Caso 17. Distribuciones de Poisson

1 Objetivo

Identificar los valores de la función de probabilidad bajo la fórmula de distribución de Poisson.

2 Descripción

Realizar distribuciones de probabilidad conforme a la distribución de probabilidad de Poisson a partir devalores iniciales dado en cada ejercicio.

Se generan las tablas de probabilidad conforme a distribución Poisson, se identifican los valores de probabilidad cuando la variable discreta xx tenga algún exactamente algún valor, ≤≤ a algún valor o >> o ≥≥, entre otros.

3 Fundamento teórico

Otra variable aleatoria discreta que tiene numerosas aplicaciones prácticas es la variable aleatoria de Poisson. Su distribución de probabilidad da un buen modelo para datos que representa el número de sucesos de un evento especifi cado en una unidad determinada de tiempo o espacio (mendenhall_introduccion_2006?).

Los experimentos que dan valores numéricos de una variable aleatoria X, el número de resultados que ocurren durante un intervalo dado o en una región específica, se llaman experimentos de Poisson.(walpole_probabilidad_2012?)

Esta distribución, suele usarse para estimar el número de veces que sucede un hecho determinado (ocurrencias media) en un intervalo de tiempo o de espacio. Por ejemplo:

• La variable de interés va desde el número de automóviles que llegan (llegadas) a un lavado de coches en una hora o,

• El número de reparaciones necesarias en 10 kms. de una autopista o,

• El número de fugas en 100 kms.de tubería, entre otros (anderson_estadistica_2008?).

3.1 Fórmula

\[ f(x) = \frac{{e^{ - \mu }\mu ^x}}{{x!}} \]

en donde:

• \(f(x)\) es la función de probabilidad para valores discretos de \(x = 1,2,3..,n\)

• $$ es el valor medio esperado en cierto lapso de tiempo. Algunas veces expresado como \(\lambda\)

• \(x\) es la variable aleatoria. Es una variable aleatoria discreta \((x=1,2,3,...)\)

• \(e\) valor constante, es la base de los logaritmos naturales 2.717282.71728. Puede generarse por medio de exp(1).

Propiedades de un evento Poisson:

• La probabilidad de ocurrencia es la misma para cualquiera de dos intervalos de la misma longitud.

• La ocurrencia o no ocurrencia en cualquier intervalo es independiente de la ocurrencia o no ocurrencia en cualquier otro intervalo.

3.2 Esperanza, varianza y desviación estándard

Los valores de la esperanza (o media) y de la varianza para la distribución de Poisson son respectivamente:

El valor medio o esperanza:

\[ E(X) = \lambda \]

La varianza:

\[Var(x) = \sigma^{2}=\lambda\]

La desviación:

\[\sigma = \sqrt{Var(x)}=\sqrt{\sigma}\]

4 Desarrollo

El desarrollo de los ejercicios comienza con la carga de librerías luego una serie de ejercicios relacionados con la distribución de Poisson, de cada uno de ellos se muestra la tabla de probabilidad se calculan algunas de sus probabilidades y se determina la esperanza, la varianza y las desviaciones. Al final se busca la interpretación de cada ejercicio.

4.1 Cargar librerías

library(dplyr)

## 
## Attaching package: 'dplyr'

## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     filter, lag

## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     intersect, setdiff, setequal, union

library(ggplot2)
library(mosaic) # Gráficos de distribuciones

## Registered S3 method overwritten by 'mosaic':
##   method                           from   
##   fortify.SpatialPolygonsDataFrame ggplot2

## 
## The 'mosaic' package masks several functions from core packages in order to add 
## additional features.  The original behavior of these functions should not be affected by this.

## 
## Attaching package: 'mosaic'

## The following object is masked from 'package:Matrix':
## 
##     mean

## The following object is masked from 'package:ggplot2':
## 
##     stat

## The following objects are masked from 'package:dplyr':
## 
##     count, do, tally

## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     binom.test, cor, cor.test, cov, fivenum, IQR, median, prop.test,
##     quantile, sd, t.test, var

## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     max, mean, min, prod, range, sample, sum

library(cowplot)

## 
## Attaching package: 'cowplot'

## The following object is masked from 'package:mosaic':
## 
##     theme_map

options(scipen=999) # Notación normal

# options(scipen=1) # Notación científica

4.2 Cargar funciones

#source("../funciones/funciones.distribuciones.r")

# o

source("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/funciones/funciones.distribuciones.r")

## 
## Attaching package: 'gtools'

## The following object is masked from 'package:mosaic':
## 
##     logit

4.3 Ejercicios

Se describen ejercicios en donde se encuentra la función de distribución

• Llegada de automóviles a rampa de un cajero

4.3.1 Llegadas de automóviles a rampa de un cajero

Suponga que desea saber el número de llegadas, en un lapso de 15 minutos, a la rampa del cajero automático de un banco.(anderson_estadistica_2008?)

Si se puede suponer que la probabilidad de llegada de los automóviles es la misma en cualesquiera de dos lapsos de la misma duración y si la llegada o no–llegada de un automóvil en cualquier lapso es independiente de la llegada o no–llegada de un automóvil en cualquier otro lapso, se puede aplicar la función de probabilidad de Poisson.

Dichas condiciones se satisfacen y en un análisis de datos pasados encuentra que el número promedio de automóviles que llegan en un lapso de 15 minutos es igual a 10;

Aquí la variable aleatoria es \(x\) número de automóviles que llegan en un lapso de 15 minutos.

4.3.1.1 Tabla de probabilidad

Valores iniciales

x <- 0:30 # Valores de variables aleatorias
media <- 10 # Llegada de automóviles

Se construye la tabla con la función cargada del enlace: https://github.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/blob/master/funciones/funciones.distribuciones.r

tabla1 <- data.frame(x=x, f.prob.x = f.prob.poisson(media, x))

tabla1 <- cbind(tabla1, f.acum.x = cumsum(tabla1$f.prob.x))

tabla1

##     x        f.prob.x      f.acum.x
## 1   0 0.0000453999298 0.00004539993
## 2   1 0.0004539992976 0.00049939923
## 3   2 0.0022699964881 0.00276939572
## 4   3 0.0075666549604 0.01033605068
## 5   4 0.0189166374010 0.02925268808
## 6   5 0.0378332748021 0.06708596288
## 7   6 0.0630554580035 0.13014142088
## 8   7 0.0900792257192 0.22022064660
## 9   8 0.1125990321490 0.33281967875
## 10  9 0.1251100357211 0.45792971447
## 11 10 0.1251100357211 0.58303975019
## 12 11 0.1137363961101 0.69677614630
## 13 12 0.0947803300918 0.79155647639
## 14 13 0.0729079462244 0.86446442262
## 15 14 0.0520771044460 0.91654152707
## 16 15 0.0347180696307 0.95125959670
## 17 16 0.0216987935192 0.97295839022
## 18 17 0.0127639961878 0.98572238640
## 19 18 0.0070911089932 0.99281349540
## 20 19 0.0037321626280 0.99654565802
## 21 20 0.0018660813140 0.99841173934
## 22 21 0.0008886101495 0.99930034949
## 23 22 0.0004039137043 0.99970426319
## 24 23 0.0001756146541 0.99987987785
## 25 24 0.0000731727725 0.99995305062
## 26 25 0.0000292691090 0.99998231973
## 27 26 0.0000112573496 0.99999357708
## 28 27 0.0000041693887 0.99999774647
## 29 28 0.0000014890674 0.99999923553
## 30 29 0.0000005134715 0.99999974900
## 31 30 0.0000001711572 0.99999992016

Se construye la tabla2 con las funciones dpois() y ppois() , los valores deben ser los mismos que la tabla1.

tabla2 <- data.frame(x=x, f.prob.x = dpois(x = x, lambda = media))

tabla2 <- cbind(tabla2, f.acum.x = ppois(q = x, lambda = media))

tabla2

##     x        f.prob.x      f.acum.x
## 1   0 0.0000453999298 0.00004539993
## 2   1 0.0004539992976 0.00049939923
## 3   2 0.0022699964881 0.00276939572
## 4   3 0.0075666549604 0.01033605068
## 5   4 0.0189166374010 0.02925268808
## 6   5 0.0378332748021 0.06708596288
## 7   6 0.0630554580035 0.13014142088
## 8   7 0.0900792257192 0.22022064660
## 9   8 0.1125990321490 0.33281967875
## 10  9 0.1251100357211 0.45792971447
## 11 10 0.1251100357211 0.58303975019
## 12 11 0.1137363961101 0.69677614630
## 13 12 0.0947803300918 0.79155647639
## 14 13 0.0729079462244 0.86446442262
## 15 14 0.0520771044460 0.91654152707
## 16 15 0.0347180696307 0.95125959670
## 17 16 0.0216987935192 0.97295839022
## 18 17 0.0127639961878 0.98572238640
## 19 18 0.0070911089932 0.99281349540
## 20 19 0.0037321626280 0.99654565802
## 21 20 0.0018660813140 0.99841173934
## 22 21 0.0008886101495 0.99930034949
## 23 22 0.0004039137043 0.99970426319
## 24 23 0.0001756146541 0.99987987785
## 25 24 0.0000731727725 0.99995305062
## 26 25 0.0000292691090 0.99998231973
## 27 26 0.0000112573496 0.99999357708
## 28 27 0.0000041693887 0.99999774647
## 29 28 0.0000014890674 0.99999923553
## 30 29 0.0000005134715 0.99999974900
## 31 30 0.0000001711572 0.99999992016

4.3.1.2 Gráfica de probabilidad

Con la función ggplot() se hace la curva de la distribución, en rojo los puntos y en azul la curva o linea con cualquiera de las dos tablas, tabla1 o tabla2.

ggplot(data = tabla2, aes(x,f.prob.x) ) +
  geom_point(colour = "red") +
  geom_line(colour = 'blue')

4.3.1.3 Probabilidad de que lleguen cinco

Si la administración desea saber la probabilidad de que lleguen exactamente 55 automóviles en 15 minutos, \(P(x=5)\).

Utlizando la función f.prob.poisson() creada que se encuentra en el enlace https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/funciones/funciones.distribuciones.r y calcula la función de probabilidad conforme a la fórmula.

x <- 5

prob <- round(f.prob.poisson(media, x),8)

paste("La probabilidad de que sean exactamente 5 automóviles es de : ", prob)

## [1] "La probabilidad de que sean exactamente 5 automóviles es de :  0.03783327"

Utilizando la función dpois() del paquete base de R

prob2 <- round(dpois(x = x, lambda = 10),4)
paste("La probabilida de que sean exactamente 5 automóviles es de : ", prob2)

## [1] "La probabilida de que sean exactamente 5 automóviles es de :  0.0378"

4.3.1.4 Probabilidad de que sea x menor o igual a diez

\(P(x≤10)=P(x=1)+P(x=2)+P(x=3)+...+P(x=10)\) o la probabilidad acumulada hasta \(F(x=10)\)

tabla1$f.acum[10+1]

## [1] 0.5830398

paste("La probabilidad de que el valor de x sea menor o igual a 10 es: ", tabla1$f.acum[10+1], " o ", round(tabla1$f.acum[10+1] * 100,4), "%" )

## [1] "La probabilidad de que el valor de x sea menor o igual a 10 es:  0.583039750192986  o  58.304 %"

Con ppois() que determina el valor acumulado

ppois(q = 10, lambda = media)

## [1] 0.5830398

4.3.1.5 Probabilidad con media diferente

En el ejemplo anterior se usó un lapso de 15 minutos, pero también se usan otros lapsos. Suponga que desea calcular la probabilidad de una llegada en un lapso de 3 minutos.

Regla de tres:

\[10 = 5\]

\[? = 3\]

media <- (3 * 10) / 15
media

## [1] 2

Entonces, la probabilidad de \(x\) llegadas en un lapso de 3 minutos tiene una media \(\mu = 2\)está dada por la siguiente nueva función de probabilidad de Poisson.

\[f(x) = \frac{{e^{ - 2} 2^x }}{{x!}}\]

Entonces nueva probabilidad para cuando \(x=5\)

prob <- round(dpois(x = 5, lambda = 2),4)

paste("La probabilidad cuando x = 5 y media igual a 2 es del:", prob * 100, "%")

## [1] "La probabilidad cuando x = 5 y media igual a 2 es del: 3.61 %"

4.3.1.6 Valor esperado

La esperanza o valor esperado es igual a:\(10\) dado los valores iniciales del ejercicio

4.3.1.7 Varianza y desviación

La varianza es 10 y la desviación estándard es: 3.1623
4.3.1.8 Interpretación

Para comenzar con el desarrollo del ejercicio tenemos que hacer la tabla de probabilidad dando los valores iniciales de 0:30 de variables aleatorias y 10 la media que es la llegada de automoviles. Despues hacer la tabla de manera grafica con el enlace proporcionado o con las funciones dpois() o ppois() del lenguaje de programacion R. Despues, hacemos la grafica de probabilidad.

Una vez que tenemos todos estos elementos podemos seguir con responder distintas incognitas especificas como cual es la probabilidad de que lleguen 5 autos en 15 minutos lo que nos da un resultado de 0.037, esto lo obtenemos utilizando la probabilidad de poisson con los datos principales de la media es igual a 15 a los minutos y x es igual a 5 que es el numero de autos.

Despues nos piden la probabilidad de que sea x menor o igual a diez, lo que nos da como resultado 0.5830, en este caso se puede utilizar la herramienta de R ppois().

A continuacion, calculamos la probabilidad con media diferente por medio de una regla de tres directa ya que nos dice que en 15 minutos llegan 10 carros, entonces cuantos llegaran en 3 minutos lo que nos da un resultado de 2. y con ese dato sustituyendolo en \(\mu\) aplicandolo a la formula la nueva probabilidad de cuando x equivale a 5 es de 3.61%.

Por ultimo nos pide calcular el valor esperado que es 10, el datos que nos dieron en los valores iniciales a principio del ejercicio y tambien nos piden calcular la varianza y desviacion estandar que es de Varianza=10 y DE=3.16.

4.3.2 Accidentes en industria

En ciertas instalaciones industriales los accidentes ocurren con muy poca frecuencia. Se sabe que la probabilidad de un accidente en cualquier día dado es 0.0050.005 y los accidentes son independientes entre sí (walpole_probabilidad_2012?).

La variable media es el números de accidentes promedio por dia. xx será los valores de la variable aleatoria.

4.3.2.1 Tabla de distribución

Valores iniciales

n <- 365 # Dias del año
prob <- 0.005

media <- n * prob   # media al año
media <- round(media, 0)
media

## [1] 2

x <- 0:10

La media es 2

La variable aleatoria son los dias desde \(x=1\)…hasta \(x=n\)

La tabla de distribución de probablidad de Poisson con media igual a 2 usando dpois() y cumsum()

tabla <- data.frame(x=x, f.prob.x = round(dpois(x = x, lambda = media),4))

tabla <- cbind(tabla, f.acum.x = cumsum(tabla$f.prob.x))

tabla

##     x f.prob.x f.acum.x
## 1   0   0.1353   0.1353
## 2   1   0.2707   0.4060
## 3   2   0.2707   0.6767
## 4   3   0.1804   0.8571
## 5   4   0.0902   0.9473
## 6   5   0.0361   0.9834
## 7   6   0.0120   0.9954
## 8   7   0.0034   0.9988
## 9   8   0.0009   0.9997
## 10  9   0.0002   0.9999
## 11 10   0.0000   0.9999

4.3.2.2 Gráfica de probabilidad

g1 <- ggplot(data = tabla, aes(x,f.prob.x) ) +
  geom_point(colour = "red") +
  geom_line(colour = 'blue') +
  ggtitle("Función de densidad P(x)")
#g1

g2 <- ggplot(data = tabla, aes(x,f.acum.x) ) +
  geom_point(colour = "red") +
  geom_line(colour = 'blue') +
  ggtitle("Función acumulada F(x)")
#g2

plot_grid(g1, g2)

4.3.2.3 Probabilidad de un accidente al dia

¿Cuál es la probabilidad de que en cualquier periodo dado habrá un accidente en un día?

• \(P(x=1)\)

Recordar que el índice de la tabla empieza en el valor cero de tal forma que se necesita el siguiente valor x+1 en la tabla:

x <- 1
prob <- tabla$f.prob.x[x+1]
paste("La probabiidad del valor de x=1 es: ", prob)

## [1] "La probabiidad del valor de x=1 es:  0.2707"

o mediante la función dpois() y

dpois(x = 1, lambda = media)

## [1] 0.2706706

4.3.2.4 Probabilidad de tres o menos

¿Cuál es la probabilidad de que haya a lo más tres días con un accidente?

• El indice en la taba comienza en cero

x <- 3
prob <- tabla$f.acum.x[x+1]
paste("La probabiidad del valor de x<=3 es: ", prob)

## [1] "La probabiidad del valor de x<=3 es:  0.8571"

Función acumulada \(F(x=3)\) o lo que es lo mismo \(P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)+P(x=3)\)

ppois(q = 3, lambda = media)

## [1] 0.8571235

4.3.2.5 Interpretación

En este ejercicio se sabe que la probabilidad de un accidente en cualquier día dado es 0.005 y los accidentes son independientes entre sí, como nos menciona que son accidentes y no sabe cuantos pueden ocurrir la media sera una variable aleatoria que se calculara con la probabilidad de que un accidente ocurra por 365 que representa a los dias del año lo que ya redondeado nos da un resultado de 2.

Despues como en el ejercicio anterior realizamos la tabla de de distribucion de Poisson, utilizamos herramientas que el lenguaje R nos proporciona como dpois(). Posteriormente hacemos la tabla de probabilidad de la densidad asi como de la funcion acumulada.

Teniendo estos datos podemos pasar a resolver incognitas mas especificas como la probabilidad de que un accidente ocurra al dia, por lo que la media o x tendra un valor de 1, al hacer el procedimiento de tomar la probabilidad de la tabla que hicimos anteriormente de distribucion de poisson nos da un resultado de 0.2707 y la otra incognita que nos piden resolver es la probabilidad de que ocurran menos de 3 accidentes lo que nos da un resultado de 0.85.

4.3.3 Fabricante de automóviles

Un fabricante de automóviles se preocupa por una falla en el mecanismo de freno de un modelo específico. La falla puede causar en raras ocasiones una catástrofe a alta velocidad. Suponga que la distribución del número de automóviles por año que experimentará la falla es una variable aleatoria de Poisson con λ=5 (walpole_probabilidad_2012?).

4.3.3.1 La tabla de distribución cuando media igual a 5

Se construye la tabla de distribución de veinte valores en variable aleatoria y media igual a cinco.

x <- 0:20
media <- 5

tabla <- data.frame(x=x, f.prob.x = round(dpois(x = x, lambda = media),8), f.acum.x = round(ppois(q = x, lambda = media), 8))

tabla

##     x   f.prob.x   f.acum.x
## 1   0 0.00673795 0.00673795
## 2   1 0.03368973 0.04042768
## 3   2 0.08422434 0.12465202
## 4   3 0.14037390 0.26502592
## 5   4 0.17546737 0.44049329
## 6   5 0.17546737 0.61596065
## 7   6 0.14622281 0.76218346
## 8   7 0.10444486 0.86662833
## 9   8 0.06527804 0.93190637
## 10  9 0.03626558 0.96817194
## 11 10 0.01813279 0.98630473
## 12 11 0.00824218 0.99454691
## 13 12 0.00343424 0.99798115
## 14 13 0.00132086 0.99930201
## 15 14 0.00047174 0.99977375
## 16 15 0.00015725 0.99993099
## 17 16 0.00004914 0.99998013
## 18 17 0.00001445 0.99999458
## 19 18 0.00000401 0.99999860
## 20 19 0.00000106 0.99999965
## 21 20 0.00000026 0.99999992

4.3.3.2 Gráfica de probabilidades

Se visualizan la gráficas

g1 <- ggplot(data = tabla, aes(x,f.prob.x) ) +
  geom_point(colour = "red") +
  geom_line(colour = 'blue') +
  ggtitle("Función de densidad P(x)")
#g1

g2 <- ggplot(data = tabla, aes(x,f.acum.x) ) +
  geom_point(colour = "red") +
  geom_line(colour = 'blue') +
  ggtitle("Función acumulada F(x)")
#g2

plot_grid(g1, g2)

4.3.3.3 Probabilidad a lo mas tres

¿Cuál es la probabilidad de que, a lo más, 3 automóviles por año sufran una catástrofe?

\[ P(x \leq 3) \]

\[ P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)+P(x=3) \]

x <- 3
prob <- tabla$f.acum.x[x+1]
paste("La probabiidad del valor de x<=3 es: ", round(prob * 100,4), "%")

## [1] "La probabiidad del valor de x<=3 es:  26.5026 %"

o por medio de la función ppois()

ppois(q = 3, lambda = media)

## [1] 0.2650259

4.3.3.4 Probabilidad de mas de uno

¿Cuál es la probabilidad de que más de 1 automóvil por año experimente una catástrofe?

\[ 1-F(x \leq 1) \]

\[ 1-(P(X=0)+P(x=1)) \]

x <- 1
prob <- 1 - tabla$f.acum.x[x+1]

paste("La probabiidad del valor de x>1 es: ", round(prob * 100,4), "%")

## [1] "La probabiidad del valor de x>1 es:  95.9572 %"

o bie con la función ppois() y la opción lower.tail = FALSE

ppois(q = x, lambda = media, lower.tail = FALSE)

## [1] 0.9595723

4.3.3.5 Interpretación

En este ejercicio sabemos que la distribución del número de automóviles por año que experimentará la falla es una variable aleatoria de Poisson con λ=5. A partir de ello se plantea el ejercicio y se construye la tabla de distribución de veinte valores en variable aleatoria y media igual a cinco. Despues, hacemos las graficas de probabilidades tanto de funcion como de funcion de densidad y funcion acumulada. A continuacion nos prguntan ¿Cuál es la probabilidad de que, a lo más, 3 automóviles por año sufran una catástrofe? lo que al desarrollarlo nos da un resultado de 20.50% y tambien nos pregunta ¿Cuál es la probabilidad de que más de 1 automóvil por año experimente una catástrofe? lo que nos da un resultado de 95.95%.

4.3.4 Crucero peligroso

Supóngase que se está investigando la seguridad de un crucero muy peligroso. Los archivos de la policía indican una media de cinco \(\lambda = 5\) accidentes por mes en el crucero.

El número de accidentes está distribuido conforme a la distribución de Poisson, y la división de seguridad en carreteras quiere calcular la probabilidad de exactamente \(0,1,2,3 y 4\) accidentes en un mes determinado (gestiopolis, n.d.).

4.3.4.1 Tabla de probabilidad

valores iniciales

x <- 0:10
media <- 5

Construyendo los valores de la tabla de distribución \(P(x=1,2,...,10)\). Para responder a la pregunta del ejercicio, solo interesan solo los valores \(P(1),P(2),P(3),P(4)\)

tabla <- data.frame(x = x, f.prob.x = dpois(x = x, lambda = media), f.acum.x = ppois(q = x, lambda = media))
tabla

##     x    f.prob.x    f.acum.x
## 1   0 0.006737947 0.006737947
## 2   1 0.033689735 0.040427682
## 3   2 0.084224337 0.124652019
## 4   3 0.140373896 0.265025915
## 5   4 0.175467370 0.440493285
## 6   5 0.175467370 0.615960655
## 7   6 0.146222808 0.762183463
## 8   7 0.104444863 0.866628326
## 9   8 0.065278039 0.931906365
## 10  9 0.036265577 0.968171943
## 11 10 0.018132789 0.986304731

4.3.4.2 Gráfica de probabilidad

Se construyen las gráficas de densidad o valores de probabilidad de cada variable aleatoria discreta y la función de la probabilidad acumulada respectivamente.

g1 <- ggplot(data = tabla, aes(x,f.prob.x) ) +
  geom_point(colour = "red") +
  geom_line(colour = 'blue') +
  ggtitle("Función de densidad P(x)")
#g1

g2 <- ggplot(data = tabla, aes(x,f.acum.x) ) +
  geom_point(colour = "red") +
  geom_line(colour = 'blue') +
  ggtitle("Función acumulada F(x)")
#g2

plot_grid(g1, g2)

4.3.4.3 Interpretación

En este ejercicio nos indica que la media de cinco \(\lambda = 5\) accidentes por mes en el crucero y los datos estan distribuidos en orden, es decir, 1,2,3,4,…,etc.

Despues con estos datos establecemos las variables o datos principales las cuales son x=0:10 y la media es de 5, posteriormente hacemos con ayuda de las herramientas de R la tabla de frecuencias de poisson para despues hacer las graficas de probabilidad.

4.3.5 Accidentes de cazadores

Supóngase que en un hotel donde descansan sufridos cazadores de elefantes ocurren de manera aleatoria e independiente dos accidentes de caídas con rompimiento de cadera por semana. Determinar la probabilidad de que ocurra un accidente en una semana (Quintela 2019b). \(\lambda = 2\) se necesita calcular \(P(X=1)\)

paste("La probabilidad de ocurra un accidente en una semana es : ", dpois(x = 1, lambda = 2) ," o ", round(dpois(x = 1, lambda = 2) * 100, 2), "%")

## [1] "La probabilidad de ocurra un accidente en una semana es :  0.270670566473225  o  27.07 %"

4.3.5.1 Interpretación

Este ejercicio nos dice que en un hotel para cazadores de elefantes suelen ocurrirles accidentes como caidas lo que provoca que rompan su cadera por semana, es importante saber que estos accidentes ocurren de manera aleatoria. nos pide que calculemos cual es la probabilidad de que ocurra un accidente en una semana y nos da el dato de \(\lambda=2\) por lo que utilizando la herramienta de programacion de lenguaje R (“dpois()”) nos da un resultado de 27.07% de que esto ocurra.

Referencias Bibliográficas

Anderson, David R., Dennis J. Sweeney, and Thomas A. Williams. 2008. Estadística Para Administración y Economía. 10th ed. Australia Brasil Corea España Estados Unidos Japón México Reino Unido Singapur: Cengage Learning,.

gestiopolis. n.d. "¿Qué Es La Distribución de Poisson? https://www.gestiopolis.com/que-es-la-distribucion-de-poisson/.

Mendenhall, William, Robert J. Beaver, and Barbara M. Beaver. 2010. Introducción a La Probabilidad y Estadística. 13th ed. Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.,.

Quintela, Alejandro. 2019a. Estadística básica Edulcorada. https://bookdown.org/aquintela/EBE/.

———. 2019b. Estadística básica Edulcorada "https://bookdown.org/aquintela/EBE/.

" Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers, and Sharon L. Myers. 2012. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Novena Edición. México: Pearson.