| < \delta \text{ agar } |L - L_{taksiran}| < 4\]

Artinya:

\[|L - 50| < 4 \Leftrightarrow -4 < L-50 < 4 \\ \Leftrightarrow -4 < 10l - 50 < 4 \\ \Leftrightarrow -0.4 < l-5 < 0.4 \\ \Leftrightarrow |l-5| < 0.4\]

Agar tingkat kesalahan pengukuran luas 50 \(cm^2\) kurang dari 4 \(cm^2\), maka toleransi pengukuran lebar yang diperbolehkan \(\delta = 0.4\).

6 SISTEM KOORDINAT

6.1 Latihan Soal

6.1.1 Soal 1

Tentukan jarak antara titik \((4,5)\) dan titik \((-2,-3)\).

Jawab:

Jarak antara dua titik:

data.frame(x = c(4,-2),
           y = c(5,-3)) %>% 
  ggplot() +
  geom_line(aes(x,y),
            color = "steelblue") +
  geom_point(aes(x,y)) +
  xlim(-3,5) +
  ylim(-3,6) +
  geom_vline(xintercept = 0) +
  geom_hline(yintercept = 0) +
  coord_fixed()

Bisa dipandang sebagai jarak antara:

1. Sumbu \(x\) di -2 ke 4, dan
2. Sumbu \(y\) di -3 ke 5.

data.frame(x = c(4,-2),
           y = c(5,-3)) %>% 
  ggplot() +
  geom_line(aes(x,y),
            color = "steelblue") +
  geom_point(aes(x,y)) +
  xlim(-3,5) +
  ylim(-3,6) +
  geom_vline(xintercept = 0) +
  geom_hline(yintercept = 0) +
  geom_segment(x = -2,xend = 4,y = -3,yend = -3,
               linetype = 2,
               color = "red") +
  geom_segment(x = 4,xend = 4,y = -3,yend = 5,
               linetype = 2,
               color = "red") +
  coord_fixed()

Lalu jarak antara titik \((4,5)\) dan titik \((-2,-3)\) bisa didapatkan dengan cara phytagoras.

Jika \(P = (4,5)\) dan \(Q = (-2,-3)\), maka:

\[|PQ| = \sqrt{(-2 - 4)^2 + (-3 - 5)^2} = 10\]

6.1.2 Soal 2

Tentukan persaman lingkaran yang berpusat di \((3,4)\) dan menyinggung sumbu \(y\).

Jawab:

Perhatikan gambar berikut ini:

data.frame(x = 3,
           y = 4) %>% 
  ggplot() +
  geom_point(aes(x,y)) +
  ylim(-1,7) +
  xlim(-1,7) +
  geom_vline(xintercept = 0) +
  geom_hline(yintercept = 0) +
  ggrepel::geom_text_repel(aes(x,y,label = paste0("(",x,",",y,")"))) +
  geom_segment(x = 0, xend = 3, y = 4, yend = 4,
               color = "steelblue",
               linetype = 2) +
  annotate("text",x = 1.5,y = 4.3,label = "r") +
  annotate("text",x = -.5,y = 4.3,label = "(0,4)") +
  annotate("path",
           x= 3 +3*cos(seq(0,2*pi,length.out=100)),
           y= 4 +3*sin(seq(0,2*pi,length.out=100))
   ) +
  coord_fixed()

Kita tahu bahwa semua semua titik yang berada garis lingkaran memiliki jarak yang sama terhadap titik pusat \((3,4)\), maka dengan rumus jarak kita bisa turunkan:

\[\text{jarak} = r^2 = (x-3)^2 + (y-4)^2 \\ \Leftrightarrow 9 = (x-3)^2 + (y-4)^2\]

7 PERSAMAAN GARIS

7.1 Bentuk Umum Persamaan Garis

Bentuk umum persamaan garis adalah \(Ax + By + C = 0\).

1. Jika \(A=0\) dan \(B \neq 0\), maka garis sejajar sumbu \(x\).
2. Jika \(A \neq 0\) dan \(B = 0\), maka garis sejajar sumbu \(y\).
3. Jika \(C 0 0\) maka garis melewati titik asal \((0,0)\).
4. Jika \(A \neq 0\) dan \(B \neq 0\), maka garis tidak sejajar sumbu koordinat.

Asalkan \(B \neq 0\), persamaan garis dapat ditulis menjadi \(y = mx + c\) dimana \(m = - \frac{A}{B}\) dan \(c = - \frac{C}{B}\).

7.2 Gradien (Kemiringan Garis)

Misalkan titik \(P(x_1,y_1)\) dan \(Q(x_2,y_2)\) sebarang titik pada garis \(l\).

data.frame(x = c(0:10),
           y = c(0:10)) %>% 
  ggplot() +
  geom_line(aes(x,y)) +
  ylim(-1,10) +
  xlim(-1,10) +
  geom_vline(xintercept = 0) +
  geom_hline(yintercept = 0) +
  coord_fixed() +
  geom_segment(x = 2,xend = 10,y=2,yend = 2,
               color = "darkred") +
  annotate("label",x = 2,y = 2.5,label = "P(x1,y1)") +
  geom_point(aes(2,2)) +
  annotate("label",x = 6,y = 6.5,label = "P(x2,y2)") +
  geom_point(aes(6,6))

Gradien didefinisikan:

\[\text{Gradien} = m = tan(\theta) = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\]

Di mana \(\theta\) adalah sudut antara garis \(l\) dengan sumbu \(x\).

7.3 Persamaan Garis Melalui Dua Titik

Misalkan garis \(l\) melalui dua buah titik, yakni \(P(x_1,y_1)\) dan \(Q(x_2,y_2)\).

data.frame(x = c(0:10),
           y = c(0:10)) %>% 
  ggplot() +
  geom_line(aes(x,y)) +
  ylim(-1,10) +
  xlim(-1,10) +
  geom_vline(xintercept = 0) +
  geom_hline(yintercept = 0) +
  coord_fixed() +
  annotate("label",x = 2,y = 2.5,label = "P(x1,y1)") +
  geom_point(aes(2,2)) +
  annotate("label",x = 6,y = 6.5,label = "P(x2,y2)") +
  geom_point(aes(6,6)) +
  theme_void()

Bagaimana menentukan persamaan garisnya?

Kita ingat bahwa bentuk umum dari persamaan garis adalah \(y = mx + c\). Kita cukup substitusikan saja titik \(P\) dan \(Q\) ke dalam bentuk tersebut.

Diperoleh:

\[\left\{\begin{matrix} y_1 = mx_1 + c \\ y_2 = mx_2 + c \end{matrix}\right.\]

untuk mendapatkan nila \(c\). Untuk mencari nilai gradien, kita hitung dari:

\[m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\]

7.4 Persamaan Garis Melalui Titik dengan Gradien Diketahui

Suatu garis \(l\) memiliki gradien \(m\) dan melalui titik \(P(x_1,y_1)\).

Bagaimana mencari persamaan garisnya?

Kita bisa langsung subtitusi titik \(P\) dan gradien \(m\) ke dalam persamaan garis:

\[y_1 = mx_1 + c \Leftrightarrow c = y_1 - mx_1\]

Sehingga jika kita subtitusikan \(c\) ke dalam persamaan garis umum:

\[y = mx + c \\ \Leftrightarrow y = mx + y_1-mx_1 \\ \Leftrightarrow y-y_1 = m(x-x_1)\]

7.5 Garis Sejajar

Kedua garis disebut sejajar jika gradien garis tersebut sama.

data.frame(x = c(0:10),
           y = c(0:10)) %>% 
  ggplot() +
  geom_line(aes(x,y)) +
  geom_line(aes(x,y-4)) +
  ylim(-1,10) +
  xlim(-1,10) +
  geom_vline(xintercept = 0) +
  geom_hline(yintercept = 0) +
  coord_fixed() 

7.6 Garis Tegak Lurus

Garis \(l\) dan \(k\) tidak sejajar dengan sumbu koordinat dan saling tegak lurus jika: \(m_k = \frac{1}{m_l}\)

8 GRAFIK PERSAMAAN

8.1 Persamaan Dua Variabel

Persamaan dua variabel adalah hubungan antara variabel \(x\) dan \(y\) dalam suatu persamaan.

8.2 Kesimetrian

Ada tiga jenis kesimetrian:

1. Simetri terhadap sumbu \(y\). Untuk setiap \((x,y)\) pada kurva, titik \((-x,y)\) juga ada pada kurva.
2. Simetri terhadap sumbu \(x\). Untuk setiap \((x,y)\) pada kurva, titik \((x,-y)\) juga ada pada kurva.
3. Simetri terhadap titik asal \((0,0)\). Untuk setiap \((x,y)\) pada kurva, titik \((-x,-y)\) juga ada pada kurva. Contoh: \(y = x^3\).

8.3 Perpotongan Grafik dengan Sumbu Koordinat

Titik potong dari grafik ada tiga jenis.

1. Titik potong dengan sumbu \(x\), didapat saat \(y=0\).
2. Titik potong dengan sumbu \(y\), didapat saat \(x=0\).
3. Titik potong dari dua grafik yang berbeda.

9 FUNGSI DAN GRAFIKNYA

9.1 Definisi

Fungsi ibarat mesin. Jika diberikan input, maka mesin akan memberikan output. Untuk setiap input \(x\) maka \(f(x)\) harus tunggal.

9.2 Domain dan Range

Misal diberikan \(y = f(x)\), maka himpunan semua nilai \(x\) adalah domain. Himpunan semua hasil \(y\) adalah range.

9.2.1 Soal 1

Tentukan domain natural dari \(f(x) = \sqrt{x^2 - 1}\)!

Jawab:

Domain adalah semua himpunan \(x\) yang mungkin sehingga fungsi terdefinisi dengan baik. Oleh karena \(\sqrt{z} > 0\), maka \(z > 0\).

\[D_f = \{ x \in \mathbb{R}: x^2-1 > 0 \} = (- \infty,-1] \cup [1, \infty) \]

9.2.2 Soal 2

Tentukan domain natural dari \(i(x) = \frac{1}{1 - \sqrt{x-5}}\)!

Jawab: Perhatikan bahwa pembagi tak boleh nol dan akar tidak boleh negatif. Maka:

\[D_i = \{ x \in \mathbb{R}: 1 - \sqrt{x-5} \neq 0 \text{ dan } x-5 \geq 0 \} = [5,\infty) \setminus \{6\}\]

9.2.3 Soal 3

Tentukan range dari \(f(x) = 2x^2 - 5\)!

Jawab:

Nilai terkecil dimungkinkan saat \(x=0\) sehingga \(f(0) = -5\).

Oleh karena itu: \(f(x) = 2x^2 - 5 \geq -5\), sehingga range \(f(x)\) adalah \([-5,\infty\}\)

fun = function(x) 2*x^2-5
data.frame(x = seq(-5,5,by = 0.1)) %>% 
  mutate(y = fun(x)) %>% 
  ggplot() +
  geom_line(aes(x,y)) +
  ylim(-5,10) +
  xlim(-5,5) +
  geom_vline(xintercept = 0) +
  geom_hline(yintercept = 0) +
  coord_fixed() 

9.3 Grafik Fungsi

Misalkan \(f: A \mapsto B\), grafik fungsi \(f\) adalah himpunan \(\{ (x,y):x \in A, y \in f(x)\}\).

9.3.1 Hubungan dengan kesimetrian

• Jika \(f(x) = f(-x), \forall x \in \mathbb{R}\) artinya grafik \(f\) simetris terhadap sumbu \(y\).
• Jika \(f(x) = -f(-x), \forall x \in \mathbb{R}\) artinya grafik \(f\) simetris terhadap titik asal \((0,0)\).

9.3.2 Fungsi genap

Jika \(f\) memenuhi \(f(x) = f(-x), \forall x \in \mathbb{R}\), maka \(f\) disebut fungsi genap.

9.3.3 Fungsi ganjil

Jika \(f\) memenuhi \(f(-x) = -f(x), \forall x \in \mathbb{R}\), maka \(f\) disebut fungsi ganjil.

10 OPERASI ALJABAR FUNGSI

Misalkan \(f\) fungsi dengan domain \(D_f\) dan \(g\)fungsi dengan domain \(D_g\). Operasi aljabar fungsi akan menghasilkan fungsi baru dengan domain baru.

• Penjumlahan \((f+g)(x) = f(x) + g(x)\)
• Pengurangan \((f-g)(x) = f(x) - g(x)\)
• Perkalian \((f . g)(x) = f(x) . g(x)\)
  • Berlaku juga untuk perpangkatan \(f^n(x) = [f(x)]^n\)

DOmain fungsi baru tersebut harus terdefinisi untuk fungsi \(f\) dan di fungsi \(g\), sehingga \(D_{f+g} = \{ x \in \mathbb{R} | x \in D_f, x \in D_g \}\).

Bagaimana dengan pembagian?

\[(\frac{f}{g})(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \\ D_{\frac{f}{g}} = \{ x \in \mathbb{R}|x \in D_f, x \in D_g, g(x) \neq 0 \}\]

10.1 Contoh Soal

Misalkan \(f(x) = \sqrt{x-1}\) dan \(g(x) = \sqrt{x^2 - 4}\). Tentukan: \(f+g,f-g,f.g,\frac{f}{g}\)!

Jawab:

Domain \(f\) adalah \(D_f = \{x \in \mathbb{R}|x-1 \geq 0\} = [1,\infty)\).

Domain \(g\) adalah \(D_g = \{x \in \mathbb{R}| x^2 - 4 \geq 0\} = (-\infty,-2] \cup [2,\infty)\).

Domain \(f+g,f-g,f.g\) adalah \(D_f \cap D_g = [2,\infty)\).

Sedangkan domain \(\frac{f}{g}\) adalah:

\[D_{\frac{f}{g}} = \{ x \in \mathbb{R} | x \in D_f, x \in D_g, g(x) \neq 0 \} \\ = \{ x \in \mathbb{R} | x \in [1,\infty), x \in (-\infty,-2] \cup [2,\infty), x^2 - 4 \geq 0 \} \\ = (2,\infty)\]

11 KOMPOSISI FUNGSI

Misalkan \(f\) dan \(g\) dua buah fungsi. Misalkan \(x\) sebgai input dari mesin \(f\) menghasilkan output \(f(x)\). Selanjutnya input dari fungsi \(g\) adalah \(f(x)\) menghasilkan output \(g[f(x)]\). Dengan demikian diperoleh output dari komposisi fungsi \(f\) dan fungsi \(g\).

Andai proses ini dibalik, belum tentu output yang dihasilkan sama.

Notasi: komposisi dari \(g\) dengan \(f\) ditulis dengan: \((f \circ g)(x) = f[g(x)]\).

11.1 Sifat Komposisi

Komposisi fungsi tidak komutatif: \((f \circ g)(x) \neq (g \circ f)(x)\).

11.2 Domain Komposisi Fungsi

Perhatikan bahwa jika \((g \circ f)(x)\) maka \(D_{(g \circ f)} = \{x \in D_f|f(x) \in D_g \}\).

11.2.1 Contoh

Misalkan \(f(x) = \sqrt{1-2x}\) dan \(g(x) = x^2\). Tentukan \((g \circ f)\) dan domainnya!

Jawab:

\[(g \circ f)(x) = g[f(x)] = (\sqrt{1-2x})^2 = 1-2x\]

Perhatikan bahwa:

\[D_f = \{x \in \mathbb{R} | 1-2x \geq 0 \} = \{x \in \mathbb{R} | x \leq \frac{1}{2}\} \\ D_g = \{x \in \mathbb{R} \}\]

Sehingga:

\[D_{g \circ f} = \{x \in D_f | f(x) \in D_g\} \\ = \{x \leq \frac{1}{2} | \sqrt{1-2x} \in \mathbb{R}\} \\ = \{ x \leq \frac{1}{2} \}\]

Tidak sama dengan bentuk eksplisit dari \((g \circ f)\).

12 PERGESERAN FUNGSI

Misalkan fungsi \(y = f(x)\), maka:

• \(y = f(x+n)\), fungsi \(f(x)\) digeser ke kiri sejauh \(n\).
• \(y = f(x-n)\), fungsi \(f(x)\) digeser ke kanan sejauh \(n\).
• \(y = f(x)+n\), fungsi \(f(x)\) digeser ke atas sejauh \(n\).
• \(y = f(x)-n\), fungsi \(f(x)\) digeser ke bawah sejauh \(n\).

13 FUNGSI TRIGONOMETRI

13.1 Fungsi Dasar

Fungsi dasar trigonometri:

1. Sinus,
2. Kosinus.

Inputnya adalah bilangan real berupa radian. Dari dua fungsi di atas, bisa didefinisikan fungsi lainnya seperti:

1. Tangen,
2. Secan,
3. Cosecan,
4. Cotangen.

13.2 Definisi

Misal \(P(x,y)\) koordinat titik \(A\) setelah rotasi (sehingga terwujud lingkaran berjari-jari 1 di titik pusat kartesius). Jelas \(P\) tunggal dan hanya ditentukan oleh \(\theta\).

data.frame(x = 0,
           y = 0) %>% 
  ggplot() +
  geom_point(aes(x,y)) +
  ylim(-1.5,1.5) +
  xlim(-1.5,1.5) +
  geom_vline(xintercept = 0) +
  geom_hline(yintercept = 0) +
  annotate("path",
           x= 0 +1*cos(seq(0,2*pi,length.out=100)),
           y= 0 +1*sin(seq(0,2*pi,length.out=100))
   ) +
  coord_fixed() +
  geom_point(x = .5,
             y = sqrt(1-.5^2)) +
  geom_segment(x = 0, xend = .5,
               y = 0, yend = sqrt(1-.5^2),
               color = "red",
               linetype = 2) +
  geom_label(aes(x = .5,
                 y = sqrt(1-.5^2) + .2,
                 label = "(x,y)")) +
  geom_segment(x = .5, xend = .5,
               y = 0, yend = sqrt(1-.5^2),
               color = "red",
               linetype = 2,
               size = .5) +
  geom_segment(x = 0, xend = .5,
               y = sqrt(1-.5^2), yend = sqrt(1-.5^2),
               color = "red",
               linetype = 2) +
  geom_label(aes(x = .5,
                 y = -.1,
                 label = "(x,0)")) +
  geom_label(aes(x = -.2,
                 y = sqrt(1-.5^2),
                 label = "(0,y)")) +
  annotate("text",
           y = .075,
           x = .13,
           label = "theta",
           parse = T)

Definisi:

\[sin(\theta) = y\\cos(\theta) = x\]

13.3 Sifat-Sifat Dasar

13.3.1 Range nilai sinus dan cosinus

\[-1 \leq sin (\theta) \leq 1 \\ -1 \leq cos (\theta) \leq 1\]

13.3.2 Phytagoras

Perhatikan kembali:

data.frame(x = 0,
           y = 0) %>% 
  ggplot() +
  geom_point(aes(x,y)) +
  ylim(-1.5,1.5) +
  xlim(-1.5,1.5) +
  geom_vline(xintercept = 0) +
  geom_hline(yintercept = 0) +
  annotate("path",
           x= 0 +1*cos(seq(0,2*pi,length.out=100)),
           y= 0 +1*sin(seq(0,2*pi,length.out=100))
   ) +
  coord_fixed() +
  geom_point(x = .5,
             y = sqrt(1-.5^2)) +
  geom_segment(x = 0, xend = .5,
               y = 0, yend = sqrt(1-.5^2),
               color = "red",
               linetype = 2) +
  geom_label(aes(x = .5,
                 y = sqrt(1-.5^2) + .2,
                 label = "(x,y)")) +
  geom_segment(x = .5, xend = .5,
               y = 0, yend = sqrt(1-.5^2),
               color = "red",
               linetype = 2,
               size = .5) +
  geom_segment(x = 0, xend = .5,
               y = sqrt(1-.5^2), yend = sqrt(1-.5^2),
               color = "red",
               linetype = 2) +
  geom_label(aes(x = .5,
                 y = -.1,
                 label = "(x,0)")) +
  geom_label(aes(x = -.2,
                 y = sqrt(1-.5^2),
                 label = "(0,y)")) +
  annotate("text",
           y = .075,
           x = .13,
           label = "theta",
           parse = T) +
  annotate("text",
           x = .2,
           y = .5,
           label = "1")

Oleh karena lingkaran berjari-jari 1, maka:

\[\forall \theta, sin^2 (\theta) + cos^2 (\theta) = 1\]

13.3.3 Rotasi penuh

\[\forall \theta, sin(\theta + 2 \pi) = sin (\theta) \\ cos (\theta + 2 \pi) = cos (\theta)\]

13.3.4 Fungsi genap dan ganjil

\[\forall \theta, sin(- \theta) = sin (\theta) \\ cos (-\theta) = cos (\theta)\]

13.3.5 Hubungan sinus dan cosinus dalam segitiga

\[\forall \theta, sin(\frac{\pi}{2} - \theta) = cos (\theta) \\ cos(\frac{\pi}{2} - \theta) = sin (\theta)\]

14 FUNGSI PERIODIK

14.1 Definisi

Fungsi \(f\) disebut periodik jika ada bilangan real \(t\) sehingga:

\[f(x+t) = f(x), \forall x \in \mathbb{R}\]

Jika fungi periodik \(f\) memiliki nilai maksimum \(M\) dan minimum \(m\), amplitudo dari \(f\) adalah:

\[A = \frac{1}{2} (M+m)\]

14.2 Transformasi

Bagaimana dengan nilai \(sin(ax)\) untuk \(x<0\) dan \(x>0\)?

data.frame(x = seq(0,2*pi,by = .01)) %>% 
  mutate(sinx = sin(x),
         sin2x = sin(2*x)) %>% 
  ggplot() +
  geom_line(aes(x,sinx),
            color = "darkred") +
  geom_line(aes(x,sin2x),
            color = "darkgreen") +
  geom_vline(xintercept = 0) +
  geom_hline(yintercept = 0) +
  annotate("label",
           x = 2*pi,
           y = 0,
           label = "2*pi",
           parse = T) +
  annotate("label",
           x = pi,
           y = 0,
           label = "pi",
           parse = T) +
   annotate("label",
           x = pi/2,
           y = 0,
           label = "pi/2",
           parse = T) +
   annotate("label",
           x = 3*pi/2,
           y = 0,
           label = "3*pi/2",
           parse = T) +
  coord_fixed() +
  labs(x = "x",
       y = "y") +
  annotate("label",
           x = 1.8*pi,
           y = .5,
           label = "Merah = sin(x)\nHijau = sin(2x)") +
  theme(axis.text.x = element_blank())

Perhatikan bahwa:

• Periode:
  • \(t_{sin(x)} = \pi\)
  • \(t_{sin(2x)} = 2\pi\)
• Amplitudo:
  • \(A_{sin(x)} = 1\)
  • \(A_{sin(2x)} = 1\)

Bedakan dengan \(2 sin(x)\):

data.frame(x = seq(0,2*pi,by = .01)) %>% 
  mutate(sinx = sin(x),
         sin2x = 2*sin(x)) %>% 
  ggplot() +
  geom_line(aes(x,sinx),
            color = "darkred") +
  geom_line(aes(x,sin2x),
            color = "darkgreen") +
  geom_vline(xintercept = 0) +
  geom_hline(yintercept = 0) +
  annotate("label",
           x = 2*pi,
           y = 0,
           label = "2*pi",
           parse = T) +
  annotate("label",
           x = pi,
           y = 0,
           label = "pi",
           parse = T) +
   annotate("label",
           x = pi/2,
           y = 0,
           label = "pi/2",
           parse = T) +
   annotate("label",
           x = 3*pi/2,
           y = 0,
           label = "3*pi/2",
           parse = T) +
  coord_fixed() +
  labs(x = "x",
       y = "y") +
  annotate("label",
           x = 1.8*pi,
           y = .5,
           label = "Merah = sin(x)\nHijau = 2sin(x)") +
  theme(axis.text.x = element_blank())

Periode kedua fungsi tersebut sama tapi amplitudonya berbeda.

Bagaimana dengan \(sin(x+1)\)?

data.frame(x = seq(0,2*pi,by = .01)) %>% 
  mutate(sinx = sin(x),
         sin2x = sin(x+1)) %>% 
  ggplot() +
  geom_line(aes(x,sinx),
            color = "darkred") +
  geom_line(aes(x,sin2x),
            color = "darkgreen") +
  geom_vline(xintercept = 0) +
  geom_hline(yintercept = 0) +
  annotate("label",
           x = 2*pi,
           y = 0,
           label = "2*pi",
           parse = T) +
  annotate("label",
           x = pi,
           y = 0,
           label = "pi",
           parse = T) +
   annotate("label",
           x = pi/2,
           y = 0,
           label = "pi/2",
           parse = T) +
   annotate("label",
           x = 3*pi/2,
           y = 0,
           label = "3*pi/2",
           parse = T) +
  coord_fixed() +
  labs(x = "x",
       y = "y") +
  annotate("label",
           x = 1.8*pi,
           y = .5,
           label = "Merah = sin(x)\nHijau = sin(x+1)") +
  theme(axis.text.x = element_blank())

Periode dan amplitudonya sama.

14.2.1 Transformasi fungsi sinusoid

Berapa periode dan amplitudo dari \(f(x) = Asin(bx), \forall A \in \mathbb{R}, b>0\)!

Untuk mencari periodenya, perhatikan bahwa:

\[f(x) \\= A sin (bx) \\= A sin (bx + 2\pi) \\= A sin b(x + \frac{2\pi}{b}) \\ f(x+\frac{2\pi}{b})\]

Oleh karena itu, periodenya adalah \(\frac{2\pi}{b}\). Amplitudonya sebesar \(A\).

14.3 Identitas Trigonometri

14.3.1 Penjumlahan sudut

\[cos(a-b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)\]

\[cos(a+b) = cos(a - (-b)) \\ = cos(a)cos(-b) + sin(a)sin(-b)\]

Ingat kembali bahwa:

\[\forall \theta, sin(\frac{\pi}{2} - \theta) = cos (\theta) \\ cos(\frac{\pi}{2} - \theta) = sin (\theta)\]

Sehingga:

\[sin(a-b) = cos(\frac{\pi}{2} - (a-b)) \\ = cos(\frac{\pi}{2} - a + b) \\ = cos(\frac{\pi}{2} - a)cos(b) - sin(\frac{\pi}{2} - a)sin(b)\]

14.3.2 Sudut ganda

\[sin(2a) = 2 sin(a) cos(a)\]

\[cos(2a) = cos^2(a) - sin^2(a) = 1 - sin^2(a) = 2cos^2(a) - 1\]

14.3.3 Sudut separuh

\[sin(\frac{a}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1-cos(a)}{2}}\]

\[cos(\frac{a}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1+cos(a)}{2}}\]

14.3.4 Penjumlahan sinus dan cosinus

\[sin(a) + sin(b) = 2 sin(\frac{a+b}{2})cos(\frac{a-b}{2})\]

\[cos(a) + cos(b) = 2 cos(\frac{a+b}{2})cos(\frac{a-b}{2})\]

14.3.5 Perkalian sinus dan cosinus

\[-2 sin (x) sin (y) = cos(x+y) - cos(x-y)\]

\[2 cos (x) cos (y) = cos(x+y) + cos(x-y)\]

15 LIMIT FUNGSI

Masalah penghampiran:

• Seringkali di suatu kejadian, hanya dengan informasi pada saat kejadian, kita tidak memperoleh informasi yang cukup.
• Misalkan berapa kekuatan bom Hiroshima?
  • Untuk mencari informasi tersebut, kita menggunakan informasi sebelum dan sesudah kejadian (bukan pada saat kejadian).

Diketahui fungsi \(f\), tetapi ada satu titik \(c\) dimana \(f(c)\) tidak memiliki nilai. Kita akan menaksir \(f(c)\) menggunakan nilai di sebelah kanan \(c\) atau di sebelah kirinya.

15.1 Contoh

\[f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}\]

Fungsi di atas tidak memiliki nilai di \(x=2\), lantas bagaimana caranya agar kita bisa menaksir \(f(2)\)?

Kita akan menyelidiki nilai \(f(x)\) di sekitar \(x=2\) tapi \(x \neq 2\).

15.1.1 Penyelidikan dari sebelah kiri

Untuk keperluan perhitungan karena \(x \neq 2\):

\[\displaystyle \lim_{x\to 2^-} \frac{x^2-4}{x-2} = x+2\]

data.frame(x = seq(1,2,by = .01)) %>% 
  filter(x > 1.95 | x < 1.1) %>% 
  filter(x!= 2) %>% 
  mutate(fx = x+2) %>% 
  knitr::kable(align = "c")

x	fx
1.00	3.00
1.01	3.01
1.02	3.02
1.03	3.03
1.04	3.04
1.05	3.05
1.06	3.06
1.07	3.07
1.08	3.08
1.09	3.09
1.95	3.95
1.96	3.96
1.97	3.97
1.98	3.98
1.99	3.99

15.1.2 Penyelidikan dari sebelah kanan

Untuk keperluan perhitungan karena \(x \neq 2\):

\[\displaystyle \lim_{x\to 2^+} \frac{x^2-4}{x-2} = x+2\]

data.frame(x = seq(3,2,by = -.01)) %>% 
  filter(x > 2.95 | x < 2.1) %>% 
  filter(x!= 2) %>% 
  mutate(fx = x+2) %>% 
  knitr::kable(align = "c")

x	fx
3.00	5.00
2.99	4.99
2.98	4.98
2.97	4.97
2.96	4.96
2.09	4.09
2.08	4.08
2.07	4.07
2.06	4.06
2.05	4.05
2.04	4.04
2.03	4.03
2.02	4.02
2.01	4.01

15.1.3 Kesimpulan

Karena penyelidikan dari kanan sama dengan dari kiri, maka:

\[\displaystyle \lim_{x\to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = x+2 = 4\]

data.frame(x = seq(0,4,by = .01)) %>% 
  mutate(y = (x^2-4)/(x-2)) %>% 
  filter(!is.nan(y)) %>% 
  ggplot() +
  geom_line(aes(x,y),
            color = "darkred") +
  geom_vline(xintercept = 0) +
  geom_hline(yintercept = 0) +
  geom_point(aes(x = 2,
                 y = 4),
             shape = 4,
             fill = "white",
             color = "black") +
  coord_fixed()

15.2 Masalah Penghampiran

Dalam beberapa kesempatan, masalah penghampiran tidak selalu menghasilkan kesimpulan!

15.2.1 Contoh

Misalkan kita memiliki fungsi \(f(x) = \frac{x}{|x|}\) yang tidak memiliki nilai di \(x=0\).

Untuk keperluan perhitungan, saat \(x \neq 0\), kita bisa tuliskan:

\[f(x) = \left\{\begin{matrix} 1, x>0 \\ -1, x<0 \end{matrix}\right.\]

data.frame(x = seq(-2,2,by = .01)) %>% 
  mutate(y = x / abs(x)) %>% 
  filter(!is.nan(y)) %>% 
  ggplot() +
  geom_point(aes(x,y),
            color = "darkred") +
  geom_vline(xintercept = 0) +
  geom_hline(yintercept = 0) +
  coord_fixed()

Karena pendekatan dari kanan dan kiri berbeda, maka kita bisa katakan bahwa:

\[\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{x}{|x|}\]

Tidak memiliki nilai.

15.3 Definisi Informal

\[\displaystyle \lim_{x\to c} f(x) = L\]

untuk nilai \(x\) yang dekat (tapi tidak sama) dengan \(c\) akan mengakibatkan nilai \(f(x)\) dekat dengan \(L\).

15.4 Eksistensi Limit

Limit fungsi disebut ada jika dan hanya jika didekati dari kanan sama dengan kiri.

15.5 Ukuran Kedekatan

Dua buah titik dikatakan dekat jika jarak atau toleransi error pengukuran kedua titik cukup kecil.

Misalkan \(c\) adalah suatu bilangan dan \(\delta > 0\). Kumpulan semua titik \(x\) yang menghampiri \(c\) dengan error kurang dari \(\delta\) dinyatakan oleh himpunan:

\[\{x: |x-c| < \delta\} = x \in (c-\delta,c+\delta)\]

Misalkan \(L\) adalah suatu bilangan dan \(\epsilon > 0\). Kumpulan semua titik \(y = f(x)\) yang menghampiri \(L\) dengan error kurang dari \(\epsilon\) dinyatakan oleh himpunan:

\[\{y: |y-L| < \epsilon\} = y \in (L-\epsilon,L+\epsilon)\]

Jika nilai \(x\) dengan dengan \(c\) mengakibatkan nilai \(f(x)\) dengan dengan \(L\).

Atau dapat ditulis sebagai:

\[\text{Jika } 0 < |x-c| < \delta \text{ maka } |f(x) - L| < \epsilon\]

Berapa besar \(\delta\) dan \(\epsilon\) yang dikehendaki?

15.6 Definisi Formal Limit

\[\displaystyle \lim_{x\to c} f(x) = L \\ \forall \epsilon > 0 \text{ (seberapapun kecilnya), terdapat } \delta > 0 \\ \text{sehingga } \forall x \in 0 < |x-c| < \delta \text{ berlaku } |f(x)-L| < \epsilon\]

16 TEOREMA UTAMA LIMIT

Misalkan \(n\) merupakan bilangan asli, \(k\) merupakan konstanta. Jika \(\displaystyle \lim_{x\to c} f(x)\) dan \(\displaystyle \lim_{x\to c} g(x)\) ada, maka:

1. \(\displaystyle \lim_{x\to c} k = k\)
2. \(\displaystyle \lim_{x\to c} x = c\)
3. \(\displaystyle \lim_{x\to c} kf(x) = k \displaystyle \lim_{x\to c} f(x)\)
4. \(\displaystyle \lim_{x\to c} [f(x)+g(x)] = \displaystyle \lim_{x\to c} f(x) + \displaystyle \lim_{x\to c} g(x)\)
5. \(\displaystyle \lim_{x\to c} [f(x)-g(x)] = \displaystyle \lim_{x\to c} f(x) - \displaystyle \lim_{x\to c} g(x)\)
6. \(\displaystyle \lim_{x\to c} [f(x).g(x)] = \displaystyle \lim_{x\to c} f(x) . \displaystyle \lim_{x\to c} g(x)\)
7. \(\displaystyle \lim_{x\to c} [f(x)/g(x)] = \displaystyle \lim_{x\to c} f(x) / \displaystyle \lim_{x\to c} g(x)\) dimana \(\displaystyle \lim_{x\to c} g(x) \neq 0\)
8. \(\displaystyle \lim_{x\to c} [f(x)]^n = [\displaystyle \lim_{x\to c} f(x)]^n\)
9. \(\displaystyle \lim_{x\to c} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\displaystyle \lim_{x\to c} f(x)}\)

16.1 Contoh soal

16.1.1 Soal 1

Berikan contoh fungsi jika \(\displaystyle \lim_{x\to c} [f(x)+g(x)]\) ada tapi tidak mengakibatkan \(\displaystyle \lim_{x\to c} f(x)\) dan \(\displaystyle \lim_{x\to c} g(x)\) ada.

Jawab:

Misalkan \(f(x) = \frac{1}{1-x}\) dan \(g(x) = \frac{1}{x-1}\).

\(\displaystyle \lim_{x\to 1} [f(x)+g(x)]\) ada tapi \(\displaystyle \lim_{x\to 1} f(x)\) dan \(\displaystyle \lim_{x\to 1} g(x)\) tidak ada.

16.1.2 Soal 2

Misalkan \(f(x)g(x) = 1, \forall x\) dan \(\displaystyle \lim_{x\to c} g(x) = 0\). Buktikan bahwa \(\displaystyle \lim_{x\to c} f(x)\) tidak ada!

Jawab:

Tuliskan: \(f(x)g(x) = 1, \forall x\) sebagai:

\[f(x) = \frac{1}{g(x)}\]

Oleh karena \(\displaystyle \lim_{x\to c} g(x) = 0\), maka:

\[\displaystyle \lim_{x\to c} f(x) = \frac{1}{\displaystyle \lim_{x\to c} g(x)} \\ = \frac{1}{0}\]

Tidak ada.

16.2 Teorema Substitusi

Jika \(f\) merupakan polinomial dan fungsi rasional dan \(c\) adalah sembarang bilangan real, maka \(\displaystyle \lim_{x\to c} f(x) = f(c)\) dengan syarat \(f(c)\) terdefinisi.

Selama bukan \(\frac{0}{0}\) atau \(\frac{\infty}{\infty}\)

16.3 Teorema Penyederhanaan

Kita bisa menyederhanakan fungsi yang kompleks ke bentuk sederhananya.

Jika \(f(x) = g(x)\) pada sebuah interval buka yang memuat \(c\), kecuali hanya di titik \(c\), dan \(\displaystyle \lim_{x\to c} g(x)\) ada, maka \(\displaystyle \lim_{x\to c} f(x) = \displaystyle \lim_{x\to c} g(x)\).

16.4 Teorema Apit

Misalkan \(f,g,h\) merupakan fungsi yang memenuhi \(f(x) \leq g(x) \leq h(x), \forall x\) yang dekat dengan \(c\), kecuali mungkin di \(c\) tidak terdefinisi. Jika \(\displaystyle \lim_{x\to c} f(x) = \displaystyle \lim_{x\to c} h(x) = L\) maka \(\displaystyle \lim_{x\to c} g(x) = L\).

16.5 Limit pada Trigonometri

Teorema substitusi berlaku juga di trigonometri.

\[\displaystyle \lim_{x\to c} sin(x) = sin(c) \\ \displaystyle \lim_{x\to c} cos(x) = cos(c)\]

16.6 Limit Bentuk Khusus

Ada dua limit spesial yang melibatkan fungsi trigonometri:

\[\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{sin(x)}{x} = 1 \\ \displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{1-cos(x)}{x} = 0\]

16.7 Limit Fungsi di Tak Hingga

16.7.1 Definisi Formal

\(\displaystyle \lim_{x\to \infty} f(x) = L\) berarti \(\forall \epsilon>0, \exists M>0\) sehingga \(\forall x>M\) berlaku \(|f(x) - L| < \epsilon\).

\(\displaystyle \lim_{x\to \infty^-} f(x) = L\) berarti \(\forall \epsilon>0, \exists M>0\) sehingga \(\forall x<-M\) berlaku \(|f(x) - L| < \epsilon\).

16.8 Limit tak Hingga

16.8.1 Definisi Formal

\(\forall M>0, \exists \delta>0\) sedemikian sehingga \(\forall x\) yang memenuhi \(0<|x-a|<\delta\) maka \(f(x)>M\).

16.9 Asimtot

16.9.1 Asimtot Datar

Jika \(x\) membesar tanpa batas, maka di manakah batas \(y\) nya?

16.9.2 Asimtot Tegak

Jika \(y\) membesar tanpa batas, maka di manakah batas \(x\) nya?

16.9.3 Asimtot Miring