PLANEJAMENTO DE EXPERIMENTOS: PLANEJAMENTO 2k
Paulo Fernando Marques Duarte Filho
20/05/2021
Planejamento de Experimentos
Como determinar a influência de uma ou mais variáveis sobre uma outra variável de interesse???
Observando a figura acima:
- Um certo número de fatores (controláveis e não controláveis) atuando sobre um sistema em estudo, produz respostas, as quais uma ou mais podem interessar ao pesquisador.
- Os sistema atua como uma função – desconhecida – implica na necessidade de se realizar experimentos.
- O objetivo do pesquisador é descobrir essa função, ou no mínimo obter uma aproximação satisfatória.
Mas antes devemos pensar sobre:
- No planejamento de qualquer experimento, o primeiro passo é definir quais são os fatores e as respostas de interesse.
- Os fatores , em geral, são as variáveis que o pesquisador tem condições de controlar.
- Os fatores podem ser qualitativos ou quantitativos.
- Às vezes, podemos trabalhar com fatores em que não temos controle e que podem afetar as respostas. Ex. Procedência do vinagre. Solução: blocagem ou aleatorização.
Tendo definido os fatores e as respostas, nosso próximo passo é:
- definir o objetivo que pretendemos alcançar com nosso experimento
- Escolha do planejamento mais apropriado.
Um dos planejamentos mais simples, ou seja, aquele em que pretendemos realizar uma investigação preliminar dos possíveis efeitos dos nossos fatores sobre uma resposta é o planejamento 2k.
Pense num experimento na sua área de atuação, cuja resposta seja quantitativa. Que fatores você gostaria de examinar para determinar a possível influência deles sobre a resposta?
Para estudar o efeito de qualquer fator sobre uma dada resposta, precisamos fazê-lo variar de nível – observação do resultado dessa variação sobre a resposta. Para que seja feito isso, precisamos ter o fator em pelo menos dois níveis diferentes. Planejamento mais simples: aquele em que todos os fatores são estudados em apenas dois níveis.
Planejamento 22
Para k fatores, isto é k variáveis, um planejamento completo de dois níveis exige a realização de 2 x 2 x … x 2 = 2k ensaios diferentes, sendo assim chamado de Planejamento fatorial 2k. Vamos utilizar um exemplo para trabalhar todos os conceitos necessários sobre este tipo de planejamento. Vamos analisar os efeitos do aumento da temperatura e da mudança de catalisador sobre o rendimento de uma reação.
Para isso vamos definir:
- os níveis de temperatura: 40°C (-1) e 60°C (+1) e os catalisadores: A (-1) e B (+1).
- Como é apenas um exemplo didático, na vida real, devemos buscar dados em literatura antes de estar definindo os níveis dos fatores.
- Para fazer o planejamento 22, devemos realizar os ensaios e registrar as respostas observadas em todas as combinações possíveis (40°C, A; 40°C B; 60°C, A e 60°B).
Então observe os dados tabulados abaixo:
| Ensaio | Temperatura °C | Catalisador | Rendimento % |
|---|---|---|---|
| 1 | 40 | A | 57 |
| 2 | 60 | A | 92 |
| 3 | 40 | B | 55 |
| 4 | 60 | B | 66 |
| 5 | 40 | A | 61 |
| 6 | 60 | A | 88 |
| 7 | 40 | B | 53 |
| 8 | 60 | B | 70 |
Visualmente podemos realizar algumas observações, mas antes vamos calcular a média de cada experimento.
| Temperatura °C | Catalisador | Rendimento - médio % |
|---|---|---|
| 40 | A | 59 |
| 60 | A | 90 |
| 40 | B | 54 |
| 60 | B | 68 |
Agora fica mais fácil realizar algumas observações e até mesmo calcular alguns efeitos. Mas o que seria um efeito? De acordo com a Tabela acima, quando usamos o catalisador A e elevamos a temperatura de 40°C para 60°C, o rendimento médio passa de 59% para 90%. Ocorre, portanto, um aumento de 90 − 59 = 31%.
O efeito principal da temperatura é, por definição, a média dos efeitos desta nos dois níveis do catalisador. Usando a letra T para representar esse efeito, e sendo i a resposta média observada no i-ésimo Ensaio, podemos escrever:
\(T=\frac{(90-59)+(68-54)}{2}=22,5 %\)
Este valor indica que o rendimento da reação sobe 22,5%, em média, quando a temperatura passa de seu nível inferior (40°C) para o nível superior (60°C). Essa conclusão, porém, está incompleta. Contudo, precisamos ter cuidado que a reação depende também do nível do catalisador. Podemos dizer ainda, que a temperatura e o catalisador interagem.
Poderíamos calcular da mesma forma que calculamos o efeito para temperatura, o efeito para o catalisador. Contudo, nosso propósito é utilizar uma ferramenta estatística que permita a realização desses cálculos sem muito esforço e complexidade.
Utilizando o software R para criação e análise de planejamento experimental
Um dos pacotes comumente utilizados é o pacote FrF2. Vamos instalá-lo então:
install.packages("FrF2")## Installing package into '/home/paulo/R/x86_64-pc-linux-gnu-library/4.0'
## (as 'lib' is unspecified)Feito isso podemos iniciar nossas análises. Para exemplificar vamos pegar o exemplo mostrado anteriromente.
Para construir um design de experimento 2k completo, basta entrar com a função FrF2 e informar o número k de fatores (nfactors) desejados e, em seguida, definir o número de experimentos (nruns) como 2k.
library(FrF2)## Loading required package: DoE.base## Loading required package: grid## Loading required package: conf.design## Registered S3 method overwritten by 'DoE.base':
## method from
## factorize.factor conf.design##
## Attaching package: 'DoE.base'## The following objects are masked from 'package:stats':
##
## aov, lm## The following object is masked from 'package:graphics':
##
## plot.design## The following object is masked from 'package:base':
##
## lengthsexemplo <-FrF2(nruns=4,
nfactors=2,
replications=2,
factor.names = list(Temperatura=c(40,60),
Catalisador=c("A","B")),
randomize=FALSE)## creating full factorial with 4 runs ...summary(exemplo)## Call:
## FrF2(nruns = 4, nfactors = 2, replications = 2, factor.names = list(Temperatura = c(40,
## 60), Catalisador = c("A", "B")), randomize = FALSE)
##
## Experimental design of type full factorial
## 4 runs
## each run independently conducted 2 times
##
## Factor settings:
## Temperatura Catalisador
## 1 40 A
## 2 60 B
##
## The design itself:
## run.no run.no.std.rp Temperatura Catalisador Blocks
## 1 1 1.1 40 A .1
## 2 2 2.1 60 A .1
## 3 3 3.1 40 B .1
## 4 4 4.1 60 B .1
## 5 5 1.2 40 A .2
## 6 6 2.2 60 A .2
## 7 7 3.2 40 B .2
## 8 8 4.2 60 B .2
## class=design, type= full factorial
## NOTE: columns run.no and run.no.std.rp are annotation,
## not part of the data framePodemos observar que foi criado nosso planejamento com todas as variáveis que informamos ao R. Bom, mas como informamos os resultados obtidos em cada experimento???
Precisamos criar um objeto que contenha os resultados e adicionar ao planejamento anteriormente criado.
rendimento<-c(57,92,55,66,61,88,53,70)
planrespostas<-add.response(design = exemplo, response = rendimento)
summary(planrespostas)## Call:
## FrF2(nruns = 4, nfactors = 2, replications = 2, factor.names = list(Temperatura = c(40,
## 60), Catalisador = c("A", "B")), randomize = FALSE)
##
## Experimental design of type full factorial
## 4 runs
## each run independently conducted 2 times
##
## Factor settings:
## Temperatura Catalisador
## 1 40 A
## 2 60 B
##
## Responses:
## [1] rendimento
##
## The design itself:
## run.no run.no.std.rp Temperatura Catalisador Blocks rendimento
## 1 1 1.1 40 A .1 57
## 2 2 2.1 60 A .1 92
## 3 3 3.1 40 B .1 55
## 4 4 4.1 60 B .1 66
## 5 5 1.2 40 A .2 61
## 6 6 2.2 60 A .2 88
## 7 7 3.2 40 B .2 53
## 8 8 4.2 60 B .2 70
## class=design, type= full factorial
## NOTE: columns run.no and run.no.std.rp are annotation,
## not part of the data frameEntão, todas as etapas acima envolveram a construção do planejamento e a obtenção dos resultados. Vamos agora analisar o planejamento experimental.
Análise do planejamento - Obtenção do modelo estatístico
summary(lm(planrespostas))## Number of observations used: 8
## Formula:
## rendimento ~ (Temperatura + Catalisador)^2
##
## Call:
## lm.default(formula = fo, data = model.frame(fo, data = formula))
##
## Residuals:
## 1 2 3 4 5 6 7 8
## -2 2 1 -2 2 -2 -1 2
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 67.7500 0.9014 75.162 1.88e-07 ***
## Temperatura1 11.2500 0.9014 12.481 0.000237 ***
## Catalisador1 -6.7500 0.9014 -7.488 0.001701 **
## Temperatura1:Catalisador1 -4.2500 0.9014 -4.715 0.009206 **
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 2.55 on 4 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.9832, Adjusted R-squared: 0.9706
## F-statistic: 78.03 on 3 and 4 DF, p-value: 0.0005263Que observações podemos obter em relação ao modelo apresentado:
- Individualmente tanto a temperatura quanto o catalisador apresentaram efeito significativo na resposta rendimento.
- O efeito do catalisador foi negativo. O que isso significa?
- Houve interação entre o efeito da temperatura e do catalisador.
- A signficância dos fatores sobre a resposta pode ser verificada pelos asteriscos na coluna Pr>t
Podemos dizer que nosso modelo fica:
\(Rendimento=67,5 + 11,25x1 - 6,75x2 - 4,25x1x2\)
Onde x1 = temperatura e x2= catalisador
Nosso coeficiente de determinação R2foi de 0,9706, ou seja, apresentou um bom ajuste aos dados experimentais. Agora podemos realizar também uma Análise de Variância. # Análise de Variância dos resultados
analise<-aov(formula=rendimento~Temperatura*Catalisador, data = planrespostas)
summary(analise)## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## Temperatura 1 1012.5 1012.5 155.77 0.000237 ***
## Catalisador 1 364.5 364.5 56.08 0.001701 **
## Temperatura:Catalisador 1 144.5 144.5 22.23 0.009206 **
## Residuals 4 26.0 6.5
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1Observem que tenho os resultados da coluna de Pr idênticos. Só que temos particionado a soma dos quadrados e quadrado das médias, assim como o valor de F calculado para cad fator.
Vamos agora utilizar outras funções do pacote FrF2 para maior detalhamento do nosso planejamento.
Gráficos dos efeitos principais
MEPlot(planrespostas)
Gráfico da interação
IAPlot(planrespostas)
Gráfico dos efeitos
DanielPlot(planrespostas,code = TRUE,half = TRUE, alpha = 0.1)## simulated critical values not available for all requests, used conservative ones