U3A6: Introducción a la probabilidad frecuentista

La probabilidad frecuencial o frecuentista hace referencia a la definición de probabilidad entendida como el cociente entre el número de casos favorables y el número de casos posibles, cuando el número de casos tiende a infinito.

Se entiende por probabilidad frecuentista a la frecuencia relativa de un evento esperada en el largo plazo o luego de una secuencia de ensayos.

Cuantas más veces se repita el experimento, al final las posibilidades de que ocurra cada uno de los sucesos será regular. Aunque cualquier comportamiento sea aleatorio, por proceso empírico llegaremos a una regularidad. Es cuando se lanza un dado y suponiendo cuantas veces cae el número que se seleccionó.

La estadística que estamos acostumbrados a utilizar es la estadística frecuentista, que es la que se desarrolla a partir de los conceptos de probabilidad y que se centra en el cálculo de probabilidades y los contrastes de hipótesis.

Interpretación frecuentista de la probabilidad

Una frecuencia relativa es una proporción que mide que tan seguido, o frecuente, ocurre una u otra cosa en una sucesión de observaciones.

Veamos el ejemplo del lanzamiento de una moneda

lanzamientos_10 <- sample( c("A","S"),10, replace = TRUE  )
lanzamientos_10
##  [1] "A" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "S"

Ahora calcularemos la secuencia de frecuencias relativas del aguila

cumsum(lanzamientos_10 == "A") 
##  [1] 1 2 3 3 3 4 5 6 6 6

Dividiendo

round(cumsum(lanzamientos_10 =="A") /1:10,2)
##  [1] 1.00 1.00 1.00 0.75 0.60 0.67 0.71 0.75 0.67 0.60

Distribuciones en R:

$$ \[\begin{array}{l|l|l|c} \text{Función} & \text{Significado} & \text{Uso}& \text{Observación}\\ \hline p & \text{probability} & \text{Calcula probabilidades acumuladas (cdf)} & \text{---}\\ q & \text{quantile} & \text{Calcula cuantiles (percentiles)} & \text{---}\\ d & \text{density} & \text{Calcula probabilidades puntuales} & \text{Sólo uso gráfico en el caso continuo}\\ r & \text{random} & \text{Genera datos aleatorios según una distribución específica} & \text{---}\\ \hline \end{array}\]

$$

Funciones en # para la distribuciones de frecuencia de probabilidad

Distribución binomial binom

Distribución de Poisson pois

Distribución normal norm

Distribución exponencial exp

Distribución t de Student t

Distribución Chi2 chisq

Distribución F f

Distribución normal

Si X es una variable aleatoria con distribucion normal de media 3, y su desviacion estandar es de 0.5

La probabilidad de que X sea menor de 3.5 se calcula de la siguiente forma:

pnorm(3.5, mean = 3, sd=0.5)
## [1] 0.8413447

Ahora generemos numeros aleatorios con distribucion normal, vamos a generar 100 numeros con media 10 y desviacion estandar de 1

x <- rnorm(100, mean = 10, sd=1)
x
##   [1] 10.801532 10.803727 10.220265 10.004460 10.822935 11.208701 10.132948
##   [8]  9.551166  9.309044 11.330007 10.416632 11.468576  8.737121  9.798252
##  [15] 11.345587 10.475059 11.612989  8.266714 10.083905  9.467845  9.845668
##  [22]  8.107984  9.070136 10.448707  8.980961  8.650786 11.306951  9.711553
##  [29] 11.327337 11.070731 12.032024 11.275513 10.933558  9.285782  9.592860
##  [36] 10.181541 10.275071  9.052705 11.212945 11.279467  9.168130 11.188454
##  [43] 10.429066 11.215871  8.263291 10.483992 10.802571 10.422819 10.821653
##  [50]  9.660096 11.587962  9.713754 11.602509 11.425506 10.540644  9.710461
##  [57] 11.449647 10.531660 10.955076  9.848042  8.989054 11.946419 11.527962
##  [64] 10.091930 10.587388  9.975039 10.409318  9.291258 10.230209 11.160359
##  [71]  8.441536 10.384214 11.609425 11.047350  9.788084  8.341352 10.069708
##  [78]  9.844138 10.308232 10.012933  8.573291  9.374565  9.859427  8.417312
##  [85] 10.344674 10.480244  8.987534 11.412828 11.638370 11.195751  9.472550
##  [92] 11.123537  9.792239  9.215060 11.170124 10.208905  9.943429  9.850311
##  [99] 10.145615  9.755612

Ahora calculamos el promedio de estos numeros

promedio <- mean (x)
promedio
## [1] 10.24338

Histograma de frecuencias absolutas

hist(x)

Gráfico de caja y bigote

boxplot(x)

Histograma de frecuencias con la curva normalizada

hist(x, freq =FALSE)
curve(dnorm(x, mean =10, sd=1), from =7, to =13, add=TRUE)

Distribucion binomial

Generando 20 valores de exitos (1) versus fracasos (0) con una probabilidad de 0.5

x <- rbinom(20,1,0.5)
x
##  [1] 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0

Contemos exitos versus fracasos

table(x)
## x
##  0  1 
## 10 10

Probabilidad binomial de obtener un 1

P <- 13/20
P
## [1] 0.65

Ejercicio distribucion binomial

Hay 12 preguntas de seleccion multiple en un examen

Cada pregunta tiene 5 alternativas y solo 1 es correcta

Calcule la probabilidad de obtener al menos 4 respuestas correctas si contestamos enteramente al azar

dbinom(0, size = 12, prob = 0.2) + 
dbinom(1, size = 12, prob = 0.2) +
dbinom(2, size = 12, prob = 0.2) +
dbinom(3, size = 12, prob = 0.2) +
dbinom(4, size = 12, prob = 0.2) 
## [1] 0.9274445

Tarea:

Calcular la probabibilidad de obtener un valor menor a 9 si tenemos media de 8 y desviacion estandar de 2, usando la distribucion normal

pnorm(9, mean = 8, sd=2)
## [1] 0.6914625

Generar 150 numeros aleatorios de media 5 y desviacion de 0.5 usando la distribucion normal

x <- rnorm(150, mean =5, sd=0.5)
x
##   [1] 5.003263 5.019282 4.901922 5.607714 4.551609 5.008033 4.479123 4.248276
##   [9] 6.025297 5.560082 5.511335 5.130669 5.196994 5.428974 4.954005 3.818399
##  [17] 5.409065 4.898559 4.394150 5.723985 5.969838 5.271145 5.581803 5.002679
##  [25] 4.748989 4.250265 4.632387 4.923172 5.025233 5.528950 4.173165 4.615440
##  [33] 4.391507 5.039629 4.886370 4.308758 5.544080 5.194576 4.839025 6.079803
##  [41] 5.552931 4.654935 5.043678 4.709585 5.443985 5.462685 4.991971 5.564529
##  [49] 5.042630 4.952600 5.422579 4.662980 5.157430 4.370546 4.863838 5.682193
##  [57] 5.188963 4.492941 5.162403 4.573969 3.996824 4.644668 4.524737 5.725519
##  [65] 4.076144 4.810770 5.342696 4.636095 5.057648 4.316808 5.012870 4.885782
##  [73] 6.038457 4.803783 5.105612 5.727653 5.522871 5.585284 4.926244 5.452437
##  [81] 4.604446 4.525015 4.340230 6.265141 3.808564 4.659720 5.692705 5.410085
##  [89] 4.952328 4.077442 5.228459 4.493375 5.083455 4.712301 4.724987 5.337519
##  [97] 4.507534 5.672431 5.138491 5.097020 5.592253 5.393138 4.732190 4.976500
## [105] 5.485711 4.787057 4.227386 4.993007 4.815843 5.012370 5.023966 4.430229
## [113] 4.540905 5.063325 5.208059 5.332574 5.129316 4.856078 4.551183 5.112716
## [121] 4.441703 4.590646 5.343476 4.674025 4.126992 4.840733 4.836506 5.698716
## [129] 4.339160 5.254922 5.442912 4.867670 5.555970 5.002462 4.774006 4.391530
## [137] 5.483239 4.846513 5.193202 5.453060 6.224928 4.478517 5.195172 4.832117
## [145] 5.128731 5.419279 5.051855 5.675017 4.482401 5.981405

Obtener media, media, mediana, moda de los datos generados (150) y grafico de caja y bigote

Media
media <- mean(x)
media
## [1] 5.008598
Mediana
mediana <- median(x)
mediana
## [1] 5.005648
Moda
library(modeest)
mlv(x, method = "mfv")
##   [1] 3.808564 3.818399 3.996824 4.076144 4.077442 4.126992 4.173165 4.227386
##   [9] 4.248276 4.250265 4.308758 4.316808 4.339160 4.340230 4.370546 4.391507
##  [17] 4.391530 4.394150 4.430229 4.441703 4.478517 4.479123 4.482401 4.492941
##  [25] 4.493375 4.507534 4.524737 4.525015 4.540905 4.551183 4.551609 4.573969
##  [33] 4.590646 4.604446 4.615440 4.632387 4.636095 4.644668 4.654935 4.659720
##  [41] 4.662980 4.674025 4.709585 4.712301 4.724987 4.732190 4.748989 4.774006
##  [49] 4.787057 4.803783 4.810770 4.815843 4.832117 4.836506 4.839025 4.840733
##  [57] 4.846513 4.856078 4.863838 4.867670 4.885782 4.886370 4.898559 4.901922
##  [65] 4.923172 4.926244 4.952328 4.952600 4.954005 4.976500 4.991971 4.993007
##  [73] 5.002462 5.002679 5.003263 5.008033 5.012370 5.012870 5.019282 5.023966
##  [81] 5.025233 5.039629 5.042630 5.043678 5.051855 5.057648 5.063325 5.083455
##  [89] 5.097020 5.105612 5.112716 5.128731 5.129316 5.130669 5.138491 5.157430
##  [97] 5.162403 5.188963 5.193202 5.194576 5.195172 5.196994 5.208059 5.228459
## [105] 5.254922 5.271145 5.332574 5.337519 5.342696 5.343476 5.393138 5.409065
## [113] 5.410085 5.419279 5.422579 5.428974 5.442912 5.443985 5.452437 5.453060
## [121] 5.462685 5.483239 5.485711 5.511335 5.522871 5.528950 5.544080 5.552931
## [129] 5.555970 5.560082 5.564529 5.581803 5.585284 5.592253 5.607714 5.672431
## [137] 5.675017 5.682193 5.692705 5.698716 5.723985 5.725519 5.727653 5.969838
## [145] 5.981405 6.025297 6.038457 6.079803 6.224928 6.265141

Gráfica caja y bigote

boxplot(x)

Grafica de frecuencia absoluta

hist(x)

Histograma de frecuencias con la curva normalizada

hist(x, freq = FALSE)
curve(dnorm(x, mean = 8, sd=0.5), from = 3.5, to =6.5, add=TRUE    )

Genere un conteo y calculo de probabilidad de 30 numeros de forma binomial

x <- rbinom(30,5,0.40)
x
##  [1] 1 1 3 3 4 1 2 0 0 4 3 3 1 2 2 1 1 2 1 2 2 0 0 2 2 3 3 4 0 4
table(x)
## x
## 0 1 2 3 4 
## 5 7 8 6 4
A <- 1/30
A
## [1] 0.03333333