Distribuciones Discretas

1 Distribución Binomial

Mira este video para enteder conceptos claves de la distribución binomial

1.1 Programación

Ejercicio 1. Supongamos que en una población existen igual número de hombres y de mujeres y consideremos aquellas familias que tienen 4 hijos.

1. Formar la ley de la variable aleatoria que describe el número de hijos varones en dichas familias.

Solución

• Identificar los valores y crear sus respectivas variables

p = 0.5
n = 4
k = c(0,1,2,3,4)

• Calcular las probabilidades utlizando la distribución binomial

dbinom(x = k, size = n,prob = p)

## [1] 0.0625 0.2500 0.3750 0.2500 0.0625

• Para visualizar

cbind2(k,dbinom(x = k, size = n,prob = p))

##      [,1]   [,2]
## [1,]    0 0.0625
## [2,]    1 0.2500
## [3,]    2 0.3750
## [4,]    3 0.2500
## [5,]    4 0.0625

Realizar la gráfica de la distribución

p = 0.5
n = 4
k = c(0,1,2,3,4)

barplot(dbinom(x = k, size = n,prob = p), main = "Distribución Binomial")

2. Calcular la probabilidad de que en una de estas familias haya más de un hijo varón

Solución

• Identificar los valores y crear sus respectivas variables

p = 0.5
n = 4
k = c(2,3,4)

• Calcular las probabilidades utlizando la distribución binomial

dbinom(x = k, size = n,prob = p)

## [1] 0.3750 0.2500 0.0625

• Sumar las distintas probabilidades

sum(dbinom(x = k, size = n,prob = p))

## [1] 0.6875

• Otra forma de resolver el problema es utilizando la función pbinom

p = 0.5
n = 4
k = 1

# P(X <= k)
pbinom(q = k, size = n, prob = p)

## [1] 0.3125

# P(X > k)
1 - pbinom(q = k, size = n, prob = p)

## [1] 0.6875

Ejercicio 2. La probabilidad de que un estudiante obtenga el título de economista es de 0.3. Calcule la probabilidad de que de un grupo de siete estudiantes matriculados en primer curso:

1. los siete finalicen la carrera;

• Identificar los valores y crear sus respectivas variables

p = 0.3
n = 7
k = 7

• Calcular las probabilidades utlizando la distribución binomial

dbinom(x = k, size = n,prob = p)

## [1] 0.0002187

2. al menos dos acaben la carrera;

• Para resolver el problema se utiliza la función pbinom

p = 0.3
n = 7
k = 2

# P(X > k)
1 - pbinom(q = k-1, size = n, prob = p)

## [1] 0.6705828

3. dos o menos acaben la carrera;

• Para resolver el problema se utiliza la función pbinom

p = 0.3
n = 7
k = 2

# P(X <= k)
pbinom(q = k, size = n, prob = p)

## [1] 0.6470695

2 Distribución Hipergeométrica

2.1 Programación

Ejercicio 1. En un centro de reparación de teléfonos celulares, de 13 aparatos iguales, 7 son buenos. De ellos, escogieron 9 al azar

1. ¿Cuál es la probabilidad de que entre los celulares seleccionados hayan 5 buenos?;

Solución

• Identificar los valores y crear sus respectivas variables

# número de bolas blancas
k = 4
# número de bolas totales
N = 13
# número de bolas de interes
m = 7
# número de bolas restantes
n = N - m
# número de bolas que se sacan de la urna
r = 9

• Calcular la probabilidad utlizando la distribución hipergeométrica

dhyper(x = k,m = m,n = n,k = r)

## [1] 0.2937063

• Realizar la gráfica de la distribución

# número de bolas blancas
k = c(0,1,2,3,4,5,6,7)
# número de bolas totales
N = 13
# número de bolas de interes
m = 7
# número de bolas restantes
n = N - m
# número de bolas que se sacan de la urna
r = 9

barplot(dhyper(x = k,m = m,n = n,k = r), main = "Distribución Hipergeométrica")

2. Calculemos la esperanza

Solución

• Identificar los valores y crear sus respectivas variables

N = 13
r = 7
m = 9

• Calcular la esperanza

E = r*m/N
E

## [1] 4.846154

• Calcular la Varianza

V = r*(m/N)*(n/N)*((N-r)/(N-1))
V

## [1] 1.118343

• Calcular la deviación estándar

S = sqrt(V)
S

## [1] 1.057517

Ejercicio 2. Hay que formar un comité de seis miembros de un grupo de seis hombres y ocho mujeres. Si los miembros del comité se eligen aleatoriamente.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente la mitad sean mujeres?

• Identificar los valores y crear sus respectivas variables

# número de bolas blancas
k = 3
# número de bolas totales
N = 14
# número de bolas de interes
m = 8
# número de bolas restantes
n = N - m
# número de bolas que se sacan de la urna
r = 6

• Calcular la probabilidad utlizando la distribución hipergeométrica

dhyper(x = k,m = m,n = n,k = r)

## [1] 0.3729604

2. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos cuatro sean mujeres?

# número de bolas blancas
k = 4
# número de bolas totales
N = 14
# número de bolas de interes
m = 8
# número de bolas restantes
n = N - m
# número de bolas que se sacan de la urna
r = 6

• Calcular la probabilidad utlizando la distribución hipergeométrica

1 - phyper(q = k-1,m = m,n = n,k = r)

## [1] 0.4708625

3. ¿Cuál es la probabilidad de que más de cuatro sean mujeres?

# número de bolas blancas
k = 4
# número de bolas totales
N = 14
# número de bolas de interes
m = 8
# número de bolas restantes
n = N - m
# número de bolas que se sacan de la urna
r = 6

• Calcular la probabilidad utlizando la distribución hipergeométrica

1 - phyper(q = k,m = m,n = n,k = r)

## [1] 0.1212121

4. ¿Cuál es la probabilidad de que hasta cuatro sean mujeres?

# número de bolas blancas
k = 4
# número de bolas totales
N = 14
# número de bolas de interes
m = 8
# número de bolas restantes
n = N - m
# número de bolas que se sacan de la urna
r = 6

• Calcular la probabilidad utlizando la distribución hipergeométrica

phyper(q = k,m = m,n = n,k = r)

## [1] 0.8787879

3 Distribución Poisson

3.1 Programación

Ejercicio 1. Un vendedor de zapatillas deportivas mediante redes sociales ha notado que recibe, por término medio, 5.2 llamadas telefónicas diarias de potenciales compradores. Si las llamadas siguen una distribución de Poisson, ¿cuál es la probabilidad de que:

1. reciba tres llamadas en un día;

Solución

• Identificar los valores y crear sus respectivas variables

lamda = 5.2
k = 3

• Calcular la probabilidad utlizando la distribución poisson

dpois(x = k,lambda = lamda)

## [1] 0.1292788

2. reciba hasta tres llamadas en un día

lamda = 5.2
k = 3
ppois(q = k,lambda = lamda)

## [1] 0.2380655

3. reciba más de tres llamadas en un día

lamda = 5.2
k = 3
1 - ppois(q = k,lambda = lamda)

## [1] 0.7619345

4. reciba por lo menos tres llamadas en un día

lamda = 5.2
k = 3
1 - ppois(q = k-1,lambda = lamda)

## [1] 0.8912133

5. Calculemos la esperanza y la varianza

• Identificar los valores y crear sus respectivas variables

lamda = 5.2

• Calcular la esperanza

E = lamda
E

## [1] 5.2

• Calcular la Varianza

V = lamda
V

## [1] 5.2

• Calcular la deviación estándar

S = sqrt(V)
S

## [1] 2.280351