1 Objetivo

Calcular la función de densidad y la función de probabilidad probabilidad acumulada bajo la fórmula de distribución de hipergeométrica.

2 Descripción

Realizar distribuciones de probabilidad conforme a la distribución de probabilidad de Hipergeométrica a partir de valores iniciales de los ejercicios.

Se generan las tablas de probabilidad conforme a distribución hipergeométrica, se identifican los valores de probabilidad cuando la variable discreta x tenga algún exactamente algún valor, ≤ a algún valor o > o ≥, entre otros.

Se utilizan las funciones base dhyper() y phyper() para la probabilidad y función acumulada de la distribución hipergeométrica.

Se utiliza también de manera alternativa la función del enlace f.prob.hiper() https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/funciones/funciones.distribuciones.r que permite calcular la probabilidad de una variable aleatoria discreta bajo la distribución hipergeométrica y conforme a la fórmula.

3 Fundamento teórico

La distribución de probabilidad hipergeométrica está estrechamente relacionada con la distribución binomial. Pero difieren en dos puntos: en la distribución hipergeométrica, los ensayos no son independientes y la probabilidad de éxito varía de ensayo a ensayo (anderson2008?).

La distribución de probabilidad de la variable aleatoria hipergeométrica \(x\), el número de éxitos en una muestra aleatoria de tamaño n que se selecciona de \(N\) artículos, en los que k se denomina éxito y \(N–k\) se le llama fracaso (Camacho Avila 2019).

La distribución hipergeométrica es especialmente útil en todos aquellos casos en los que se extraigan muestras o se realicen experiencias repetidas sin devolución del elemento extraído o sin retornar a la situación experimental inicial.

Es una distribución fundamental en el estudio de muestras pequeñas de poblaciones pequeñas y en el cálculo de probabilidades de juegos de azar. Tiene grandes aplicaciones en el control de calidad para procesos experimentales en los que no es posible retornar a la situación de partida. (Cañas, n.d.).

Como en el caso de la distribución binomial, la distribución hipergeométrica se aplica en el muestreo de aceptación, donde se toman muestras del material o las partes de los lotes con el fi \(n\) de determinar si se acepta o no el lote completo (Walpole, Myers, and Myers 2012a).

3.1 Fórmula de función de probabilidad

La fórmula de la distribución hipergeométrica

\[f(x) = \frac{\binom{r}{x} \cdot \binom{N-r}{n-x}}{\binom{N}{n}}\] Dónde:

\(f(x)\) es la probabildiad de x o la función de distribución
\(n\) número de ensayos o longitud de la muestra casos exitosos
\(N\) número de elementos de la población
\(r\) o \(k\) número de elementos de la población que se extraen de la población
\(x\) Valor de la variable aleatoria discreta \(0,1,2,3,,,,n\) (Anderson, Sweeney, and Williams 2008).
\({\binom{r}{x}}\) Parte izquierda del numerador, representan el número de formas (combinaciones) en que se toman \(x\) éxitos de un total de \(r\) éxitos que hay en la población.
\(\binom{N-r}{n-x}\) parte derecha del numerador representa el número de maneras en que se puede tomar \(n−x\) fracasos de un total de \(N−r\) elementos que hay en la población.
\(\binom{N}{n}\) como denominador representan el número de maneras (cantidad de combinaciones) en que es posible tomar una muestra de tamaño n de una población de tamaño \(N\); (Anderson, Sweeney, and Williams 2008).

Recordando la fórmula para determinar el número de combinaciones en grupos de n elementos de una población total de \(N\) está dada por:

\[C_{n}^{N} = \binom{N}{n} = \frac{N!}{n!\cdot(N-n)!}\] Entonces desarrollando la fórmula con las combinaciones la función de probabilidad hipergeométrica queda de la siguiente manera:

\[(x) = \frac{\binom{r}{x} \cdot \binom{N-r}{n-x}}{\binom{N}{n}} = \frac{ (\frac{r!}{x!\cdot(r-x)!})\cdot(\frac{(N-r)!}{(n-x)!\cdot((N-r) - (n-x))!})}{\frac{N!}{n!\cdot(N-n)!}}\]

3.2 Fórmula para valor esperado

\[E(x) = \mu = n \cdot\left(\frac{r}{N}\right)\]

3.3 Fórmula para varianza

\[Var(x) = \sigma^{2} = n \cdot\left(\frac{r}{N}\right)\cdot\left(1 - \frac{r}{N}\right)\cdot\left( \frac{N-n}{N-1}\right)\]

3.4 Fórmula de la desviación estándar

\[\sigma = \sqrt{Var(x)} = \sqrt{\sigma^{2}}\]

Ejemplo1: canicas:

N=15 Total de canicas o bolitas
n=m=9 Canicas rojas
k=r=5 Cantidad que se extrae 5
x=3 Variable aleatoria

En alguna literatura de la fórmula de hipergeométrica la variable m es igual a la literal n y r es lo mismo que la literal k

\[(x) = \frac{\binom{r}{x} \cdot \binom{N-r}{n-x}}{\binom{N}{n}} = \frac{ (\frac{r!}{x!\cdot(r-x)!})\cdot(\frac{(N-r)!}{(n-x)!\cdot((N-r) - (n-x))!})}{\frac{N!}{n!\cdot(N-n)!}}\]

Entonces, sustituyendo valores de literales:

\[P(x=3) = \frac{\binom{9}{3} \cdot \binom{15-9}{5-3}}{\binom{15}{5}} = \frac{ (\frac{9!}{3!\cdot(9-3)!})\cdot(\frac{(15-9)!}{(5-3)!\cdot((15-9) - (5-3))!})}{\frac{15!}{5!\cdot(15-5)!}}=\frac{84\times15}{3003}=0.4195\]

N <- 15
m <- 9 # Canicas rojas
n <- (N-m) # Canicas negras
k <- 5 # Extracción de canicas
x <- 3

# Haciendo operaciones sería
numerador <- factorial(m) / (factorial(x) * (factorial(m-x))) * factorial(N-m) / (factorial(k-x) * (factorial((N-m)-(k-x))))

denominador<- factorial(N) / (factorial(k) * factorial(N-5))

prob <- numerador / denominador
prob

## [1] 0.4195804

Directamente con la función \(dhyper()\)

prob <- dhyper(x=x, m = m, n = n, k = k)
prob

## [1] 0.4195804

Ejemplo2: Suponga la extracción aleatoria de 8 elementos de un conjunto formado por 40 elementos totales (cartas baraja española) de los cuales 10 son del tipo A (salir oro) y 30 son del tipo complementario (no salir oro).

Si se realizan las extracciones sin devolver los elementos extraídos y se identifica a xx al número de elementos del tipo A (oros obtenidos) que se extraen en las 8 cartas; xxseguirá una distribución hipergeométrica de parámetros

\(N=40\) - Total de barajas
\(m=n=10\)- Cantidad de oros \(10\)
\(k=8\) - Cuantas cartas se extraen \(8\)

Para calcular la probabilidad de obtener \(4\) oros:

\(x=4\)

Calculando con la función \(dhyper()\)

N <- 40 # Total de casos
m <- n <- 8  # Cantidad de oros
k <- r <- 10 # Cantidad de extracción
x <- 4  # Variable aleatoria


dhyper(x = x, m = m, n = (N-m), k = k)

## [1] 0.07483354

Ejemplo 3:

Solución con \(dhyper()\)

N <- 40 # Tamaño de lote
m <- 3  # Casos de Exito
k <- 5  # Extracción
x <- 1  # Variable aleatoria

dhyper(x = x, m = m, n = (N - m), k = k)

## [1] 0.3011134

4 Desarrollo

Se presentan ejercicios de distribuciones hipergeométricas, mostrando tablas de distribución y gráfica de la misma, se calculan probabilidades, valores esperados, varianza y desviaciones. Al final se busca la interpretación de cada ejercicio.

4.1 Cargar librerías

Para nuevas librerías se requiere instalar con anticipación, ejemplo, install.packages(“cowplot”).

library(dplyr)

## Warning: package 'dplyr' was built under R version 4.0.4

## 
## Attaching package: 'dplyr'

## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     filter, lag

## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     intersect, setdiff, setequal, union

library(ggplot2)

## Warning: package 'ggplot2' was built under R version 4.0.5

library(mosaic) # Gráficos de distribuciones

## Warning: package 'mosaic' was built under R version 4.0.5

## Registered S3 method overwritten by 'mosaic':
##   method                           from   
##   fortify.SpatialPolygonsDataFrame ggplot2

## 
## The 'mosaic' package masks several functions from core packages in order to add 
## additional features.  The original behavior of these functions should not be affected by this.

## 
## Attaching package: 'mosaic'

## The following object is masked from 'package:Matrix':
## 
##     mean

## The following object is masked from 'package:ggplot2':
## 
##     stat

## The following objects are masked from 'package:dplyr':
## 
##     count, do, tally

## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     binom.test, cor, cor.test, cov, fivenum, IQR, median, prop.test,
##     quantile, sd, t.test, var

## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     max, mean, min, prod, range, sample, sum

library(cowplot) #Imágenes en el mismo renglón

## Warning: package 'cowplot' was built under R version 4.0.5

## 
## Attaching package: 'cowplot'

## The following object is masked from 'package:mosaic':
## 
##     theme_map

options(scipen=999) # Notación normal

# options(scipen=1) # Notación científica

4.2 Cargar funciones

#source("../funciones/funciones.distribuciones.r")

# o

source("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/funciones/funciones.distribuciones.r")

## 
## Attaching package: 'gtools'

## The following object is masked from 'package:mosaic':
## 
##     logit

4.3 Fábrica de fusibles

Una empresa fabrica fusibles que empaca en cajas de 12 unidades cada una.

Asuma que un inspector selecciona al azar 3 de los 12 fusibles de una caja para inspeccionarlos.
Si la caja contiene exactamente 5 fusibles defectuosos,
En este ejercicio::
\(n=5\) Número de casos exitosos
\(N=12\) Total de elementos
\(r=3\) Extracción de la muestra
\(x\) es la cantidad de fusible defectuosos como variable aleatoria discreta, desde \(0\) hasta \(n\) o hasta un valor específico(Anderson, Sweeney, and Williams 2008).

4.3.1 Tabla de probabilidad desde cero a tres

Primero inicializar valores

N <- 12 
n <- N - 5
r <- 3
x <- 0:r

Distribución de la probabilidad por medio de la función creada llamada f.prob.hiper() y con cumsum()

tabla1 <- data.frame(x=x, f.prob.x = f.prob.hiper(x = x, N = N, n = n, r = r))

tabla1 <- cbind(tabla1, f.acum.x = cumsum(tabla1$f.prob.x))
tabla1

##   x   f.prob.x   f.acum.x
## 1 0 0.04545455 0.04545455
## 2 1 0.31818182 0.36363636
## 3 2 0.47727273 0.84090909
## 4 3 0.15909091 1.00000000

Distribución de la probabilidad por medio de la función base de R llamada dhyper()
Deben generarse los mismos datos en tabla1 y tabla2

m <-n; N <-N; k <- r; n <- N - m

tabla2 <- data.frame(x=x, f.prob.x = round(dhyper(x = x,m = m, n = n, k = k), 8))

tabla2 <- cbind(tabla2, f.acum.x = round(phyper(q = x,m = m, n = n, k = k), 8))

tabla2

##   x   f.prob.x   f.acum.x
## 1 0 0.04545455 0.04545455
## 2 1 0.31818182 0.36363636
## 3 2 0.47727273 0.84090909
## 4 3 0.15909091 1.00000000

4.3.2 Gráfica de probabilidad

Se presentan la gráfica de probabilidad y la probabilidad acumulada en g1 y g2 respectivamente.

g1 <- ggplot(data = tabla2, aes(x,f.prob.x) ) +
  geom_point(colour = "red") +
  geom_line(colour = 'blue') +
  ggtitle("Función de densidad P(x)")
#g1

g2 <- ggplot(data = tabla2, aes(x,f.acum.x) ) +
  geom_point(colour = "red") +
  geom_line(colour = 'blue') +
  ggtitle("Función acumulada F(x)")
#g2

plot_grid(g1, g2)

4.3.3 Probabilidad uno de tres

¿Cuál es la probabilidad de que el inspector encuentre que uno de los tres fusibles está defectuoso?

Utilizando la tabla de distribución.

x <- 1
prob <- tabla2$f.prob.x[x+1]

paste("La probabilidad de que el inspector encuentre que uno de los tres fusibles está defectuoso es: ", round(prob * 100,4), "%")

## [1] "La probabilidad de que el inspector encuentre que uno de los tres fusibles está defectuoso es:  31.8182 %"

Utilizando dhyper()

prob <- dhyper(x = 1, m = m, n = n, k = k)

paste("La probabilidad de que el inspector encuentre que uno de los tres fusibles está defectuoso es: ", round(prob * 100,4), "%")

## [1] "La probabilidad de que el inspector encuentre que uno de los tres fusibles está defectuoso es:  31.8182 %"

Probabilidad de menos de tres fusibles

¿Cuál es la probabilidad de encontrar menos de tres fusibles defectuosos

\[P(x≤2)=P(X=0)+P(x=1)+P(x=2)\] o la función acumulada hasta tres \[F(x=3)\]

Utilizando la tabla de distribución

x <- 2
prob <- tabla2$f.acum.x[x+1]

paste("La probabilidad de menos de tres fusibles: ", round(prob * 100,4), "%")

## [1] "La probabilidad de menos de tres fusibles:  84.0909 %"

Utilizando sum(dhyper())

prob <- sum(dhyper(x = 0:x, m = m, n = n, k = k))

paste("La probabilidad de menos de tres fusibles: ", round(prob * 100,4), "%")

## [1] "La probabilidad de menos de tres fusibles:  84.0909 %"

Utilizando phyper()

prob <- phyper(q = x, m = m, n = n, k = k)
paste("La probabilidad de que el inspector encuentre que uno de los tres fusibles está defectuoso es: ", round(prob * 100,4), "%")

## [1] "La probabilidad de que el inspector encuentre que uno de los tres fusibles está defectuoso es:  84.0909 %"

4.3.4 Valor esperado

¿Cuál es el valor esperado?

Mandar llamar la función creada anticipadamente f.va.hiper() que se encuentra en https://github.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/blob/master/funciones/funciones.distribuciones.r

N <- 12 
n <- 3
r <- 5
VE <- f.va.hiper(n = n, N = N, r = r)

paste("El valor esperado o media de este ejercicios es de: ", VE)

## [1] "El valor esperado o media de este ejercicios es de:  1.25"

4.3.5 Varianza y desviación estándar

¿Cuál es la varianza y la desviación estándar?. También se utilizan las funciones previamente preparadas.

varianza <- f.varianza.hiper(VE = VE, n = 3, N = 12, r = 5)

desvstd <- sqrt(varianza)

paste("El valor de la varianza es de: ", round(varianza,4), " y la desviación std es de: ", round(desvstd, 4))

## [1] "El valor de la varianza es de:  0.5966  y la desviación std es de:  0.7724"

4.3.6 Interpretación

Existe una probabilidad de aproximadamente 47.72% de que suceda exactamente un fusible defectuoso.

Existe una probabilidad aproximada del 95% de que sucedan fusibles defectuosos menores a 3 componentes

El Valor esperado de 1.25 significa lo que en promedio se espera que suceda por cualquier valor de la variable discreta

La varianza es de 0.5966 y la desviación es de 0.7724 significan el grado de dispersión de los valores de la distribución o que tanto se alejan del valor medio en la distribución de probabilidad en este caso hipergeométrica.

4.4 Lote de Componentes

Lotes con 40 componentes cada uno que contengan 3 o más defectuosos se consideran inaceptables. El procedimiento para obtener muestras del lote consiste en seleccionar 5 componentes al azar y rechazar el lote si se encuentra un componente defectuoso. En todo el lote hay \(3\) defectuosos? (Camacho Avila 2019), (Walpole, Myers, and Myers 2012b)

\(n=3\),
\(N=40\),
\(k=5\) y
\(x=0,1,2,3,4...n\)

4.4.1 Tabla de probabilidad desde cero a cinco

Primero inicializar valores

N <- 40
m  <- n <- 3
r <- 5
x <- 0:n

m <-n; N <-N; k <- r; n <- N - m

Se construye la tabla de distribución

tabla <- data.frame(x=x, f.prob.x = round(dhyper(x = x,m = m, n = n, k = k), 8))

tabla <- cbind(tabla, f.acum.x = cumsum(tabla$f.prob.x))

tabla

##   x   f.prob.x  f.acum.x
## 1 0 0.66244939 0.6624494
## 2 1 0.30111336 0.9635628
## 3 2 0.03542510 0.9989879
## 4 3 0.00101215 1.0000000

4.4.2 Gráfica de probabilidad

g1 <- ggplot(data = tabla, aes(x,f.prob.x) ) +
  geom_point(colour = "red") +
  geom_line(colour = 'blue') +
  ggtitle("Función de densidad P(x)")
#g1

g2 <- ggplot(data = tabla, aes(x,f.acum.x) ) +
  geom_point(colour = "red") +
  geom_line(colour = 'blue') +
  ggtitle("Función acumulada F(x)")
#g2

plot_grid(g1, g2)

4.4.3 Probabilidad de exactamente un componente

¿Cuál es la probabilidad de que, en la muestra, se encuentre exactamente un componente defectuoso, si en todo el lote hay 3 defectuosos?. P(x=1)

x <- 1
prob <- tabla$f.prob.x[x+1]

paste("La probabilidad de que, en la muestra, se encuentre exactamente un componente defectuoso de tres es: ", round(prob * 100,4), "%")

## [1] "La probabilidad de que, en la muestra, se encuentre exactamente un componente defectuoso de tres es:  30.1113 %"

4.4.4 Probabilidad de al menos tres

¿Cuál es la probabilidad de encontrar menos de tres componentes defectuosos \[P(x≤3)=P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)+P(x=3)\] o la función acumulada \[F(x=3)\]

x <- 3
prob <- phyper(q = x,m = m, n = n, k = k)
paste ("La probabilidad de encontrar menos de tres componentes", round(prob, 4))

## [1] "La probabilidad de encontrar menos de tres componentes 1"

4.4.5 ¿Cuál es el valor esperado?

VE <- f.va.hiper(n = n, N = N, r = r)

paste("El valor esperado o media de este ejercicios es de: ", VE)

## [1] "El valor esperado o media de este ejercicios es de:  4.625"

4.4.6 ¿Cuál es la varianza y la desviación estándar?

varianza <- f.varianza.hiper(VE = VE, n = 3, N = 12, r = 5)

desvstd <- sqrt(varianza)

paste("El valor de la varianza es de: ", round(varianza,4), " y la desviación std es de: ", round(desvstd, 4))

## [1] "El valor de la varianza es de:  2.2074  y la desviación std es de:  1.4857"

4.4.7 Interpretación

En este ejercicio en su contexto, sólo 30% de las veces detecta un lote malo (con 3 componentes defectuosos). (Camacho Avila 2019).

4.5 Artículos defectuosos

Se tiene un lote de 100 artículos de los cuales 12 están defectuosos. Se extraen lotes de 10.

4.5.1 Tabla de distribución

Primero inicializar valores

N <- 100
m <- n <- 12
r <- 10
x <- 0:n

m <-n; N <-N; k <- r; n <- N - n

Distribución de la probabilidad por medio de la función creada llamada f.prob.hiper()

tabla <- data.frame(x=x, f.prob.x = round(dhyper(x = x, m = m, n = n, k = r), 8))

tabla <- cbind(tabla, f.acum.x = cumsum(tabla$f.prob.x))
tabla

##     x   f.prob.x  f.acum.x
## 1   0 0.26075027 0.2607503
## 2   1 0.39607636 0.6568266
## 3   2 0.24507225 0.9018989
## 4   3 0.08068222 0.9825811
## 5   4 0.01549689 0.9980780
## 6   5 0.00179241 0.9998704
## 7   6 0.00012447 0.9999949
## 8   7 0.00000502 0.9999999
## 9   8 0.00000011 1.0000000
## 10  9 0.00000000 1.0000000
## 11 10 0.00000000 1.0000000
## 12 11 0.00000000 1.0000000
## 13 12 0.00000000 1.0000000

4.5.2 Gráfica de probabilidad

g1 <- ggplot(data = tabla, aes(x,f.prob.x) ) +
  geom_point(colour = "red") +
  geom_line(colour = 'blue') +
  ggtitle("Función de densidad P(x)")
#g1

g2 <- ggplot(data = tabla, aes(x,f.acum.x) ) +
  geom_point(colour = "red") +
  geom_line(colour = 'blue') +
  ggtitle("Función acumulada F(x)")
#g2

plot_grid(g1, g2)

4.5.3 Probabilidad de tres defectuosos

¿Cuál es la probabilidad de que haya 3 defectuosos en una muestra de 10? \[P(x=3)\]

x <- 3
prob <- tabla$f.prob.x[x+1]

paste("La probabilidad de que haya 3 defectuosos en una muestra de 10 es de", prob)

## [1] "La probabilidad de que haya 3 defectuosos en una muestra de 10 es de 0.08068222"

Con la función dhyper()

x <- 3
dhyper(x = x, m = m, n = n, k = k)

## [1] 0.08068222

paste("La probabilidad de que haya 3 defectuosos en una muestra de 10 es de", prob)

## [1] "La probabilidad de que haya 3 defectuosos en una muestra de 10 es de 0.08068222"

4.5.4 Valor esperado

¿Cuál es el valor esperado?

VE <- f.va.hiper(n = n, N = N, r = r)

paste("El valor esperado o media de este ejercicios es de: ", VE)

## [1] "El valor esperado o media de este ejercicios es de:  8.8"

4.5.5 Varianza y desviación

¿Cuál es la varianza y la desviación estándar?

varianza <- f.varianza.hiper(VE = VE, n = 3, N = 12, r = 5)

desvstd <- sqrt(varianza)

paste("El valor de la varianza es de: ", round(varianza,4), " y la desviación std es de: ", round(desvstd, 4))

## [1] "El valor de la varianza es de:  4.2  y la desviación std es de:  2.0494"

4.5.6 Interpretación

En este ejercicio partimos de la premisa de que hay lotes con \(40\) componentes cada uno, y tenemos que analizar la probabilidad de que al seleccionar 5 componentes completamente al azar, 3 de estos estén defectuosos, si es así, estos se consideran inaceptables. Comenzamos con crear la tabla de probabilidades con un rango de \(0 a 5\), esta tabla nos será de mucha ayuda para contestar las preguntas planteadas por el ejercicio. En base a la tabla de probabilidades generada anteriormente, seguimos por realizar la representación gráfica de los valores obtenidos. Generando así: la gráfica de Función de densidad y la gráfica de Función acumulada.

Gracias a la tabla y a las gráficas realizadas, podemos concluir que existe una gran probabilidad de que al seleccionar 5 componentes, \(ninguno\) de estos este defectuoso, ya que su probabilidad es de \(66.24\)%. La probabilidad de que \(uno\) salga defectuoso es de: \(30.11\)%. La probabilidad de que existan \(2\) componentes defectuosos es de: \(3.5\)%, y la probabilidad de que \(3\) componentes resulten defectuosos es de: \(0.1\)%.

El valor esperado del ejercicio es: \(4.26\), la varianza es de: \(2.20\) y la desviación estándar es de: \(1.487\)

4.6 Artículos defectuosos

Se tiene un lote de \(100\) artículos de los cuales \(12\) están defectuosos. Se extraen lotes de \(10\).

4.6.1 Tabla de distribución

Primero inicializar valores

N <- 100
m <- n <- 12
r <- 10
x <- 0:n

m <-n; N <-N; k <- r; n <- N - n

Distribución de la probabilidad por medio de la función creada llamada f.prob.hiper()

tabla <- data.frame(x=x, f.prob.x = round(dhyper(x = x, m = m, n = n, k = r), 8))

tabla <- cbind(tabla, f.acum.x = cumsum(tabla$f.prob.x))
tabla

##     x   f.prob.x  f.acum.x
## 1   0 0.26075027 0.2607503
## 2   1 0.39607636 0.6568266
## 3   2 0.24507225 0.9018989
## 4   3 0.08068222 0.9825811
## 5   4 0.01549689 0.9980780
## 6   5 0.00179241 0.9998704
## 7   6 0.00012447 0.9999949
## 8   7 0.00000502 0.9999999
## 9   8 0.00000011 1.0000000
## 10  9 0.00000000 1.0000000
## 11 10 0.00000000 1.0000000
## 12 11 0.00000000 1.0000000
## 13 12 0.00000000 1.0000000

4.6.2 Gráfica de probabilidad

g1 <- ggplot(data = tabla, aes(x,f.prob.x) ) +
  geom_point(colour = "red") +
  geom_line(colour = 'blue') +
  ggtitle("Función de densidad P(x)")
#g1

g2 <- ggplot(data = tabla, aes(x,f.acum.x) ) +
  geom_point(colour = "red") +
  geom_line(colour = 'blue') +
  ggtitle("Función acumulada F(x)")
#g2

plot_grid(g1, g2)

4.6.3 Probabilidad de tres defectuosos

¿Cuál es la probabilidad de que haya 3 defectuosos en una muestra de 10? \(P(x=3)\)

x <- 3
prob <- tabla$f.prob.x[x+1]

paste("La probabilidad de que haya 3 defectuosos en una muestra de 10 es de", prob)

## [1] "La probabilidad de que haya 3 defectuosos en una muestra de 10 es de 0.08068222"

Con la función dhyper()

x <- 3
dhyper(x = x, m = m, n = n, k = k)

## [1] 0.08068222

paste("La probabilidad de que haya 3 defectuosos en una muestra de 10 es de", prob)

## [1] "La probabilidad de que haya 3 defectuosos en una muestra de 10 es de 0.08068222"

4.6.4 Valor esperado

¿Cuál es el valor esperado?

VE <- f.va.hiper(n = n, N = N, r = r)

paste("El valor esperado o media de este ejercicios es de: ", VE)

## [1] "El valor esperado o media de este ejercicios es de:  8.8"

4.6.5 Varianza y desviación

¿Cuál es la varianza y la desviación estándar?

varianza <- f.varianza.hiper(VE = VE, n = 3, N = 12, r = 5)

desvstd <- sqrt(varianza)

paste("El valor de la varianza es de: ", round(varianza,4), " y la desviación std es de: ", round(desvstd, 4))

## [1] "El valor de la varianza es de:  4.2  y la desviación std es de:  2.0494"

4.6.6 Interpretación

Cuando comenzamos con el ejercicio, sabemos que se tiene un lote de \(100\) artículos de los cuales \(12\) están defectuosos y también sabemos que se extraen \(10\) lotes.

Lo primero que llevamos a cabo es realizar a la tabla de probabilidades o tabla de distribución, ya que, al igual que en ejercicios anteriores, esta tabla nos será de mucha ayuda para contestar las preguntas planteadas en el problema. Una vez realizada la tabla de distribución, generamos las gráficas de Función de densidad y Función acumulada, las cuales nos serán de ayuda para representar los datos obtenidos en la tabla de manera más fácil de entender.

Gracias a lo generado anteriormente, tenemos que: la probabilidad de obtener \(1\) artículo defectuoso es de \(39.60\)%, la probabilidad de \(2\) artículos defectuosos es de \(24.50\)%, la probabilidad de \(3\) es de \(8\)%, la probabilidad de \(4\) es de: \(1.5\)%. A partir de obtener 5 artículos defectuosos la probabilidad es tan baja, que dicha probabilidad está por debajo del \(0\)%.

También generamos el valor esperado o media, cuyo valor es: \(8.8\). La varianza es de: \(4.2\) y la desviación estándar es: \(2.0494\)

4.7 Estudiante de leyes

Un estudiante tiene que preparar cien temas. En el examen se sacan tres a sorteo, de los cuales deberá exponer uno y aprobar al menos uno. El estudiante decide estudiar o preparar solamente la mitad y probar suerte. (quintela2019?).

4.7.1 Tabla de distribución

Valores iniciales

N <- 100
n <- 3
r <- 50 
x <- 0:n

m <-n; N <-N; k <- r; n <- N - n

Se construye la tabla de distribución

tabla <- data.frame(x=x, f.prob.x = round(dhyper(x = x, m = m, n = n, k = r), 8))

tabla <- cbind(tabla, f.acum.x = cumsum(tabla$f.prob.x))
tabla

##   x  f.prob.x  f.acum.x
## 1 0 0.1212121 0.1212121
## 2 1 0.3787879 0.5000000
## 3 2 0.3787879 0.8787879
## 4 3 0.1212121 1.0000000

4.7.2 Gráfica de probabilidad

g1 <- ggplot(data = tabla, aes(x,f.prob.x) ) +
  geom_point(colour = "red") +
  geom_line(colour = 'blue') +
  ggtitle("Función de densidad P(x)")
#g1

g2 <- ggplot(data = tabla, aes(x,f.acum.x) ) +
  geom_point(colour = "red") +
  geom_line(colour = 'blue') +
  ggtitle("Función acumulada F(x)")
#g2

plot_grid(g1, g2)

4.7.3 Probabilidad de que no apruebe

Se calcula la probabilidad cuando \[P(x=0)\]

prob <- dhyper(x = 0, m = m, n = n, k = k)
paste ("La probabilidad de que no apruebe es de: ", prob, " o sea ", round(prob*100, 4), "%")

## [1] "La probabilidad de que no apruebe es de:  0.121212121212121  o sea  12.1212 %"

4.7.4 Probabilidad de que apruebe

Se requiere al menos 1 de los temas, o lo que es lo mismo \[1−F(x=0)\]

prob <- 1 - phyper(q = 0, m = m, n = n, k = k)
paste ("La probabilidad de que apruebe es de: ", prob, " o sea ", round(prob*100, 4), "%")

## [1] "La probabilidad de que apruebe es de:  0.878787878787879  o sea  87.8788 %"

O se puede usar la función phyper() con el parámetro lower.tail = FALSE.

prob <- phyper(q = 0, m = m, n = n, k = k, lower.tail = FALSE)
paste ("La probabilidad de que apruebe es de: ", prob, " o sea ", round(prob*100, 4), "%")

## [1] "La probabilidad de que apruebe es de:  0.878787878787879  o sea  87.8788 %"

4.7.5 Interpretación

En este ejercicio partimos de la premisa de que un estudiante tiene que preparar \(100\) temas, y en el examen se sacarán \(3\) de esos 100 temas de manera aleatoria. El ejercicio nos pide encontrar la probabilidad o probabilidades de que al exponer uno de los temas elegidos tiene que aprobar al menos uno.

Después de inicializar valores, construimos la tabla de probabilidades o tabla de distribución la cual no servirá para responder a las preguntas que plantea el ejercicio.

Una vez generada la tabla de probabilidades, desarrollamos las gráficas de Función de densidad y Función acumulada.

En base a la tabla de distribución, podemos concluir que: la probabilidad de que no apruebe ningúno de los temas es de: \(12.12\)%, la probabilidad de que apruebe es de: \(87.87\)%.

Las probabilidades de que apruebe por lo menos uno, dos, o los 3 temas es de: \(37.78\)%, \(37.78\) y \(12.12\)% respectivamente.

5 Referencias Bibliográficas

Anderson, David R., Dennis J. Sweeney, and Thomas A. Williams. 2008. Estadística Para Administración y Economía. 10th ed. Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur: Cengage Learning,. Camacho Avila, Marcela. 2019. “Probabilidad y Estadística. Modelos Probabilísticos.” 2019. http://148.215.1.182/bitstream/handle/20.500.11799/108238/secme-34236_1.pdf?sequence=1. Cañas, Juan Jesús. n.d. “Distribución Hipergeométrica.” https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/EstadisticaProbabilidadInferencia/VAdiscreta/4_1DistribucionHipergeometrica/index.html. Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers, and Sharon L. Myers. 2012b. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Novena Edición. México: Pearson. ———. 2012a. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Novena Edición. México: Pearson.

Caso 18. Distribución Hipergeométrica

Brayan Daniel Pastrana Pérez

21/5/2021

1 Objetivo

2 Descripción

3 Fundamento teórico

3.1 Fórmula de función de probabilidad

3.2 Fórmula para valor esperado

3.3 Fórmula para varianza

3.4 Fórmula de la desviación estándar

4 Desarrollo

4.1 Cargar librerías

4.2 Cargar funciones

4.3 Fábrica de fusibles

4.3.1 Tabla de probabilidad desde cero a tres

4.3.2 Gráfica de probabilidad

4.3.3 Probabilidad uno de tres

4.3.4 Valor esperado

4.3.5 Varianza y desviación estándar

4.3.6 Interpretación

4.4 Lote de Componentes

4.4.1 Tabla de probabilidad desde cero a cinco

4.4.2 Gráfica de probabilidad

4.4.3 Probabilidad de exactamente un componente

4.4.4 Probabilidad de al menos tres

4.4.5 ¿Cuál es el valor esperado?

4.4.6 ¿Cuál es la varianza y la desviación estándar?

4.4.7 Interpretación

4.5 Artículos defectuosos

4.5.1 Tabla de distribución

4.5.2 Gráfica de probabilidad

4.5.3 Probabilidad de tres defectuosos

4.5.4 Valor esperado

4.5.5 Varianza y desviación

4.5.6 Interpretación

4.6 Artículos defectuosos

4.6.1 Tabla de distribución

4.6.2 Gráfica de probabilidad

4.6.3 Probabilidad de tres defectuosos

4.6.4 Valor esperado

4.6.5 Varianza y desviación

4.6.6 Interpretación

4.7 Estudiante de leyes

4.7.1 Tabla de distribución

4.7.2 Gráfica de probabilidad

4.7.3 Probabilidad de que no apruebe

4.7.4 Probabilidad de que apruebe

4.7.5 Interpretación

5 Referencias Bibliográficas