1 Objetivo

Calcular la función de densidad y la función de probabilidad probabilidad acumulada bajo la fórmula de distribución de hipergeométrica.

2 Descripción

Realizar distribuciones de probabilidad conforme a la distribución de probabilidad de Hipergeométrica a partir de valores iniciales de los ejercicios.

Se generan las tablas de probabilidad conforme a distribución hipergeométrica, se identifican los valores de probabilidad cuando la variable discreta \(x\) tenga algún exactamente algún valor, \(≤\) a algún valor o \(>\) o \(≥\), entre otros.

Se utilizan las funciones base dhyper() y phyper() para la probabilidad y función acumulada de la distribución hipergeométrica.

Se utiliza también de manera alternativa la función del enlace f.prob.hiper() https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/funciones/funciones.distribuciones.r que permite calcular la probabilidad de una variable aleatoria discreta bajo la distribución hipergeométrica y conforme a la fórmula.

3 Desarrollo

Se presentan ejercicios de distribuciones hipergeométricas, mostrando tablas de distribución y gráfica de la misma, se calculan probabilidades, valores esperados, varianza y desviaciones. Al final se busca la interpretación de cada ejercicio.

3.1 Cargar librerías

Para nuevas librerías se requiere instalar con anticipación, ejemplo, install.packages(“cowplot”).

library(dplyr)
library(ggplot2)
library(mosaic) # Gráficos de distribuciones
## Warning: package 'mosaic' was built under R version 4.0.5
library(cowplot) #Imágenes en el mismo renglón
## Warning: package 'cowplot' was built under R version 4.0.5
options(scipen=999) # Notación normal

# options(scipen=1) # Notación científica

3.2 Cargar funciones

#source("../funciones/funciones.distribuciones.r")

# o

source("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/funciones/funciones.distribuciones.r")

3.3 Fábrica de fusibles

Una empresa fabrica fusibles que empaca en cajas de 12 unidades cada una.

  • Asuma que un inspector selecciona al azar \(3\) de los \(12\) fusibles de una caja para inspeccionarlos.

  • Si la caja contiene exactamente 5 fusibles defectuosos,

  • En este ejercicio::

  • \(n=5\) Número de casos exitosos

  • \(N=12\) Total de elementos

  • \(r=3\) Extracción de la muestra

  • \(x\) es la cantidad de fusible defectuosos como variable aleatoria discreta, desde \(0\) hasta \(n\) o hasta un valor específico(Anderson, Sweeney, and Williams 2008).

3.3.1 Tabla de probabilidad desde cero a tres

Primero inicializar valores

N <- 12 
n <- N - 5
r <- 3
x <- 0:r

Distribución de la probabilidad por medio de la función creada llamada f.prob.hiper() y con cumsum()

tabla1 <- data.frame(x=x, f.prob.x = f.prob.hiper(x = x, N = N, n = n, r = r))

tabla1 <- cbind(tabla1, f.acum.x = cumsum(tabla1$f.prob.x))
tabla1
##   x   f.prob.x   f.acum.x
## 1 0 0.04545455 0.04545455
## 2 1 0.31818182 0.36363636
## 3 2 0.47727273 0.84090909
## 4 3 0.15909091 1.00000000

  • Distribución de la probabilidad por medio de la función base de R llamada dhyper().

  • Deben generarse los mismos datos en tabla1 y tabla2.

m <-n; N <-N; k <- r; n <- N - m

tabla2 <- data.frame(x=x, f.prob.x = round(dhyper(x = x,m = m, n = n, k = k), 8))

tabla2 <- cbind(tabla2, f.acum.x = round(phyper(q = x,m = m, n = n, k = k), 8))

tabla2
##   x   f.prob.x   f.acum.x
## 1 0 0.04545455 0.04545455
## 2 1 0.31818182 0.36363636
## 3 2 0.47727273 0.84090909
## 4 3 0.15909091 1.00000000

3.3.2 Gráfica de probabilidad

Se presentan la gráfica de probabilidad y la probabilidad acumulada en g1 y g2 respectivamente.

g1 <- ggplot(data = tabla2, aes(x,f.prob.x) ) +
  geom_point(colour = "red") +
  geom_line(colour = 'blue') +
  ggtitle("Función de densidad P(x)")
#g1

g2 <- ggplot(data = tabla2, aes(x,f.acum.x) ) +
  geom_point(colour = "red") +
  geom_line(colour = 'blue') +
  ggtitle("Función acumulada F(x)")
#g2

plot_grid(g1, g2)

3.3.3 Probabilidad uno de tres

¿Cuál es la probabilidad de que el inspector encuentre que uno de los tres fusibles está defectuoso?

Utilizando la tabla de distribución.

x <- 1
prob <- tabla2$f.prob.x[x+1]

paste("La probabilidad de que el inspector encuentre que uno de los tres fusibles está defectuoso es: ", round(prob * 100,4), "%")
## [1] "La probabilidad de que el inspector encuentre que uno de los tres fusibles está defectuoso es:  31.8182 %"

Utilizando dhyper()

prob <- dhyper(x = 1, m = m, n = n, k = k)

paste("La probabilidad de que el inspector encuentre que uno de los tres fusibles está defectuoso es: ", round(prob * 100,4), "%")
## [1] "La probabilidad de que el inspector encuentre que uno de los tres fusibles está defectuoso es:  31.8182 %"

3.3.4 Probabilidad de menos de tres fusibles

¿Cuál es la probabilidad de encontrar menos de tres fusibles defectuosos

\(P(x≤2)=P(X=0)+P(x=1)+P(x=2)\) o la función acumulada hasta tres \(F(x=3)\)

Utilizando la tabla de distribución

x <- 2
prob <- tabla2$f.acum.x[x+1]

paste("La probabilidad de menos de tres fusibles: ", round(prob * 100,4), "%")
## [1] "La probabilidad de menos de tres fusibles:  84.0909 %"

Utilizando sum(dhyper())

prob <- sum(dhyper(x = 0:x, m = m, n = n, k = k))

paste("La probabilidad de menos de tres fusibles: ", round(prob * 100,4), "%")
## [1] "La probabilidad de menos de tres fusibles:  84.0909 %"

Utilizando phyper()

prob <- phyper(q = x, m = m, n = n, k = k)
paste("La probabilidad de que el inspector encuentre que uno de los tres fusibles está defectuoso es: ", round(prob * 100,4), "%")
## [1] "La probabilidad de que el inspector encuentre que uno de los tres fusibles está defectuoso es:  84.0909 %"

3.3.5 Valor esperado

¿Cuál es el valor esperado?

N <- 12 
n <- 3
r <- 5
VE <- f.va.hiper(n = n, N = N, r = r)

paste("El valor esperado o media de este ejercicios es de: ", VE)
## [1] "El valor esperado o media de este ejercicios es de:  1.25"

3.3.6 Varianza y desviación

¿Cuál es la varianza y la desviación estándar?. También se utilizan las funciones previamente preparadas.

varianza <- f.varianza.hiper(VE = VE, n = 3, N = 12, r = 5)

desvstd <- sqrt(varianza)

paste("El valor de la varianza es de: ", round(varianza,4), " y la desviación std es de: ", round(desvstd, 4))
## [1] "El valor de la varianza es de:  0.5966  y la desviación std es de:  0.7724"

3.3.7 Interpretación

Existe una probabilidad de aproximadamente 47.72% de que suceda exactamente un fusible defectuoso.

Existe una probabilidad aproximada del 95% de que sucedan fusibles defectuosos menores a 3 componentes

El Valor esperado de 1.25 significa lo que en promedio se espera que suceda por cualquier valor de la variable discreta

La varianza es de 0.5966 y la desviación es de 0.7724 significan el grado de dispersión de los valores de la distribución o que tanto se alejan del valor medio en la distribución de probabilidad en este caso hipergeométrica.

3.4 Lote de Componentes

Lotes con \(40\) componentes cada uno que contengan 3 o más defectuosos se consideran inaceptables. El procedimiento para obtener muestras del lote consiste en seleccionar \(5\) componentes al azar y rechazar el lote si se encuentra un componente defectuoso. En todo el lote hay \(3\) defectuosos? (Camacho Avila 2019), (Walpole, Myers, and Myers 2012b)

  • \(n=3\),

  • \(N=40\),

  • \(k=5\) y

  • \(x=0,1,2,3,4...n\)

3.4.1 Tabla de probabilidad desde cero a cinco

  • Primero inicializar valores
N <- 40
m  <- n <- 3
r <- 5
x <- 0:n

m <-n; N <-N; k <- r; n <- N - m

Se construye la tabla de distribución

tabla <- data.frame(x=x, f.prob.x = round(dhyper(x = x,m = m, n = n, k = k), 8))

tabla <- cbind(tabla, f.acum.x = cumsum(tabla$f.prob.x))

tabla
##   x   f.prob.x  f.acum.x
## 1 0 0.66244939 0.6624494
## 2 1 0.30111336 0.9635628
## 3 2 0.03542510 0.9989879
## 4 3 0.00101215 1.0000000

3.4.2 Gráfica de probabilidad

g1 <- ggplot(data = tabla, aes(x,f.prob.x) ) +
  geom_point(colour = "red") +
  geom_line(colour = 'blue') +
  ggtitle("Función de densidad P(x)")
#g1

g2 <- ggplot(data = tabla, aes(x,f.acum.x) ) +
  geom_point(colour = "red") +
  geom_line(colour = 'blue') +
  ggtitle("Función acumulada F(x)")
#g2

plot_grid(g1, g2)

3.4.3 Probabilidad de exactamente un componente

¿Cuál es la probabilidad de que, en la muestra, se encuentre exactamente un componente defectuoso, si en todo el lote hay 3 defectuosos?. \(P(x=1)\)

x <- 1
prob <- tabla$f.prob.x[x+1]

paste("La probabilidad de que, en la muestra, se encuentre exactamente un componente defectuoso de tres es: ", round(prob * 100,4), "%")
## [1] "La probabilidad de que, en la muestra, se encuentre exactamente un componente defectuoso de tres es:  30.1113 %"

3.4.4 Probabilidad de al menos tres

¿Cuál es la probabilidad de encontrar menos de tres componentes defectuosos \(P(x≤3)=P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)+P(x=3)\) o la función acumulada \(F(x=3)\)

x <- 3
prob <- phyper(q = x,m = m, n = n, k = k)
paste ("La probabilidad de encontrar menos de tres componentes", round(prob, 4))
## [1] "La probabilidad de encontrar menos de tres componentes 1"

3.4.5 ¿Cuál es el valor esperado

VE <- f.va.hiper(n = n, N = N, r = r)

paste("El valor esperado o media de este ejercicios es de: ", VE)
## [1] "El valor esperado o media de este ejercicios es de:  4.625"

3.4.6 ¿Cuál es la varianza y la desviación estándar?

varianza <- f.varianza.hiper(VE = VE, n = 3, N = 12, r = 5)

desvstd <- sqrt(varianza)

paste("El valor de la varianza es de: ", round(varianza,4), " y la desviación std es de: ", round(desvstd, 4))
## [1] "El valor de la varianza es de:  2.2074  y la desviación std es de:  1.4857"

3.4.7 Interpretación

En este ejercicio se considera que lotes de 40 componentes que tienen 3 o más productos defectuosos. Se determinó que hay un 30.11% de probabilidades de que el lote tenga 1 solo componente defectuosos.

Luego, se determinó que sólo 30% de las veces se detecta un lote malo (con 3 o más componentes defectuosos). (Camacho Avila 2019).

Se obtuvo un valor esperado de 4.625, una varianza de 2.2074 y una desviación estándar de 1.4857

3.5 Artículos defectuosos

Se tiene un lote de \(100\) artículos de los cuales \(12\) están defectuosos. Se extraen lotes de \(10\).

3.5.1 Tabla de distribución

  • Primero inicializar valores
N <- 100
m <- n <- 12
r <- 10
x <- 0:n

m <-n; N <-N; k <- r; n <- N - n

Distribución de la probabilidad por medio de la función creada llamada f.prob.hiper()

tabla <- data.frame(x=x, f.prob.x = round(dhyper(x = x, m = m, n = n, k = r), 8))

tabla <- cbind(tabla, f.acum.x = cumsum(tabla$f.prob.x))
tabla
##     x   f.prob.x  f.acum.x
## 1   0 0.26075027 0.2607503
## 2   1 0.39607636 0.6568266
## 3   2 0.24507225 0.9018989
## 4   3 0.08068222 0.9825811
## 5   4 0.01549689 0.9980780
## 6   5 0.00179241 0.9998704
## 7   6 0.00012447 0.9999949
## 8   7 0.00000502 0.9999999
## 9   8 0.00000011 1.0000000
## 10  9 0.00000000 1.0000000
## 11 10 0.00000000 1.0000000
## 12 11 0.00000000 1.0000000
## 13 12 0.00000000 1.0000000

3.5.2 Gráfica de probabilidad

g1 <- ggplot(data = tabla, aes(x,f.prob.x) ) +
  geom_point(colour = "red") +
  geom_line(colour = 'blue') +
  ggtitle("Función de densidad P(x)")
#g1

g2 <- ggplot(data = tabla, aes(x,f.acum.x) ) +
  geom_point(colour = "red") +
  geom_line(colour = 'blue') +
  ggtitle("Función acumulada F(x)")
#g2

plot_grid(g1, g2)

3.5.3 Probabilidad de tres defectuosos

¿Cuál es la probabilidad de que haya 3 defectuosos en una muestra de 10? P(x=3)

x <- 3
prob <- tabla$f.prob.x[x+1]

paste("La probabilidad de que haya 3 defectuosos en una muestra de 10 es de", prob)
## [1] "La probabilidad de que haya 3 defectuosos en una muestra de 10 es de 0.08068222"

Con la función dhyper()

x <- 3
dhyper(x = x, m = m, n = n, k = k)
## [1] 0.08068222
paste("La probabilidad de que haya 3 defectuosos en una muestra de 10 es de", prob)
## [1] "La probabilidad de que haya 3 defectuosos en una muestra de 10 es de 0.08068222"

3.5.4 Valor esperado

¿Cuál es el valor esperado?

VE <- f.va.hiper(n = n, N = N, r = r)

paste("El valor esperado o media de este ejercicios es de: ", VE)
## [1] "El valor esperado o media de este ejercicios es de:  8.8"

3.5.5 Varianza y desviación

¿Cuál es la varianza y la desviación estándar?

varianza <- f.varianza.hiper(VE = VE, n = 3, N = 12, r = 5)

desvstd <- sqrt(varianza)

paste("El valor de la varianza es de: ", round(varianza,4), " y la desviación std es de: ", round(desvstd, 4))
## [1] "El valor de la varianza es de:  4.2  y la desviación std es de:  2.0494"

3.5.6 Interpretación

En este caso se presenta la situación de una fábrica que produce lotes de 100 artículos, de los cuales 12 están defectuosos. Se extrajeron lotes de 10 para corroborar.

Existe una probabilidad aproximada del 8.06% de que se encuentren 3 artículos defectuosos en la muestra de 10.

El Valor esperado de 8.8 significa lo que en promedio se espera que suceda por cualquier valor de la variable discreta, en este caso, encontrar esa cantidad de artículos defectuosos.

La varianza es de 4.2 y la desviación es de 2.0494. Significan qué tanto se alejan los valores del valor medio en la distribución de probabilidad.

3.6 Estudiante de leyes

Un estudiante tiene que preparar cien temas. En el examen se sacan tres a sorteo, de los cuales deberá exponer uno y aprobar al menos uno. El estudiante decide estudiar o preparar solamente la mitad y probar suerte. (quintela2019?).

3.6.1 Tabla de distribución

Valores iniciales

N <- 100
n <- 3
r <- 50 
x <- 0:n

m <-n; N <-N; k <- r; n <- N - n

Se construye la tabla de distribución

tabla <- data.frame(x=x, f.prob.x = round(dhyper(x = x, m = m, n = n, k = r), 8))

tabla <- cbind(tabla, f.acum.x = cumsum(tabla$f.prob.x))
tabla
##   x  f.prob.x  f.acum.x
## 1 0 0.1212121 0.1212121
## 2 1 0.3787879 0.5000000
## 3 2 0.3787879 0.8787879
## 4 3 0.1212121 1.0000000

3.6.2 Gráfica de probabilidad

g1 <- ggplot(data = tabla, aes(x,f.prob.x) ) +
  geom_point(colour = "red") +
  geom_line(colour = 'blue') +
  ggtitle("Función de densidad P(x)")
#g1

g2 <- ggplot(data = tabla, aes(x,f.acum.x) ) +
  geom_point(colour = "red") +
  geom_line(colour = 'blue') +
  ggtitle("Función acumulada F(x)")
#g2

plot_grid(g1, g2)

3.6.3 Probabilidad de que no apruebe

Se calcula la probabilidad cuando \(P(x=0)\)

prob <- dhyper(x = 0, m = m, n = n, k = k)
paste ("La probabilidad de que no apruebe es de: ", prob, " o sea ", round(prob*100, 4), "%")
## [1] "La probabilidad de que no apruebe es de:  0.121212121212121  o sea  12.1212 %"

3.6.4 Probabilidad de que apruebe

Se requiere al menos \(1\) de los temas, o lo que es lo mismo \(1−F(x=0)\)

prob <- 1 - phyper(q = 0, m = m, n = n, k = k)
paste ("La probabilidad de que apruebe es de: ", prob, " o sea ", round(prob*100, 4), "%")
## [1] "La probabilidad de que apruebe es de:  0.878787878787879  o sea  87.8788 %"

O se puede usar la función phyper() con el parámetro lower.tail = FALSE.

prob <- phyper(q = 0, m = m, n = n, k = k, lower.tail = FALSE)
paste ("La probabilidad de que apruebe es de: ", prob, " o sea ", round(prob*100, 4), "%")
## [1] "La probabilidad de que apruebe es de:  0.878787878787879  o sea  87.8788 %"

3.6.5 Interpretación

En este ejercicio está la situación de un estudiante que tiene que peparar 100 temas. En el examen sacan 3 al azar, de los cuales debe exponer uno y aprobar otro. El estudiante prefirió solamente preparar la mitad.

En base a esto, se determinó la probabilidad de que no apruebe dicho examen, y resultó ser del 12.1212%.

Además, también se determina la probabilidad de que sí apruebe, en la cual se obtuvo una probabilidad del 87.87%

4 Referencias Bibliográficas

Anderson, David R., Dennis J. Sweeney, and Thomas A. Williams. 2008. Estadística Para Administración y Economía. 10th ed. Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur: Cengage Learning,.

Camacho Avila, Marcela. 2019. “Probabilidad y Estadística. Modelos Probabilísticos.” 2019. http://148.215.1.182/bitstream/handle/20.500.11799/108238/secme-34236_1.pdf?sequence=1.

Cañas, Juan Jesús. n.d. “Distribución Hipergeométrica.” https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/EstadisticaProbabilidadInferencia/VAdiscreta/4_1DistribucionHipergeometrica/index.html.

Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers, and Sharon L. Myers. 2012b. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Novena Edición. México: Pearson.

———. 2012a. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Novena Edición. México: Pearson.