Tuberias Simples

2.31

rm(list = ls())

El sistema cuenta con las siguientes variables:

Q = 0.460 m³/s

L = 370m

K_s = 0.046 *10^-3m

\(\phi\) = 0.35 m

K_L = 7.4

\(\eta\) = 0.75

q <- 0.46; l <- 370; ks <- 0.046e-3; d <- 0.35; kl <- 7.4; n <- 0.75

Se calculan las perdidas por accesorios siguiendo \(h_L={K_L}\frac{Q^2}{2gA^2}\).

a <- pi*d**2/4
hl <- kl*(q**2)/(2*9.81*a**2)

hl

## [1] 8.62177

Se calcula el número de Reynolds siguiendo \(\textbf{R}=\frac{Q\phi}{A\nu}\), donde \(\nu\) es la viscosidad cinemática del agua que para 20ºC es de 1.007 x10^-6 m²/s.

nu <- 1.007e-6
r <- (q*d)/(a*nu)

r

## [1] 1661768

Con lo cual se puede afirmar que el flujo es turbulento. A continuación, se puede obtener el factor f iterando la formula \(f=\left( -2\log_{10}{\left(\frac{K_s}{3.7\phi}+\frac{2.51}{\textbf{R}\sqrt{f}}\right)}\right) ^{-2}\)

f0 <- 0
f1 <- 0.02
while(f1!=f0){
  f0 <- f1
  f1 <- (-2*log10(ks/(3.7*d)+2.51/(sqrt(f0)*r)))**-2
}

f <- f1

f

## [1] 0.01343453

Con lo que se pueden calcular las perdidas por fricción mediante \(h_f=f\frac{L}{\phi}\frac{\bar{Q}^2}{2gA^2}\)

hf <- f*(l/d)*(q**2/(2*9.81*a**2))

Finalmente se obtiene una potencia de 241.25 kW siguiendo la formula \(Potencia=\frac{\gamma Qh}{\eta}\), donde h es la suma de la diferencia de elevación y las perdidas

h <- 15 + hl + hf
Potencia <- (998.2*9.81*q*h)/n

Potencia

## [1] 241252.8

2.1

rm(list = ls())

El sistema cuenta con las siguientes variables:

L = 430m

K_s = 0.0015 *10^-3m

\(\phi\) = 0.20 m

K_L = 7.9

\(\Delta Z\) = 37.2 m

l <- 430; ks <- 0.0015e-3; d <- 0.20; kl <- 7.9; dz <- 37.2; nu <- 1.007e-6

Inicialmente se suponen las perdidas totales como la diferencia de elevación, \(\Delta Z=37.2m\). Partiendo de la ecuación de Bernoulli se puede plantear que \(\Delta Z=h_f+h_f\), pues se parte y se llega a tanques donde la presión es igual a la atmosférica y las velocidades son 0.

Utilizando la ecuación de Darcy-Weisbach y planteando la ecuación de las perdidas por accesorios se tiene que \(\Delta Z=f\frac{L}{\phi}\frac{Q^2}{2gA^2}+{K_L}\frac{Q^2}{2gA^2}\), de donde se puede despejar Q en función de f: \(Q=\left[\Delta Z/\left[\frac{1}{2gA^2}\left(f\frac{L}{\phi}+K_L\right)\right]\right]^{-2}\). Con esto se puede seguir el siguiente procedimiento iterativo: 1) suponer f; 2) calcular Q; 3) Calcular Reynolds mediante \(\textbf{R}=\frac{Q\phi}{\nu A}\); 4) Calcular f mediante \(f=\left( -2\log_{10}{\left(\frac{K_s}{3.7\phi}+\frac{2.51}{\textbf{R}\sqrt{f}}\right)}\right) ^{-0.5}\); Si f supuesto y f calculado son iguales se se toma el caudal como la capacidad de la tubería, de lo contrario se vuelve a iniciar tomando el f supuesto como el calculado en el paso 4.

a <- pi*d**2/4

f0 <- 0; f1 <- 0.02
while(T){
  f0 <- f1
  q <- (dz/((1/(2*9.81*a**2))*(f0*l/d+kl)))**0.5
  r <- (q*d)/(nu*a)
  
  fa <- 0; fb <- f0
  while(fb!=fa){
  fa <- fb
  fb <- (-2*log10(ks/(3.7*d)+2.51/(sqrt(fa)*r)))**-2
  }
  f1 <- fb
  if(abs((f1-f0)/f0) < 0.01)break
}

q

## [1] 0.1462586

Con lo cual se obtiene un caudal de 146 l/s para la tubería.

2.21

rm(list = ls())

El sistema cuenta con las siguientes variables:

Q = 0.850 m³/s

L = 1680m

K_s = 0.046 *10^-3m

K_L = 6.8

\(\Delta Z\) = 126 m

Potencia = 800 kW

l <- 1680; ks <- 0.046e-3; kl <- 6.8; dz <- 126; nu <- 1.007e-6; potencia  <- 800e3
q <- 0.85

De manera análoga al anterior ejercicio se plantea que \(\Delta Z=\frac{16Q^2}{2\pi^2g\phi^4}+h_f+h_l+h_t\), donde h_t es la cabeza de la turbina, se va a tomar como teórica, es decir eficiencia del 100%.

Utilizando el concepto de longitud equivalente, el cual se expresa como \(L_e=\frac{K_l*\phi}{f}\) se puede plantear la ecuación de Bernoulli como \(\Delta Z-h_t=f\frac{L}{\phi}\frac{16Q^2}{2\pi^2g\phi^4}+\frac{16K_LQ^2\phi}{2\pi^2g\phi^4}+\frac{16Q^2}{2\pi^2g\phi^4}\), reorganizando se puede llegar a la expresión \(\phi=\left[\frac{16Q^2}{2\pi^2 g(\Delta Z-h_t)}\left(fL+K_L\phi+\phi\right)\right]^{0.2}\). Como se ve esta es una ecuación implícita y f también es calculado mediante una ecuación implícita por lo cual el paso 1) es suponer ambos valores; 2) Obtener el número de Reynolds; 3) calcular f; 4) calcular un nuevo diámetro. Cuando no hayan diferencias significativas entre los supuestos y los calculados se da como solucionado el ejercicio.

ht <- potencia/(q*998.2*9.81)

d0 <- 0; d1 <- 1
f0 <- 0; f1 <- 0.02
while(T){
  f0 <- f1; d0 <- d1
  
  r <- (4*q)/(pi*nu*d0)
  
  fa <- 0; fb <- f0
  while(fb!=fa){
  fa <- fb
  fb <- (-2*log10(ks/(3.7*d0)+2.51/(sqrt(fa)*r)))**-2
  }
  f1 <- fb
  
  da <- 0; db <- d0
  while(db!=da){
    da <- db
    db <- ((16*q**2/(2*9.81*pi**2*(dz-ht)))*(f1*l+kl*da+da))**0.2
  }
  d1 <- db
  
  if(abs((f1-f0)/f0) < 0.01 & abs((d1-d0)/d0) < 0.01)break
}

d <- d1

d

## [1] 0.5506196

Con lo que se obtiene un diámetro de 0.5506 m, constructivamente se puede aproximar a 0.5588 m, es decir 22 pulgadas.

2.30

rm(list = ls())

El sistema cuenta con las siguientes variables:

T = 50ºC

\(\rho\) = 988 kg/m³

\(\mu\) = 5.47 x10^-4 Pa.s

\(\nu\) = 0.553 x10^-6 m²/s

\(\phi\) = 0.45 m

Q = 0.63 m³/s

L = 60 m

h = 6.2 m

K_L = 2.4

q <- 0.63; nu <- 0.553e-6; d <- 0.45; l <- 60; h <- 6.2; kl <- 2.4

Inicialmente, se calcula el Reynolds como \(\textbf{R}=\frac{4Q}{\pi\phi\nu}\). Posteriormente, se puede plantear la siguiente ecuación \(h=f\frac{8LQ^2}{\pi^2g\phi^5}+\frac{8K_LQ^2}{\pi^2g\phi^4}\), de donde se despeja f como \(f=\left(h-\frac{8K_LQ^2}{\pi^2g\phi^4}\right)*\frac{\pi^2g\phi^5}{8LQ^2}\). Con esto se puede despejar K_s de la ecuación de Colebrook \(K_s=3.7\phi\left[10^\left(\frac{1}{-2\sqrt{f]}}\right)-\frac{2.51}{\textbf{R}\sqrt{f}}\right]\).

r <- (4*q)/(pi*d*nu)

f <- (h-(8*kl*q**2)/(pi**2*9.81*d**4))*((pi**2*9.81*d**5)/(8*l*q**2))
ks <- 3.7*d*(10**(1/(-2*sqrt(f)))-2.51/(r*sqrt(f)))

ks

## [1] 0.005313197

Con lo que se obtiene una rugosidad absoluta de 5.3mm.