Solución al cuestionario 1

Solución problemas ejercicio 1

- a — En un ensayo clínico controlado acerca del uso de un fármaco derivado de la cannabis para el dolor causado por neuropatía diabética las 29 personas aleatorizadas al grupo control tuvieron un promedio de edad de 54.4 años y las 24 personas aleatorizadas al grupo de tratamiento tuvieron un promedio de edad de 58.2 años, con desviaciones estándar de 11.6 y 8.8 años. ¿Hubo una diferencia detectable en las edades de estos dos grupos?
Se utilizará una prueba de t para muestras independientes con varianzas iguales para determinar si hay diferencia entre los grupos.

\(t = \frac{\bar x_1 - \bar x_2}{\sqrt{s^2/n_1) + (s^2/n_2)}}\)

Varianza conjunta (s²)

\(s^2 = \frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}\)

\(s^2 = \frac{(29-1)11.6^2 + (24-1)8.8^2}{29+24-2}\)

\(s^2 = \frac{3767.68 + 1782.12}{51}\)

s² = 108.8

\(t = \frac{54.4 - 58.2}{\sqrt{(108.8/29) + (108.8/24)}}\)

\(t = \frac{-3.8}{\sqrt{(3.75 + 4.53)}}\)

t = -1.32

\(gl = n_1 + n_2 - 2\)

gl = 51

Al buscar en tabla de t

0.20 < p < 0.10

pt(-1.32, df = 51)*2

## [1] 0.1927293

Con un nivel de alfa de 0.05 se acepta la hipótesis nula de que ambos grupos son iguales.

b — La hipotermia es una complicación frecuente en recién nacidos de peso extremadamente bajo. Unaidea para mantener la temperatura de estos recién nacidos es envolverlos en bolsas de polietileno en la sala de expulsión hasta su traslado a la unidad de cuidados intensivos neonatales. Patrick Carroll y colegas revisaron expedientes y encontraron 70 recién nacidos con control de temperatura con bolsas de polietileno y 70 en los que se controló su temperatura por métodos tradicionales. La temperatura de los niños calentados con bolsas de polietileno fue de 36°C y de 35°C en los niños calentados por métodos tradicionales. La desviación estándar de ambos grupos fue de 1°C. ¿Existe diferencia en la temperatura entre estos dos grupos?

Se utilizará una prueba de t para muestras independientes con varianzas iguales para determinar si hay diferencia entre los grupos.

\(t = \frac{\bar x_1 - \bar x_2}{\sqrt{s^2/n_1) + (s^2/n_2)}}\)

Varianza conjunta (s²)

\(s^2 = \frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}\)

\(s^2 = \frac{(70-1)1^2 + (70-1)1^2}{70+70-2}\)

\(s^2 = \frac{69 + 69}{138}\)

s² = 1

\(t = \frac{36 - 35}{\sqrt{(1/70) + (1/70)}}\)

\(t = \frac{1}{\sqrt{(0.0143 + 0.0143)}}\)

t = 5.92

\(gl = n_1 + n_2 - 2\)

gl = 138

Al buscar en tabla de t

p < 0.001

pt(5.92, df=138, lower.tail = FALSE)*2

## [1] 2.426312e-08

Se rechaza la hipótesis nula de que ambos grupos son iguales.

1. En un ensayo de un fármaco nuevo contra un fármaco estándar para el tratamiento de la depresión se observó alguna mejoría en el 53% de 73 pacientes que recibieron el fármaco nuevo y en 41% de 70 pacientes que recibieron el fármaco estándar. Los resultados se valoraron en las 5 categorías siguientes: Tratamiento nuevo: Mucha mejoría 18, mejoría 23, sin cambio 15, peor 9, mucho peor 8 Tratamiento estándar: Mucha mejoría 12, mejoría 17, sin cambio 19, peor 13, mucho peor 9 ¿Cuál es el valor de la χ2 que no considera los valores ordenados en los datos, los grados de libertad y la p? ¿Cuál es el valor de la χ2 para tendencia, los grados de libertad y la p?

Table. Outcome of depression according to treatment
	Much worse	Worse	Unchanged	Improved	Much improved	Sum
New	8	9	15	23	18	73
Standard	9	13	19	17	12	70
Score	-2	-1	0	1	2	NA

Resultado de \(\chi^2\)

	Esperados		O-E		(O-E)²/E
	New	Standard	New	Standard	New	Standard
Much worse	8.68	8.32	0.68	-0.68	0.05	0.06
Worse	11.23	10.77	2.23	-2.23	0.44	0.46
Unchanged	17.36	16.64	2.36	-2.36	0.32	0.33
Improved	20.42	19.58	-2.58	2.58	0.33	0.34
Much improved	15.31	14.69	-2.69	2.69	0.47	0.49
Total	73.00	70.00	0.00	0.00	1.61	1.68

\(\chi^2\) = 1.61 + 1.68 = 3.29

Número de grados de libertad = (filas - 1) * (columnas - 1) = (2-1) * (5-1) = 4

 p <- pchisq(3.29, df=4, lower.tail = FALSE)
 round(p, 3)

## [1] 0.511

Cálculo de \(\chi^2\) de tendencia

\(\large\boxed{E_{xp} = \frac{\sum{ax}-\sum{a}\sum{nx}}{N}}\)

\(\large\boxed{E_{xx} = \frac{\sum{nx}^2-(\sum{nx})^2}{N}}\)

\(\large\boxed{p = \frac{\sum{a}}{N}}\)

\(\large\boxed{q = \frac{\sum{b}}{N}}\)

\(\large\boxed{\chi^2 = \frac{Exp^2}{(Exxpq)}}\)

En este caso:

N = 143

\(\large\boxed{\sum{a}=73}\)

\(\large\boxed{\sum{ax} = 8*-2 + 9*-1 + 13*0 + 23*1 + 18*2 = 34}\)

\(\large\boxed{\sum{nx} = 17*-2 + 22*-1 + 34*0 + 40*1 + 30*2 = 44}\)

\(\large\boxed{\sum{nx^2} = 17*-2^2 + 22*-1^2 + 34*3^0 + 40*1^2 + 30*2^2 = 250}\)

\(\large\boxed{(\sum{nx})^2 = 44^2 = 1936}\)

\(\large\boxed{E{xp} = \frac{34-73*44}{143} = 11.53}\)

\(\large\boxed{E{xx} = \frac{1081-223729}{143} = 236.46}\)

\(\large\boxed{p = \frac{73}{143} = 0.5105}\) \(\large\boxed{q = \frac{70}{143} = 0.4895}\)

\(\large\boxed{\chi^2 = \frac{11.53^2}{(236.46*0.5105*0.4895)} = \frac{133.14}{59.09} = 2.253}\)

Grados de libertad = 1

 p <- pchisq(2.253, df=1, lower.tail = FALSE)
 round(p, 3)

## [1] 0.133

En R

treatment <- c(rep("New", 73), rep("Standard", 70))
outcome <- c(rep(-2, 8), rep(-1, 9), rep(0, 15), rep(1, 23), rep(2, 18), rep(-2, 9), rep(-1, 13), rep(0, 19), rep(1, 17), rep(2, 12))
depre <- data.frame(treatment, outcome)
depre$treatment <- factor(depre$treatment)
table(depre$outcome)

## 
## -2 -1  0  1  2 
## 17 22 34 40 30

depre$outcome <- factor(depre$outcome, labels=c("Much worse", "Worse", "Unchanged", "Improved", "Much improved"))
table(depre$outcome)

## 
##    Much worse         Worse     Unchanged      Improved Much improved 
##            17            22            34            40            30

head(depre)

##   treatment    outcome
## 1       New Much worse
## 2       New Much worse
## 3       New Much worse
## 4       New Much worse
## 5       New Much worse
## 6       New Much worse

tail(depre)

##     treatment       outcome
## 138  Standard Much improved
## 139  Standard Much improved
## 140  Standard Much improved
## 141  Standard Much improved
## 142  Standard Much improved
## 143  Standard Much improved

## caso especial, solo 2 columnas
tabla <- table(depre) 
tabla

##           outcome
## treatment  Much worse Worse Unchanged Improved Much improved
##   New               8     9        15       23            18
##   Standard          9    13        19       17            12

chisq.test(tabla)

## 
##  Pearson's Chi-squared test
## 
## data:  tabla
## X-squared = 3.2952, df = 4, p-value = 0.5097

tabla[1,]

##    Much worse         Worse     Unchanged      Improved Much improved 
##             8             9            15            23            18

colSums(tabla)

##    Much worse         Worse     Unchanged      Improved Much improved 
##            17            22            34            40            30

prop.trend.test(tabla[1,], colSums(tabla))

## 
##  Chi-squared Test for Trend in Proportions
## 
## data:  tabla[1, ] out of colSums(tabla) ,
##  using scores: 1 2 3 4 5
## X-squared = 2.2531, df = 1, p-value = 0.1333

d — Shawn Aaron y colegas compararon la efectividad de un anestésico tópico en gel aplicado sobre el sitio de una punción arterial con una crema placebo. Observaron eventos adversos (rubor, edema, prurito o hematoma) hasta 24 horas después de la aplicación del gel. Tres de 36 personas que recibieron el gel anestésico y 8 de 40 que recibieron el gel placebo presentaron un evento adverso. ¿Existe evidencia de una diferencia entre el gel anestésico y el gel placebo en la frecuencia de eventos adversos?

Se valorará la diferencia en la frecuencia de eventos adversos mediante una prueba de \(\chi_2\)

grupo <- c(rep("gel", 36), rep("placebo", 40))
eventos <- c(rep("presente", 3), rep("ausente", 33), rep("presente", 8), rep("ausente", 32))
estudio <- data.frame(grupo, eventos)
addmargins(table(estudio), 2)

##          eventos
## grupo     ausente presente Sum
##   gel          33        3  36
##   placebo      32        8  40

chisq.test(table(estudio))

## 
##  Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction
## 
## data:  table(estudio)
## X-squared = 1.2475, df = 1, p-value = 0.264

Con un nivel de alfa de 0.05 se acepta la hipótesis nula de que ambos grupos son iguales.

Comparar asociación de dos diagnósticos con un tercero dependiendo de si se trata de pacientes hospitalizados o la población general

Lo haremos con prueba de \(\chi^2\)

Empezamos por pacientes hospitalizados

enfermedad <- c(rep("A", 520), rep("B", 232))
comorbi <- c(rep("presente", 70), rep("ausente", 450), rep("presente", 52), rep("ausente", 180))
hospitalizados <- data.frame(enfermedad, comorbi)
addmargins(table(hospitalizados), 2)

##           comorbi
## enfermedad ausente presente Sum
##          A     450       70 520
##          B     180       52 232

chisq.test(table(hospitalizados))

## 
##  Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction
## 
## data:  table(hospitalizados)
## X-squared = 8.8124, df = 1, p-value = 0.002992

Seguimos con población abierta

enfermedad <- c(rep("A", 1000), rep("B", 1000))
comorbi <- c(rep("presente", 100), rep("ausente", 900), rep("presente", 100), rep("ausente", 900))
abierta <- data.frame(enfermedad, comorbi)
addmargins(table(abierta), 2)

##           comorbi
## enfermedad ausente presente  Sum
##          A     900      100 1000
##          B     900      100 1000

chisq.test(table(abierta))

## 
##  Pearson's Chi-squared test
## 
## data:  table(abierta)
## X-squared = 0, df = 1, p-value = 1

A esta distorsión de le llama sesgo de la tasa de ingresos o falacia de Berkson. Aquí hay más información.

En una prueba de significancia, el valor de p de la prueba estadística es de 0.063. Los datos son estadísticamente significativos a