Motivácia

• Pri praktických aplikáciách funkcie často potrebujeme určiť jej maximálnu alebo minimálnu hodnotu nachádzajúcu sa, nie na jej celom definičnom obore, ale len na nejakej jeho časti (napr. na krivke).

• V mnohých prípadoch sú zadané funkcie zložitejšie, čo má za dôsledok, že nevieme explicitne vyjadriť funkciu a počítať extrémy funkcie pomocou funkcie jendej premennej.

• V takýchto prípadoch nám môže pomôcť Lagrangeova metóda.

Extrémy funkcie 2 premenných

Hovoríme, že funkcia f má v bode A

• lokálne maximum, ak existuje okolie U bodu A také, že pre všetky X Є U platí f(X) ≤ f(A)
• lokálne minumum, ak existuje okolie U bodu A také, že pre všetky X Є U platí f(X) ≥ f(A)

Pre maximum a minimum používame spoločné pomenovanie extrém.

Ak sa rovnice f(x, y) a g(x, y) nedajú zjednoduchšiť explicitne., alebo ak to je nevýhodné, tak nám môže pomôcť metóda porovnávania gradientov - Lagrangeova metóda

Lagrangeova metóda - príklad

Lagrangeovou metódou nájdite viazané extrémy funkcie f(x, y) = x + y na krivke g(x, y) = 0

## Warning: package 'plotly' was built under R version 4.0.5

Výpočet

1. Definujeme Lagrangeovu funckiu L \[ L = (x + y) - \lambda ({\frac{1}{x^2}} + {\frac{1}{y^2}} - 1) \]

2. Vyriešime sústavu rovníc parciálnych derivacií Lagrangeovej funckie \[ {\frac{∂L}{∂x}} = 1 + \lambda * (2 x^{-3})\\ {\frac{∂L}{∂y}} = 1 + \lambda * (2 y^{-3})\\ g(x, y) = {\frac{1}{x^2}} + {\frac{1}{y^2}} - 1 \]

3. V stacionárnych bodoch funkcie L sú tieto derivácie nulové, ich vyriešením dostaneme rovnicu o jednej neznámej a z nej vyjadríme λ \[ {\frac{2}{\sqrt[3]{2 \lambda}^2}} = 1 \]

4. Vyjadrením neznámej z funkcie sme získali 2 korene: λ1 = \(\sqrt{2}\), λ2 = -\(\sqrt{2}\)

5. Dosadením λ do rovníc pre x a y z bodu 3, dotaneme stacionárne body K1 = [-\(\sqrt{2}\),-\(\sqrt{2}\)], K2 = [\(\sqrt{2}\),\(\sqrt{2}\)]

Výpočet

6. Určíme druhé parciálne derivácie \[ {\frac{∂^2L}{∂x^2} = -\frac{6 \lambda}{x^4}}\\ {\frac{∂^2L}{∂y^2} = -\frac{6 \lambda}{y^4}}\\ \frac{∂^2L}{∂xy} = 0 \]

7. Za premenné x, y a lambda postupne dosadíme stacionárne body a vypočítame Hessián (determinant) Hessovej matice.

K2 - Determinant nám vyšiel 4.5 a druhá derivácia podľa x z L je > 0, to znamená, že daný bod je lokálnym minimom.

Záver

Našim cieľom bolo určiť viazané extrémy funkcie Lagrangeovou metódou.

Pomocou tejto metódy sa nám podarilo učiť extrémy funkcie f(x, y) = x + y na krivke g(x, y) = 0. Našli sme minimum v bode K1 = (-\(\sqrt{2}\),-\(\sqrt{2}\)) a maximum v bode K2 = (\(\sqrt{2}\),\(\sqrt{2}\)).

Ďakujem za pozornosť