1 Objetivo

Demostrar el teorema de Límite central

2 Descripción

  • Se genera una población de \(6200\) observaciones relacionadas con una variable de estatura dada en metros de aproximadamente personas que miden entre \(1.60\) y \(2.00\) metros. o ente \(160\) y \(200\) centímetros.

  • Se determina el parámetro de media poblacional \(\mu\) de cada población tanto no normal como de una población normal.

  • Se visualiza la densidad de cada población.

  • Se determinan cinco muestras diferentes.

  • Se determina la media de cada muestra.

  • Se hace una tabla de distribución muestral

  • Se incluye en tabla la media de todas las medias de todas las muestras o valor esperado.

  • Se interpreta el teorema de límite central.

3 Marco Teórico

Cuando se seleccionan muestras aleatorias simples de tamaño \(n\) de una población \(N\), la distribución muestral de la media muestral puede aproximarse a la media poblacional mediante una distribución normal a medida que el tamaño de la muestra se hace grande (Anderson, Sweeney, and Williams 2008a).

El planteamiento del teorema, la suposición de normalidad en la distribución de la media \(\bar{x}\) se vuelve más precisa a medida que \(n\) se hace más grande. (Walpole, Myers, and Myers 2012).

Ahora bien, la media muestral se le conoce como el estimador puntual de la media poblacional \(\mu\), a la desviación estándar muestral \(s\) como el estimador puntual de la desviación estándar poblacional \(\sigma\). (Anderson, Sweeney, and Williams 2008b). En este documento sólo se trata con el estimador puntual media muestral \(\bar{x}\).

La distribución muestral de un estadístico depende de la distribución de la población, del tamaño de las muestras y del método de selección de las muestras (Walpole, Myers, and Myers 2012).

Como la variable aleatoria media muestral puede tener muchos valores diferentes, suele ser de interés conocer la media de todos los valores de \(\bar{x}\) que se obtienen con diferentes muestras aleatorias simples. La media de todas las variables aleatoria es el valor esperado de \(\bar{x}\). El valor esperado se denota como \(E(\bar{x})\) (Anderson, Sweeney, and Williams 2008a).

Con respecto a determinar si un estimador puntual como la media muestral \(\bar{x}\) esta se debe valorar por sus propiedades de insesgadez, eficiencia y consistencia.

  • insesgadez. Si el valor esperado del estadístico muestral \(E(\hat\theta)\) es igual al parámetro poblacional \(\theta\) que se estudia, se dice que el estadístico muestral es un estimador insesgado del parámetro poblacional. Algunas veces, el valor del estimador puntual \(E(\hat \theta)\)puede ser menor que \(E(\theta)\) y otras veces sea mayor que \(E(theta)\). Por lo tanto, la importancia radica en si la distribución muestral está muy sesgada, los estadísticos generados pueden ser subestimados o sobreestimados. (Anderson, Sweeney, and Williams 2008a).

  • Eficiencia. Una distribución muestral es mas eficiente cuando tiene menor error muestral, siendo este último la diferencia de la media poblacional \(\mu\) con la media muestral \(\bar{x}\). Se dice que el estimador puntual con menor error estándar tiene mayor eficiencia relativa que los otros. (Anderson, Sweeney, and Williams 2008a).

  • Consistencia. Cuanto se obtienen varias muestra se debe observar que la media muestral \(\bar{x}\) debe acercarse a la media poblacional\(\mu\) conforme la muestra aumenta.

3.1 Distribución Normal

Una distribución normal tiene algunas características:

  1. Toda la familia de distribuciones normales se diferencia por medio de dos parámetros: la media \(μ\) y la desviación estándar \(σ\).

  2. El punto más alto de una curva normal se encuentra sobre la media, la cual coincide con la mediana y la moda.

  3. La media de una distribución normal puede tener cualquier valor: negativo, positivo o cero. La distribución normal es simétrica, siendo la forma de la curva normal al

  4. izquierdo de la media, la imagen especular de la forma al lado derecho de la media. Las colas de la curva normal se extienden al infinito en ambas direcciones y en teoría jamás tocan el eje horizontal. Dado que es simétrica, la distribución normal no es sesgada; su sesgo es cero.

  5. La desviación estándar determina qué tan plana y ancha es la curva normal. Desviaciones estándar grandes corresponden a curvas más planas y más anchas, lo cual indica mayor variabilidad en los datos.

  6. Las probabilidades correspondientes a la variable aleatoria normal se dan mediante áreas bajo la curva normal. Toda el área bajo la curva de una distribución normal es 1. Como esta distribución es simétrica, el área bajo la curva y a la izquierda de la media es \(0.50\) y el área bajo la curva y a la derecha de la media es \(0.50\).

  7. Los porcentajes de los valores que se encuentran en algunos intervalos comúnmente usados son:

    • 68.3% de los valores de una variable aleatoria normal se encuentran más o menos una desviación estándar de la media.

    • 95.4% de los valores de una variable aleatoria normal se encuentran más o menos dos desviaciones estándar de la media.

    • 99.7% de los valores de una variable aleatoria normal se encuentran más o menos tres desviaciones estándar de la media. (Anderson, Sweeney, and Williams 2008a).

3.2 Gráfica de una distribución normal

Desarrollo

4 Desarrollo

4.1 Las librerías

library(ggplot2)
library(mosaic) # Gráficos de distribuciones
library(cowplot) #Imágenes en el mismo renglón

4.2 Semilla de inicio

set.seed(2021) # Semilla

Se generan y simulan valores de estaturas de una población y su parámetro estadístico de media.

4.3 La población No normal

Se determina con la función sample() que no garantiza una distribución normal.

poblacion <- data.frame(edad = sample(160:200, size = 6200, replace = TRUE))

head(poblacion)
##   edad
## 1  166
## 2  197
## 3  198
## 4  171
## 5  165
## 6  197
tail(poblacion)
##      edad
## 6195  189
## 6196  166
## 6197  187
## 6198  171
## 6199  183
## 6200  184

4.3.1 Media y desviación

media <- round(mean(poblacion$edad),4)
desv <- round(sd(poblacion$edad), 4)

paste("La media poblacional es:", media, " y desviación igual a: ", desv)
## [1] "La media poblacional es: 179.9719  y desviación igual a:  11.7889"

4.3.2 Gráfica de densidad

g <- ggplot(data = poblacion, mapping = aes(x=edad)) +
  geom_density(color = "red", fill="lightblue")+
  ggtitle("Densidad", 
          subtitle = paste("Media=",media," Desv=",desv)) 
  
g

Se observa que no es una distribución normal, no se parece a una campana y mucho menos no es simétrica, entre otras propiedades que no cumple

4.3.3 Distribuciones muestrales

4.3.3.1 Muestra 1

Se genera una muestra de \(2\) observaciones y se determina su media muestral.

n <- 2
muestra1 <- sample(poblacion$edad, size = n, replace = FALSE )
muestra1
## [1] 182 174
media1 <- mean(muestra1)
paste("La media muestral 1: ", media1)
## [1] "La media muestral 1:  178"

4.3.3.2 Muestra 2

Se genera una muestra de \(200\) observaciones y se determina su media muestral.

n <- 200
muestra2 <- sample(poblacion$edad, size = n, replace = FALSE )
muestra2
##   [1] 176 168 180 169 195 163 187 194 176 192 190 185 178 187 184 199 166 174
##  [19] 179 171 167 173 173 169 171 176 179 186 193 187 178 176 183 192 189 171
##  [37] 186 196 172 198 179 182 173 196 190 161 188 185 178 173 200 170 179 182
##  [55] 183 199 199 191 198 198 183 181 187 194 182 176 192 191 180 183 163 184
##  [73] 163 163 192 161 186 196 176 180 169 177 182 170 195 166 192 174 184 190
##  [91] 178 165 184 161 181 194 194 177 178 169 186 169 190 173 196 172 161 184
## [109] 167 200 167 199 166 161 197 196 162 173 199 165 174 190 198 170 169 184
## [127] 188 162 162 176 168 199 181 171 197 174 171 186 185 197 182 197 195 200
## [145] 195 162 178 174 196 163 174 163 182 171 184 161 183 182 178 183 180 177
## [163] 187 181 189 199 180 188 174 167 192 196 173 162 178 165 184 175 186 194
## [181] 194 165 184 189 178 199 189 178 184 167 196 183 168 186 165 173 163 198
## [199] 168 195
media2 <- mean(muestra2)
paste("La media muestral 2: ", media2)
## [1] "La media muestral 2:  180.81"

4.3.3.3 Muestra 3

Se genera una muestra de \(600\) observaciones y se determina su media muestral.

n <- 600
muestra3 <- sample(poblacion$edad, size = n, replace = FALSE )
muestra3
##   [1] 161 172 173 180 199 165 171 184 187 160 181 167 177 184 187 162 161 168
##  [19] 186 166 198 192 196 183 163 183 196 181 200 165 191 169 183 176 187 171
##  [37] 182 185 166 195 187 189 184 171 171 167 185 177 178 164 180 174 189 195
##  [55] 186 175 175 196 200 162 163 167 190 188 198 186 198 199 177 174 191 177
##  [73] 170 169 167 189 163 183 191 187 190 175 192 185 200 163 164 193 188 191
##  [91] 191 199 178 178 198 200 180 194 162 191 194 186 199 167 181 168 182 178
## [109] 165 194 196 189 179 190 168 192 162 174 179 197 171 188 185 161 187 162
## [127] 184 179 184 185 179 175 168 165 172 169 173 188 170 163 191 200 170 195
## [145] 167 200 200 181 174 161 194 174 199 182 161 170 177 178 182 193 179 194
## [163] 164 200 169 176 163 198 200 178 199 199 180 189 170 184 163 167 184 176
## [181] 200 194 164 165 187 194 194 179 170 191 164 195 182 188 186 168 182 170
## [199] 185 178 196 179 172 162 199 185 175 169 168 176 170 184 192 164 198 197
## [217] 182 186 189 183 186 200 160 163 180 175 169 181 188 171 196 179 191 172
## [235] 199 188 165 182 190 169 187 167 167 171 169 161 179 195 168 183 194 171
## [253] 197 180 185 162 178 166 188 175 177 196 170 184 162 183 169 188 179 161
## [271] 163 198 160 170 191 166 177 172 170 166 186 175 171 161 192 164 173 175
## [289] 185 162 188 176 160 174 199 197 177 176 178 161 161 178 171 196 160 162
## [307] 161 198 171 198 173 162 179 182 168 176 177 177 161 167 186 172 166 184
## [325] 173 173 172 189 176 194 181 163 169 200 199 170 178 178 187 189 184 190
## [343] 160 173 196 170 189 177 177 192 172 200 192 195 161 168 191 162 165 188
## [361] 160 198 191 174 160 187 185 185 183 178 185 180 195 200 172 195 167 193
## [379] 180 181 199 172 199 183 172 188 185 181 190 178 193 180 168 174 183 190
## [397] 191 197 182 187 184 182 200 192 174 192 184 180 182 160 173 199 179 166
## [415] 162 189 165 196 175 186 176 180 168 193 176 184 179 174 182 168 160 183
## [433] 186 197 187 187 194 185 183 187 198 199 189 174 168 165 192 179 162 172
## [451] 180 185 175 192 176 171 177 197 170 191 168 162 176 182 174 166 174 199
## [469] 169 183 185 173 161 164 170 180 187 182 178 183 162 168 194 160 199 197
## [487] 166 172 172 193 194 186 171 195 193 180 175 174 200 162 183 199 166 190
## [505] 195 181 195 163 200 174 179 166 190 196 170 169 165 191 190 181 169 196
## [523] 192 161 170 174 170 196 183 161 173 183 190 179 197 163 164 190 168 181
## [541] 181 179 178 196 200 186 197 192 168 196 182 174 161 173 172 183 169 167
## [559] 184 166 191 176 200 197 185 182 191 195 166 161 165 181 182 182 168 189
## [577] 197 190 177 192 166 163 188 198 183 178 168 176 187 170 195 177 172 197
## [595] 176 181 162 185 194 190
media3 <- mean(muestra3)
paste("La media muestral 3: ", media3)
## [1] "La media muestral 3:  180.095"

4.3.3.4 Muestra 4

Se genera una muestra de \(1200\) observaciones y se determina su media muestral.

n <-1200
muestra4 <- sample(poblacion$edad, size = n, replace = FALSE )
muestra4
##    [1] 170 176 197 164 186 195 162 186 193 200 196 182 198 167 184 194 184 180
##   [19] 188 182 166 177 198 197 170 168 199 194 160 183 174 176 191 165 199 190
##   [37] 168 162 196 165 169 186 183 182 161 180 194 195 195 180 189 176 190 174
##   [55] 174 162 200 176 175 196 198 174 200 192 200 174 177 184 185 167 182 198
##   [73] 171 174 188 174 197 192 166 164 164 179 185 178 189 173 186 175 178 176
##   [91] 176 166 194 166 164 185 161 197 184 172 164 176 171 196 182 172 180 200
##  [109] 196 178 194 196 195 169 194 171 181 194 169 167 195 178 174 181 187 197
##  [127] 173 184 191 166 195 188 187 172 163 167 193 163 175 164 173 200 174 171
##  [145] 183 184 162 166 192 164 175 179 200 195 194 195 198 179 166 167 184 173
##  [163] 161 200 161 167 195 167 160 184 181 160 175 172 194 161 181 195 197 196
##  [181] 169 191 168 168 163 175 162 162 196 182 200 198 178 189 175 173 166 197
##  [199] 183 199 178 182 197 197 172 163 184 198 192 163 196 163 162 177 199 200
##  [217] 164 176 170 191 163 166 168 185 175 168 196 165 183 175 177 166 189 190
##  [235] 178 187 190 191 194 182 179 200 185 178 195 193 171 183 190 162 173 176
##  [253] 162 193 189 180 192 176 188 189 187 164 181 200 193 198 177 162 181 177
##  [271] 185 182 160 160 196 197 194 195 198 174 194 176 161 172 161 175 200 200
##  [289] 171 174 163 174 184 173 168 163 167 177 191 188 163 171 182 184 189 162
##  [307] 189 173 187 200 171 177 178 169 181 165 163 163 163 175 196 177 161 191
##  [325] 177 172 196 178 181 164 179 175 188 166 177 198 200 167 169 177 198 176
##  [343] 160 173 165 178 181 174 176 192 190 162 188 177 173 173 183 162 175 170
##  [361] 172 184 169 184 168 169 179 170 165 170 197 165 167 193 175 186 166 165
##  [379] 175 161 200 192 185 163 177 185 177 184 168 170 160 163 178 198 164 173
##  [397] 181 178 192 180 186 173 188 199 189 174 186 195 178 184 185 195 198 199
##  [415] 193 186 168 199 183 177 193 175 168 190 181 166 163 177 175 196 196 177
##  [433] 175 197 199 165 163 176 165 175 173 196 194 178 172 162 180 187 171 184
##  [451] 169 171 163 165 197 193 167 178 162 192 182 165 167 179 168 180 162 184
##  [469] 178 183 192 167 167 183 180 195 161 191 180 169 192 181 198 191 178 187
##  [487] 179 185 198 184 163 181 199 160 175 190 185 184 189 177 191 195 199 190
##  [505] 182 170 196 182 197 186 176 184 163 183 191 166 199 175 189 162 183 173
##  [523] 196 195 180 166 162 176 192 191 166 166 190 176 164 180 199 174 173 200
##  [541] 197 192 182 167 172 195 177 163 163 164 193 199 187 163 194 184 183 195
##  [559] 170 174 195 182 196 165 178 187 182 165 189 198 171 172 175 178 191 188
##  [577] 194 194 186 180 184 177 171 186 166 191 186 167 173 181 190 177 181 199
##  [595] 179 176 197 182 186 182 171 169 190 169 162 174 161 162 177 182 164 180
##  [613] 175 194 179 196 200 187 197 169 166 167 175 189 181 184 196 194 194 186
##  [631] 168 162 188 182 192 179 177 190 178 174 200 183 174 192 167 193 174 197
##  [649] 169 187 191 166 185 197 187 178 181 167 191 194 179 191 191 199 181 197
##  [667] 196 186 167 200 163 167 182 197 188 176 172 178 181 171 161 170 165 194
##  [685] 167 182 176 161 168 199 180 170 161 171 195 190 164 160 199 162 193 199
##  [703] 172 195 183 171 170 182 200 200 163 166 190 170 175 176 198 160 176 167
##  [721] 178 164 194 182 169 175 198 175 191 193 191 173 173 187 170 175 168 179
##  [739] 172 179 178 181 179 196 190 196 193 160 163 170 187 191 199 167 160 199
##  [757] 182 183 192 160 173 177 163 188 170 190 195 165 192 175 177 174 199 197
##  [775] 178 177 175 166 163 161 183 176 187 174 181 192 180 197 163 166 190 168
##  [793] 195 163 194 197 176 191 199 170 187 169 195 163 187 175 169 170 174 169
##  [811] 165 195 195 176 187 177 170 160 181 196 168 180 183 176 172 181 167 165
##  [829] 171 176 196 168 181 190 179 165 164 187 161 196 180 192 166 188 170 192
##  [847] 186 170 164 199 178 173 179 175 195 163 189 160 196 179 184 188 161 166
##  [865] 197 198 161 162 195 179 169 180 179 167 180 170 176 175 178 167 183 191
##  [883] 167 164 175 171 170 179 160 165 172 184 197 182 189 200 167 168 198 176
##  [901] 190 161 167 170 186 165 196 168 183 193 185 197 200 175 170 169 196 192
##  [919] 172 200 190 196 187 199 167 177 162 172 169 181 179 191 198 179 183 194
##  [937] 199 183 181 193 195 167 198 187 184 179 191 178 184 169 161 162 183 187
##  [955] 189 199 174 178 164 175 165 186 175 180 192 165 180 195 183 182 200 196
##  [973] 191 175 196 168 189 172 162 196 196 172 193 165 187 162 178 162 180 162
##  [991] 172 179 175 186 190 183 187 198 161 194 179 182 196 192 161 197 176 169
## [1009] 180 169 177 198 167 179 191 182 169 188 188 196 178 189 173 191 160 199
## [1027] 197 190 170 195 163 192 189 177 172 163 165 160 176 178 160 181 179 198
## [1045] 198 171 193 173 176 164 183 187 182 168 187 197 193 167 164 162 174 192
## [1063] 180 192 193 175 193 174 196 175 174 182 198 189 173 190 186 183 199 190
## [1081] 170 183 168 199 186 195 198 168 180 171 199 182 177 193 166 199 183 178
## [1099] 164 196 168 164 187 169 195 198 195 183 195 165 179 181 194 170 200 177
## [1117] 187 160 194 194 176 176 165 185 183 195 160 187 170 163 163 197 161 162
## [1135] 192 200 192 186 177 184 183 177 160 178 182 176 162 177 197 172 188 166
## [1153] 173 178 171 163 171 192 180 161 168 163 192 182 198 175 164 172 170 170
## [1171] 197 165 187 165 193 187 163 174 178 190 178 183 184 194 162 193 192 174
## [1189] 172 176 160 195 172 177 161 185 199 190 200 167
media4 <- mean(muestra4)
paste("La media muestral 4: ", media4)
## [1] "La media muestral 4:  180.1075"

4.3.3.5 Muestra 5

Se genera una muestra de \(1800\) observaciones y se determina su media muestral.

n <-1800
muestra5 <- sample(poblacion$edad, size = n, replace = FALSE )
muestra5
##    [1] 164 165 172 172 177 180 165 191 182 181 170 161 194 181 160 194 160 171
##   [19] 171 190 195 179 171 190 177 185 177 192 166 181 190 165 164 167 186 171
##   [37] 198 199 194 183 195 197 181 200 167 198 163 166 184 177 193 200 196 165
##   [55] 167 176 179 199 166 190 184 173 195 161 165 173 172 165 186 194 177 163
##   [73] 200 185 182 170 167 198 188 189 169 185 175 176 192 197 194 198 182 177
##   [91] 189 195 179 197 193 200 181 180 171 174 162 180 191 166 169 197 164 176
##  [109] 163 181 178 196 166 194 193 180 198 174 188 169 182 189 182 162 165 198
##  [127] 190 186 188 179 195 192 169 171 161 194 199 199 178 192 186 173 171 165
##  [145] 177 168 200 187 185 194 163 189 177 164 180 181 176 175 175 165 184 200
##  [163] 195 196 171 190 183 192 170 182 162 168 168 162 172 165 181 190 195 179
##  [181] 160 161 199 197 180 163 190 197 169 197 198 180 172 163 192 191 188 174
##  [199] 164 192 161 185 193 200 194 180 195 162 168 193 166 188 194 193 163 196
##  [217] 180 178 188 196 169 178 173 166 161 200 161 169 161 188 192 175 161 174
##  [235] 168 189 194 181 176 199 168 175 191 162 171 160 199 164 164 162 197 162
##  [253] 170 194 160 200 183 172 167 200 176 166 164 173 169 184 168 171 178 166
##  [271] 166 196 200 178 177 182 182 167 165 181 196 196 198 167 178 182 182 180
##  [289] 194 186 168 161 178 188 164 164 191 198 174 186 195 162 181 165 199 189
##  [307] 173 180 181 191 187 180 189 186 164 195 177 168 168 167 197 190 186 179
##  [325] 176 187 171 167 168 168 161 176 192 160 166 176 173 160 160 198 196 165
##  [343] 186 190 199 167 181 175 193 190 187 188 162 162 171 173 190 176 190 166
##  [361] 175 191 178 193 190 170 174 170 170 181 189 167 176 176 179 169 184 184
##  [379] 160 185 199 166 184 199 182 184 184 192 162 167 189 174 168 176 165 165
##  [397] 174 179 188 171 189 191 180 194 171 189 186 187 189 183 169 176 181 175
##  [415] 174 179 172 182 178 175 200 166 198 160 198 195 190 189 185 162 185 183
##  [433] 199 177 195 195 190 169 167 174 181 160 182 189 176 172 188 167 179 182
##  [451] 190 164 199 183 191 197 164 177 193 179 182 190 176 184 177 162 184 191
##  [469] 172 189 197 195 170 197 183 196 166 175 162 185 197 178 200 163 170 170
##  [487] 184 197 197 183 199 176 187 189 195 182 177 160 193 165 165 170 196 172
##  [505] 161 196 178 183 175 160 186 182 193 188 180 186 182 168 170 197 199 175
##  [523] 162 162 161 197 193 200 177 178 169 189 170 199 195 196 186 181 170 169
##  [541] 180 196 171 186 193 165 195 178 178 163 169 170 169 168 162 179 176 194
##  [559] 161 187 197 199 162 174 192 166 194 188 194 176 166 175 173 183 200 196
##  [577] 162 165 167 168 170 190 160 171 173 198 170 165 163 175 164 178 176 180
##  [595] 170 181 182 182 183 169 186 181 196 160 170 165 173 185 195 179 197 199
##  [613] 194 187 191 176 178 180 187 163 160 192 183 199 187 169 178 171 164 186
##  [631] 193 164 178 192 190 161 198 170 195 185 182 199 163 175 163 188 200 170
##  [649] 196 191 189 194 192 166 194 191 170 197 193 192 191 170 165 174 166 198
##  [667] 190 165 195 183 172 191 160 174 162 196 176 165 174 184 195 171 195 177
##  [685] 190 196 181 178 195 186 177 187 196 165 180 190 179 197 182 196 162 198
##  [703] 167 187 191 163 177 192 197 179 183 172 179 175 196 174 189 180 183 191
##  [721] 183 181 190 200 174 173 181 193 170 179 183 168 192 174 167 188 192 161
##  [739] 171 175 187 193 179 172 164 195 174 177 183 189 167 168 187 163 188 172
##  [757] 188 182 181 173 175 196 162 175 195 191 189 162 194 186 192 170 193 181
##  [775] 194 175 178 188 177 195 188 181 181 199 194 194 174 177 197 179 178 165
##  [793] 196 195 199 183 174 160 181 175 186 172 166 187 163 195 162 197 183 181
##  [811] 177 166 176 195 196 171 178 184 190 176 196 160 193 180 161 184 191 192
##  [829] 196 169 166 191 182 174 168 161 176 166 188 200 176 160 180 182 174 196
##  [847] 197 194 183 178 166 174 161 187 160 160 165 192 184 165 198 190 185 171
##  [865] 176 196 200 185 187 178 173 200 160 169 184 170 191 165 172 178 192 187
##  [883] 183 182 172 198 162 177 195 165 171 161 186 178 193 182 193 160 163 185
##  [901] 200 200 184 194 199 193 193 161 167 173 186 173 173 168 193 177 188 193
##  [919] 182 169 177 166 164 173 191 194 162 186 178 178 183 168 197 181 184 171
##  [937] 170 162 163 180 178 179 195 167 190 185 199 193 195 193 167 190 195 160
##  [955] 178 163 187 165 194 188 178 193 188 181 196 189 199 163 183 197 189 160
##  [973] 182 179 189 161 195 172 174 169 180 187 161 164 169 182 167 175 181 193
##  [991] 183 170 179 180 186 180 179 167 167 178 181 192 166 199 161 173 195 179
## [1009] 160 193 178 169 164 180 162 169 176 199 181 168 192 185 181 180 197 179
## [1027] 196 176 160 182 192 193 198 177 162 195 189 167 172 167 190 181 165 184
## [1045] 190 197 197 198 185 190 194 184 188 176 163 189 189 195 182 176 168 172
## [1063] 198 187 192 186 164 160 174 166 165 196 179 177 200 193 171 173 200 171
## [1081] 196 166 166 193 171 196 163 172 183 179 195 163 179 168 176 199 193 200
## [1099] 197 191 193 175 190 193 191 188 200 185 194 177 193 175 195 196 187 180
## [1117] 166 183 176 161 172 188 184 165 199 191 186 178 190 188 179 160 192 166
## [1135] 167 174 175 186 164 175 175 174 171 168 173 184 179 197 181 197 184 176
## [1153] 173 165 178 186 180 161 163 165 187 181 175 179 167 200 170 194 200 192
## [1171] 173 190 200 185 195 174 184 181 161 185 169 173 160 172 185 180 196 167
## [1189] 176 190 161 193 172 193 173 198 164 175 182 194 175 171 188 167 161 193
## [1207] 188 184 182 163 188 183 189 180 187 164 166 178 164 167 175 160 195 191
## [1225] 181 165 181 180 166 197 195 200 198 200 166 184 200 192 193 174 188 194
## [1243] 163 163 176 188 173 187 184 175 197 161 176 189 172 191 175 160 162 165
## [1261] 163 187 195 179 165 177 180 161 177 170 176 163 192 165 192 167 187 161
## [1279] 167 192 187 185 173 167 174 187 163 172 180 160 166 172 193 191 163 166
## [1297] 196 177 196 186 196 197 177 189 181 171 177 174 193 184 195 179 193 190
## [1315] 186 173 177 200 200 183 163 174 168 195 176 186 174 188 187 163 180 186
## [1333] 171 189 177 197 189 176 164 181 176 190 176 199 190 194 188 168 184 190
## [1351] 167 182 160 189 191 193 182 193 163 175 193 172 192 186 169 162 168 192
## [1369] 178 162 170 174 165 162 196 192 161 167 179 178 185 166 182 194 198 171
## [1387] 193 175 188 173 168 197 186 182 172 173 182 190 176 172 181 189 164 200
## [1405] 192 179 169 176 177 163 162 179 176 188 186 188 199 177 175 166 194 200
## [1423] 171 184 184 167 173 171 168 194 199 193 178 191 198 166 200 198 164 183
## [1441] 180 183 194 184 163 191 188 182 163 186 178 164 160 178 168 190 190 196
## [1459] 168 190 170 181 179 175 198 184 165 199 163 175 177 195 185 164 162 161
## [1477] 200 181 173 167 177 171 171 162 191 197 170 199 185 176 160 164 174 181
## [1495] 188 197 179 186 168 161 191 172 173 181 196 188 162 195 181 181 171 172
## [1513] 189 177 182 186 176 197 162 184 173 179 173 175 181 168 175 164 198 196
## [1531] 192 177 166 166 165 170 176 192 196 193 189 184 200 200 161 194 193 163
## [1549] 200 160 165 175 199 170 188 187 193 182 195 174 162 178 161 190 164 179
## [1567] 176 170 167 162 197 189 181 183 187 198 176 165 163 189 196 165 186 187
## [1585] 176 186 190 160 181 193 185 194 162 165 191 187 179 160 189 183 173 176
## [1603] 166 183 184 197 166 177 160 190 182 185 173 162 177 191 194 181 197 198
## [1621] 197 160 168 187 191 170 179 160 160 192 190 190 176 183 187 172 199 175
## [1639] 195 170 178 176 160 165 160 200 174 166 186 184 163 187 184 178 179 164
## [1657] 170 170 172 163 163 181 192 173 178 180 163 166 182 187 185 170 195 176
## [1675] 178 187 190 177 197 195 174 160 173 172 187 176 167 186 196 188 176 174
## [1693] 187 179 181 162 187 164 200 164 163 189 198 195 200 199 160 161 169 178
## [1711] 163 198 167 168 176 161 185 198 175 181 163 170 171 192 164 183 174 173
## [1729] 193 166 187 171 163 198 182 186 161 165 198 186 192 180 198 166 166 160
## [1747] 173 190 183 178 181 181 196 188 184 184 170 188 187 170 178 197 169 160
## [1765] 160 169 168 172 177 200 170 162 187 200 174 168 199 191 182 181 167 184
## [1783] 173 198 184 165 172 167 163 171 169 166 167 168 188 182 196 179 200 173
media5 <- mean(muestra5)
paste("La media muestral 5: ", media5)
## [1] "La media muestral 5:  180.018333333333"

4.3.3.6 Tabla de distribucíón muestral de la media

Se construye una tabla de distribución muestral con un data.frame(), identificando la media poblcional \(\mu\) comparada con las medias muestrales \(\bar{x}\)

tabla <- data.frame(m=1:5, 
                    obs = c(length(muestra1), length(muestra2), length(muestra3), length(muestra4),length(muestra5)),
                    media.poblacional = media,
                    medias = c(media1, media2, media3, media4, media5),
                    VE = mean(c(media1,media2, media3, media4, media5)), 
                    Error.Std = c((media-media1),(media-media2), (media-media3), (media-media4), (media-media5) ),
Error.Std.Absoluto = c(abs(media-media1),abs(media-media2), abs(media-media3), abs(media-media4), abs(media-media5)))
tabla
##   m  obs media.poblacional   medias       VE   Error.Std Error.Std.Absoluto
## 1 1    2          179.9719 178.0000 179.8062  1.97190000         1.97190000
## 2 2  200          179.9719 180.8100 179.8062 -0.83810000         0.83810000
## 3 3  600          179.9719 180.0950 179.8062 -0.12310000         0.12310000
## 4 4 1200          179.9719 180.1075 179.8062 -0.13560000         0.13560000
## 5 5 1800          179.9719 180.0183 179.8062 -0.04643333         0.04643333

4.3.3.7 Propiedades del estimador puntual media

Con la última tabla que se obtienen muestras de una población normal se identifican las propiedades del estimador puntual \(\bar{x}\) de cada media de cada muestra: insesgadez, eficiencia y consistencia.

El estadísticos muestral \(\bar{x}\) de todas las muestras tienen un valor de sesgo cada una de ellas con respecto a la media poblacional. Tomando en cuenta la última columna de Error.Std.Abs de la tabla, todas las muestras tienen algo de sesgo.

tabla
##   m  obs media.poblacional   medias       VE   Error.Std Error.Std.Absoluto
## 1 1    2          179.9719 178.0000 179.8062  1.97190000         1.97190000
## 2 2  200          179.9719 180.8100 179.8062 -0.83810000         0.83810000
## 3 3  600          179.9719 180.0950 179.8062 -0.12310000         0.12310000
## 4 4 1200          179.9719 180.1075 179.8062 -0.13560000         0.13560000
## 5 5 1800          179.9719 180.0183 179.8062 -0.04643333         0.04643333

Se observa mayor eficiencia en el estadístico muestral de la media \(\bar{x}\) en la muestra 5 comparando y debido al error muestral identificado en la última columna de Erros.Std.Abs de la tabla.

Si se observa consistencia debido a que el valor de la media muestral \(\bar{x}\) disminuye con cada muestra, también analizando la última columna.

4.3.3.8 Visualización de medias poblacionales muestrales y error estándar

Se visualizan las muestras 1 y 2 con algo de sesgo.

g1 <- ggplot(data = poblacion, mapping = aes(x=edad)) +
  geom_density(color = "red", fill="lightblue") +
  ggtitle("Media poblacional y muestral 1", subtitle = paste("Pob=",round(media,2), " Mues=", round(media1,2), "Err.:",round(tabla$Error.Std.Absoluto[1], 4))) +
  geom_vline(xintercept =media, color="black") +
  geom_vline(xintercept =media1, color=media1)

g2 <- ggplot(data = poblacion, mapping = aes(x=edad)) +
  geom_density(color = "red", fill="lightblue") +
  ggtitle("Media poblacional y muestral 2", subtitle = paste("Pob.=",round(media,2), " Mues.=", round(media2,2), "Err.=",round(tabla$Error.Std.Absoluto[2], 4))) +
  geom_vline(xintercept =media, color="black") +
  geom_vline(xintercept =media2, color=media2)


plot_grid(g1, g2)

Se visualizan las muestras 3 y 4 con algo de sesgo.

g3 <- ggplot(data = poblacion, mapping = aes(x=edad)) +
  geom_density(color = "red", fill="lightblue") +
  ggtitle("Media poblacional y muestral 3", subtitle = paste("Pob=",round(media,2), " Mues=", round(media3,2), "Err=",round(tabla$Error.Std.Absoluto[3], 4))) +
  geom_vline(xintercept =media, color="black") +
  geom_vline(xintercept =media3, color=media3)

g4 <- ggplot(data = poblacion, mapping = aes(x=edad)) +
  geom_density(color = "red", fill="lightblue") +
  ggtitle("Media poblacional y muestral 4", subtitle = paste("Pob=",round(media,2), " Mues=", round(media4), "Err=",round(tabla$Error.Std.Absoluto[4], 4))) +
  geom_vline(xintercept =media, color="black") +
  geom_vline(xintercept =media2, color=media4)


plot_grid(g3, g4)

Finalmente, se visualiza la muestra 5 con algo de sesgo.

g5 <- ggplot(data = poblacion, mapping = aes(x=edad)) +
  geom_density(color = "red", fill="lightblue") +
  ggtitle("Media poblacional y muestral 5", subtitle = paste("Pob=",round(media,2), " Mues=", round(media5,2), "Err=",round(tabla$Error.Std.Absoluto[5], 4))) +
  geom_vline(xintercept =media, color="black") +
  geom_vline(xintercept =media5, color=media5)

g5

4.4 Población normal

Se genera la población con la función rnorm() que garantiza que es una distribución normal. La media de la distribución normal que sea \(180\) y su desviación estándar con valor de \(5\).

N <- 6200
poblacion <- data.frame(edad = rnorm(n = N, mean = 180, sd = 5))

head(poblacion)
##       edad
## 1 179.0010
## 2 179.9018
## 3 183.6176
## 4 177.4410
## 5 168.9176
## 6 177.1557
tail(poblacion)
##          edad
## 6195 175.1956
## 6196 172.5577
## 6197 179.5458
## 6198 174.8322
## 6199 173.1496
## 6200 187.2064

4.4.1 Media y desviación de la población

media <- round(mean(poblacion$edad),4)
desv <- round(sd(poblacion$edad), 4)

paste("La media poblacional es:", media, " y desviación igual a: ", desv)
## [1] "La media poblacional es: 179.9601  y desviación igual a:  4.9341"

4.4.2 Gráfica de densidad

g <- ggplot(data = poblacion, mapping = aes(x=edad)) +
  geom_density(color = "red", fill="lightblue") +
  ggtitle("Densidad", 
          subtitle = paste("Media=",media," Desv=",desv))
g

Otra forma más elegante de observar la densidad de la población

plotDist("norm", mean = media, sd = desv, xlab = "Edad", ylab = "Densidad", main = paste("Media=",media," Desv=",desv))

En la gráfica de densidad, se observa que hay confianza de que es una distribución normal, se parece a una campana y se da por hecho que cumple con las características de la distribución normal.

4.4.3 Distribuciones muestrales

4.4.3.1 Muestra 1

Se genera una muestra de \(2\) observaciones y se determina su media muestral.

n <- 2
muestra1 <- sample(poblacion$edad, size = n, replace = FALSE )
muestra1
## [1] 181.1525 185.8841
media1 <- mean(muestra1)
paste("La media muestral 1: ", media1)
## [1] "La media muestral 1:  183.518294913674"

4.4.3.2 Muestra 2

Se genera una muestra de \(200\) observaciones y se determina su media muestral.

n <- 200
muestra2 <- sample(poblacion$edad, size = n, replace = FALSE )
muestra2
##   [1] 175.5793 185.1687 177.2664 189.3159 172.6353 183.7854 188.9319 181.4735
##   [9] 183.1721 177.2993 184.7616 180.8630 178.3957 174.8747 173.1806 180.5381
##  [17] 185.3416 181.6398 183.3627 184.1516 178.1104 175.3011 173.1962 173.8751
##  [25] 185.0090 176.4974 171.5448 180.3839 180.0754 181.0867 175.8000 181.1280
##  [33] 176.0076 174.2377 173.4349 183.7298 178.8916 183.3495 179.3487 179.7799
##  [41] 181.8578 176.9797 182.2619 179.5466 182.0702 182.8571 177.7416 178.3829
##  [49] 183.7031 175.5128 175.3908 171.0372 180.0139 181.4808 182.4105 179.3878
##  [57] 176.7638 178.5182 174.7999 187.5713 177.5238 179.3878 178.9260 174.8110
##  [65] 174.3414 178.0654 180.3378 186.2472 181.2766 178.3795 169.1917 181.5369
##  [73] 179.0393 185.2649 189.3152 182.0821 181.7662 185.7637 179.9432 176.9965
##  [81] 178.5837 183.5773 182.4412 184.0063 180.9650 179.3947 178.3643 179.8088
##  [89] 167.3855 178.4523 173.8957 178.6019 176.6592 173.0007 177.1735 177.7256
##  [97] 186.1307 167.7686 178.6112 176.2888 177.6525 183.0045 175.9428 187.8222
## [105] 177.0808 179.9955 192.4944 184.4199 182.5172 176.6383 167.0018 167.2542
## [113] 175.7533 188.4158 180.2657 183.2304 181.4344 182.6725 187.8211 175.4853
## [121] 182.5163 187.4852 181.8286 184.4454 178.6070 174.6458 183.7207 178.8958
## [129] 179.0472 172.7783 189.6369 178.4049 177.8126 175.1273 182.0370 182.1021
## [137] 177.4329 180.3598 187.3127 182.9280 176.6757 176.1420 182.2199 177.6955
## [145] 175.0176 181.5466 184.8445 176.2835 187.0865 182.3516 180.4341 181.6383
## [153] 176.3439 171.2065 179.4948 187.5442 181.7427 174.8382 186.2111 175.5758
## [161] 172.1407 182.7165 171.3573 180.9994 185.8673 172.3202 175.6303 180.5853
## [169] 176.0345 177.3718 178.2082 181.0528 175.9915 179.0889 184.8085 175.0313
## [177] 182.8987 181.1525 179.7560 178.1700 174.6689 170.1837 173.2921 185.3840
## [185] 177.3553 181.0733 173.3046 183.4733 173.2541 169.5571 175.2657 178.0133
## [193] 188.3020 180.7471 181.0377 173.5229 174.2123 184.4292 189.8832 180.6348
media2 <- mean(muestra2)
paste("La media muestral 2: ", media2)
## [1] "La media muestral 2:  179.437701462123"

4.4.3.3 Muestra 3

Se genera una muestra de \(600\) observaciones y se determina su media muestral.

n <- 600
muestra3 <- sample(poblacion$edad, size = n, replace = FALSE )
muestra3
##   [1] 176.9394 179.6827 185.4587 181.7510 177.0254 177.3517 181.0853 188.0969
##   [9] 187.3165 173.2540 185.5653 176.5817 177.4608 180.1527 173.7709 184.7592
##  [17] 178.8988 184.0311 187.0409 184.8157 181.8048 182.2958 174.9078 176.5607
##  [25] 182.7835 178.8212 172.0509 179.0015 177.3959 178.3833 187.5713 175.8294
##  [33] 177.1011 183.1142 177.8628 179.4668 175.6096 171.7980 177.4261 175.6315
##  [41] 176.1418 185.7453 176.7611 182.9551 180.9196 175.5601 171.6285 178.8694
##  [49] 173.6582 182.0817 176.2243 177.3311 181.2702 178.7110 186.1916 174.5784
##  [57] 190.1142 182.5651 178.8916 177.3829 185.3015 173.5164 180.1392 179.9141
##  [65] 177.7168 183.7605 183.8697 171.3015 175.1261 184.3140 173.2461 169.7779
##  [73] 183.5981 179.0163 183.2829 179.4615 171.0751 184.5098 180.8318 190.5063
##  [81] 182.5292 171.4142 181.4488 176.8709 167.2339 175.3891 177.4357 184.4297
##  [89] 183.4627 180.2978 180.6297 185.7324 179.8076 177.8216 172.9387 177.9119
##  [97] 179.5479 180.0301 177.1242 180.9592 170.7799 174.7357 178.3317 185.2068
## [105] 182.7830 172.6551 184.0423 177.9263 175.2789 182.3510 173.1549 179.4685
## [113] 169.1917 176.6745 181.8059 183.6299 178.0165 178.3641 178.3451 177.2432
## [121] 174.6976 185.2649 181.4857 184.3681 178.7342 181.9687 188.5194 172.6631
## [129] 185.4409 170.9456 175.2226 178.0201 181.9421 176.2243 180.5020 175.5793
## [137] 179.6072 190.8553 182.5296 181.8265 173.7947 181.5138 173.7949 175.5260
## [145] 176.2348 182.5305 165.9735 185.3865 180.0682 180.8899 182.4122 188.8627
## [153] 176.5155 176.5650 190.7103 181.0278 177.2972 174.4633 185.6591 171.1802
## [161] 178.5173 173.6268 179.0321 180.8151 178.3377 182.5422 178.0071 169.2341
## [169] 172.3708 175.4330 176.8520 187.5046 181.8786 183.0413 183.5983 186.6902
## [177] 173.3245 177.8126 178.3323 192.7030 181.6755 177.9391 171.4305 180.5014
## [185] 176.9967 183.3344 188.2504 175.0879 181.7284 182.2211 176.6763 180.8630
## [193] 172.1356 176.3439 185.9096 181.5971 179.7254 187.3106 176.5059 175.0336
## [201] 172.1959 181.4681 179.4751 178.3524 176.1125 177.9137 185.9532 183.9470
## [209] 185.9617 178.6437 178.1418 181.1160 192.1905 175.2891 181.3063 183.9508
## [217] 188.0817 177.5913 180.4345 177.8357 170.5509 188.0254 174.1571 181.5994
## [225] 177.6998 180.2771 179.6283 178.0457 184.7060 185.4198 180.9745 182.5368
## [233] 175.6303 182.3039 180.4210 187.5442 190.0900 176.6427 178.0629 185.2053
## [241] 183.7854 182.3640 177.8927 180.8073 177.6817 181.8723 174.8382 180.7549
## [249] 186.4116 187.2075 188.5936 178.3628 188.9751 186.6448 178.8847 182.7197
## [257] 180.6415 173.6793 183.1835 181.1227 177.3082 178.8271 176.6338 176.8569
## [265] 176.1023 182.0303 175.3411 177.6127 188.7238 180.2101 182.3677 185.2063
## [273] 186.5108 186.1307 175.7554 170.0019 178.3048 179.8806 172.8279 179.5303
## [281] 185.3021 182.9461 180.3088 183.3459 186.5773 177.8112 178.6637 192.7012
## [289] 184.5632 181.7088 183.2831 171.8620 180.5350 175.8211 177.5278 177.8310
## [297] 179.8484 177.1999 182.4367 175.5082 170.7892 177.2518 179.0889 180.6001
## [305] 175.0847 181.4647 177.9726 178.2997 173.0085 185.0196 187.8496 178.3806
## [313] 182.2148 181.8398 173.3330 184.4569 189.1254 169.3444 181.1123 177.5046
## [321] 181.8269 191.8969 175.7570 180.3842 175.6444 175.3389 178.6112 176.3865
## [329] 175.0026 182.7849 175.3620 181.9160 186.5079 185.5598 183.5410 178.5023
## [337] 191.0971 175.6400 182.9584 177.1993 183.8477 168.0236 175.2374 179.5408
## [345] 176.9148 195.2666 185.4861 187.0794 184.5737 180.5324 183.7808 177.1608
## [353] 176.1736 184.7846 176.1339 175.8983 181.3941 182.9948 184.7966 177.4175
## [361] 188.0098 180.6331 179.7216 180.7471 175.1940 181.3984 177.3139 178.7725
## [369] 183.0564 182.2123 191.7063 185.2533 178.8818 176.5568 186.8786 173.5346
## [377] 175.6584 176.1310 182.1524 193.5213 168.9389 179.6971 186.0887 180.7763
## [385] 176.0044 181.1317 184.9742 178.8006 175.6682 179.8088 182.9479 181.3422
## [393] 176.7621 179.0544 187.6672 173.8745 188.3133 180.8577 181.7837 182.4310
## [401] 178.8233 182.1496 174.0634 177.3027 173.7564 184.2037 183.9126 171.3572
## [409] 180.7768 177.7121 177.7440 181.0762 184.6385 176.3717 173.8134 178.4945
## [417] 170.3259 178.8950 178.1766 164.7393 175.8807 177.6074 174.0206 180.9039
## [425] 184.6413 184.9440 187.6278 179.7755 183.2419 183.3150 189.6644 179.1324
## [433] 176.9472 184.5651 177.7978 174.2123 174.6906 176.6023 178.8542 177.1557
## [441] 182.9991 181.0283 183.7953 175.3802 176.4570 177.0554 187.4631 184.2825
## [449] 181.0733 173.5222 182.7359 181.2076 175.4534 178.9067 176.2511 179.3756
## [457] 176.2666 187.8894 181.4454 187.9569 179.9635 169.1120 182.2075 186.9748
## [465] 186.9872 171.8663 187.8733 181.3830 179.2348 180.9591 184.8400 178.6038
## [473] 181.2259 181.5947 175.4034 177.4054 179.2734 175.4117 183.0438 180.1075
## [481] 187.9112 178.5310 175.9915 172.5853 178.7536 181.8891 175.9690 177.2709
## [489] 184.8248 173.4408 179.4029 185.6783 183.3239 184.1555 188.6745 174.1242
## [497] 184.3640 182.3360 189.6007 171.4992 172.0104 189.5566 184.1167 174.9264
## [505] 180.5640 172.0325 180.2139 188.3842 180.0999 177.9533 186.9901 175.1199
## [513] 181.5489 176.1234 184.4691 176.9823 181.6317 193.1287 180.8978 171.2910
## [521] 178.5942 183.0777 174.3533 174.0370 188.9319 176.8320 181.1306 183.0006
## [529] 187.5337 184.5347 183.0257 182.2470 184.7008 177.2924 172.0968 180.7499
## [537] 190.1288 174.9089 183.7031 183.4321 176.5912 175.7238 185.6153 181.9470
## [545] 190.2384 175.2339 180.7238 192.8243 180.5160 174.2938 188.2027 183.4144
## [553] 173.9387 173.8411 181.8901 177.2198 174.4786 175.7644 179.0653 182.6707
## [561] 183.2551 176.9339 183.5070 180.6375 174.9024 178.7284 181.8839 181.4096
## [569] 179.2143 179.3447 164.8738 183.4240 183.9813 174.7066 182.4776 182.0370
## [577] 177.2965 178.0091 181.0726 170.4864 180.8252 179.7526 177.1639 186.1105
## [585] 178.0888 168.0149 184.2505 188.5159 184.9662 181.6526 180.7732 180.7284
## [593] 187.0970 179.1776 175.7491 175.7573 184.8727 179.9891 178.2544 176.5501
media3 <- mean(muestra3)
paste("La media muestral 3: ", media3)
## [1] "La media muestral 3:  179.97183629947"

4.4.3.4 Muestra 4

Se genera una muestra de \(1200\) observaciones y se determina su media muestral.

n <-1200
muestra4 <- sample(poblacion$edad, size = n, replace = FALSE )
muestra4
##    [1] 181.4570 183.9930 183.1374 187.5713 169.4457 176.8374 174.1571 182.0598
##    [9] 186.9653 171.0372 185.2313 181.9418 175.7447 183.4477 173.5183 181.3549
##   [17] 167.6220 187.0973 185.6983 178.4295 175.4287 181.3961 176.0456 177.7054
##   [25] 180.8672 173.2540 183.2866 170.2130 179.4615 181.8597 170.4876 183.2292
##   [33] 190.7096 172.1193 186.7035 175.6216 187.7601 175.2415 178.5947 176.9206
##   [41] 170.1849 179.2656 172.8147 175.6303 174.5263 175.4034 184.5317 186.8259
##   [49] 183.9508 179.3407 180.3378 173.9030 186.5175 180.7471 178.3215 183.7325
##   [57] 173.0212 185.1496 175.7731 181.3984 180.3506 184.2730 180.0226 180.7288
##   [65] 183.6886 179.8589 174.9455 174.3310 182.3615 181.4878 185.7953 177.4609
##   [73] 173.4620 181.2733 180.5770 182.4230 182.2736 179.6139 179.4923 184.7467
##   [81] 182.8598 176.6854 177.3480 181.6533 177.2542 174.3538 175.1876 173.3852
##   [89] 175.3310 184.2813 175.8807 173.9550 183.2170 180.8017 186.2483 183.5347
##   [97] 183.1131 183.9220 178.3397 178.3829 175.4851 168.5687 179.6494 178.7904
##  [105] 178.5120 182.1526 182.5129 182.2199 185.5845 180.2739 179.0015 178.8008
##  [113] 179.1604 179.2670 184.9176 175.4522 175.5146 177.9104 180.9063 183.8150
##  [121] 180.2548 181.4026 184.4000 165.3881 181.5908 182.2075 183.0596 189.7189
##  [129] 179.8022 176.9597 185.2267 184.4669 180.5341 186.9872 184.0186 183.5773
##  [137] 186.0512 181.4124 180.9591 167.7714 186.2041 185.1105 178.2169 183.5983
##  [145] 179.1715 175.8128 176.2043 191.7063 184.5651 186.0887 183.1588 170.1392
##  [153] 181.6386 177.1531 176.9626 177.3173 175.9256 180.3910 185.8283 177.7739
##  [161] 178.9160 178.0450 187.0865 177.6806 181.4516 181.2229 181.2079 182.6707
##  [169] 182.7640 180.2976 173.6467 176.1273 185.8206 172.4843 183.7163 183.1895
##  [177] 178.6495 179.5617 178.9418 182.7824 177.8613 191.2563 183.5734 173.5907
##  [185] 168.2596 181.9193 181.6596 175.5614 182.8500 180.1648 185.5890 181.8732
##  [193] 182.2619 178.1113 180.8126 191.3530 175.3868 181.3705 167.4127 184.1631
##  [201] 186.2213 175.3153 185.7679 180.1695 174.2141 173.0375 180.7630 180.8047
##  [209] 181.0744 175.3617 178.2682 172.5305 174.3900 183.4144 178.8592 182.5964
##  [217] 187.8573 182.3870 178.3773 177.6728 185.7324 175.7748 176.3093 187.8031
##  [225] 173.0643 186.8994 179.8076 177.6126 181.1853 181.2259 184.2505 180.9554
##  [233] 184.1319 175.8999 177.4693 182.3058 182.9776 174.1017 188.1783 171.4272
##  [241] 178.2277 182.4607 182.6541 178.9698 191.7997 184.4454 184.3681 173.1549
##  [249] 172.8078 172.2440 182.2240 176.8504 183.3020 170.9829 178.3323 185.7326
##  [257] 179.1965 176.1605 176.3341 177.1608 184.5958 179.4902 172.9854 183.2222
##  [265] 180.5832 175.6116 177.4534 181.1539 179.7108 170.7799 185.5892 178.3100
##  [273] 176.5912 173.6000 174.7862 180.6415 177.4707 182.0680 183.6367 183.8169
##  [281] 172.3590 179.5660 173.6360 189.8832 178.9431 183.0169 175.5654 178.8006
##  [289] 180.3158 173.9459 180.2999 179.3540 175.9690 185.2053 185.1214 171.2910
##  [297] 183.1728 178.2288 182.7089 174.2892 181.1860 180.3980 184.7179 177.4124
##  [305] 184.2540 187.6512 175.8470 183.9677 182.3198 178.7619 172.7288 189.3960
##  [313] 189.2711 171.9449 174.8747 179.3293 179.2753 183.3802 174.4640 177.1350
##  [321] 181.8513 188.6253 178.4923 179.6967 178.6312 194.4707 172.3914 170.8024
##  [329] 181.6833 186.4607 183.2829 173.5057 177.0985 183.8104 178.4517 179.5103
##  [337] 177.7321 178.8867 185.1458 183.0438 173.1344 173.5286 177.4975 177.7066
##  [345] 176.8595 177.2999 185.6783 172.8392 178.8974 174.7669 182.5730 183.9831
##  [353] 183.1570 176.2835 183.0298 182.7355 179.0500 176.5817 183.7382 185.4142
##  [361] 183.5603 176.8267 172.2834 175.3612 182.3360 178.9170 183.6463 174.5784
##  [369] 178.7892 183.4680 175.6189 183.5769 186.3716 181.7017 178.3933 181.7179
##  [377] 184.1653 185.6881 189.0637 177.3139 185.7832 184.9660 176.3439 175.8218
##  [385] 173.6793 177.1290 180.3463 190.2640 177.5176 169.1755 191.6302 170.2896
##  [393] 178.1458 181.4712 177.4866 182.1147 182.0631 176.4795 181.4042 173.3464
##  [401] 185.2783 176.5578 174.8105 179.8765 183.5312 178.9633 179.7888 180.1028
##  [409] 193.4126 184.5587 180.7491 183.9906 177.3445 181.9077 186.3976 170.9106
##  [417] 177.8987 181.6979 181.9345 180.8736 175.1300 177.1999 190.1324 180.7920
##  [425] 177.8518 183.7207 182.8129 185.7111 182.2936 186.9012 170.0019 178.0920
##  [433] 176.0692 182.1812 178.0044 178.4735 187.9603 180.1471 184.3604 183.3950
##  [441] 184.1810 175.1113 184.9074 174.8217 188.9871 175.8979 181.1233 176.9880
##  [449] 177.7229 178.2563 175.9337 177.1078 179.8571 176.0631 180.7952 180.9319
##  [457] 176.8337 180.5714 179.9512 174.5074 174.3804 176.8111 168.8010 186.5323
##  [465] 188.8789 178.4462 184.0191 187.5926 175.3411 186.8168 177.4802 177.5515
##  [473] 179.5135 186.0965 183.9667 184.5086 178.1787 178.9609 173.1411 188.9138
##  [481] 185.5588 179.9209 181.4808 180.4543 180.9582 174.9577 184.2588 171.4416
##  [489] 180.9753 188.6025 188.6576 171.6620 175.9896 189.0123 178.2711 176.3132
##  [497] 190.1117 180.2337 177.4568 188.8183 180.9540 178.5488 178.8768 177.3654
##  [505] 181.8399 169.9417 173.2039 180.0445 190.9263 184.2355 179.8359 181.9916
##  [513] 177.9239 184.4175 180.9990 186.5108 172.5127 170.8801 187.7962 181.3135
##  [521] 180.1408 181.4360 181.8935 182.3556 181.3621 187.8273 180.8630 183.1458
##  [529] 177.2046 183.0023 189.2818 178.5670 179.4335 175.8398 183.9577 180.5712
##  [537] 183.3636 180.8420 165.2019 185.8761 188.8120 174.6367 175.6307 187.9112
##  [545] 181.1052 181.7428 182.6178 171.6433 180.0502 164.9183 170.7762 184.2447
##  [553] 184.5098 173.1408 187.7970 173.5639 178.6902 176.4150 181.5019 181.9077
##  [561] 177.2137 180.9517 189.1254 179.0339 179.9348 184.2790 177.1517 179.3186
##  [569] 180.7763 179.0544 181.0866 183.7605 168.8602 182.5568 174.9923 181.3805
##  [577] 171.1570 182.9089 172.3567 177.0180 183.7662 179.7008 177.9391 179.9717
##  [585] 185.2649 182.0783 187.2983 183.7243 181.0762 183.3918 180.7974 182.3677
##  [593] 182.5037 183.4789 179.0994 182.6936 181.7385 178.9263 178.6458 184.8594
##  [601] 178.0406 181.1706 183.7395 179.3947 191.6775 180.3756 175.2114 183.2549
##  [609] 186.7331 189.1630 173.2615 176.0635 183.7836 172.7898 169.2074 180.9592
##  [617] 190.6865 180.1773 179.5479 183.3529 178.5355 182.3094 180.7801 179.2066
##  [625] 187.1240 176.1934 184.8917 180.4698 187.7103 170.9004 173.9390 174.1045
##  [633] 181.8401 179.0745 188.0438 181.6947 181.2328 181.9993 178.1808 175.7554
##  [641] 178.5569 186.4083 188.8627 178.7496 182.2546 168.2254 183.4769 180.0134
##  [649] 179.9927 176.2328 182.1893 176.4899 173.2461 180.3088 175.5090 181.6058
##  [657] 171.8495 172.6633 175.1261 182.3377 182.5115 168.0104 181.3620 184.5354
##  [665] 186.3376 183.7346 178.7332 187.3973 183.5444 171.4305 181.9755 179.1302
##  [673] 173.8661 177.4026 179.4491 184.4169 187.7892 185.2041 181.9394 175.4918
##  [681] 189.7091 175.0114 175.1199 179.5646 177.7985 177.3959 182.8515 175.7736
##  [689] 182.1171 181.2313 181.3662 181.3601 181.2847 178.6632 186.2515 182.7849
##  [697] 177.9727 180.6247 188.2777 176.3790 182.3039 175.8623 174.3761 181.8580
##  [705] 181.0278 176.3533 179.9710 189.2929 179.9936 179.2729 176.0103 178.5405
##  [713] 182.0174 173.1806 187.6672 175.4330 178.5593 184.2677 177.0804 187.8496
##  [721] 185.3696 180.3036 174.1921 181.8487 179.5029 185.6153 180.1362 183.8734
##  [729] 179.3507 173.6594 180.8397 177.0186 183.5906 179.0465 177.9671 191.2487
##  [737] 176.8569 180.4202 179.6975 180.8073 184.0074 182.7733 185.7637 184.7322
##  [745] 176.1683 170.9052 178.3490 182.0961 174.6724 182.4324 183.6299 187.5394
##  [753] 183.0637 174.8421 175.0176 181.5344 179.9710 176.3601 182.1709 171.6548
##  [761] 185.8545 173.2667 180.5795 191.6283 169.3874 187.6314 176.7386 180.0301
##  [769] 186.5324 182.4056 178.3806 179.0497 187.1387 179.6949 181.9160 184.5534
##  [777] 185.2068 179.5825 187.0110 178.4374 171.8630 190.0125 177.6837 172.4998
##  [785] 178.2332 181.5934 185.2285 183.0758 174.4494 187.1586 188.2504 182.8908
##  [793] 189.3159 168.9389 178.5001 177.6308 173.6268 174.0962 180.3295 174.9843
##  [801] 185.9778 178.4860 184.2756 177.0357 177.9183 183.0222 178.4166 184.5135
##  [809] 180.7586 177.9161 186.9032 178.3192 181.7181 171.3240 177.8357 174.1926
##  [817] 177.3829 180.3764 177.2470 182.2486 173.4422 182.0817 186.1105 176.9024
##  [825] 177.9868 176.8248 190.6339 181.7228 177.1099 189.1713 169.7779 176.0345
##  [833] 182.5484 176.7611 176.8520 172.4045 181.3424 167.8180 175.7347 177.9690
##  [841] 182.5817 176.7700 177.8106 176.7211 183.2513 175.3392 188.7518 174.9629
##  [849] 181.4975 181.9937 184.2617 172.5772 180.8996 183.8231 188.1881 178.1203
##  [857] 179.7523 179.8897 179.9995 177.2427 181.6088 179.7688 178.0028 177.2766
##  [865] 177.9731 175.4853 171.8227 181.3371 187.8864 179.9618 183.8869 181.0733
##  [873] 169.5003 178.8323 179.4377 177.8524 188.5091 183.5893 179.6971 179.8697
##  [881] 180.1988 177.7639 184.4252 176.7405 170.8146 178.8916 171.6952 180.2706
##  [889] 182.8390 183.2374 180.7536 172.0141 179.8647 184.5737 173.5164 183.2146
##  [897] 175.7054 167.2803 176.4198 175.4779 178.9646 183.7298 177.0808 175.7570
##  [905] 169.2804 179.3878 190.7606 172.8278 181.3508 176.9148 183.8764 185.5202
##  [913] 185.9257 170.9546 188.4437 174.2358 187.7189 180.0042 178.9377 171.0885
##  [921] 175.0054 181.2957 187.7303 180.5027 179.1399 178.9733 195.5112 188.0817
##  [929] 174.9495 176.8115 185.3752 181.9495 176.8567 175.6322 186.4896 178.6171
##  [937] 173.2029 180.1932 185.6083 178.8551 192.5295 177.0708 178.5728 180.7002
##  [945] 188.5159 188.8674 175.1539 179.1885 186.8691 176.5763 183.4434 178.0677
##  [953] 186.1308 173.0643 188.1182 173.7949 182.5438 182.0370 179.7990 182.4728
##  [961] 174.7011 179.9775 186.6186 187.2019 180.1587 182.0072 177.7754 182.7239
##  [969] 179.0410 176.9427 179.0296 183.7387 180.4694 189.5503 186.4125 182.7793
##  [977] 182.7256 186.8888 178.4625 182.0359 174.3467 178.3480 178.4272 177.9327
##  [985] 184.6475 186.6448 188.4872 183.8400 178.3833 175.7772 182.8716 180.7025
##  [993] 176.3275 181.6398 178.0133 179.9804 173.2921 182.8458 181.5851 179.7326
## [1001] 182.6357 185.7879 177.3638 186.7271 175.2731 180.1966 167.8886 183.6035
## [1009] 182.7378 190.7103 186.4193 175.4526 181.8839 178.6650 180.0526 180.6842
## [1017] 173.5841 191.0215 187.7410 182.8025 181.1254 181.2370 183.6337 179.5654
## [1025] 177.2663 181.4857 170.8721 175.7842 179.9096 179.5466 182.1970 181.0618
## [1033] 180.5718 181.1216 180.8277 181.9912 183.0235 177.2281 187.5560 177.7613
## [1041] 188.3133 188.7633 178.1001 175.7607 175.4355 180.4259 174.4108 181.4522
## [1049] 183.9138 180.7399 177.3860 177.5834 178.5156 177.7497 187.6020 173.3440
## [1057] 176.0543 175.9600 180.7110 174.3414 184.8445 173.1813 183.3281 177.9122
## [1065] 177.3650 182.7007 183.0215 176.1054 188.1093 188.7326 187.3106 178.0483
## [1073] 178.5397 182.8571 183.1601 180.0355 177.1667 174.9357 172.7655 187.5388
## [1081] 183.4417 182.7981 177.9754 190.6714 182.9089 177.0217 183.6462 187.5317
## [1089] 179.6581 182.9766 183.0705 179.3928 178.7621 180.5553 171.1802 179.7712
## [1097] 173.6078 180.0999 181.5994 180.0350 173.8676 178.1688 180.7070 176.3164
## [1105] 191.3208 182.5651 182.9461 185.3865 180.1527 175.7573 183.1564 177.9902
## [1113] 175.0468 186.2868 177.7901 185.3089 182.6593 178.5146 179.2646 184.9935
## [1121] 182.9551 178.0423 179.4307 172.7062 176.0217 175.4467 175.5682 169.0915
## [1129] 179.5352 180.0032 184.9021 184.1678 173.4188 173.1880 180.8011 176.5389
## [1137] 192.7030 177.3805 178.6437 179.6268 177.5103 177.6919 177.4964 177.8543
## [1145] 178.4425 185.5297 183.7031 171.8655 182.1217 189.3655 176.8687 183.3064
## [1153] 182.4102 176.1339 176.5535 186.2073 182.8831 185.2839 178.7342 177.3718
## [1161] 178.9161 183.0006 180.0920 179.2475 178.8926 182.3826 178.3641 176.6539
## [1169] 179.4766 178.2252 179.7663 188.4956 178.5003 180.0171 184.6214 184.3202
## [1177] 189.0353 183.5118 178.3385 169.3964 177.8974 179.7129 183.3560 188.2027
## [1185] 180.3102 184.7188 176.9835 182.4183 168.1350 181.1732 174.2148 173.7395
## [1193] 174.5785 179.0868 173.3046 181.3940 177.2057 182.1787 186.8815 180.0120
media4 <- mean(muestra4)
paste("La media muestral 4: ", media4)
## [1] "La media muestral 4:  180.121508911433"

4.4.3.5 Muestra 5

Se genera una muestra de \(1800\) observaciones y se determina su media muestral.

n <-1800
muestra5 <- sample(poblacion$edad, size = n, replace = FALSE )
muestra5
##    [1] 182.8610 178.9418 183.3682 182.6541 176.5535 181.6304 175.7888 183.9126
##    [9] 176.0790 184.7179 185.7220 181.3139 185.5956 177.7836 196.1460 174.6217
##   [17] 182.6197 183.1403 182.1454 176.1354 177.1181 177.5529 185.1848 179.2090
##   [25] 188.2504 179.5049 176.8425 175.2270 178.1843 174.5100 174.3301 176.0631
##   [33] 182.3870 178.4762 184.0827 178.9833 179.7661 178.3215 177.2125 181.4437
##   [41] 175.7554 181.6947 182.8781 174.6367 175.5219 181.3941 189.2216 185.5845
##   [49] 177.7377 183.2245 177.6921 185.3089 183.4339 182.4960 173.5229 176.1157
##   [57] 172.4484 178.5485 179.0872 176.5708 178.3829 170.4864 177.7054 179.2656
##   [65] 179.7850 172.2105 179.4529 180.7831 181.8423 189.3535 175.1128 184.6852
##   [73] 176.3132 175.5601 183.1528 181.0741 181.7017 179.8434 181.5983 181.3774
##   [81] 182.4845 181.0971 174.8059 172.8147 178.5488 182.8574 182.5447 173.3521
##   [89] 174.2265 177.8726 177.7486 180.9913 170.6331 185.3865 183.3636 177.4357
##   [97] 182.6450 179.6949 178.7862 175.7078 178.8867 174.0635 179.5717 177.8710
##  [105] 189.6007 177.1482 187.5560 173.0085 172.7349 171.6733 183.6176 181.1709
##  [113] 181.0377 174.0309 181.8539 178.5225 179.1322 179.5617 185.4341 182.8689
##  [121] 170.2689 179.2380 183.3020 184.4098 184.5184 183.0728 185.4327 177.0355
##  [129] 179.8571 179.2400 183.3051 177.5684 175.9960 177.0788 173.1249 186.0373
##  [137] 179.1893 171.6858 181.1971 180.3842 183.6462 185.4587 180.7284 176.7742
##  [145] 183.4733 179.4902 184.5294 179.1482 180.8248 178.3970 177.4329 176.6297
##  [153] 180.7373 182.1285 177.8157 181.9160 191.2624 184.4956 180.1725 178.9868
##  [161] 178.8800 176.6683 183.4975 176.4521 173.6360 163.3965 184.6582 177.5652
##  [169] 175.0579 172.5357 179.2348 179.7494 178.2349 186.1705 183.8594 182.3884
##  [177] 171.7903 182.7640 173.4164 179.9426 188.6250 177.7340 176.9597 182.7821
##  [185] 180.0960 186.8121 177.9119 177.0357 184.5888 175.7789 180.8630 178.5695
##  [193] 180.7970 181.9521 180.9158 167.1884 178.5397 186.5773 185.1105 180.5656
##  [201] 175.0787 180.7496 178.2563 184.3011 176.1023 181.3414 182.9338 172.1451
##  [209] 179.0882 177.0667 182.8025 177.1988 183.7207 192.3827 184.8078 183.7605
##  [217] 184.8426 184.0743 178.6839 178.5182 174.5585 172.4366 170.5114 178.1458
##  [225] 181.7741 176.1234 184.3466 180.3857 183.4363 184.8449 169.5514 179.7419
##  [233] 175.6189 183.5415 183.2664 176.2928 174.7066 185.4713 175.0161 189.2818
##  [241] 173.9306 180.5044 182.0821 175.3862 186.8259 180.6348 180.2405 191.5768
##  [249] 175.9746 170.9798 170.0610 172.3674 178.8692 175.3666 175.4259 181.7284
##  [257] 176.4699 179.4389 176.7082 186.1235 179.9955 173.8488 170.1849 174.4108
##  [265] 187.3865 175.0146 180.2958 176.3717 190.9064 179.9247 177.0817 183.0410
##  [273] 183.9138 177.7994 187.8117 181.2044 186.3167 180.0716 180.5880 184.7251
##  [281] 185.7879 181.6193 174.3689 175.4588 181.3805 176.3275 172.6631 176.0167
##  [289] 185.2063 181.8238 183.8477 181.0039 176.4198 181.3511 171.7236 176.9298
##  [297] 179.2646 185.1257 187.5402 177.7497 185.1738 180.8901 183.6265 181.6276
##  [305] 178.8480 179.0941 180.5553 187.8526 174.7242 179.0500 170.5033 177.6335
##  [313] 176.1150 183.6337 176.9604 184.4569 175.4355 189.0646 181.5369 179.9432
##  [321] 175.7013 184.5810 177.8150 184.3980 183.0411 175.5614 179.8457 177.1003
##  [329] 181.3188 181.7676 175.9883 186.7579 180.9540 174.8625 182.9551 186.5008
##  [337] 193.2027 177.8518 172.8716 181.7307 180.5846 180.0595 179.4340 180.2978
##  [345] 180.0502 176.9880 173.4849 179.9805 181.3008 185.0461 183.8534 182.7355
##  [353] 172.7299 174.4450 182.9584 180.9080 178.0920 176.1911 168.8010 179.1305
##  [361] 175.4431 179.7605 172.4636 185.1067 175.3046 180.6272 183.7244 183.5954
##  [369] 181.8352 177.7825 188.5091 175.0879 171.9121 175.9289 182.0180 183.1135
##  [377] 182.3465 176.0478 176.3093 174.7357 178.1528 179.2561 178.9183 174.9374
##  [385] 177.7335 179.5153 177.2427 173.6078 178.9160 179.6517 176.6445 174.5574
##  [393] 182.9530 181.8499 175.6771 178.8847 180.6894 180.0498 177.2602 176.7284
##  [401] 185.6321 186.4909 176.4567 174.6632 185.8075 185.2267 180.6054 180.5559
##  [409] 178.8361 178.3192 183.8169 172.2583 182.4950 172.8279 178.2050 183.0538
##  [417] 179.6455 183.7037 187.8733 180.0120 176.7403 184.5135 188.7243 176.2189
##  [425] 178.3806 173.2540 188.1513 182.4367 187.2663 177.3517 173.3292 180.9713
##  [433] 170.5838 178.7713 186.7031 174.8249 178.7284 174.3058 183.2198 178.8934
##  [441] 171.6078 178.2304 181.0367 181.9481 183.7468 176.9184 184.5903 186.5355
##  [449] 177.3174 173.5541 181.1525 186.8516 181.1573 178.1782 183.3985 171.0751
##  [457] 167.4644 187.5046 182.0876 179.9190 186.1916 172.6764 179.4054 185.3840
##  [465] 178.4810 176.8595 180.3105 181.4360 179.9151 184.1795 178.8271 181.0975
##  [473] 180.3378 183.1078 183.5004 186.2388 176.0635 181.0869 181.5908 181.4878
##  [481] 177.9648 184.3681 175.0959 175.1081 183.5773 189.7438 185.3996 178.0629
##  [489] 172.3640 175.3410 181.7428 181.5764 178.5039 175.4152 179.8337 177.9804
##  [497] 179.1885 181.9077 182.4657 184.8189 174.2427 185.9501 184.6550 180.6415
##  [505] 178.4380 177.9361 182.9804 174.6588 178.3735 173.5989 173.2734 180.1471
##  [513] 166.0022 174.1926 180.0507 175.1099 184.6073 188.5965 182.6568 179.0571
##  [521] 179.9594 178.6019 184.4175 177.3532 180.9819 177.0804 178.3560 182.8167
##  [529] 179.4923 176.7705 183.0298 176.4988 182.3198 187.0412 184.7185 178.2259
##  [537] 179.7395 187.4415 182.4843 170.8680 176.6689 179.8548 174.3533 182.7486
##  [545] 179.2836 181.3184 175.8042 184.2980 176.3341 179.3309 182.5766 178.4791
##  [553] 183.3801 180.0745 181.4633 179.6072 183.7339 179.0927 187.0094 186.2508
##  [561] 178.9400 188.6903 181.6493 186.6827 181.7301 181.0641 182.0433 177.2972
##  [569] 184.2984 171.4416 177.0941 179.1249 177.9399 183.3470 175.1578 185.8503
##  [577] 181.1280 176.8128 176.8802 178.8679 179.7513 179.5455 176.7573 172.4879
##  [585] 179.2501 176.3340 185.9532 186.7271 186.3817 192.3660 176.8767 180.6375
##  [593] 183.2017 180.1075 178.1113 176.7434 167.2339 182.3339 182.7539 182.0598
##  [601] 174.2148 179.2864 176.5923 181.0721 169.9109 189.8858 177.0470 182.8114
##  [609] 167.4493 174.8722 168.9389 181.7712 181.3424 187.3153 182.5611 174.9264
##  [617] 177.7901 178.3115 180.6036 184.1141 188.0329 180.2657 184.1653 177.7295
##  [625] 169.6486 181.3088 183.9186 176.2525 181.2601 179.0665 183.4374 180.0851
##  [633] 172.4236 177.8310 191.2273 176.9106 181.2894 188.2467 171.2032 177.4761
##  [641] 192.7012 183.8697 170.5224 181.5305 180.8252 188.4437 179.4392 175.1199
##  [649] 180.3600 185.0969 179.9094 174.9683 178.3688 174.0632 179.5416 178.8694
##  [657] 183.8981 179.2475 185.4086 187.0255 175.4764 174.9390 173.6220 169.1172
##  [665] 177.9670 177.4022 180.2177 186.1354 172.4191 182.4607 179.5458 178.0044
##  [673] 185.5107 175.6305 176.9167 185.5588 169.1120 176.3164 188.2355 182.9479
##  [681] 175.6682 191.0373 177.6728 175.8883 177.8364 191.8437 169.2907 179.0052
##  [689] 182.4328 173.9937 184.5936 180.1722 179.9348 179.5479 173.3848 178.5433
##  [697] 181.7785 183.8757 179.2560 176.6409 176.9955 175.6088 173.6455 186.5049
##  [705] 172.4759 181.6016 180.2999 170.8171 174.8813 185.5884 176.0563 184.7846
##  [713] 183.7889 185.0090 186.7035 180.5324 181.4580 181.2957 176.6491 172.9387
##  [721] 170.7799 182.4728 181.9430 183.5312 181.0824 183.2034 182.7765 182.5079
##  [729] 179.4426 174.4516 179.6859 179.3055 174.6044 175.7772 176.5254 175.8678
##  [737] 187.4755 189.0514 171.6433 180.7288 180.7768 177.8713 181.0691 172.6170
##  [745] 187.4408 180.7165 184.5737 176.6745 171.8227 174.1315 186.4116 176.3439
##  [753] 188.0473 180.8013 182.2199 170.4648 174.8941 181.6833 175.2114 174.1525
##  [761] 175.1619 188.9871 178.8595 183.8868 184.2047 185.0272 183.1481 174.9440
##  [769] 184.3140 183.4434 187.9625 176.4427 186.3876 176.0624 183.7395 185.7832
##  [777] 182.5529 171.3240 184.8400 180.9224 182.0409 180.6939 174.2892 178.6667
##  [785] 178.0404 174.1937 183.3084 182.5843 177.5648 170.3241 166.8867 180.1039
##  [793] 180.8547 184.7467 182.0602 181.4663 183.9074 188.8947 183.2097 179.9995
##  [801] 181.0537 176.4798 178.9618 167.6035 175.4558 183.5893 181.6791 187.3323
##  [809] 174.9843 186.3528 165.9735 176.6918 183.2419 175.6228 184.1484 182.0456
##  [817] 187.8031 183.9411 179.9543 176.1822 179.4578 179.4817 178.7332 174.4799
##  [825] 177.4929 183.0257 176.0923 185.2839 187.3088 168.8889 179.4087 173.2320
##  [833] 178.1071 181.4504 188.2777 176.7406 183.7401 180.8277 185.5290 182.9218
##  [841] 179.9618 182.6593 178.4700 188.3426 177.6905 179.5303 177.1510 177.3962
##  [849] 182.1812 181.1860 174.5263 183.8869 179.1302 184.0958 183.2336 181.8486
##  [857] 182.7378 175.9930 181.0763 179.9708 176.1161 172.1979 173.4069 173.0341
##  [865] 179.9067 184.2355 176.4150 185.2728 178.7967 186.5281 187.7962 171.4142
##  [873] 176.2826 181.1306 179.2820 186.8604 182.1147 179.6975 177.4535 185.8881
##  [881] 178.7642 176.0409 185.4316 182.2917 180.3764 178.5333 179.4668 176.8879
##  [889] 183.0438 177.6875 173.5639 181.7440 180.9053 170.9324 178.5497 178.6537
##  [897] 185.8387 182.9031 186.6574 189.5503 183.8774 189.1120 176.9965 183.0826
##  [905] 180.6039 185.5373 176.1339 174.7963 173.5222 184.1713 177.1557 182.4109
##  [913] 180.9203 185.6590 174.3467 174.6041 182.9864 175.1096 179.8568 171.9561
##  [921] 178.6301 181.6659 183.2222 171.1057 173.2120 186.2283 169.5409 170.7656
##  [929] 178.3968 182.7165 182.2240 182.3474 173.0154 181.6252 173.6988 193.4895
##  [937] 177.9866 188.4834 174.3063 185.2611 180.8126 184.8727 171.8620 189.4665
##  [945] 178.1418 186.1162 184.2617 179.6283 177.7869 175.2657 180.3036 171.7596
##  [953] 177.5920 171.3102 176.7611 181.6088 174.9455 174.9141 172.5891 180.7630
##  [961] 179.5417 178.4285 183.2712 178.0084 183.9309 183.1458 175.5853 194.0834
##  [969] 184.4155 184.3712 178.4374 177.1735 183.5893 179.5728 182.5844 178.8554
##  [977] 184.4291 181.1526 180.5350 180.0039 181.3585 177.5437 174.8566 182.5163
##  [985] 182.4442 180.2739 173.8827 190.5063 178.7291 183.9906 171.7126 175.2891
##  [993] 182.3640 180.0560 181.9987 186.6243 181.6588 180.3166 186.3709 180.3910
## [1001] 177.7235 179.7294 179.4029 174.2490 187.0049 181.9188 186.8715 177.7978
## [1009] 172.6908 175.4918 178.8899 177.2066 181.4920 176.3479 181.4446 190.7606
## [1017] 183.0640 175.1539 174.0139 183.3697 178.5946 177.9881 178.4462 176.1605
## [1025] 186.2582 180.3547 180.3728 189.1879 171.7284 180.8015 187.2788 165.9137
## [1033] 169.9647 170.7762 181.4344 167.5450 180.9311 178.5310 179.2143 177.2185
## [1041] 178.1842 175.5699 180.7798 188.1881 175.7736 180.4663 176.0343 187.8273
## [1049] 176.1368 175.4932 179.7040 183.9220 179.7352 178.8004 175.6625 187.5394
## [1057] 175.7644 177.6923 187.2318 176.4065 183.9753 187.5713 181.0684 181.2259
## [1065] 181.6763 184.8594 183.5606 177.8126 184.3640 181.4712 178.2612 172.6353
## [1073] 179.8076 189.0955 190.1288 179.1462 178.3048 190.9655 190.6457 169.1463
## [1081] 183.5006 178.0246 185.5403 175.2292 186.4288 179.1800 170.8721 178.7023
## [1089] 169.8166 191.2892 182.2575 184.1555 186.9064 186.7659 174.8382 175.6656
## [1097] 180.7607 179.2041 181.0524 177.8992 178.3641 179.0296 175.1860 182.1496
## [1105] 167.1678 177.8987 180.7805 183.3567 178.6269 165.2019 179.7242 177.8168
## [1113] 183.2830 181.2826 188.1540 177.9560 184.6400 181.0283 178.3524 187.0565
## [1121] 173.6268 174.5567 173.3957 179.5352 179.7496 173.5907 183.2274 183.3633
## [1129] 182.6648 184.5620 169.5276 188.2144 178.1818 183.5908 181.2313 181.7221
## [1137] 171.6545 176.8320 189.7340 173.1731 175.3721 176.2074 180.1955 177.2137
## [1145] 183.4967 177.1466 187.9329 177.6919 182.9250 174.4353 175.6264 183.2439
## [1153] 176.3670 182.8087 172.9062 177.4124 179.6815 189.2542 176.1902 182.2689
## [1161] 185.0357 175.8128 178.5435 178.6632 178.8323 175.6669 181.8398 180.5718
## [1169] 188.4872 187.0767 177.0024 177.7321 179.7871 179.4766 184.0132 179.8097
## [1177] 181.0017 173.7759 185.1458 179.2264 180.1408 186.7198 186.4607 181.8786
## [1185] 184.8248 185.0129 185.5892 176.5271 186.5138 177.3570 171.6285 188.4158
## [1193] 173.7869 167.0018 172.3189 184.8085 174.8416 164.7393 173.0297 175.3408
## [1201] 176.1523 182.9776 187.7889 178.2453 186.8994 181.5908 184.7865 176.8374
## [1209] 178.9996 190.5269 188.6025 186.5406 176.7338 178.5271 183.2551 188.8541
## [1217] 183.4807 179.3520 176.8188 186.0535 184.0362 173.8933 179.7428 180.7091
## [1225] 177.2826 178.5220 184.5632 172.3567 184.2529 181.8401 178.2277 177.9104
## [1233] 176.5763 181.5947 184.2280 185.1033 187.7601 177.5645 187.2075 177.9033
## [1241] 175.0971 179.0795 179.7619 180.0171 173.9381 177.3060 173.2029 175.4168
## [1249] 175.2731 179.8199 177.4410 176.7162 180.6278 174.2121 177.0703 187.1586
## [1257] 179.6935 181.0267 175.3392 182.8934 179.4824 171.6624 181.7208 178.4481
## [1265] 181.0722 175.2789 184.5555 177.4707 180.9463 181.5113 170.7892 171.1035
## [1273] 177.7002 179.7842 174.4494 177.9587 181.4710 177.9639 175.0442 180.3738
## [1281] 178.0796 187.7592 173.6107 168.3691 178.3979 184.5175 181.6058 173.0014
## [1289] 179.3943 183.5579 182.8085 186.4436 183.4979 183.7245 173.5307 177.9391
## [1297] 176.5971 179.5864 187.5195 182.1709 179.0994 170.3259 176.9797 182.7849
## [1305] 176.8694 177.7942 182.4374 179.9341 172.8564 177.2766 182.9406 180.3281
## [1313] 177.3545 180.1808 178.3397 180.3425 180.8481 181.2847 185.9617 177.1515
## [1321] 178.2856 177.8543 179.4615 180.1362 179.8831 177.5358 185.2783 177.2198
## [1329] 176.5650 173.8713 177.7837 186.7336 185.0050 183.9470 176.4063 177.2993
## [1337] 184.5587 183.1710 179.7910 177.2604 180.6763 190.8534 180.2153 183.2752
## [1345] 178.0528 185.5577 175.9520 179.0832 183.5603 180.1527 183.5687 179.5274
## [1353] 179.7156 175.5945 168.9579 182.1565 180.4543 183.2433 172.9492 187.7410
## [1361] 175.2674 183.1485 176.9439 173.9459 181.6766 179.7008 178.1313 173.9937
## [1369] 180.1966 183.3126 176.5700 180.8115 184.5086 172.1800 176.8567 178.6203
## [1377] 178.7100 170.8849 182.4178 184.5354 178.6879 182.5680 165.3944 184.4236
## [1385] 179.1410 175.7171 188.1750 185.6010 185.1397 187.5337 181.8296 179.4500
## [1393] 179.1708 179.5117 173.0159 179.8647 176.2417 180.6017 183.5948 182.6581
## [1401] 171.2097 179.3487 179.4305 183.2349 179.2462 184.0177 187.2983 175.0054
## [1409] 190.1324 176.6469 182.9824 177.1375 173.1962 171.0964 171.5448 181.6150
## [1417] 182.6920 177.8372 175.6303 181.0968 179.9468 186.7502 174.0569 173.6793
## [1425] 192.4744 182.8515 176.4570 181.0733 186.6503 183.1728 189.6648 182.1425
## [1433] 184.6116 172.7009 179.0472 185.3876 180.8580 178.0115 189.4360 190.6012
## [1441] 167.2542 186.3072 179.1926 178.5522 185.1950 182.2015 174.8113 172.5577
## [1449] 189.3405 174.2715 185.8399 178.0127 185.8680 169.9913 183.7046 172.3914
## [1457] 177.2399 186.0093 180.1069 179.1284 178.1252 191.0929 186.4094 176.3927
## [1465] 183.4162 186.3958 179.9141 178.4164 184.6397 181.4269 183.3239 190.3177
## [1473] 179.3365 181.6317 178.7419 178.2130 183.1374 173.3525 181.6156 179.0289
## [1481] 176.8507 192.7030 171.1813 183.0994 179.0465 181.6246 185.3416 183.5474
## [1489] 180.9499 180.4784 191.6625 184.5610 184.7216 183.3461 186.8477 176.1724
## [1497] 187.7970 189.2929 181.3422 185.2285 172.5853 191.0215 182.9734 174.7771
## [1505] 178.8777 167.7686 180.4142 185.2490 187.6351 184.9094 181.5534 178.3948
## [1513] 179.0889 179.0546 178.2953 176.1313 170.9712 183.8713 176.9136 173.8589
## [1521] 183.3703 178.2048 179.0365 186.6840 176.9730 172.6796 177.5506 187.6526
## [1529] 168.6903 181.0887 183.5983 175.8623 175.7451 175.5097 191.1336 174.6084
## [1537] 186.7331 177.3734 185.2891 175.7154 175.9522 181.2229 177.9109 181.1405
## [1545] 181.0918 181.4401 168.1988 178.7904 179.4784 186.8091 169.6775 180.3392
## [1553] 184.1979 187.0360 178.0464 179.3928 187.0706 179.4751 182.6350 182.2472
## [1561] 179.8156 179.8359 180.9870 180.4204 185.7772 191.7997 186.4896 171.8567
## [1569] 173.9842 171.3145 175.4023 176.2243 185.0975 180.8176 179.6827 181.0895
## [1577] 187.7253 194.0667 177.4054 179.1210 175.8502 171.7969 185.1627 183.0152
## [1585] 175.7533 175.3880 180.1049 185.0977 170.0220 183.2781 182.5192 171.2916
## [1593] 178.0308 180.8017 182.8908 182.3715 173.8661 180.6695 185.9636 180.0139
## [1601] 178.0194 187.4452 185.7111 179.7486 181.2628 175.1890 174.2743 173.8250
## [1609] 177.4175 188.5091 190.1128 188.0117 176.1683 189.3579 180.6321 178.5727
## [1617] 183.7346 187.2064 181.4951 180.3980 183.0912 173.1177 171.9726 187.6672
## [1625] 178.3317 184.3631 178.3957 183.0058 183.2469 187.7103 171.8433 181.0901
## [1633] 176.0543 186.7729 182.3826 177.3250 180.7367 176.6383 175.5146 173.7556
## [1641] 170.6783 176.9158 181.3620 167.6649 172.7368 172.0766 181.4522 175.1667
## [1649] 177.9564 180.4196 172.4045 190.3278 177.0678 177.1991 177.7182 177.3830
## [1657] 177.8008 174.6879 189.6575 178.4839 186.2816 171.9697 184.6288 175.6183
## [1665] 178.3455 183.3607 182.3510 182.5568 181.9496 179.1337 181.7860 182.8474
## [1673] 177.7286 171.8495 185.7453 178.4975 187.3106 181.9947 183.0059 187.3127
## [1681] 176.5156 170.5109 184.3608 180.6247 186.5730 181.2223 177.3130 191.2563
## [1689] 177.4050 180.4211 181.9193 180.8577 179.4849 184.9322 179.7216 175.9038
## [1697] 191.2983 169.1917 178.7110 166.1388 178.5136 179.9096 174.9462 175.9179
## [1705] 182.1817 176.3412 184.5498 185.3171 176.6995 185.3605 176.4420 178.0654
## [1713] 183.9744 185.5108 177.9278 176.8325 180.4237 173.0395 185.3237 178.3420
## [1721] 175.4903 188.6642 174.1598 175.2615 183.1173 179.2066 187.4888 177.4534
## [1729] 178.7342 175.1956 182.0257 188.0817 188.0098 176.5966 180.8271 189.2953
## [1737] 184.9662 179.4086 171.2832 185.2533 179.9881 181.8517 181.1732 180.5323
## [1745] 181.4488 182.5636 170.3112 177.8283 176.2187 175.9312 177.5846 178.2923
## [1753] 175.5090 186.4602 180.9554 178.4229 168.5687 184.0389 172.8392 184.9660
## [1761] 168.6900 179.9318 174.8966 184.6413 180.0445 182.8025 175.0274 180.5704
## [1769] 179.7439 176.7529 182.2502 175.2781 172.1767 174.6863 180.6616 175.1106
## [1777] 173.4188 177.0714 178.6038 188.8828 174.1748 174.8336 168.9891 179.6612
## [1785] 173.7628 181.7058 189.1713 176.6025 177.9533 175.8339 183.8864 175.9905
## [1793] 177.2836 179.1453 178.8139 167.2803 179.7523 184.1722 182.0816 188.7326
media5 <- mean(muestra5)
paste("La media muestral 5: ", media5)
## [1] "La media muestral 5:  179.862758602377"

4.4.3.6 Tabla de distribución muestral de la media

Se construye nuevamente una tabla de distribución muestral con un data.frame(), identificando la media poblacional \(\mu\) comparada con las medias muestrales \(\bar{x}\), se incluye el valor esperado y el error estándar que es la diferencia entre la media poblacional \(\mu\) y la media muestral \(\bar{x}\).

tabla <- data.frame(m=1:5, 
                    obs = c(length(muestra1), length(muestra2), length(muestra3), length(muestra4),length(muestra5)),
                    media.poblacional = media,
                    medias = c(media1, media2, media3, media4, media5),
                    VE = mean(c(media1,media2, media3, media4, media5)), 
                    Error.Std = c((media-media1),(media-media2), (media-media3), (media-media4), (media-media5) ),
Error.Std.Absoluto = c(abs(media-media1),abs(media-media2), abs(media-media3), abs(media-media4), abs(media-media5)))
tabla
##   m  obs media.poblacional   medias       VE  Error.Std Error.Std.Absoluto
## 1 1    2          179.9601 183.5183 180.5824 -3.5581949          3.5581949
## 2 2  200          179.9601 179.4377 180.5824  0.5223985          0.5223985
## 3 3  600          179.9601 179.9718 180.5824 -0.0117363          0.0117363
## 4 4 1200          179.9601 180.1215 180.5824 -0.1614089          0.1614089
## 5 5 1800          179.9601 179.8628 180.5824  0.0973414          0.0973414

4.4.3.7 Propiedades del estimador puntual media

Con la última tabla que se obtienen muestras de una población normal se identifican las propiedades del estimador puntual \(\bar{x}\) de cada media de cada muestra: insesgadez, eficiencia y consistencia.

El estadísticos muestral \(\bar{x}\) de todas las muestras tienen un valor de sesgo cada una de ellas con respecto a la media poblacional. Tomando en cuenta la última columna de Error.Std.Abs de la tabla, todas las muestras tienen algo de sesgo.

tabla
##   m  obs media.poblacional   medias       VE  Error.Std Error.Std.Absoluto
## 1 1    2          179.9601 183.5183 180.5824 -3.5581949          3.5581949
## 2 2  200          179.9601 179.4377 180.5824  0.5223985          0.5223985
## 3 3  600          179.9601 179.9718 180.5824 -0.0117363          0.0117363
## 4 4 1200          179.9601 180.1215 180.5824 -0.1614089          0.1614089
## 5 5 1800          179.9601 179.8628 180.5824  0.0973414          0.0973414

Se observa mayor eficiencia en el estadístico muestral de la media \(\bar{x}\) en la muestra 3 y un poco menor la muestra 5 comparando y debido al error muestral identificado en la última columna de Erros.Std.Abs de la tabla.

Si se observa consistencia debido a que el valor de la media muestral \(\bar{x}\) disminuye con cada muestra, también analizando la última columna.

4.4.3.8 Visualización de medias poblacionales muestrales y error estándar

Se visualizan las muestras 1 y 2 con algo de sesgo.

g1 <- ggplot(data = poblacion, mapping = aes(x=edad)) +
  geom_density(color = "red", fill="lightblue") +
  ggtitle("Media poblacional y muestral 1", subtitle = paste("Pob=",round(media,2), " Mues=", round(media1,2), "Err.:",round(tabla$Error.Std.Absoluto[1], 4))) +
  geom_vline(xintercept =media, color="black") +
  geom_vline(xintercept =media1, color=media1)

g2 <- ggplot(data = poblacion, mapping = aes(x=edad)) +
  geom_density(color = "red", fill="lightblue") +
  ggtitle("Media poblacional y muestral 2", subtitle = paste("Pob.=",round(media,2), " Mues.=", round(media2,2), "Err.=",round(tabla$Error.Std.Absoluto[2], 4))) +
  geom_vline(xintercept =media, color="black") +
  geom_vline(xintercept =media2, color=media2)


plot_grid(g1, g2)

Se visualizan las muestras 3 y 4 con algo de sesgo.

g3 <- ggplot(data = poblacion, mapping = aes(x=edad)) +
  geom_density(color = "red", fill="lightblue") +
  ggtitle("Media poblacional y muestral 3", subtitle = paste("Pob=",round(media,2), " Mues=", round(media3,2), "Err=",round(tabla$Error.Std.Absoluto[3], 4))) +
  geom_vline(xintercept =media, color="black") +
  geom_vline(xintercept =media3, color=media3)

g4 <- ggplot(data = poblacion, mapping = aes(x=edad)) +
  geom_density(color = "red", fill="lightblue") +
  ggtitle("Media poblacional y muestral 4", subtitle = paste("Pob=",round(media,2), " Mues=", round(media4), "Err=",round(tabla$Error.Std.Absoluto[4], 4))) +
  geom_vline(xintercept =media, color="black") +
  geom_vline(xintercept =media2, color=media4)


plot_grid(g3, g4)

Finalmente, se visualiza la muestra 5 con algo de sesgo.

g5 <- ggplot(data = poblacion, mapping = aes(x=edad)) +
  geom_density(color = "red", fill="lightblue") +
  ggtitle("Media poblacional y muestral 5", subtitle = paste("Pob=",round(media,2), " Mues=", round(media5,2), "Err=",round(tabla$Error.Std.Absoluto[5], 4))) +
  geom_vline(xintercept =media, color="black") +
  geom_vline(xintercept =media5, color=media5)

g5

5 Interpretación

Como se mencionó al principio y como lo establece la suposición en el planteamiento del teorema del límite central, entre más aumenta el tamaño de la muestra, el valor de cada media muestral \(\bar{x}\)se acerca al valor de la media poblacional \(\mu\).

Si la muestra provienen de una población normal, las muestras tendrán características de distribuciones normales, en el caso de que las muestras no provengan de distribuciones normales, de cualquier manera el teorema de límite central implica que los valores de las medias muestrales se aproximan al valor de la media poblacional.

Con ambas poblaciones no normales y normales se cumple con las propiedades de eficiencia y consistencia y algo se sesgo en algunas distribuciones muestrales.

Referencias bibliográficas

Anderson, David R., Dennis J. Sweeney, and Thomas A. Williams. 2008a. Estadística Para Administración y Economía. 10th ed. Australia Brasil Corea España Estados Unidos Japón México Reino Unido Singapur: Cengage Learning,.
———. 2008b. Estadística Para Administración y Economía. 10th ed. Australia Brasil Corea España Estados Unidos Japón México Reino Unido Singapur: Cengage Learning,.
Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers, and Sharon L. Myers. 2012. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Novena Edición. México: Pearson.