Séries temporais: GARCH exemplo em R

Abstract

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License: CC BY-SA 4.0

Citação

Sugestão de citação: FIGUEIREDO, Adriano Marcos Rodrigues. Séries temporais: GARCH exemplo em R. Campo Grande-MS,Brasil: RStudio/Rpubs, 2021. Disponível em http://rpubs.com/amrofi/ST_GARCHsim.

1 Simulando um GARCH

Este exercício é uma reprodução adaptada de Perlin (2020).

Farei o tipo do GARCH a simular ARIMA(1,0,0)-GARCH(1,1):

\[ y_t=\mu+\theta y_{t-1}+\varepsilon_t \\ \varepsilon_t \sim N(0,h_t) \\ h_t=\omega +\alpha \varepsilon^2_{t-1}+\beta h_{t-1} \]

Conforme Perlin (2020), a primeira é a equação para a média da série temporal \(y_t\) , a segunda define a distribuição heteroscedástica de dos resíduos, e a terceira é a equação para modelar a variância, comumente definida como \(h_t\) para heteroscedasticidade. Portanto, se desejar outro modelo GARCH, altera-se a expressão de \(h_t\).

Seja o exemplo numérico conforme Perlin (2020):

\[ y_t=0.02+0.1y_{t-1}+\varepsilon_t \\ \varepsilon_t \sim N(0,h_t) \\ h_t=0.001+0.15\varepsilon^2_{t-1}+0.8h_{t-1} \]

Para fazer isso, usarei o pacote fGarch inserindo a lista de valores dos parâmetros e especificando o conjunto de dados para o GARCH via função garchSpec.

library(fGarch)

# estabelecer lista para a especificação do modelo
my_model = list(omega = 0.001, alpha = 0.15, beta = 0.8, mu = 0.02, ar = 0.1)

# especificar o garch spec ele ainda não executa o modelo, apenas especifica.
spec = garchSpec(model = my_model)

# resultados da especificação
print(spec)

Formula: 
 ~ ar(1) + garch(1, 1)
Model:
 ar:    0.1
 mu:    0.02
 omega: 0.001
 alpha: 0.15
 beta:  0.8
Distribution: 
 norm
Presample: 
  time         z    h          y
1    0 -2.288252 0.02 0.02222222

Feito isto, meu modelo pode ser executado pela função garchSim. Neste caso, especificou-se n=1000 para o número de observações a serem simuladas.

set.seed(20)  # semente para garantir reprodução idêntica
# simular o modelo garch conforme a especificação 'spec'
sim_garch = garchSim(spec, n = 1000)

A série pode ser visualizada graficamente utilizando o pacote e a função ggplot2::ggplot :

# fazer um dataframe temp_df para usar no ggplot
temp_df <- tibble::tibble(sim.ret = sim_garch$garch, idx = seq_along(sim_garch$garch))
library(ggplot2)
p <- ggplot(temp_df, aes(x = idx, y = sim.ret)) + geom_line() + labs(title = "Plot da série simulada ARIMA(1,0,0)-GARCH(1,1)", 
    x = "Índice temporal", y = "Simulação dos retornos")
print(p)

O gráfico de um GARCH simulado para os retornos de uma ação terá variância diferente conforme a subamostra, ou seja, muda com o tempo. A volatilidade da série simulada pode ser obtida pela função volatility(), para o objeto da simulação (sim_garch).

volatilidade <- volatility(sim_garch)
plot(volatilidade, main = "Volatilidade de um GARCH simulado", xlab = "Tempo - genérico 1000 observações", 
    ylab = "garch simulado", sub = "Perlin (2020) - edição Kindle")

Estimulo o leitor a realizar alterações nos parâmetros e novas simulações para entender o que cada um pode influenciar na volatilidade, lembrando que são simulações. Se o leitor alterar apenas a semente em set.seed, haverá a simulação do mesmo modelo, com os mesmos parâmetros, porém a geração dos resíduos aleatórios terá outros valores de partida.

Sugiro alterar os parâmetros um a um (\(\mu, \theta,\omega,\alpha,\beta\)), de modo a ter melhor controle das alterações. No caso, fiz apenas com o GARCH tipo ARIMA(1,0,0)-GARCH(1,1):

\[ y_t=\mu+\theta y_{t-1}+\varepsilon_t \\ \varepsilon_t \sim N(0,h_t) \\ h_t=\omega +\alpha \varepsilon^2_{t-1}+\beta h_{t-1} \]

2 Exemplo 1 - alterando apenas \(\beta = 0.50\):

library(fGarch)

# estabelecer lista para a especificação do modelo
my_model = list(omega = 0.001, alpha = 0.15, beta = 0.5, mu = 0.02, ar = 0.1)

# especificar o garch spec ele ainda não executa o modelo, apenas especifica.
spec = garchSpec(model = my_model)

# resultados da especificação
print(spec)

Formula: 
 ~ ar(1) + garch(1, 1)
Model:
 ar:    0.1
 mu:    0.02
 omega: 0.001
 alpha: 0.15
 beta:  0.5
Distribution: 
 norm
Presample: 
  time       z           h          y
1    0 0.31394 0.002857143 0.02222222

set.seed(20)  # semente para garantir reprodução idêntica
# simular o modelo garch conforme a especificação 'spec'
sim_garch = garchSim(spec, n = 1000)
# fazer um dataframe temp_df para usar no ggplot
temp_df <- tibble::tibble(sim.ret = sim_garch$garch, idx = seq_along(sim_garch$garch))
library(ggplot2)
p <- ggplot(temp_df, aes(x = idx, y = sim.ret)) + geom_line() + labs(title = "Plot da série simulada ARIMA(1,0,0)-GARCH(1,1)", 
    x = "Índice temporal", y = "Simulação dos retornos")
print(p)

volatilidade <- volatility(sim_garch)
plot(volatilidade, main = "Volatilidade de um GARCH simulado", xlab = "Tempo - genérico 1000 observações", 
    ylab = "garch simulado", sub = "Perlin (2020) - edição Kindle")

3 Investigando a volatilidade

Alguns autores sugerem investigar a volatilidade de uma série por meio de gráficos do quadrado dos retornos, ou dos seus valores absolutos, olhando se existem autocorrelações expressivas.

Seja o exemplo 1 realizado anteriormente neste post, observaremos a série armazenada em temp_df. Farei os plots de temp_df\(^2\), e depois para o seu valor absoluto, |temp_df|.

temp_df$sim.ret2 <- temp_df$sim.ret^2
temp_df$sim.ret.abs <- abs(temp_df$sim.ret)
# plots
library(ggplot2)
p <- ggplot(temp_df, aes(x = idx, y = sim.ret2)) + geom_line() + labs(title = "Plot da série simulada ao quadrado", 
    subtitle = "ARIMA(1,0,0)-GARCH(1,1)", x = "Índice temporal", y = "Simulação dos retornos quadráticos")
print(p)

library(ggplot2)
p <- ggplot(temp_df, aes(x = idx, y = sim.ret.abs)) + geom_line() + labs(title = "Plot da série simulada em valor absoluto", 
    subtitle = "ARIMA(1,0,0)-GARCH(1,1)", x = "Índice temporal", y = "Simulação dos retornos absolutos")
print(p)

Agora observarei as autocorrelações dessas séries:

temp_df.tsb <- tsibble::as_tsibble(temp_df, index = idx)
# plots ACF
library(feasts)
temp_df.tsb %>% ACF(sim.ret2) %>% autoplot() + labs(title = "ACF Plot dos retornos simulados quadráticos", 
    y = "Retornos quadráticos", x = "Tempo")

temp_df.tsb %>% ACF(sim.ret.abs) %>% autoplot() + labs(title = "ACF Plot dos retornos simulados absolutos", 
    y = "Retornos absolutos", x = "Tempo")

O leitor pode observar o lag significativo nos correlogramas.

Referências

Perlin, Marcelo S. (2020) Análise de Dados Financeiros e Econômicos com o R (p. 481). Edição do Kindle.