CASO 18 DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA.
Francia Meraz
20/5/2021
1 Objetivo
Calcular la función de densidad y la función de probabilidad probabilidad acumulada bajo la fórmula de distribución de hipergeométrica.
2 Descripción
Realizar distribuciones de probabilidad conforme a la distribución de probabilidad de Hipergeométrica a partir de valores iniciales de los ejercicios.
Se generan las tablas de probabilidad conforme a distribución hipergeométrica, se identifican los valores de probabilidad cuando la variable discreta xx tenga algún exactamente algún valor, ≤≤ a algún valor o >> o ≥≥, entre otros.
Se utilizan las funciones base dhyper() y phyper() para la probabilidad y función acumulada de la distribución hipergeométrica.
Se utiliza también de manera alternativa la función del enlace f.prob.hiper() https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/funciones/funciones.distribuciones.r que permite calcular la probabilidad de una variable aleatoria discreta bajo la distribución hipergeométrica y conforme a la fórmula.
3 Fundamento teórico
La distribución de probabilidad hipergeométrica está estrechamente relacionada con la distribución binomial. Pero difieren en dos puntos: en la distribución hipergeométrica, los ensayos no son independientes y la probabilidad de éxito varía de ensayo a ensayo (anderson2008?).
La distribución de probabilidad de la variable aleatoria hipergeométrica xx, el número de éxitos en una muestra aleatoria de tamaño nn que se selecciona de NN artículos, en los que kk se denomina éxito y N–kN–k se le llama fracaso (Camacho Avila 2019).
La distribución hipergeométrica es especialmente útil en todos aquellos casos en los que se extraigan muestras o se realicen experiencias repetidas sin devolución del elemento extraído o sin retornar a la situación experimental inicial.
Es una distribución fundamental en el estudio de muestras pequeñas de poblaciones pequeñas y en el cálculo de probabilidades de juegos de azar. Tiene grandes aplicaciones en el control de calidad para procesos experimentales en los que no es posible retornar a la situación de partida. (Cañas, n.d.).
Como en el caso de la distribución binomial, la distribución hipergeométrica se aplica en el muestreo de aceptación, donde se toman muestras del material o las partes de los lotes con el fi n de determinar si se acepta o no el lote completo (Walpole, Myers, and Myers 2012a).
3.1 Fórmula de función de probabilidad
La fórmula de la distribución hipergeométrica \[f(x) = \frac{\binom{r}{x} \cdot \binom{N-r}{n-x}}{\binom{N}{n}}\]
Dónde:
f(x)f(x) es la probabildiad de xx o la función de distribución
nn número de ensayos o longitud de la muestra casos exitosos
NN número de elementos de la población
r o kr o k número de elementos de la población que se extraen de la población
xx Valor de la variable aleatoria discreta 0,1,2,3,,,,n0,1,2,3,,,,n (Anderson, Sweeney, and Williams 2008).
(rx)(rx) Parte izquierda del numerador, representan el número de formas (combinaciones) en que se toman xx éxitos de un total de rr éxitos que hay en la población,
(N−rn−x)(N−rn−x) parte derecha del numerador representa el número de maneras en que se puede tomar n−xn−x fracasos de un total de N−rN−r elementos que hay en la población.
(Nn)(Nn) como denominador representan el número de maneras (cantidad de combinaciones) en que es posible tomar una muestra de tamaño nn de una población de tamaño NN; (Anderson, Sweeney, and Williams 2008).
Recordando la fórmula para determinar el número de combinaciones en grupos de nn elementos de una población total de NN está dada por:
\[C_{n}^{N} = \binom{N}{n} = \frac{N!}{n!\cdot(N-n)!}\]
Entonces desarrollando la fórmula con las combinaciones la función de probabilidad hipergeométrica queda de la siguiente manera:
\[(x) = \frac{\binom{r}{x} \cdot \binom{N-r}{n-x}}{\binom{N}{n}} = \frac{ (\frac{r!}{x!\cdot(r-x)!})\cdot(\frac{(N-r)!}{(n-x)!\cdot((N-r) - (n-x))!})}{\frac{N!}{n!\cdot(N-n)!}}\]
3.2 Fórmula para valor esperado
\[E(x) = \mu = n \cdot\left(\frac{r}{N}\right)\]
3.3 Fórmula para varianza
\[Var(x) = \sigma^{2} = n \cdot\left(\frac{r}{N}\right)\cdot\left(1 - \frac{r}{N}\right)\cdot\left( \frac{N-n}{N-1}\right)\]
3.4 Fórmula de la desviación estándar
\[\sigma = \sqrt{Var(x)} = \sqrt{\sigma^{2}}\]
N=15N=15 Total de canicas o bolitas
n=m=9n=m=9 Canicas rojas
k=r=5k=r=5 Cantidad que se extrae 55
x=3x=3 Variable aleatoria
En alguna literatura de la fórmula de hipergeométrica la variable mm es igual a la literal nn y rr es lo mismo que la literal kk.
\[(x) = \frac{\binom{r}{x} \cdot \binom{N-r}{n-x}}{\binom{N}{n}} = \frac{ (\frac{r!}{x!\cdot(r-x)!})\cdot(\frac{(N-r)!}{(n-x)!\cdot((N-r) - (n-x))!})}{\frac{N!}{n!\cdot(N-n)!}}\]
Entonces, sustituyendo valores de literales:
\[P(x=3) = \frac{\binom{9}{3} \cdot \binom{15-9}{5-3}}{\binom{15}{5}} = \frac{ (\frac{9!}{3!\cdot(9-3)!})\cdot(\frac{(15-9)!}{(5-3)!\cdot((15-9) - (5-3))!})}{\frac{15!}{5!\cdot(15-5)!}}=\frac{84\times15}{3003}=0.4195\]
N <- 15
m <- 9 # Canicas rojas
n <- (N-m) # Canicas negras
k <- 5 # Extracción de canicas
x <- 3
# Haciendo operaciones sería
numerador <- factorial(m) / (factorial(x) * (factorial(m-x))) * factorial(N-m) / (factorial(k-x) * (factorial((N-m)-(k-x))))
denominador<- factorial(N) / (factorial(k) * factorial(N-5))
prob <- numerador / denominador
prob## [1] 0.4195804Directamente con la función dhyper()
prob <- dhyper(x=x, m = m, n = n, k = k)
prob## [1] 0.4195804Ejemplo2: Suponga la extracción aleatoria de 8 elementos de un conjunto formado por 40 elementos totales (cartas baraja española) de los cuales 10 son del tipo A (salir oro) y 30 son del tipo complementario (no salir oro).
Si se realizan las extracciones sin devolver los elementos extraídos y se identifica a x al número de elementos del tipo A (oros obtenidos) que se extraen en las 8 cartas; xseguirá una distribución hipergeométrica de parámetros
N=40 - Total de barajas
m=n=10 - Cantidad de oros 10
k=8 - Cuantas cartas se extraen 8
Para calcular la probabilidad de obtener 4 oros:
x=4
Calculando con la función dhyper()
N <- 40 # Total de casos
m <- n <- 8 # Cantidad de oros
k <- r <- 10 # Cantidad de extracción
x <- 4 # Variable aleatoria
dhyper(x = x, m = m, n = (N-m), k = k)## [1] 0.07483354Ejemplo 3:
Solución con dhyper()
N <- 40 # Tamaño de lote
m <- 3 # Casos de Exito
k <- 5 # Extracción
x <- 1 # Variable aleatoria
dhyper(x = x, m = m, n = (N - m), k = k)## [1] 0.30111344 Desarrollo
Se presentan ejercicios de distribuciones hipergeométricas, mostrando tablas de distribución y gráfica de la misma, se calculan probabilidades, valores esperados, varianza y desviaciones. Al final se busca la interpretación de cada ejercicio.
4.1 Cargar librerías
Para nuevas librerías se requiere instalar con anticipación, ejemplo, install.packages(“cowplot”).
library(dplyr)## Warning: package 'dplyr' was built under R version 4.0.5##
## Attaching package: 'dplyr'## The following objects are masked from 'package:stats':
##
## filter, lag## The following objects are masked from 'package:base':
##
## intersect, setdiff, setequal, unionlibrary(ggplot2)
library(mosaic) # Gráficos de distribuciones## Warning: package 'mosaic' was built under R version 4.0.5## Registered S3 method overwritten by 'mosaic':
## method from
## fortify.SpatialPolygonsDataFrame ggplot2##
## The 'mosaic' package masks several functions from core packages in order to add
## additional features. The original behavior of these functions should not be affected by this.##
## Attaching package: 'mosaic'## The following object is masked from 'package:Matrix':
##
## mean## The following object is masked from 'package:ggplot2':
##
## stat## The following objects are masked from 'package:dplyr':
##
## count, do, tally## The following objects are masked from 'package:stats':
##
## binom.test, cor, cor.test, cov, fivenum, IQR, median, prop.test,
## quantile, sd, t.test, var## The following objects are masked from 'package:base':
##
## max, mean, min, prod, range, sample, sumlibrary(cowplot) #Imágenes en el mismo renglón## Warning: package 'cowplot' was built under R version 4.0.5##
## Attaching package: 'cowplot'## The following object is masked from 'package:mosaic':
##
## theme_mapoptions(scipen=999) # Notación normal
# options(scipen=1) # Notación científica4.2 Cargar funciones
#source("../funciones/funciones.distribuciones.r")
# o
source("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/funciones/funciones.distribuciones.r")##
## Attaching package: 'gtools'## The following object is masked from 'package:mosaic':
##
## logit4.3 Fábrica de fusibles
Una empresa fabrica fusibles que empaca en cajas de 12 unidades cada una.
Asuma que un inspector selecciona al azar 33 de los 1212 fusibles de una caja para inspeccionarlos.
Si la caja contiene exactamente 5 fusibles defectuosos,
En este ejercicio::
n=5n=5 Número de casos exitosos
N=12N=12 Total de elementos
r=3r=3 Extracción de la muestra
xx es la cantidad de fusible defectuosos como variable aleatoria discreta, desde 00 hasta nn o hasta un valor específico(Anderson, Sweeney, and Williams 2008).
4.3.1 Tabla de probabilidad desde cero a tres
Primero inicializar valores
N <- 12
n <- N - 5
r <- 3
x <- 0:rDistribución de la probabilidad por medio de la función creada llamada f.prob.hiper() y con cumsum()
tabla1 <- data.frame(x=x, f.prob.x = f.prob.hiper(x = x, N = N, n = n, r = r))
tabla1 <- cbind(tabla1, f.acum.x = cumsum(tabla1$f.prob.x))
tabla1## x f.prob.x f.acum.x
## 1 0 0.04545455 0.04545455
## 2 1 0.31818182 0.36363636
## 3 2 0.47727273 0.84090909
## 4 3 0.15909091 1.00000000Distribución de la probabilidad por medio de la función base de R llamada dhyper()
Deben generarse los mismos datos en tabla1 y tabla2
m <-n; N <-N; k <- r; n <- N - m
tabla2 <- data.frame(x=x, f.prob.x = round(dhyper(x = x,m = m, n = n, k = k), 8))
tabla2 <- cbind(tabla2, f.acum.x = round(phyper(q = x,m = m, n = n, k = k), 8))
tabla2## x f.prob.x f.acum.x
## 1 0 0.04545455 0.04545455
## 2 1 0.31818182 0.36363636
## 3 2 0.47727273 0.84090909
## 4 3 0.15909091 1.000000004.3.2 Gráfica de probabilidad
Se presentan la gráfica de probabilidad y la probabilidad acumulada en g1 y g2 respectivamente.
g1 <- ggplot(data = tabla2, aes(x,f.prob.x) ) +
geom_point(colour = "red") +
geom_line(colour = 'blue') +
ggtitle("Función de densidad P(x)")
#g1
g2 <- ggplot(data = tabla2, aes(x,f.acum.x) ) +
geom_point(colour = "red") +
geom_line(colour = 'blue') +
ggtitle("Función acumulada F(x)")
#g2
plot_grid(g1, g2)
4.3.3 Probabilidad uno de tres
¿Cuál es la probabilidad de que el inspector encuentre que uno de los tres fusibles está defectuoso?
Utilizando la tabla de distribución.
x <- 1
prob <- tabla2$f.prob.x[x+1]
paste("La probabilidad de que el inspector encuentre que uno de los tres fusibles está defectuoso es: ", round(prob * 100,4), "%")## [1] "La probabilidad de que el inspector encuentre que uno de los tres fusibles está defectuoso es: 31.8182 %"Utilizando dhyper()
prob <- dhyper(x = 1, m = m, n = n, k = k)
paste("La probabilidad de que el inspector encuentre que uno de los tres fusibles está defectuoso es: ", round(prob * 100,4), "%")## [1] "La probabilidad de que el inspector encuentre que uno de los tres fusibles está defectuoso es: 31.8182 %"Probabilidad de menos de tres fusibles
¿Cuál es la probabilidad de encontrar menos de tres fusibles defectuosos
\[P(x≤2)=P(X=0)+P(x=1)+P(x=2)P(x≤2)=P(X=0)+P(x=1)+P(x=2)\] o la función acumulada hasta tres \[F(x=3)\]
Utilizando la tabla de distribución
x <- 2
prob <- tabla2$f.acum.x[x+1]
paste("La probabilidad de menos de tres fusibles: ", round(prob * 100,4), "%")## [1] "La probabilidad de menos de tres fusibles: 84.0909 %"Utilizando sum(dhyper())
prob <- sum(dhyper(x = 0:x, m = m, n = n, k = k))
paste("La probabilidad de menos de tres fusibles: ", round(prob * 100,4), "%")## [1] "La probabilidad de menos de tres fusibles: 84.0909 %"Utilizando phyper()
prob <- phyper(q = x, m = m, n = n, k = k)
paste("La probabilidad de que el inspector encuentre que uno de los tres fusibles está defectuoso es: ", round(prob * 100,4), "%")## [1] "La probabilidad de que el inspector encuentre que uno de los tres fusibles está defectuoso es: 84.0909 %"4.3.4 Valor esperado
¿Cuál es el valor esperado?
- Mandar llamar la función creada anticipadamente f.va.hiper() que se encuentra en https://github.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/blob/master/funciones/funciones.distribuciones.r
N <- 12
n <- 3
r <- 5
VE <- f.va.hiper(n = n, N = N, r = r)
paste("El valor esperado o media de este ejercicios es de: ", VE)## [1] "El valor esperado o media de este ejercicios es de: 1.25"
4.3.5 Varianza y desviación
¿Cuál es la varianza y la desviación estándar?. También se utilizan las funciones previamente preparadas.
varianza <- f.varianza.hiper(VE = VE, n = 3, N = 12, r = 5)
desvstd <- sqrt(varianza)
paste("El valor de la varianza es de: ", round(varianza,4), " y la desviación std es de: ", round(desvstd, 4))## [1] "El valor de la varianza es de: 0.5966 y la desviación std es de: 0.7724"4.3.6 Interpretación
Existe una probabilidad de aproximadamente 47.72% de que suceda exactamente un fusible defectuoso.
Existe una probabilidad aproximada del 95% de que sucedan fusibles defectuosos menores a 3 componentes
El Valor esperado de 1.25 significa lo que en promedio se espera que suceda por cualquier valor de la variable discreta
La varianza es de 0.5966 y la desviación es de 0.7724 significan el grado de dispersión de los valores de la distribución o que tanto se alejan del valor medio en la distribución de probabilidad en este caso hipergeométrica.
4.4 Lote de Componentes
Lotes con 4040 componentes cada uno que contengan 3 o más defectuosos se consideran inaceptables. El procedimiento para obtener muestras del lote consiste en seleccionar 55 componentes al azar y rechazar el lote si se encuentra un componente defectuoso. En todo el lote hay $3$ defectuosos? (Camacho Avila 2019), (Walpole, Myers, and Myers 2012b)
\[n=3\]
\[N=40,\]
\[k=5y\]
\[x=0,1,2,3,4...nx=0,1,2,3,4...n\]
4.4.1 Tabla de probabilidad desde cero a cinco
- Primero inicializar valores
N <- 40
m <- n <- 3
r <- 5
x <- 0:n
m <-n; N <-N; k <- r; n <- N - mSe construye la tabla de distribución
tabla <- data.frame(x=x, f.prob.x = round(dhyper(x = x,m = m, n = n, k = k), 8))
tabla <- cbind(tabla, f.acum.x = cumsum(tabla$f.prob.x))
tabla## x f.prob.x f.acum.x
## 1 0 0.66244939 0.6624494
## 2 1 0.30111336 0.9635628
## 3 2 0.03542510 0.9989879
## 4 3 0.00101215 1.00000004.4.2 Gráfica de probabilidad
g1 <- ggplot(data = tabla, aes(x,f.prob.x) ) +
geom_point(colour = "red") +
geom_line(colour = 'blue') +
ggtitle("Función de densidad P(x)")
#g1
g2 <- ggplot(data = tabla, aes(x,f.acum.x) ) +
geom_point(colour = "red") +
geom_line(colour = 'blue') +
ggtitle("Función acumulada F(x)")
#g2
plot_grid(g1, g2)
4.4.3 Probabilidad de exactamente un componente
¿Cuál es la probabilidad de que, en la muestra, se encuentre exactamente un componente defectuoso, si en todo el lote hay 3 defectuosos?. P(x=1)
x <- 1
prob <- tabla$f.prob.x[x+1]
paste("La probabilidad de que, en la muestra, se encuentre exactamente un componente defectuoso de tres es: ", round(prob * 100,4), "%")## [1] "La probabilidad de que, en la muestra, se encuentre exactamente un componente defectuoso de tres es: 30.1113 %"4.4.4 Probabilidad de al menos tres
¿Cuál es la probabilidad de encontrar menos de tres componentes defectuosos P(x≤3)=P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)+P(x=3)P(x≤3)=P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)+P(x=3) o la función acumulada F(x=3)F(x=3)
x <- 3
prob <- phyper(q = x,m = m, n = n, k = k)
paste ("La probabilidad de encontrar menos de tres componentes", round(prob, 4))## [1] "La probabilidad de encontrar menos de tres componentes 1"4.4.5 ¿Cuál es el valor esperado
VE <- f.va.hiper(n = n, N = N, r = r)
paste("El valor esperado o media de este ejercicios es de: ", VE)## [1] "El valor esperado o media de este ejercicios es de: 4.625"4.4.6 ¿Cuál es la varianza y la desviación estándar?
varianza <- f.varianza.hiper(VE = VE, n = 3, N = 12, r = 5)
desvstd <- sqrt(varianza)
paste("El valor de la varianza es de: ", round(varianza,4), " y la desviación std es de: ", round(desvstd, 4))## [1] "El valor de la varianza es de: 2.2074 y la desviación std es de: 1.4857"4.4.7 Interpretación
En este ejercicio en su contexto, sólo 30% de las veces detecta un lote malo (con 3 componentes defectuosos). (Camacho Avila 2019).
4.5 Artículos defectuosos
Se tiene un lote de 100100 artículos de los cuales 1212 están defectuosos. Se extraen lotes de 1010.
4.5.1 Tabla de distribución
- Primero inicializar valores
N <- 100
m <- n <- 12
r <- 10
x <- 0:n
m <-n; N <-N; k <- r; n <- N - nDistribución de la probabilidad por medio de la función creada llamada f.prob.hiper()
tabla <- data.frame(x=x, f.prob.x = round(dhyper(x = x, m = m, n = n, k = r), 8))
tabla <- cbind(tabla, f.acum.x = cumsum(tabla$f.prob.x))
tabla## x f.prob.x f.acum.x
## 1 0 0.26075027 0.2607503
## 2 1 0.39607636 0.6568266
## 3 2 0.24507225 0.9018989
## 4 3 0.08068222 0.9825811
## 5 4 0.01549689 0.9980780
## 6 5 0.00179241 0.9998704
## 7 6 0.00012447 0.9999949
## 8 7 0.00000502 0.9999999
## 9 8 0.00000011 1.0000000
## 10 9 0.00000000 1.0000000
## 11 10 0.00000000 1.0000000
## 12 11 0.00000000 1.0000000
## 13 12 0.00000000 1.00000004.5.2 Gráfica de probabilidad
g1 <- ggplot(data = tabla, aes(x,f.prob.x) ) +
geom_point(colour = "red") +
geom_line(colour = 'blue') +
ggtitle("Función de densidad P(x)")
#g1
g2 <- ggplot(data = tabla, aes(x,f.acum.x) ) +
geom_point(colour = "red") +
geom_line(colour = 'blue') +
ggtitle("Función acumulada F(x)")
#g2
plot_grid(g1, g2)
4.5.3 Probabilidad de tres defectuosos
¿Cuál es la probabilidad de que haya 3 defectuosos en una muestra de 10? P(x=3)
x <- 3
prob <- tabla$f.prob.x[x+1]
paste("La probabilidad de que haya 3 defectuosos en una muestra de 10 es de", prob)## [1] "La probabilidad de que haya 3 defectuosos en una muestra de 10 es de 0.08068222"Con la función dhyper()
x <- 3
dhyper(x = x, m = m, n = n, k = k)## [1] 0.08068222paste("La probabilidad de que haya 3 defectuosos en una muestra de 10 es de", prob)## [1] "La probabilidad de que haya 3 defectuosos en una muestra de 10 es de 0.08068222"4.5.4 Valor esperado
¿Cuál es el valor esperado?
VE <- f.va.hiper(n = n, N = N, r = r)
paste("El valor esperado o media de este ejercicios es de: ", VE)## [1] "El valor esperado o media de este ejercicios es de: 8.8"4.5.5 Varianza y desviación
¿Cuál es la varianza y la desviación estándar?
varianza <- f.varianza.hiper(VE = VE, n = 3, N = 12, r = 5)
desvstd <- sqrt(varianza)
paste("El valor de la varianza es de: ", round(varianza,4), " y la desviación std es de: ", round(desvstd, 4))## [1] "El valor de la varianza es de: 4.2 y la desviación std es de: 2.0494"4.5.6 Interpretación
En este ejercio se tomaron 100 articulos de los cuales 12 estan defectuosos y se arrojo un resultado de que la probabilidad de tres articulos defectuosos es de 0.080 y un valor esperado de 8.8; con una varianza de 4.2 y una deviacion de 2.04.
4.6 Estudiante de leyes
Un estudiante tiene que preparar cien temas. En el examen se sacan tres a sorteo, de los cuales deberá exponer uno y aprobar al menos uno. El estudiante decide estudiar o preparar solamente la mitad y probar suerte. (quintela2019?).
4.6.1 Tabla de distribución
Valores iniciales
N <- 100
n <- 3
r <- 50
x <- 0:n
m <-n; N <-N; k <- r; n <- N - nSe construye la tabla de distribución
tabla <- data.frame(x=x, f.prob.x = round(dhyper(x = x, m = m, n = n, k = r), 8))
tabla <- cbind(tabla, f.acum.x = cumsum(tabla$f.prob.x))
tabla## x f.prob.x f.acum.x
## 1 0 0.1212121 0.1212121
## 2 1 0.3787879 0.5000000
## 3 2 0.3787879 0.8787879
## 4 3 0.1212121 1.00000004.6.2 Gráfica de probabilidad
g1 <- ggplot(data = tabla, aes(x,f.prob.x) ) +
geom_point(colour = "red") +
geom_line(colour = 'blue') +
ggtitle("Función de densidad P(x)")
#g1
g2 <- ggplot(data = tabla, aes(x,f.acum.x) ) +
geom_point(colour = "red") +
geom_line(colour = 'blue') +
ggtitle("Función acumulada F(x)")
#g2
plot_grid(g1, g2)
4.6.3 Probabilidad de que no apruebe
Se calcula la probabilidad cuando P(x=0)P(x=0)
prob <- dhyper(x = 0, m = m, n = n, k = k)
paste ("La probabilidad de que no apruebe es de: ", prob, " o sea ", round(prob*100, 4), "%")## [1] "La probabilidad de que no apruebe es de: 0.121212121212121 o sea 12.1212 %"
4.6.4 Probabilidad de que apruebe
Se requiere al menos 1 de los temas, o lo que es lo mismo 1−F(x=0)
prob <- 1 - phyper(q = 0, m = m, n = n, k = k)
paste ("La probabilidad de que apruebe es de: ", prob, " o sea ", round(prob*100, 4), "%")## [1] "La probabilidad de que apruebe es de: 0.878787878787879 o sea 87.8788 %"O se puede usar la función phyper() con el parámetro lower.tail = FALSE.
prob <- phyper(q = 0, m = m, n = n, k = k, lower.tail = FALSE)
paste ("La probabilidad de que apruebe es de: ", prob, " o sea ", round(prob*100, 4), "%")## [1] "La probabilidad de que apruebe es de: 0.878787878787879 o sea 87.8788 %"Referencias Bibliográficas
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