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問1

前提条件

# 資産Aの収益期待値
ra_mu <- 0.01

# 資産Bの収益期待値
rb_mu <- 0.03

# 資産Aの収益^2期待値
ra2_mu <- 0.0101

# 資産Bの収益^2期待値
rb2_mu <- 0.0153

# 資産ABの期待値
rab_mu <- 0.0087

1.各資産のリスク（収益率の標準偏差）を求めよ．

ra_var <- ra2_mu - ra_mu^2
ra_sd <- sqrt(ra_var)
rb_var <- rb2_mu - rb_mu^2
rb_sd <- sqrt(rb_var)

各資産のリスクは(収益率の標準偏差）、以下のように求められる。

  • 資産A

\[ Var[r_A] = E[r_A^2] - E[r_A]^2 \\ = 0.0101 - 0.01^2 \\ = 0.01 \\ \]

\[ SD[r_A] = \sqrt{Var[r_a]} \\ = \sqrt{0.01} \\ = 0.1 \]

  • 資産B

\[ Var[r_B] = E[r_B^2] - E[r_B]^2 \\ = 0.0153 - 0.03^2 \\ = 0.0144 \\ \]

\[ SD[r_A] = \sqrt{Var[r_A]} \\ = \sqrt{0.0144} \\ = 0.12 \]

2.各資産の収益率の共分散を求めよ．

rab_cov <- rab_mu - ra_mu * rb_mu
rab_sd <- sqrt(rab_cov)
  • 資産A＆B

\[ Cov[r_A, r_B] = E[r_Ar_B] - E[r_A]E[r_B] \\ = 0.0087 - 0.01 \times 0.03 \\ = 0.0084 \]

\[ SD[r_A, r_B] = \sqrt{Cov[r_Ar_B]} \\ = \sqrt{0.0084} \\ = 0.0916515 \]

3.各資産の収益率の相関係数を求めよ．

rab_cor <- rab_cov / ra_sd * rb_sd
  • 資産A＆B

\[ Cor[r_A, r_B] = \frac{Cov[r_A, r_B]}{\sqrt{Var[r_A]Var[r_B]}} \\ = \frac{Cov[r_A, r_B]}{SD[r_A]SD[r_B]} \\ = \frac{0.0084}{0.1 \times 0.12} \\ = 0.01008 \]

4.資産Aを70%，資産Bを30%の割合で保有するポートフォリオの期待リターンとリスクを求めよ．

p_mu <- 0.7*ra_mu + 0.3*rb_mu

p_var <- 2*0.7*0.3*rab_cov + 0.7^2*ra_var + 0.3^2*rb_var
p_sd <- sqrt(p_var)
  • ポートフォリオの期待リターン

\[ E[r_p] = w_AE[r_A] + w_BE[r_B] \\ = 0.7\times0.01 + 0.3\times0.03 \\ = 0.016 \]

  • ポートフォリオのリスク

\[ Var[r_p] = w_Aw_ACov[r_A, r_A] + w_Aw_BCov[r_A, r_B] \\ + w_BW_ACov[r_B, r_A] + w_Bw_BCov[r_B, r_B] \\ = w_A^2Var[r_A] + 2w_Aw_BCov[r_A, r_B] + w_B^2Var[r_B] \\ = 0.7^2\times0.01 + 2\times 0.7\times0.3 \times 0.0084 + 0.3^2 \times 0.0144\\ = 0.009724 \]

\[ SD[r_p] = \sqrt{Var[r_p]} \\ = \sqrt{0.009724} \\ = 0.0986103 \]

問2

# Environmentをクリア
rm(list = ls())

前提条件

# 株式Aの期待収益率
a_mu <- 70

# 株式Bの期待収益率
b_mu <- 120

# 株式Aの分散
a_var <- 600

# 株式Bの分散
b_var <- 800

# 株式ABの分散の足し算
a2_b3_var <- 10000

1.2つの株価の相関係数を求めよ．

ab_var <- a_var + b_var
ab_cov <- (2^2*a_var + 3^2*b_var - a2_b3_var) / 2
ab_cor <- ab_cov / sqrt(a_var * b_var)

まず、以下の式を\(Cov[X_A, X_B]\)について解く。 \[ Var[2X_A + 3X_B] = Var[2X_A] + Var[3X_B] + 2Cov[2X_A, 3X_B] \\ Cov[2X_A, 3X_B] = \frac{Var[2X_A] + Var[3X_B] - Var[2X_A + 3X_B]}{2} \\ = \frac{2^2Var[X_A] + 3^2Var[X_B] - Var[2X_A + 3X_B]}{2} \\ = \frac{2^2\times600 + 3^2\times800 - 10^{4}}{2} \\ = -200 \qquad...(1) \]

(1)より、相関係数は、

\[ Cor[X_A, X_B] = \frac{Cov[X_A, X_B]}{\sqrt{Var[x_A]Var[X_B]}} \\ = \frac{-200}{\sqrt{600 \times 800}} \\ = -0.2886751 \\ \approx -0.29 \]

2.株式Aを200株，株式Bを300株保有しているとき，それらを合わせた資産価値が20000円を下回るか80000円を上回る確率を，チェビシェフの不等式を用いて評価せよ．

# 株式A
n_a <- 200

# 株式B
n_b <- 300

a_sd <- sqrt(a_var)
b_sd <- sqrt(b_var)


# 期待値
mu_x <- n_a * a_mu + n_b * b_mu

# 標準偏差
var_x <- 100^2 * a2_b3_var
sd_x <- sqrt(var_x)

# kの値
k_low <- abs(20000 - mu_x) / sd_x
k_high <- abs(80000 - mu_x) / sd_x

# チェビシェフの不等式の答
cheb1 <- 1/k_low^2
cheb2 <- 1/k_high^2

  • \(\mu\) \[ E[X]=E[200X_A+300X_B]\\ =E[200X_A]+E[300X_B]\\ =200E[X_A]+300E[X_B]\\ =200\times70 + 300\times 120 \\ =5\times 10^{4} \]

  • \(\sigma\)

\[ Var[X]=Var[200X_A+300X_B]\\ =Var[100(2X_A+3X_B)]\\ =100^2Var[2X_A+3X_B]\\ =100^2 \times 10^{4} \\ =10^{8} \] \[ SD[x] = \sqrt{Var[X]} \\ = 10^{4} \]

  • 20000円を下回る確率

\[ P(|X-\mu|\geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}　\\ P(|20000-5\times 10^{4}|\geq k\times10^{4}) \leq \frac{1}{k^2}　\\ \] \(k \leq 3\)より、

\[ P(X \leq 20000) \leq \frac{1}{(3)^2} \\ P(X \leq 20000) \leq 0.1111111 \]

  • 80000円を上回る確率

\[ P(|X-\mu|\geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}　\\ P(|80000-5\times 10^{4}|\geq k\times10^{4}) \leq \frac{1}{k^2}　\\ \]

\(k \leq 3\)より、 \[ P(X \geq 80000) \leq \frac{1}{(3)^2} \\ P(X \geq 80000) \leq 0.1111111 \]

したがって、期待値\(\times\)株数を資産価値とした場合、このポートフォリオの資産価値が20000円を下回るか80000円を上回る確率は、0.2222222となる。

\[ P(X \leq 20000) + P(X \geq 80000) \leq 0.1111111 + 0.1111111 = 0.2222222 \]