Výraz
\[ F(x,y(x),y'(x),...,y^{(n)}(x))=g(x) \tag{1}. \]
nazývame obyčajnou diferenciálnou rovnicou (ODR) n-tého rádu. Pritom F je funckcia \(n+2\) premenných a \(g(x)\) je reálna funkcia jednej reálnej premennej. Neznámou v rovnici je reálna funkcia \(y(x)\) jednej reálnej premennej \(x\), ktorá reprezentuje väčšinou bod priestoru alebo čas.
Z hľadiska aplikácií jednou z najdôležitejších je tzv. lineárna ODR 2. rádu
\[ a_2(x)y''(x)+a_1(x)y'(x)+a_0(x)y(x)=g(x) \tag{2} \]
kde koeficienty \(a_2,a_1,a_0\) a pravá strana \(g\) sú spojité funkcie a neznáma funkcia \(y\) je dvakrát diferencovateľnou funkciou.
Predtým, ako budeme definovať okrajovú úlohu pre ODR zavedieme ešte niekoľko užitočných pojmov.
Pomocou \(C^k(a,b)\) budeme označovať množinu všetkých funkcií \(f:(a,b)->R\) (to jest funkciu definovanú intervale (a,b) s oborom hodnôt v R), ktoré sú \(k\)-krát spojite diferencovateľné (to jest majú derivácie až do \(k\)-tého rádu a tieto derivácie sú spojité funkcie). V tejto definícii môže byť aj \(a=-\infty\) a \(b=\infty\).
Majme teraz opäť lineárnu ODR 2. rádu (2), pre \(x \in (a,b)\), kde \(a,b\) sú dané kladné reálne čísla \(a<b\). Úlohou je nájsť funkciu \(y \in C^2(a,b)\), ktorá pre \(x \in (a,b)\) spľńa lineárnu ODR (2) a pre ktorú v koncových bodoch intervalu \(\langle a,b \rangle\) platia podmienky
\[ \alpha y(a)+\beta y'(a)=y_a, \tag{3}\\ \gamma y(b)+\delta y'(b)=y_b \]
kde \(\alpha, \beta, \gamma, \delta\), \(y_a\), \(y_b\) sú dané reálne čísla vyhovojúce podmienke:
\[ |\alpha|+|\beta| \ne 0, \quad |\gamma|+|\delta| \ne 0. \]
Takúto úlohu nazývame okrajovou úlohou a podmienky (3) nazývame okrajovými podmienkami.
\[ y(a)=y_a, \\ y(b)=y_b \]
2.Neumannove okrajové podmienky
\[ y'(a)=y_a, \\ y'(b)=y_b \]
3.Newtonove okrajové podmienky
Sú to vlastne pôvodne okrajové podmienky (3) pre \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\), \(\delta\) \(\ne\) 0.
4.Zmiešané okrajové podmienky v každom z oboch koncových bodov je typovo iná okrajová podmienka, napríklad:
\[ y(a)=y_a, \\ y'(b)=y_b \]
Matematické kyvadlo je hmotný bod s hmotnosťou \(m\) zavesený na nehmotnom vlákne dľžky \(h\). Úlohou je nájsť závislosť dráhy s hmotného bodu od času \(t\). Ak označíme \(\varphi(t)\) okamžitú uhlovú výchylku kyvadla od zvislej polohy a neuvažujeme odpor prostredia, potom z Newtonovho zákona máme:
\[ m \frac{\partial^2s}{\partial t^2}=-mg\sin\varphi(t),\quad kde\ s=h\varphi(t). \]
Teda dostávame
\[ \frac{\partial^2\varphi}{\partial t^2}+w^2\sin\varphi(t)=0,\quad kde\ w^2=\frac {g}{h}. \]
Táto rovnica je ale nelineárna(neznáma funkcia \(\varphi(t)\) je argumentom funkcie \(\sin\)), preto pre malé výchylky kyvadla môžeme \(\sin(\varphi)\) nahradiť samotnou funkciou \(\varphi(t)\), a tak bude mať rovnica matematického kyvadla tvar:
\[ \frac{\partial^2\varphi}{\partial t^2}+w^2\varphi(t)=0. \]
Hľadajme teraz také riešenie tejto rovnice, ktoré spľňa okrajové podmienky:
\[ \varphi(0)=y_0,\\ \varphi(1)=y_1. \]
Z teórie obyčajných diferenciálnych rovníc vieme, že všeobecné riešenie má tvar
\[
\varphi(t)=A \cos(\omega t)+ B\sin(\omega t)
\] pre nejaké konštanty \(A,B\), ktoré určíme z okrajových podmienok.
Máme
\[ A=y_0,\quad B=\frac{y_1-y_0\cos\omega}{\sin\omega} \]
Takže riešením bude funkcia
\[ \varphi(t)=y_0\cos(\omega t)+ \frac{y_1-y_0\cos\omega}{\sin\omega}\sin(\omega t),\quad t\in<0,1>, \]
ale iba vtedy ak \(\sin\omega \ne 0\) teda vtedy, ak \(\omega\) nie je rovné celočíselnému násobku \(\pi\). Z toho potom dostávame, že riešenie tohto problému existuje práve vtedy, ak kyvadlo nemá dľžku rovnú
\[
h=\frac {g}{k^2\pi^2},
\] pre \(k\) ľubovoľné prirodzené číslo.
V prípade, že dľžka kyvadla má presne túto hodnotu, dostávame
\[ A=y_0,\quad A(-1)^k=y_1, \]
Takže sústava má riešenie len vtedy, ak sú hodnoty okrajových podmienok zviazané podmienkou:
\[ y_1=(-1)^ky_0, \]
a tých riešení je potom nekonečne veľa v tvare:
\[ \varphi(t)=y_0\cos(\omega t)+B\sin(\omega t),\quad t\in<0,1>, \]
kde \(B\) je ľubovoľná konštanta.
Ak pre obyčajnú diferenciálnu rovnicu (2) platí, že \(a_2(x)\ne0\) pre všetky \(x\in(a,b)\), túto rovnicu môžeme tiež písať v tvare:
\[ y''+f_1(x)y'+f_2(x)y=f_3(x). \]
Rovnicu možno previesť na tzv. samoadjungovaný tvar, ak \(f_1\in C(a,b)\).
Samoadjungovaný tvar tejto rovnice je tvaru
\[ -(p(x)y')'+q(x)y=f(x), \tag{4} \]
kde
\[ p(x)=e^{\int f_1(x)dx} ,\quad q(x)=-f_2(x)p(x), \quad f(x)=-f_3(x)p(x). \]
Máme teraz úlohu
\[ -(p(x)y')'+q(x)y=f(x), \tag{5} \]
s okrajovými podmienkami
\[ y(a)=y_a, \\ \tag{6} y(b)=y_b \]
Ak platí: \(q, f \in C(\langle a,b\rangle)\) a \(p\in C^{1}(a,b)\) a zároveň \(p(x) > 0\), \(q(x) \ge 0\) na intervale \(\langle a,b\rangle\), potom existuje jediné riešenie úlohy (5), (6) na intervale \((a,b)\) .