UAS Metode Numerik
Jawaban UAS No 3
Sherly Taurin Siridion – 20194920011
May 31, 2021
Email : sherlytaurinsiri@gmail.com
Instagram : https://www.instagram.com/sherlytaurin
RPubs : https://rpubs.com/sherlytaurin/
Github : https://github.com/sherlytaurin/
Telegram : @Sherlytaurin
1 Metode Heun
1.1 Fungsi R Metode Heun
heun <- function(f, x0, y0, h, n, iter=1){
x <- x0
y <- y0
for(i in 1:n){
ypred0 <- f(x0,y0)
ypred1 <- y0 + h*ypred0
ypred2 <- f(x0+h,ypred1)
ykor <- y0 + h*(ypred0+ypred2)/2
if(iter!=1){
for(i in 1:iter){
ykor <- y0 + h*(ypred0+f(x0+h,ykor))/2
}
}
y0 <- ykor
x0 <- x0 + h
x <- c(x, x0)
y <- c(y, y0)
}
return(data.frame(x=x,y=y))
}1.2 Jawaban dari Soal
Soal:
Jika Diketahui \(f(0)=1\) menggunakan \(h=0.05\) dan \(n=100\) dengan persamaan differensial \(f'(x,y)=\frac{y}{3x+1}\). Gunakan Metode Heun!
f <- function(x,y){y/(3*x+1)}
n = 100
h = 0.05
x0 = 0
y0 = 1
x = x0
y = y0
heunn <- heun(f,x0,y0,h,n)
heunn## x y
## 1 0.00 1.000000
## 2 0.05 1.047826
## 3 0.10 1.091632
## 4 0.15 1.132170
## 5 0.20 1.169990
## 6 0.25 1.205507
## 7 0.30 1.239044
## 8 0.35 1.270855
## 9 0.40 1.301147
## 10 0.45 1.330090
## 11 0.50 1.357823
## 12 0.55 1.384467
## 13 0.60 1.410123
## 14 0.65 1.434877
## 15 0.70 1.458805
## 16 0.75 1.481972
## 17 0.80 1.504436
## 18 0.85 1.526249
## 19 0.90 1.547455
## 20 0.95 1.568094
## 21 1.00 1.588205
## 22 1.05 1.607818
## 23 1.10 1.626964
## 24 1.15 1.645670
## 25 1.20 1.663960
## 26 1.25 1.681856
## 27 1.30 1.699379
## 28 1.35 1.716548
## 29 1.40 1.733380
## 30 1.45 1.749891
## 31 1.50 1.766097
## 32 1.55 1.782010
## 33 1.60 1.797644
## 34 1.65 1.813011
## 35 1.70 1.828121
## 36 1.75 1.842986
## 37 1.80 1.857615
## 38 1.85 1.872016
## 39 1.90 1.886200
## 40 1.95 1.900173
## 41 2.00 1.913944
## 42 2.05 1.927520
## 43 2.10 1.940906
## 44 2.15 1.954111
## 45 2.20 1.967140
## 46 2.25 1.979998
## 47 2.30 1.992691
## 48 2.35 2.005225
## 49 2.40 2.017604
## 50 2.45 2.029832
## 51 2.50 2.041916
## 52 2.55 2.053858
## 53 2.60 2.065662
## 54 2.65 2.077333
## 55 2.70 2.088875
## 56 2.75 2.100290
## 57 2.80 2.111582
## 58 2.85 2.122755
## 59 2.90 2.133812
## 60 2.95 2.144755
## 61 3.00 2.155588
## 62 3.05 2.166313
## 63 3.10 2.176932
## 64 3.15 2.187450
## 65 3.20 2.197866
## 66 3.25 2.208186
## 67 3.30 2.218409
## 68 3.35 2.228539
## 69 3.40 2.238578
## 70 3.45 2.248528
## 71 3.50 2.258390
## 72 3.55 2.268167
## 73 3.60 2.277860
## 74 3.65 2.287472
## 75 3.70 2.297003
## 76 3.75 2.306456
## 77 3.80 2.315833
## 78 3.85 2.325133
## 79 3.90 2.334360
## 80 3.95 2.343515
## 81 4.00 2.352599
## 82 4.05 2.361613
## 83 4.10 2.370558
## 84 4.15 2.379437
## 85 4.20 2.388250
## 86 4.25 2.396999
## 87 4.30 2.405684
## 88 4.35 2.414306
## 89 4.40 2.422868
## 90 4.45 2.431369
## 91 4.50 2.439812
## 92 4.55 2.448196
## 93 4.60 2.456524
## 94 4.65 2.464795
## 95 4.70 2.473011
## 96 4.75 2.481173
## 97 4.80 2.489282
## 98 4.85 2.497338
## 99 4.90 2.505342
## 100 4.95 2.513296
## 101 5.00 2.5211992 Metode Runge-Kutta orde 4
2.1 Fungsi R Metode Runge-Kutta orde 4
2.2 Jawaban dari soal
Soal:
Jika Diketahui \(f(0)=1\) menggunakan \(h=0.05\) dan \(n=100\) dengan persamaan differensial \(f'(x,y)=\frac{y}{3x+1}\). Gunakan Metode Runge-Kutta Orde 4!
library(ggplot2)
library(stats)
f <- function(x,y){y/(3*x+1)}
n = 100
h = 0.05
x0 = 0
y0 = 1
x = x0
y = y0
rk_4 <- rk4(f, x0, y0, h, n)
rk_4## x y
## 1 0.00 1.000000
## 2 0.05 1.047690
## 3 0.10 1.091393
## 4 0.15 1.131851
## 5 0.20 1.169607
## 6 0.25 1.205071
## 7 0.30 1.238563
## 8 0.35 1.270334
## 9 0.40 1.300592
## 10 0.45 1.329503
## 11 0.50 1.357209
## 12 0.55 1.383828
## 13 0.60 1.409460
## 14 0.65 1.434193
## 15 0.70 1.458100
## 16 0.75 1.481249
## 17 0.80 1.503695
## 18 0.85 1.525491
## 19 0.90 1.546681
## 20 0.95 1.567306
## 21 1.00 1.587402
## 22 1.05 1.607001
## 23 1.10 1.626134
## 24 1.15 1.644827
## 25 1.20 1.663104
## 26 1.25 1.680988
## 27 1.30 1.698500
## 28 1.35 1.715658
## 29 1.40 1.732479
## 30 1.45 1.748980
## 31 1.50 1.765175
## 32 1.55 1.781078
## 33 1.60 1.796702
## 34 1.65 1.812060
## 35 1.70 1.827161
## 36 1.75 1.842016
## 37 1.80 1.856636
## 38 1.85 1.871029
## 39 1.90 1.885204
## 40 1.95 1.899169
## 41 2.00 1.912932
## 42 2.05 1.926499
## 43 2.10 1.939878
## 44 2.15 1.953075
## 45 2.20 1.966096
## 46 2.25 1.978946
## 47 2.30 1.991632
## 48 2.35 2.004159
## 49 2.40 2.016530
## 50 2.45 2.028752
## 51 2.50 2.040828
## 52 2.55 2.052763
## 53 2.60 2.064561
## 54 2.65 2.076225
## 55 2.70 2.087760
## 56 2.75 2.099169
## 57 2.80 2.110455
## 58 2.85 2.121622
## 59 2.90 2.132672
## 60 2.95 2.143609
## 61 3.00 2.154435
## 62 3.05 2.165154
## 63 3.10 2.175768
## 64 3.15 2.186279
## 65 3.20 2.196690
## 66 3.25 2.207003
## 67 3.30 2.217221
## 68 3.35 2.227345
## 69 3.40 2.237379
## 70 3.45 2.247323
## 71 3.50 2.257179
## 72 3.55 2.266951
## 73 3.60 2.276639
## 74 3.65 2.286245
## 75 3.70 2.295771
## 76 3.75 2.305219
## 77 3.80 2.314590
## 78 3.85 2.323885
## 79 3.90 2.333107
## 80 3.95 2.342257
## 81 4.00 2.351335
## 82 4.05 2.360345
## 83 4.10 2.369285
## 84 4.15 2.378159
## 85 4.20 2.386967
## 86 4.25 2.395711
## 87 4.30 2.404391
## 88 4.35 2.413009
## 89 4.40 2.421566
## 90 4.45 2.430063
## 91 4.50 2.438500
## 92 4.55 2.446880
## 93 4.60 2.455203
## 94 4.65 2.463470
## 95 4.70 2.471681
## 96 4.75 2.479839
## 97 4.80 2.487943
## 98 4.85 2.495994
## 99 4.90 2.503994
## 100 4.95 2.511944
## 101 5.00 2.5198433 Perbandingan Hasil & Penjelasan
Metode Analitik
f2 <- function(x){sqrt(3*x+1)}
x0 <- 0
y0 <- 1
x <- x0
y <- y0
for(i in 1:100){
y0 <- f2(x0+0.05)
x0 <- x0+0.05
x <- c(x, x0)
y <- c(y, y0)
}
true <- data.frame(x=x, y=y)
true## x y
## 1 0.00 1.000000
## 2 0.05 1.072381
## 3 0.10 1.140175
## 4 0.15 1.204159
## 5 0.20 1.264911
## 6 0.25 1.322876
## 7 0.30 1.378405
## 8 0.35 1.431782
## 9 0.40 1.483240
## 10 0.45 1.532971
## 11 0.50 1.581139
## 12 0.55 1.627882
## 13 0.60 1.673320
## 14 0.65 1.717556
## 15 0.70 1.760682
## 16 0.75 1.802776
## 17 0.80 1.843909
## 18 0.85 1.884144
## 19 0.90 1.923538
## 20 0.95 1.962142
## 21 1.00 2.000000
## 22 1.05 2.037155
## 23 1.10 2.073644
## 24 1.15 2.109502
## 25 1.20 2.144761
## 26 1.25 2.179449
## 27 1.30 2.213594
## 28 1.35 2.247221
## 29 1.40 2.280351
## 30 1.45 2.313007
## 31 1.50 2.345208
## 32 1.55 2.376973
## 33 1.60 2.408319
## 34 1.65 2.439262
## 35 1.70 2.469818
## 36 1.75 2.500000
## 37 1.80 2.529822
## 38 1.85 2.559297
## 39 1.90 2.588436
## 40 1.95 2.617250
## 41 2.00 2.645751
## 42 2.05 2.673948
## 43 2.10 2.701851
## 44 2.15 2.729469
## 45 2.20 2.756810
## 46 2.25 2.783882
## 47 2.30 2.810694
## 48 2.35 2.837252
## 49 2.40 2.863564
## 50 2.45 2.889637
## 51 2.50 2.915476
## 52 2.55 2.941088
## 53 2.60 2.966479
## 54 2.65 2.991655
## 55 2.70 3.016621
## 56 2.75 3.041381
## 57 2.80 3.065942
## 58 2.85 3.090307
## 59 2.90 3.114482
## 60 2.95 3.138471
## 61 3.00 3.162278
## 62 3.05 3.185906
## 63 3.10 3.209361
## 64 3.15 3.232646
## 65 3.20 3.255764
## 66 3.25 3.278719
## 67 3.30 3.301515
## 68 3.35 3.324154
## 69 3.40 3.346640
## 70 3.45 3.368976
## 71 3.50 3.391165
## 72 3.55 3.413210
## 73 3.60 3.435113
## 74 3.65 3.456877
## 75 3.70 3.478505
## 76 3.75 3.500000
## 77 3.80 3.521363
## 78 3.85 3.542598
## 79 3.90 3.563706
## 80 3.95 3.584690
## 81 4.00 3.605551
## 82 4.05 3.626293
## 83 4.10 3.646917
## 84 4.15 3.667424
## 85 4.20 3.687818
## 86 4.25 3.708099
## 87 4.30 3.728270
## 88 4.35 3.748333
## 89 4.40 3.768289
## 90 4.45 3.788139
## 91 4.50 3.807887
## 92 4.55 3.827532
## 93 4.60 3.847077
## 94 4.65 3.866523
## 95 4.70 3.885872
## 96 4.75 3.905125
## 97 4.80 3.924283
## 98 4.85 3.943349
## 99 4.90 3.962323
## 100 4.95 3.981206
## 101 5.00 4.000000data<- data.frame(heunn , rk_4, true)
plot(data$x,data$y, col="red", type="o", cex = 0.6)
par(new = TRUE)
plot(data$x, data$y.1, col="blue", type="o", cex = 0.6)
par(new = TRUE)
plot(data$x, data$y.2, col="green", type="o", cex = 0.6)
Dari hasil dapat dilihat dimana:
Warna Hijau = Metode Analitik
Warna Merah = Metode Heun
*Warna Biru = Metode Runge-Kutta orde 4
Bahwa Hasil dari Metode Heun dan Runge-Kutta orde 4 saling mendekati hanya beda sedikit di beberapa titik. Tetapi keduanya memiliki perbedaan yang cukup signifikan dengan Metode Analitik yang bisa dibilang kedua metode tersebut belum memberikan hasil yang tepat untuk persamaan differensial tersebut.