#1 Objetivo Identificar en una distribución normal, los valores de la curva o los valores de la función de densidad, graficar el área bajo la curva y calcular probabilidades.
#2 Descripción Realizar distribuciones de probabilidad conforme a la distribución de probabilidad normal a partir de valores iniciales de los ejercicios identificando y visualizando la función de densidad y calculando probabilidades.
#3 Fundamento teórico La distribución continua de probabilidad más importante en todo el campo de la estadística es la distribución normal. Su gráfica, que se denomina curva normal, es la curva con forma de campana (Walpole, Myers, and Myers 2012a).
La distribución normal a menudo se denomina distribución Gaussiana, en honor de Karl Friedrich Gauss (1777-1855), quien también derivó su ecuación a partir de un estudio de errores en mediciones repetidas de la misma cantidad (Walpole, Myers, and Myers 2012b).
Curva normal
En a imagen anterior se identifican dos valores que se requieren para suponer una curva de distribución normal, la media μ y la desviación estándar σ de los datos.
3.1 Fórmula de la función de densidad Distribución Normal
Para distribución n normal estándar con media igual a 0 y desviación = 1
Para distribución normal
n(x;μ;σ)=f(x)=12⋅π⋅σ−−−−−−√⋅e−12⋅σ2⋅(x−μ)2
En donde: π=3.14159 y e=2.71828
Ejemplo de calcular la densidad para un valor de x de acuerdo a la distribución normal con media y desviación.
Valor de x=18; media=20; desv=2;e=2.71828;pi=3.14159
#4 Desarrollo 4.1 Las librerías 4.2 Caso de mediciones del cuerpo humano (Peso y Estatura) 4.2.1 Cargar los datos Ver los primeros seis y últimos seis registros ## estatura peso genero ## 1 174.0 65.6 1 ## 2 175.3 71.8 1 ## 3 193.5 80.7 1 ## 4 186.5 72.6 1 ## 5 187.2 78.8 1 ## 6 181.5 74.8 1 ## estatura peso genero ## 502 157.5 76.8 0 ## 503 176.5 71.8 0 ## 504 164.4 55.5 0 ## 505 160.7 48.6 0 ## 506 174.0 66.4 0 ## 507 163.8 67.3 0 4.2.2 Visualizar la dispersión de los datos Diagrama de dispersión del peso
Diagrama de dispersión de la estatura
4.2.3 Histrogramas Histograma del peso ## stat_bin() using bins = 30. Pick better value with binwidth.
Histograma de la estatura ## stat_bin() using bins = 30. Pick better value with binwidth.
4.2.4 Identificar medias y desviaciones necesarias 4.2.4.1 Estadísticos de la variable peso ## [1] 78.14453 ## [1] 10.51289 ## [1] 60.60038 ## [1] 9.615699 4.2.4.2 Tabla de distribución peso MASCULINO Se toman los valores mínimos y máximos de pesos, de esos valores se disminuye en diez a mínimo y aumenta en diez a máximo para contemplar mayor rango.
Peso Muestra Masculino x prob.x f.acum.x 44 0.0001943 0.0005814 45 0.0002635 0.0008087 46 0.0003540 0.0011155 47 0.0004714 0.0015257 48 0.0006220 0.0020694 49 0.0008134 0.0027834 50 0.0010541 0.0037126 51 0.0013536 0.0049111 52 0.0017227 0.0064430 53 0.0021726 0.0083834 54 0.0027153 0.0108191 55 0.0033630 0.0138490 56 0.0041277 0.0175841 57 0.0050206 0.0221471 58 0.0060518 0.0276714 59 0.0072290 0.0342994 60 0.0085574 0.0421798 61 0.0100387 0.0514651 62 0.0116703 0.0623073 63 0.0134449 0.0748534 64 0.0153498 0.0892405 65 0.0173668 0.1055903 66 0.0194718 0.1240034 67 0.0216353 0.1445535 68 0.0238227 0.1672820 69 0.0259950 0.1921939 70 0.0281098 0.2192529 71 0.0301230 0.2483797 72 0.0319895 0.2794500 73 0.0336657 0.3122952 74 0.0351107 0.3467043 75 0.0362878 0.3824272 76 0.0371665 0.4191803 77 0.0377237 0.4566529 78 0.0379443 0.4945154 79 0.0378225 0.5324273 80 0.0373615 0.5700472 81 0.0365736 0.6070412 82 0.0354799 0.6430924 83 0.0341089 0.6779085 84 0.0324955 0.7112293 85 0.0306796 0.7428320 86 0.0287042 0.7725353 87 0.0266142 0.8002022 88 0.0244540 0.8257403 89 0.0222668 0.8491012 90 0.0200926 0.8702783 91 0.0179674 0.8893028 92 0.0159223 0.9062398 93 0.0139828 0.9211827 94 0.0121690 0.9342474 95 0.0104951 0.9455673 96 0.0089699 0.9552872 97 0.0075973 0.9635580 98 0.0063768 0.9705325 99 0.0053041 0.9763609 100 0.0043722 0.9811877 101 0.0035715 0.9851490 102 0.0028912 0.9883708 103 0.0023194 0.9909675 104 0.0018439 0.9930416 105 0.0014527 0.9946834 106 0.0011342 0.9959712 107 0.0008775 0.9969723 108 0.0006728 0.9977436 109 0.0005112 0.9983323 110 0.0003850 0.9987778 111 0.0002873 0.9991117 112 0.0002124 0.9993599 113 0.0001557 0.9995426 114 0.0001130 0.9996759 115 0.0000814 0.9997723 116 0.0000580 0.9998414 117 0.0000410 0.9998905 118 0.0000287 0.9999250 119 0.0000199 0.9999491 120 0.0000137 0.9999657 121 0.0000093 0.9999771 122 0.0000063 0.9999849 123 0.0000042 0.9999901 124 0.0000028 0.9999936 125 0.0000018 0.9999958 126 0.0000012 0.9999973 4.2.4.3 Tabla de distribución peso FEMENINO Peso Muestra Femenino x prob.x f.acum.x 44 0.0093485 0.0421392 45 0.0111267 0.0523603 46 0.0131007 0.0644580 47 0.0152589 0.0786232 48 0.0175815 0.0950307 49 0.0200398 0.1138315 50 0.0225960 0.1351430 51 0.0252042 0.1590409 52 0.0278111 0.1855511 53 0.0303575 0.2146430 54 0.0327805 0.2462249 55 0.0350163 0.2801416 56 0.0370021 0.3161741 57 0.0386800 0.3540430 58 0.0399989 0.3934143 59 0.0409180 0.4339075 60 0.0414078 0.4751070 61 0.0414528 0.5165747 62 0.0410515 0.5578638 63 0.0402167 0.5985330 64 0.0389750 0.6381613 65 0.0373654 0.6763603 66 0.0354370 0.7127858 67 0.0332465 0.7471469 68 0.0308559 0.7792121 69 0.0283291 0.8088133 70 0.0257295 0.8358461 71 0.0231171 0.8602681 72 0.0205465 0.8820943 73 0.0180653 0.9013909 74 0.0157128 0.9182679 75 0.0135197 0.9328698 76 0.0115076 0.9453677 77 0.0096895 0.9559498 78 0.0080710 0.9648134 79 0.0066504 0.9721578 80 0.0054210 0.9781780 81 0.0043713 0.9830597 82 0.0034869 0.9869757 83 0.0027516 0.9900833 84 0.0021479 0.9925228 85 0.0016587 0.9944173 86 0.0012671 0.9958727 87 0.0009575 0.9969788 88 0.0007158 0.9978104 89 0.0005294 0.9984289 90 0.0003873 0.9988839 91 0.0002803 0.9992151 92 0.0002007 0.9994536 93 0.0001421 0.9996234 94 0.0000996 0.9997431 95 0.0000690 0.9998265 96 0.0000473 0.9998840 97 0.0000321 0.9999233 98 0.0000215 0.9999498 99 0.0000143 0.9999674 100 0.0000094 0.9999791 101 0.0000061 0.9999867 102 0.0000039 0.9999917 103 0.0000025 0.9999948 104 0.0000016 0.9999968 105 0.0000010 0.9999981 106 0.0000006 0.9999988 107 0.0000004 0.9999993 108 0.0000002 0.9999996 109 0.0000001 0.9999998 110 0.0000001 0.9999999 111 0.0000000 0.9999999 112 0.0000000 1.0000000 113 0.0000000 1.0000000 114 0.0000000 1.0000000 115 0.0000000 1.0000000 116 0.0000000 1.0000000 117 0.0000000 1.0000000 118 0.0000000 1.0000000 119 0.0000000 1.0000000 120 0.0000000 1.0000000 121 0.0000000 1.0000000 122 0.0000000 1.0000000 123 0.0000000 1.0000000 124 0.0000000 1.0000000 125 0.0000000 1.0000000 126 0.0000000 1.0000000 4.2.4.4 Gráfica de densidad PESO MASCULINO Y FEMENINO
4.2.4.5 Estadísticos de la variable estatura ## [1] 177.7453 ## [1] 7.183629 ## [1] 164.8723 ## [1] 6.544602 4.2.4.6 Tabla de distribución Estaturas MASCULINO Se toman los valores mínimos y máximos de estaturas, de esos valores se disminuye en diez a mínimo y aumenta en diez a máximo para contemplar mayor rango.
Estatura Muestra Masculino x prob.x f.acum.x 147 0.0000058 0.0000093 148 0.0000105 0.0000173 149 0.0000185 0.0000315 150 0.0000320 0.0000562 151 0.0000543 0.0000984 152 0.0000903 0.0001693 153 0.0001472 0.0002859 154 0.0002355 0.0004741 155 0.0003695 0.0007720 156 0.0005686 0.0012347 157 0.0008582 0.0019393 158 0.0012705 0.0029920 159 0.0018448 0.0045344 160 0.0026273 0.0067510 161 0.0036698 0.0098756 162 0.0050276 0.0141956 163 0.0067555 0.0200542 164 0.0089032 0.0278467 165 0.0115085 0.0380133 166 0.0145906 0.0510229 167 0.0181431 0.0673516 168 0.0221276 0.0874534 169 0.0264692 0.1117262 170 0.0310550 0.1404736 171 0.0357361 0.1738683 172 0.0403336 0.2119183 173 0.0446489 0.2544416 174 0.0484774 0.3010538 175 0.0516240 0.3511688 176 0.0539198 0.4040177 177 0.0552368 0.4586815 178 0.0555000 0.5141393 179 0.0546943 0.5693246 180 0.0528659 0.6231864 181 0.0501179 0.6747493 182 0.0466009 0.7231655 183 0.0424991 0.7677559 184 0.0380145 0.8080361 185 0.0333506 0.8437254 186 0.0286974 0.8747411 187 0.0242194 0.9011789 188 0.0200480 0.9232826 189 0.0162765 0.9414086 190 0.0129609 0.9559880 191 0.0101227 0.9674899 192 0.0077542 0.9763902 193 0.0058259 0.9831453 194 0.0042932 0.9881740 195 0.0031029 0.9918458 196 0.0021997 0.9944755 197 0.0015294 0.9963228 198 0.0010430 0.9975955 199 0.0006976 0.9984556 200 0.0004576 0.9990257 201 0.0002945 0.9993964 202 0.0001858 0.9996328 203 0.0001150 0.9997806 204 0.0000698 0.9998713 205 0.0000416 0.9999259 206 0.0000243 0.9999581 207 0.0000139 0.9999767 208 0.0000078 0.9999873 4.2.4.7 Tabla de distribución Estaturas FEMENINO Estatura Muestra Femenino x prob.x f.acum.x 137 0.0000070 0.0000103 138 0.0000133 0.0000201 139 0.0000246 0.0000386 140 0.0000445 0.0000722 141 0.0000787 0.0001323 142 0.0001358 0.0002372 143 0.0002289 0.0004158 144 0.0003770 0.0007132 145 0.0006066 0.0011969 146 0.0009536 0.0019655 147 0.0014644 0.0031586 148 0.0021968 0.0049680 149 0.0032196 0.0076489 150 0.0046097 0.0115295 151 0.0064476 0.0170175 152 0.0088102 0.0245998 153 0.0117607 0.0348342 154 0.0153372 0.0483303 155 0.0195396 0.0657177 156 0.0243190 0.0876024 157 0.0295690 0.1145133 158 0.0351228 0.1468424 159 0.0407569 0.1847861 160 0.0462034 0.2282939 161 0.0511690 0.2770326 162 0.0553606 0.3303735 163 0.0585133 0.3874068 164 0.0604184 0.4469834 165 0.0609459 0.5077833 166 0.0600592 0.5684026 167 0.0578197 0.6274497 168 0.0543791 0.6836408 169 0.0499631 0.7358822 170 0.0448463 0.7833331 171 0.0393246 0.8254399 172 0.0336870 0.8619440 173 0.0281917 0.8928619 174 0.0230484 0.9184454 175 0.0184086 0.9391272 176 0.0143635 0.9554614 177 0.0109487 0.9680648 178 0.0081531 0.9775655 179 0.0059312 0.9845624 180 0.0042153 0.9895967 181 0.0029266 0.9931354 182 0.0019851 0.9955656 183 0.0013153 0.9971961 184 0.0008514 0.9982648 185 0.0005384 0.9989491 186 0.0003327 0.9993773 187 0.0002008 0.9996390 188 0.0001184 0.9997952 189 0.0000682 0.9998864 190 0.0000384 0.9999383 191 0.0000211 0.9999673 192 0.0000113 0.9999830 193 0.0000059 0.9999914 4.2.4.8 Gráfica de densidad ESTATURA MASCULINO y FEMENINO
4.2.5 Calcular probabilidades 4.2.5.1 MASCULINO menor o igual a 60 KGS ¿Cuál es la probabilidad de encontrar a una persona masculino que pese menor o igual de 60 kilogramos?
Graficar la función en donde P(x≤60)
Gráfica de densidad
Calcular la probabilidad ## [1] “La probabilidad de encontrar a una persona masculino que pese menor de 60 kilogramos es de: 4.218 %” 4.2.5.2 FEMENINO menor o igual a 50 KGS ¿Cuál es la probabilidad de encontrar a una persona femenino que pese menor o igual de 50 kilogramos?
Graficar la función en donde P(x≤50) Gráfica de densidad
Calcular la probabilidad ## [1] “La probabilidad de encontrar a una persona femenino que pese menor de 50 kilogramos es de: 13.5143 %” 4.2.5.3 MASCULINO mayor o igual A 180 cms. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar a una persona masculino que tenga una estatura mayor o igual de 180 centímetros?
Graficar la función en donde P(x>=180) Gráfica de densidad
Calcular la probabilidad ## [1] “La probabilidad de encontrar a una persona masculino que tenga una estatura mayor o igual de 180 de: 37.6814 %” ¿Cuál es la probabilidad de encontrar a una persona masculino que tenga una estatura mayor o igual de 190 centímetros?
Graficar la función en donde x>=190 Gráfica de densidad
Calcular la probabilidad ## [1] “La probabilidad de encontrar a una persona masculino que tenga una estatura mayor o igual de 190 de: 4.4012 %” 4.2.5.4 Masculino estatura entre 160 y 170 ¿Cuál es la probabilidad de encontrar a una persona masculino que tenga una estatura entre 160 y 170 centímetros?
Graficar la función en donde P(160≤x≤170) Gráfica de densidad
Calcular la probabilidad ## [1] “La probabilidad de encontrar a una persona masculino que tenga una estatura entre 160 y 170 centímeros de: 13.3723 %” 4.2.5.5 MAASCULINO estatura entre 190 y 195 ¿Cuál es la probabilidad de encontrar a una persona masculino que tenga una estatura entre 190 y 195 centímetros?
Graficar la función en donde P(190≤x≤195) Gráfica de densidad
Calcular la probabilidad ## [1] “La probabilidad de encontrar a una persona masculino que tenga una estatura entre 190 y 195 centímeros es de: 3.5858 %” 4.2.5.6 FEMENINO estatura mayor o igual a 180 cms. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar a una persona femenino que tenga una estatura mayor o igual de 180 centímetros?
Graficar la función en donde P(x>=180) Gráfica de densidad
Calcular la probabilidad ## [1] “La probabilidad de encontrar a una persona femenino que tenga una estatura mayor o igual de 180 de: 1.0403 %” 4.2.5.7 FEMENINO estatura mayor o igual 190 cms. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar a una persona femenino que tenga una estatura mayor o igual de 190 centímetros?
Graficar la función en donde P(x>=190) Gráfica de densidad
Calcular la probabilidad ## [1] “La probabilidad de encontrar a una persona femenino que tenga una estatura mayor o igual de 190 de: 0.0062 %” 4.2.5.8 FEMENINO estatura entre 160 y 170 cms ¿Cuál es la probabilidad de encontrar a una persona femenino que tenga una estatura entre 160 y 170 centímetros?
Graficar la función en donde P(160≤x≤170) Gráfica de densidad
Calcular la probabilidad ## [1] “La probabilidad de encontrar a una persona femenino que tenga una estatura entre 160 y 170 centímeros de: 55.5039 %” 4.2.5.9 FEMENINO estatura entre 190 y 195 cms ¿Cuál es la probabilidad de encontrar a una persona femenino que tenga una estatura entre 190 y 195 centímetros?
Graficar la función en donde P(190≤x≤195) Gráfica de densidad
Calcular la probabilidad ## [1] “La probabilidad de encontrar a una persona femenino que tenga una estatura entre 190 y 195 centímeros es de: 0.006 %” 4.2.5.10 MASCULINO o FEMENINO estatura entre 160 y 170 cms ¿Cuál es la probabilidad de encontrar a una persona masculino o femenino que tenga una estatura entre 160 y 170 centímetros?
Graficar la función en donde P(160≤x≤170) Gráfica de densidad
Calcular la probabilidad ## [1] “La probabilidad de encontrar a una persona masculino o femenino que tenga una estatura entre 160 y 170 centímetros? es de: 33.3526 %” 4.2.6 Interpretación 4.3 Fábrica de bombillas Una empresa de material eléctrico fabrica bombillas (focos) de luz que tienen una duración, antes de quemarse (fundirse), que se distribuye normalmente con media igual a 800 horas y una desviación estándar de 40 horas. Encuentre la probabilidad de que una bombilla se queme entre 778 y 834 horas. (walpole_probabilidad_2012?)].
4.3.1 Inicializar valores μ=800 σ=40
Se busca: P(778≤x≤834)
4.3.2 La gráfica de la distribución normal
4.3.3 Cálculo de la probabilidad La probabilidad de que una bombilla se queme entre 778 y 834 horas. ## [1] “La probabilidad de que una bombilla se queme entre 778 y 834 horas es: 51.1178 %” 4.3.4 Interpretación Dado que la probabilidad de el área bajo la curva de una distribución normal es del 100% y solicitan la probabilidad en el intervalo entre 778 y 834, entonces se resta la probabilidad de 834 menos la probabilidad de 778 para encontrar el área bajo la curva de este intervalo de esa variable aleatoria. En la gráfica el color rosa es el área bajo la curva del intérvalo.
La probabilidad de que un foco se funda en un rango entre 778 horas y 834 horas es de 51.1178 %
4.4 Sueldos mensuales Los sueldos mensuales en una empresa siguen una distribución normal con media de 1200 soles, y desviación estándar de 200 soles.
¿Qué porcentaje de trabajadores ganan entre 1000 y 1550 soles?(matemovil, n.d.).
4.4.1 Inicializar valores μ=1200 σ=200
Se busca: 1000≤x≤1550
4.4.2 La gráfica de la distribución normal
4.4.3 Cálculo de la probabilidad ¿Qué porcentaje de trabajadores ganan entre 1000 y 1550 soles? ## [1] “La probabilidad de que una persoan gane entre 1000 y 1550 soles es de: 80.1286 %” 4.4.4 Interpretación La probabilidad de que una persona gane entre 1000 y 1550 soles es de:“, 80.1286,”%" que es el porcentaje de trabajadores que ganan en ese intérvalo.
4.5 Ejercicio de contexto indistinto En una distribución normal N(μ=5,σ=2) calcula las siguientes probabilidades:
Inicializar valores de media y desviación [anónimo]
4.5.1 P ( X ≤ 3.25) 4.5.1.1 Densidad
4.5.1.2 Solución ## [1] 0.190787 4.5.2 P [ X > 4.5 ] 4.5.2.1 Densidad
4.5.2.2 Solución ## [1] 0.5987063 4.5.3 P [X ≤ 7.2] 4.5.3.1 Densidad
4.5.3.2 Solución ## [1] 0.8643339 4.5.4 P [ 3 < X ≤ 6] 4.5.4.1 Densidad
4.5.4.2 Solución ## [1] 0.5328072 4.5.5 Pendiente Interpretación
4.6 Carne empaquetada Es difícil etiquetar la carne empaquetada con su peso correcto debido a los efectos de pérdida de líquido (definido como porcentaje del peso original de la carne). Supongamos que la pérdida de líquido en un paquete de pechuga de pollo se distribuye como normal con media 4 y desviación típica 1. (UC3M, n.d.).
4.6.1 Inicializar valores de media y desviación ¿Cuál es la probabilidad de que de que esté entre 3 y 5 porciento.
4.6.2 Gráfica de densidad
4.6.3 Cálculo de probabilidad P(3
Referencias bibliográficas matemovil. n.d. “Probabilidad Condicional, Ejercicios Resueltos.” https://matemovil.com/probabilidad-condicional-ejercicios-resueltos/. UC3M. n.d. “Introducción a La Estadística y Probabilidad.” http://halweb.uc3m.es/esp/Personal/personas/mwiper/docencia/Spanish/Introduction_to_Statistics/intro_continuous2.pdf. Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers, and Sharon L. Myers. 2012a. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Novena Edición. México: Pearson. ———. 2012b. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Novena Edición. México: Pearson.