1 Objetivo

Calcular probabilidades y probabilidades acumuladas bajo la fórmula de distribución de Poisson.

2 Descripción

Realizar distribuciones de probabilidad conforme a la distribución de probabilidad de Poisson a partir de valores iniciales dado en cada ejercicio.

Se generan las tablas de probabilidad conforme a distribución Poisson, se identifican los valores de probabilidad cuando la variable discreta $x$ tenga algún exactamente algún valor, $≤$ a algún valor o $>$ o $≥$, entre otros.

Se utilizan las funciones dpois() para la función de probabilidad o densidad y ppois() para la probabilidad acumulada.

También se utiliza la función f.prob.poisson() que ha sido programada con anticipación y calcula la probabilidad de un valor de variable aleatoria discreta. Esta función se encuentra en el enlace: https://github.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/blob/master/funciones/funciones.distribuciones.r

3 Fundamento teórico

Otra variable aleatoria discreta que tiene numerosas aplicaciones prácticas es la variable aleatoria de Poisson. Su distribución de probabilidad da un buen modelo para datos que representa el número de sucesos de un evento especificado en una unidad determinada de tiempo o espacio (Mendenhall, Beaver, and Beaver 2010).

Los experimentos que dan valores numéricos de una variable aleatoria X, el número de resultados que ocurren durante un intervalo dado o en una región específica, se llaman experimentos de Poisson (Walpole, Myers, and Myers 2012)

Un proceso de Poisson es un experimento aleatorio donde se observa la aparición de un suceso concreto (éxito) sobre un soporte continuo (generalmente el tiempo). Además, debe cumplirse que los sucesos ocurren de forma independiente y con media estable (el número medio de sucesos por unidad de medida es constante).

Ejemplos interesantes de procesos de Poisson son: clientes que acuden a un mostrador por unidad de tiempo, llamadas por unidad de tiempo a una centralita, defectos por metro de cable, baches por kilómetro de autopista, entre otros.(Quintela 2019a).

Esta distribución, suele usarse para estimar el número de veces que sucede un hecho determinado (ocurrencias media) en un intervalo de tiempo o de espacio. Por ejemplo:

La variable de interés va desde el número de automóviles que llegan (llegadas) a un lavado de coches en una hora o,
El número de reparaciones necesarias en 10 kms. de una autopista o,
El número de fugas en 100 kms.de tubería, entre otros
Número de asistencia promedio de estudiantes en una clase virtual durante un mes (Anderson, Sweeney, and Williams 2008).

3.1 Fórmula

$f(x) = \frac{{e^{ - \mu } \mu ^x }}{{x!}}$

en donde:

$f(x)$ es la función de probabilidad para valores discretos de $x=0,1,2,3..,n$.
$$ es el valor medio esperado en cierto lapso de tiempo. Algunas veces expresado como $λ$
$x$ es la variable aleatoria. Es una variable aleatoria discreta $(x=0,1,2,...)$
ee valor constante, es la base de los logaritmos naturales $2.71728.$ Puede generarse por medio de exp(1).

Propiedades de un evento Poisson:

La probabilidad de ocurrencia es la misma para cualquiera de dos intervalos de la misma longitud.
La ocurrencia o no ocurrencia en cualquier intervalo es independiente de la ocurrencia o no ocurrencia en cualquier otro intervalo.

3.2 Esperanza, varianza y desviación estándard

Los valores de la esperanza (o media) y de la varianza para la distribución de Poisson son respectivamente:

El valor medio o esperanza:

$E(X)=λ$

La varianza:

$Var(X) = \sigma^{2} = \lambda$

La desviación:

$\sigma = \sqrt{Var(x)} = \sqrt{\sigma^{2}}$

4 Desarrollo

El desarrollo de los ejercicios comienza con la carga de librerías luego una serie de ejercicios relacionados con la distribución de Poisson, de cada uno de ellos se muestra la tabla de probabilidad se calculan algunas de sus probabilidades y se determina la esperanza, la varianza y las desviaciones. Al final se busca la interpretación de cada ejercicio.

4.1 Cargar librerías

Para nuevas librerías se requiere instalar con anticipación, ejemplo, install.packages(“cowplot”).

library(dplyr)
library(ggplot2)
library(mosaic) # Gráficos de distribuciones
library(cowplot) #Imágenes en el mismo renglón

options(scipen=999)

4.2 Cargar funciones

source("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/funciones/funciones.distribuciones.r")

4.3 Ejercicios

Se describen ejercicios en donde se encuentra la función de distribución

Llegada de automóviles a rampa de un cajero

4.3.1 Llegadas de automóviles a rampa de un cajero

Suponga que desea saber el número de llegadas, en un lapso de 15 minutos, a la rampa del cajero automático de un banco.(anderson_estadistica_2008?)

Si se puede suponer que la probabilidad de llegada de los automóviles es la misma en cualesquiera de dos lapsos de la misma duración y si la llegada o no–llegada de un automóvil en cualquier lapso es independiente de la llegada o no–llegada de un automóvil en cualquier otro lapso, se puede aplicar la función de probabilidad de Poisson.

Dichas condiciones se satisfacen y en un análisis de datos pasados encuentra que el número promedio de automóviles que llegan en un lapso de 15 minutos es igual a 10;

Aquí la variable aleatoria es xx número de automóviles que llegan en un lapso de 15 minutos.

4.3.1.1 Tabla de probabilidad

Valores iniciales

x <- 0:30 # Valores de variables aleatorias
media <- 10 # Llegada de automóviles

Se construye la tabla con la función cargada del enlace: https://github.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/blob/master/funciones/funciones.distribuciones.r

tabla1 <- data.frame(x=x, f.prob.x = f.prob.poisson(media, x))

tabla1 <- cbind(tabla1, f.acum.x = cumsum(tabla1$f.prob.x))

tabla1

##     x        f.prob.x      f.acum.x
## 1   0 0.0000453999298 0.00004539993
## 2   1 0.0004539992976 0.00049939923
## 3   2 0.0022699964881 0.00276939572
## 4   3 0.0075666549604 0.01033605068
## 5   4 0.0189166374010 0.02925268808
## 6   5 0.0378332748021 0.06708596288
## 7   6 0.0630554580035 0.13014142088
## 8   7 0.0900792257192 0.22022064660
## 9   8 0.1125990321490 0.33281967875
## 10  9 0.1251100357211 0.45792971447
## 11 10 0.1251100357211 0.58303975019
## 12 11 0.1137363961101 0.69677614630
## 13 12 0.0947803300918 0.79155647639
## 14 13 0.0729079462244 0.86446442262
## 15 14 0.0520771044460 0.91654152707
## 16 15 0.0347180696307 0.95125959670
## 17 16 0.0216987935192 0.97295839022
## 18 17 0.0127639961878 0.98572238640
## 19 18 0.0070911089932 0.99281349540
## 20 19 0.0037321626280 0.99654565802
## 21 20 0.0018660813140 0.99841173934
## 22 21 0.0008886101495 0.99930034949
## 23 22 0.0004039137043 0.99970426319
## 24 23 0.0001756146541 0.99987987785
## 25 24 0.0000731727725 0.99995305062
## 26 25 0.0000292691090 0.99998231973
## 27 26 0.0000112573496 0.99999357708
## 28 27 0.0000041693887 0.99999774647
## 29 28 0.0000014890674 0.99999923553
## 30 29 0.0000005134715 0.99999974900
## 31 30 0.0000001711572 0.99999992016

Se construye la tabla2 con las funciones dpois() y ppois() , los valores deben ser los mismos que la tabla1.

tabla2 <- data.frame(x=x, f.prob.x = dpois(x = x, lambda = media))

tabla2 <- cbind(tabla2, f.acum.x = ppois(q = x, lambda = media))

tabla2

##     x        f.prob.x      f.acum.x
## 1   0 0.0000453999298 0.00004539993
## 2   1 0.0004539992976 0.00049939923
## 3   2 0.0022699964881 0.00276939572
## 4   3 0.0075666549604 0.01033605068
## 5   4 0.0189166374010 0.02925268808
## 6   5 0.0378332748021 0.06708596288
## 7   6 0.0630554580035 0.13014142088
## 8   7 0.0900792257192 0.22022064660
## 9   8 0.1125990321490 0.33281967875
## 10  9 0.1251100357211 0.45792971447
## 11 10 0.1251100357211 0.58303975019
## 12 11 0.1137363961101 0.69677614630
## 13 12 0.0947803300918 0.79155647639
## 14 13 0.0729079462244 0.86446442262
## 15 14 0.0520771044460 0.91654152707
## 16 15 0.0347180696307 0.95125959670
## 17 16 0.0216987935192 0.97295839022
## 18 17 0.0127639961878 0.98572238640
## 19 18 0.0070911089932 0.99281349540
## 20 19 0.0037321626280 0.99654565802
## 21 20 0.0018660813140 0.99841173934
## 22 21 0.0008886101495 0.99930034949
## 23 22 0.0004039137043 0.99970426319
## 24 23 0.0001756146541 0.99987987785
## 25 24 0.0000731727725 0.99995305062
## 26 25 0.0000292691090 0.99998231973
## 27 26 0.0000112573496 0.99999357708
## 28 27 0.0000041693887 0.99999774647
## 29 28 0.0000014890674 0.99999923553
## 30 29 0.0000005134715 0.99999974900
## 31 30 0.0000001711572 0.99999992016

4.3.1.2 Gráfica de probabilidad

Con la función ggplot() se hace la curva de la distribución, en rojo los puntos y en azul la curva o linea con cualquiera de las dos tablas, tabla1 o tabla2.

En g1 se construye la gráfica de densidad $P(x)$ y en g2 se construye la gráfica de a probabilidad acumulada $F(x)$. Las dos gráficas se construyen.

g1 <- ggplot(data = tabla2, aes(x,f.prob.x) ) +
  geom_point(colour = "red") +
  geom_line(colour = 'blue') +
  ggtitle("Función de densidad P(x)")
#g1

g2 <- ggplot(data = tabla2, aes(x,f.acum.x) ) +
  geom_point(colour = "red") +
  geom_line(colour = 'blue') +
  ggtitle("Función acumulada F(x)")
#g2

plot_grid(g1, g2)

4.3.1.3 Probabilidad de que lleguen cinco

Si la administración desea saber la probabilidad de que lleguen exactamente $5$ automóviles en 15 minutos, $P(x=5).$

Utlizando la función f.prob.poisson() creada que se encuentra en el enlace https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/funciones/funciones.distribuciones.r y calcula la función de probabilidad conforme a la fórmula.

x <- 5

prob <- round(f.prob.poisson(media, x),8)

paste("La probabilidad de que sean exactamente 5 automóviles es de : ", prob)

## [1] "La probabilidad de que sean exactamente 5 automóviles es de :  0.03783327"

Utilizando la función dpois() del paquete base de R

prob2 <- round(dpois(x = x, lambda = media),4)
paste("La probabilida de que sean exactamente 5 automóviles es de : ", prob2)

## [1] "La probabilida de que sean exactamente 5 automóviles es de :  0.0378"

4.3.1.4 Probabilidad de que sea x menor o igual a diez

$P(x≤10)=P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)+P(x=3)+...+P(x=10)$ o la probabilidad acumulada hasta 10 F(x=10)

tabla1$f.acum[10+1]

## [1] 0.5830398

paste("La probabilidad de que el valor de x sea menor o igual a 10 es: ", tabla1$f.acum[10+1], " o ", round(tabla1$f.acum[10+1] * 100,4), "%" )

## [1] "La probabilidad de que el valor de x sea menor o igual a 10 es:  0.583039750192986  o  58.304 %"

Con ppois() que determina el valor acumulado

ppois(q = 10, lambda = media)

## [1] 0.5830398

con la función sum() y dpois()

sum(dpois(x = 0:10, lambda = media))

## [1] 0.5830398

4.3.1.5 Probabilidad con media diferente

En el ejemplo anterior se usó un lapso de 15 minutos, pero también se usan otros lapsos. Suponga que desea calcular la probabilidad de una llegada en un lapso de 3 minutos.

Regla de tres:

$10=15$

$?=3$

media <- (3 * 10) / 15
media

## [1] 2

Entonces, la probabilidad de xx llegadas en un lapso de 3 minutos tiene una media $μ=2$ está dada por la siguiente nueva función de probabilidad de Poisson.

$f(x) = \frac{{e^{ - 2} 2^x }}{{x!}}$

Entonces nueva probabilidad para cuando x=5

prob <- round(dpois(x = 5, lambda = 2),4)

paste("La probabilidad cuando x = 5 y media igual a 2 es del:", prob * 100, "%")

## [1] "La probabilidad cuando x = 5 y media igual a 2 es del: 3.61 %"

4.3.1.6 Valor esperado

La esperanza o valor esperado es igual a: 1010 dado los valores iniciales del ejercicio

4.3.1.7 Varianza y desviación

La varianza es 10 y la desviación estándard es: 3.1623

4.3.1.8 Interpretación

El primer problema acerca del tema de la distribucion de Poisson nos dice que es la llegada de unos automoviles a un cajero automatico, para los cual sera en un lapso de 15 minutos. Tambien nos dice que en ese lapso de tiempo llegaran 10 automoviles, por lo cual procedemos a sacar los valores de x la cual es la variable aleatoria que sera igual al numero de automoviles que llegaran en el determinado tiempo. Una vez dados los valores construimos la tabla de distribuciones o probabilidades la cual la funcion que nos ayuda a facilitar este proceso la cual es cbind(), que nos ayuda a sacar la frecuencia acumulada; de igual manera se puede hacer la tabla con las funciones dpois() y ppois() que de igual manera nos ayudan a facilitar este proceso. Ya que tenemos nuestras tablas con nuestro paquete de ggplot que no ayudara a graficar, realizamos las graficas respectivas para poder observar el comportamiento de estas. Ahora nuestro primer problema se viene a continuacion y nos pregunta que cual seria la probabilidad de que lleguen 5 automoviles, entonces hacemos nuestra variable aleatoria $x$ igual a 5, para poder utilizar la funcion dada por nuestro profesor f.prob.poisson() creada que se encuentra en el enlace https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/funciones/funciones.distribuciones.r y que calcula la función de probabilidad conforme a la fórmula. La cual nos deja como resultado 0.037 como se muestra a continuacion:

"La probabilidad de que sean exactamente 5 automóviles es de :  0.03783327"

Y ya obtenidos esos datos ahora sacamos el valor esperado que sera igual a 10 ya que lo vemos al principoo del ejercicio; la varianza y la desviacion que utilizamos sus formulas respectivas para que nos des un resultado equivalente a 10 y 3.16 respectivamente.

4.3.2 Accidentes en industria

En ciertas instalaciones industriales los accidentes ocurren con muy poca frecuencia. Se sabe que la probabilidad de un accidente en cualquier día dado es 0.0050.005 y los accidentes son independientes entre sí (walpole_probabilidad_2012?).

La variable media es el números de accidentes promedio por dia. xx será los valores de la variable aleatoria.

4.3.2.1 Tabla de distribución

Valores iniciales

n <- 365 # Dias del año
prob <- 0.005

media <- n * prob   # media al año
media <- round(media, 0)
media

## [1] 2

x <- 0:10

La media es 2

La variable aleatoria son los dias desde $x=1$…hasta $x=n$

La tabla de distribución de probablidad de Poisson con media igual a 2 usando dpois() y cumsum()

tabla <- data.frame(x=x, f.prob.x = round(dpois(x = x, lambda = media),4))

tabla <- cbind(tabla, f.acum.x = cumsum(tabla$f.prob.x))

tabla

##     x f.prob.x f.acum.x
## 1   0   0.1353   0.1353
## 2   1   0.2707   0.4060
## 3   2   0.2707   0.6767
## 4   3   0.1804   0.8571
## 5   4   0.0902   0.9473
## 6   5   0.0361   0.9834
## 7   6   0.0120   0.9954
## 8   7   0.0034   0.9988
## 9   8   0.0009   0.9997
## 10  9   0.0002   0.9999
## 11 10   0.0000   0.9999

4.3.2.2 Gráfica de probabilidad

Se construyen tanto la gráfica de densidad (lado izquierdo) como la gráfica de función acumulada (lado derecho)

g1 <- ggplot(data = tabla, aes(x,f.prob.x) ) +
  geom_point(colour = "red") +
  geom_line(colour = 'blue') +
  ggtitle("Función de densidad P(x)")
#g1

g2 <- ggplot(data = tabla, aes(x,f.acum.x) ) +
  geom_point(colour = "red") +
  geom_line(colour = 'blue') +
  ggtitle("Función acumulada F(x)")
#g2

plot_grid(g1, g2)

4.3.2.3 Probabilidad de un accidente al dia

¿Cuál es la probabilidad de que en cualquier periodo dado habrá un accidente en un día?

$P(x=1)$
Recorddar que el índice de la tabla empieza en el valor cero de tal forma que se necesita el siguiente valor x+1 en la tabla:

x <- 1
prob <- tabla$f.prob.x[x+1]
paste("La probabiidad del valor de x=1 es: ", prob)

## [1] "La probabiidad del valor de x=1 es:  0.2707"

o mediante la función dpois() y

dpois(x = 1, lambda = media)

## [1] 0.2706706

4.3.2.4 Probabilidad de tres o menos

¿Cuál es la probabilidad de que haya a lo más tres días con un accidente?

El indice en la taba comienza en cero

x <- 3
prob <- tabla$f.acum.x[x+1]
paste("La probabiidad del valor de x<=3 es: ", prob)

## [1] "La probabiidad del valor de x<=3 es:  0.8571"

Función acumulada $F(x=3)$ o lo que es lo mismo P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)+P(x=3)

ppois(q = 3, lambda = media)

## [1] 0.8571235

4.3.2.5 Interpretación

En este segundo problema acerca de la Distribucion de Poisson realizamos los mismos pasos que realizamos en el ejercicio anterior como lo pueden ver en la pasada interpretacion. El problema nos menciona que una industria tiene una probabilidad de 0.005 en cualquier dia de que ocurra un accidente, por lo que tomaremos como valor de la probabilidad igual a 0.005, mas una variable que sea igual a 365 que es el numero de dias que tiene un ano y x los valores de la variable aleatoria. Para poder sacar la media tendremos que multiplicar la probabilidad por la variable de los dias y obtendfremos como resultado una media de 2, se toma la variable aleatoria $x$ que sea de 0 a 10 dias por lo que acontinuacion se realizaran la tablas de respectivos datos.

Una vez dados los valores construimos la tabla de distribuciones o probabilidades la cual la funcion que nos ayuda a facilitar este proceso la cual es cbind(), que nos ayuda a sacar la frecuencia acumulada; de igual manera se puede hacer la tabla con las funciones dpois() y ppois() que de igual manera nos ayudan a facilitar este proceso. Ya que tenemos nuestras tablas con nuestro paquete de ggplot que no ayudara a graficar, realizamos las graficas respectivas para poder observar el comportamiento de estas.

Ahora nuestro primer problema se viene a continuacion y nos pregunta que cual seria la probabilidad de que ocurra un accidente por dia, entonces hacemos nuestra variable aleatoria $x$ igual a 1, recordamos que el índice de la tabla empieza en el valor cero de tal forma que se necesita el siguiente valor x+1 en la tabla, y obtendremos una probabilidad igual a 0.2707 que multiplicada por 100 sera igual a 27.07 % de probabilidad lo cual se podria decir que es algo alta la probabilidad de que ocurra un accidente.

4.3.3 Fabricante de automóviles

Un fabricante de automóviles se preocupa por una falla en el mecanismo de freno de un modelo específico. La falla puede causar en raras ocasiones una catástrofe a alta velocidad. Suponga que la distribución del número de automóviles por año que experimentará la falla es una variable aleatoria de Poisson con $λ=5$ (walpole_probabilidad_2012?).

4.3.3.1 La tabla de distribución cuando media igual a 5

Se construye la tabla de distribución de veinte valores en variable aleatoria y media igual a cinco.

x <- 0:20
media <- 5

tabla <- data.frame(x=x, f.prob.x = round(dpois(x = x, lambda = media),8), f.acum.x = round(ppois(q = x, lambda = media), 8))

tabla

##     x   f.prob.x   f.acum.x
## 1   0 0.00673795 0.00673795
## 2   1 0.03368973 0.04042768
## 3   2 0.08422434 0.12465202
## 4   3 0.14037390 0.26502592
## 5   4 0.17546737 0.44049329
## 6   5 0.17546737 0.61596065
## 7   6 0.14622281 0.76218346
## 8   7 0.10444486 0.86662833
## 9   8 0.06527804 0.93190637
## 10  9 0.03626558 0.96817194
## 11 10 0.01813279 0.98630473
## 12 11 0.00824218 0.99454691
## 13 12 0.00343424 0.99798115
## 14 13 0.00132086 0.99930201
## 15 14 0.00047174 0.99977375
## 16 15 0.00015725 0.99993099
## 17 16 0.00004914 0.99998013
## 18 17 0.00001445 0.99999458
## 19 18 0.00000401 0.99999860
## 20 19 0.00000106 0.99999965
## 21 20 0.00000026 0.99999992

4.3.3.2 Gráfica de probabilidades

Se visualizan la gráficas

g1 <- ggplot(data = tabla, aes(x,f.prob.x) ) +
  geom_point(colour = "red") +
  geom_line(colour = 'blue') +
  ggtitle("Función de densidad P(x)")
#g1

g2 <- ggplot(data = tabla, aes(x,f.acum.x) ) +
  geom_point(colour = "red") +
  geom_line(colour = 'blue') +
  ggtitle("Función acumulada F(x)")
#g2

plot_grid(g1, g2)

4.3.3.3 Probabilidad a lo mas tres

¿Cuál es la probabilidad de que, a lo más, 3 automóviles por año sufran una catástrofe?

$P(X≤3)$

P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)

x <- 3
prob <- tabla$f.acum.x[x+1]
paste("La probabiidad del valor de x<=3 es: ", round(prob * 100,4), "%")

## [1] "La probabiidad del valor de x<=3 es:  26.5026 %"

4.3.3.4 Probabilidad de mas de uno

¿Cuál es la probabilidad de que más de 1 automóvil por año experimente una catástrofe?

$1−F(X≤1) ===== 1−F(X≤1)1−(P(X=0)+P(x=1))$

x <- 1
prob <- 1 - tabla$f.acum.x[x+1]

paste("La probabiidad del valor de x>1 es: ", round(prob * 100,4), "%")

## [1] "La probabiidad del valor de x>1 es:  95.9572 %"

4.3.3.5 Interpretación

En este ejercicio numero 3 podemos ver que nos menciona que un fabricante de automoviles teme la posibilidad de que algunos autos de cierto modelo presenten problemas en el sistema de frenos del mismo Por lo cual el problema nos menciona que la distribución del número de automóviles por año que experimentará la falla es una variable aleatoria de Poisson el valor medio esperado es igual a 5 o en otra manera expresada $λ=5$

Entonces el proble nos pide que hagamos la tabla de probabilidad con una media igual a 5, hacemos que vaya de 0 a 20 en x para poder observar las probabilidades, con la cual utilizaremos data.frame() para hacer esto de manera mas practica. Una vez obtenidos los datos y reflejadas las graficas, pasamos a hacer la primer probabilidad que se pide, y nos dice que cual es la probabilidad de que solo 3 autos por ano sufran este fallo entonces hacemos $P(X≤3)$ ya que es lo que nos menciona y $P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)$ el cual nos dara como resultado un 0.2650 de probabilidad multiplicado por 100 nos dara un 26.50 % de probabilidad, por lo que se dice que puede ser que algunos carros puedan sufrir este fallo.

4.3.4 Crucero peligroso

Supóngase que se está investigando la seguridad de un crucero muy peligroso. Los archivos de la policía indican una media de cinco $λ=5$ accidentes por mes en el crucero.

El número de accidentes está distribuido conforme a la distribución de Poisson, y la división de seguridad en carreteras quiere calcular la probabilidad de exactamente 0,1,2,3 y 40,1,2,3 y 4 accidentes en un mes determinado (gestiopolis, n.d.).

4.3.4.1 Tabla de probabilidad

Valores iniciales

x <- 0:10
media <- 5

Construyendo los valores de la tabla de distribución $P(x=0,1,2…10)$. Para responder a la pregunta del ejercicio, solo interesan solo los valores $P(0), P(1), P(2), P(3), P(4)$

tabla <- data.frame(x = x, f.prob.x = dpois(x = x, lambda = media), f.acum.x = ppois(q = x, lambda = media))
tabla

##     x    f.prob.x    f.acum.x
## 1   0 0.006737947 0.006737947
## 2   1 0.033689735 0.040427682
## 3   2 0.084224337 0.124652019
## 4   3 0.140373896 0.265025915
## 5   4 0.175467370 0.440493285
## 6   5 0.175467370 0.615960655
## 7   6 0.146222808 0.762183463
## 8   7 0.104444863 0.866628326
## 9   8 0.065278039 0.931906365
## 10  9 0.036265577 0.968171943
## 11 10 0.018132789 0.986304731

4.3.4.2 Gráfica de probabilidad

Se construyen las gráficas de densidad o valores de probabilidad de cada variable aleatoria discreta y la función de la probabilidad acumulada respectivamente.

g1 <- ggplot(data = tabla, aes(x,f.prob.x) ) +
  geom_point(colour = "red") +
  geom_line(colour = 'blue') +
  ggtitle("Función de densidad P(x)")
#g1

g2 <- ggplot(data = tabla, aes(x,f.acum.x) ) +
  geom_point(colour = "red") +
  geom_line(colour = 'blue') +
  ggtitle("Función acumulada F(x)")
#g2

plot_grid(g1, g2)

4.3.4.3 Interpretación

En el ejercicio numero 4 de esta distribucion de Poisson nos menciona acerca de un crucero que esta siendo investigado ya que es muy peligroso, el ejercicio nos menciona que la media es igual a 5 o expresada de otra manera $λ=5$ accidentes por mes.

Tambien menciona que se quiere calcular la probilidad entre 0 a 4 accidentes en un mes determinado por lo cual esa sera nuestra variable aleatoria $x$. Realizamos la tabla de probabilidades con nuestros valores anteriores y obtendremos nuestro resultado

##     x    f.prob.x    f.acum.x
## 1   0 0.006737947 0.006737947
## 2   1 0.033689735 0.040427682
## 3   2 0.084224337 0.124652019
## 4   3 0.140373896 0.265025915
## 5   4 0.175467370 0.440493285

Y seria todo lo que realizamos en este ejercicio.

4.3.5 Accidentes de cazadores

Supóngase que en un hotel donde descansan sufridos cazadores de elefantes ocurren de manera aleatoria e independiente dos accidentes de caídas con rompimiento de cadera por semana. Determinar la probabilidad de que ocurra un accidente en una semana (Quintela 2019b).$λ=2$ se necesita calcular P(x=1)

paste("La probabilidad de ocurra un accidente en una semana es : ", dpois(x = 1, lambda = 2) ," o ", round(dpois(x = 1, lambda = 2) * 100, 2), "%")

## [1] "La probabilidad de ocurra un accidente en una semana es :  0.270670566473225  o  27.07 %"

4.3.5.1 Interpretación

Este ultimo ejercicio acerca de la distribucion de Poisson nos habla acerca de un accidente que les ocurre a unos cazadores, nos pide que calculemos la probabilidad de que ocurra un accidente en una semana, el problema ya nos dice que la variable aleatoria e independiente es igual a 2 ya que nos dice que ocurren 2 accidenter por lo menos en 1 semana, entonces tendremos que calcular P(x=1) por lo que usamos la funcion dpois() sustituyendo los datos dados por el problema x=1 y $λ=2$ la cual nos dara como resultado igual a 0.27 pero como es probabilidad la multiplicamos por 100 y nos dara un resultado de 27% y asi de rapido y sencillo se acabo este ejercicio.

Referencias Bibliográficas

Anderson, David R., Dennis J. Sweeney, and Thomas A. Williams. 2008. Estadística Para Administración y Economía. 10th ed. Australia Brasil Corea España Estados Unidos Japón México Reino Unido Singapur: Cengage Learning,.

gestiopolis. n.d. “¿Qué Es La Distribución de Poisson?” https://www.gestiopolis.com/que-es-la-distribucion-de-poisson/.

Mendenhall, William, Robert J. Beaver, and Barbara M. Beaver. 2010. Introducción a La Probabilidad y Estadística. 13th ed. Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.,.

Quintela, Alejandro. 2019a. Estadística básica Edulcorada. https://bookdown.org/aquintela/EBE/.

———. 2019b. Estadística básica Edulcorada. https://bookdown.org/aquintela/EBE/.

Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers, and Sharon L. Myers. 2012. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Novena Edición. México: Pearson.

Caso 17. Distribuciones de Poisson

Guillermo Marin Ramirez

5/19/2021

1 Objetivo

2 Descripción

3 Fundamento teórico

3.1 Fórmula

3.2 Esperanza, varianza y desviación estándard

4 Desarrollo

4.1 Cargar librerías

4.2 Cargar funciones

4.3 Ejercicios

4.3.1 Llegadas de automóviles a rampa de un cajero

4.3.1.1 Tabla de probabilidad

4.3.1.2 Gráfica de probabilidad

4.3.1.3 Probabilidad de que lleguen cinco

4.3.1.4 Probabilidad de que sea x menor o igual a diez

4.3.1.5 Probabilidad con media diferente

4.3.1.7 Varianza y desviación

4.3.1.8 Interpretación

4.3.2 Accidentes en industria

4.3.2.1 Tabla de distribución

4.3.2.2 Gráfica de probabilidad

4.3.2.3 Probabilidad de un accidente al dia

4.3.2.4 Probabilidad de tres o menos

4.3.2.5 Interpretación

4.3.3 Fabricante de automóviles

4.3.3.1 La tabla de distribución cuando media igual a 5

4.3.3.2 Gráfica de probabilidades

4.3.3.3 Probabilidad a lo mas tres

4.3.3.5 Interpretación

4.3.4 Crucero peligroso

4.3.4.1 Tabla de probabilidad

4.3.4.2 Gráfica de probabilidad

4.3.4.3 Interpretación

4.3.5 Accidentes de cazadores

Referencias Bibliográficas