###1 Objetivo Encontrar probabilidades de acuerdo a la distribución binomial.
###2 Descripción Identificar ejercicios casos de la literatura de distribuciones de probabilidad binomial y realizar cálculos de probabilidades, determinar el valor esperado y calcualr la varianza y la desviación.
Los ejercicios que se presenta utilizan funciones relacionadas con la distribución binomial dbinom() pbinom(), rbinom() en algunos ejercicios del caso se utiliza la función f.prob.binom() previamente codificada y que encapsula la fórmula para determinar probabilidad binomiales.
###3 Fundamento teórico El experimento de lanzar al aire una moneda es un ejemplo sencillo de una importante variable aleatoria discreta llamada variable aleatoria binomial. Muchos experimentos prácticos resultan en datos similares a que salgan cara o cruz al tirar la moneda (Mendenhall, Beaver, and Beaver 2006)
Un experimento binomial es el que tiene estas cinco características:
El experimento consiste en n intentos idénticos.
Cada intento resulta en uno de dos resultados, el resultado uno se llama éxito, ‘S,’ y el otro se llama fracaso, ‘F.’
La probabilidad de éxito en un solo intento es igual a p y es igual de un intento a otro. La probabilidad de fracaso es igual a q=(1−p).
Los intentos son independientes.
El interés es el valor de x, o sea, el número de éxitos observado durante los n intentos, para x=0,1,2,…,n. (Mendenhall, Beaver, and Beaver 2006).
Un experimiento de Bernoulli puede tener como resultado un éxito con probabilidad p y un fracaso con probabilidad q=1−p. Entonces, la distribución de probabilidad de la variable aleatoria binomial x, el número de éxito k en n ensayos independientes (Walpole, Myers, and Myers 2012):
Fórmula:
prob(x=k)=(nk)⋅pk⋅q(n−k) Para x=0,1,2,3…n y recordando las combinaciones cuantos éxitos k en n ensayos. (nk)=n!k!⋅(n−k)!
El valor esperado está dado por: μ=n⋅p
La varianza y la desviación estándard se determinan mediante: σ2=n⋅p⋅(1−p) y σ=σ2−−√
En programación R, para calcular la función de probabilidad binomial para un conjunto de valores discretos, x, un número de ensayos n y una probabilidad de éxito p se puede hacer uso de la función dbinom().
De semejante forma, para calcular la probabilidad acumulada de una distribución binomial se puede utilizar la función pbinom() o para calcular la probabilidad de que una variable aleatoria x que sigue una distribución binomial tome valores menores o iguales a x puedes hacer uso de la función pbinom() (R CODER Binom, n.d.).
4 Desarrollo 4.1 Cargar librerías 4.2 Cargar funciones Se carga función de servicio github o de manera local
Se determina una semilla porque algunos ejercicios calculan valores aleatorios.
4.3 Ejercicios 4.3.1 Tienda de ropa MartinClothingStore Tienda de ropa MartinClothingStore (Anderson, Sweeney, and Williams 2008)
De acuerdo con la experiencia, el gerente de la tienda estima que la probabilidad de que un cliente realice una compra es 0.30.
Identificar las probabilidad para cuando se compre 0,1,2,3, determinar la tabla de probabilidad incluyendo probabilidad acumulada
Encontrar la probabilidad de que compren dos clientes
Encontrar la probabilidad de que compren los tres próximos clientes.
Encontrar la probabilidad de que sean menor o igual que dos.
Calcular la probabilidad de que sean mayor que dos
Determinar el valor esperado y su significado
Determinar la varianza y la desviación estándar y si significado
Interpretar
4.3.1.1 Probabilidad para 0,1,2,3 y tabla de distribución Identificar las probabilidad para cuando se compre 0,1,2,3, determinar la tabla de probabilidad incluyendo probabilidad cumulada
Inicializar valores Determinar tabla de probabilidad usando la función creada y conforme a la fórmula ## x f.prob.x f.acum.x ## 1 0 0.343 0.343 ## 2 1 0.441 0.784 ## 3 2 0.189 0.973 ## 4 3 0.027 1.000 Determinar tabla de probabilidad usando función propia de los paquetes base de R dbinom() ## x f.prob.x f.acum.x ## 1 0 0.343 0.343 ## 2 1 0.441 0.784 ## 3 2 0.189 0.973 ## 4 3 0.027 1.000 con pbinom() en lugar de cumsum()
4.3.1.2 Visualizar tabla de distribución
4.3.1.3 Probabilidad de que compren dos clientes Encontrar la probabilidad de que compren dos clientes
Identificar la probabilidad cuando P(x=2) de la tabla. Se puede usar tabla1, tabla2 o tabla3 es la misma. ## x f.prob.x f.acum.x ## 1 2 0.189 0.973 ## [1] “La probabilidad cuando x es 2 es igual a : 0.189” Usando dbinom()
4.3.1.4 Probabilidad de que compren los tres próximos clientes Encontrar la probabilidad de que compren los tres próximos clientes
Identificar la probabilidad cuando P(x=3) de la tabla. Se puede usar tabla1, tabla2 o tabla3 es la misma. ## x f.prob.x f.acum.x ## 1 3 0.027 1 ## [1] “La probabilidad cuando x es 3 es igual a : 0.027” Usando dbinom()
4.3.1.5 Probabilidad de que sean menor o igual que dos Encontrar la probabilidad de que sean menor o igual que dos
Ahora usar la función acumulada por la pregunta P(x=0)+P(x=1)+P(x=2) ## x f.prob.x f.acum.x ## 1 2 0.189 0.973 ## [1] “La probabilidad de que sea menor o igual a 2 es igual a : 0.973” Usando pbinom()
4.3.1.6 Probabilidad de que sean mayor que dos La expresión lower.tail = FALSE como atributo de la función pbinom() significa encontrar en la tabla de distribución la sumatoria de las probabilidades a partir de el valor de x, o lo que es lo mismo, 1−prob.acum(x), 1−0.97=0.27.
4.3.1.7 Valor esperado Determinar el valor esperado y su significado
El valor esperado de la distribución binomial μ=n⋅p Siendo p el éxito de la probabilidad y n el número de experimentos
El valor esperado VE significa el valor medio o el valor promedio de todos valores de la distribución de probabilidad.
4.3.1.8 Varianza y desviación estándar Determinar la varianza y la desviación estándar y su significado.
La varianza en la distribución binomial σ2=n⋅p⋅(1−p) ## [1] “La varianza es: 0.63” La desviación σ=σ2−−√ ## [1] “La desviación std es: 0.79” 4.3.1.9 Interpretar el ejercicio Pendiente …
4.3.2 Jugador de basquetbol Un jugador encesta con probabilidad 0.55. (“La Distribución Binomial o de Bernoulli,” n.d.):
Determinar las probabilidad de los tiros del 1 al 6 con la tabla de probabilidad
Determinar la probabilidad de encestar cuatro tiros P(x=4)
Determinar la probabilidad de encestar todos tiros o sea seis P(x=6)
Determinar la probabilidad de encestar al menos tres P(x≤3) o, P.acum(x=3)
Determinar el valor esperado VE
Determinar la varianza y su desviación estándard
Interpretar el ejercicio
4.3.2.1 Tabla de probabilidad (0-6) Se construye la tabla de probabilidades tal y como se construye usando el código de tabla3
Se inicializan valores:
4.3.2.2 Visualización de probabilidades Dos formas de visualizar las probabilidades
4.3.2.3 Probabilidad de encestar cuatro tiros Calcular la probabilidad de encestar cuatro tiros P(x=4)
4.3.2.4 Probabilidad de encestar todos los tiros Determinar la probabilidad de encestar todos tiros o sea seis P(x=6)
4.3.2.5 Probabilidad de encestar al menos tres Usando la función pbinom()
o utilizando el renglón de la tabla de distribución en la columna de probabilidad acumulada f.acum.x.
4.3.2.6 Valor esperado ## [1] “El valor esperado es: 3.3” El valor esperado de 3.3 significa que es lo que se espera encestar en promedio de los n= 6 tiros.
4.3.2.7 Varianza y desviación Varianza
Desviación
De el valor esperado 3.3 hay una desviación aproximada de 1.2186058 hacia arriba o hacia abajo.
4.3.3 Recuperación de un paciente La probabilidad de que un paciente se recupere de una rara enfermedad sanguínea es 0.4. Si se sabe que 15 personas contraen tal enfermedad,
Determine tabla de probabilidad de 1 al 15
Visualizar la gráfica de probabilidades
¿Cuál es la probabilidad de que sobrevivan al menos diez,
¿Cuál es la probabilidad de que sobrevivan de tres a ocho?, y
¿Cuál es la probabilidad de que sobrevivan exactamente cinco?
¿Cuál es el valor esperado ‘VE’ o la esperanza media?
¿Cual es la varianza y la desviación estándar?
¿Cómo se comportarían las probabilidades para un experimento de 100 personas?
Interpretación del ejercicio (Walpole, Myers, and Myers 2012).
4.3.3.1 Tabla de distribución Inicializar valores
Se construye la tabla de probabilidades con las funciones previamente construidas que se encuentran en enlace https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/funciones/funciones.distribuciones.r y con la función cumsum() para el acumulado de la probabilidad.
4.3.3.2 Gráfica de probabilidades La gráfica se presenta con la función plot() que requiere las coordenadas de x & y siendo estás las variables aleatorias discretas y las probabilidades respectivamente.
4.3.3.3 Probabilidad de que sobrevivan al menos diez Se requiere la suma de las probabilidades endonde P(≤10) o bien P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)…+P(x=10) o mediante la función acumulada de la probabilidad.F(x=10). Como se necesita la probabilida acumulada entonces se usa pbinom().
4.3.3.4 La probabilidad de que sobrevivan de tres a ocho Se requiere el valor acumulado entre tres y ocho es decir, F(x=8)−F(x=2) , o sumar las probabilidades de tres a ocho P(x=3)+P(x=4)+P(x=5)+P(x=6)+P(x=6)+P(x=7)+P(x=8)
Se usa la resta usando la función pbinom()
Se comprueba sumando las probabilidades de tres a ocho
o sumando los renglones de las probabilidades de tres a ocho de la tabla de probabilidad.
4.3.3.5 La probabilidad de que sobrevivan exactamente cinco Aquí se calcula la probabilidad con la función dbinom() cuando P(x=5)
Se comprueba la probabilidad extrayendo con la función filter() el registro de la tabla de distribución cuando x==10.
4.3.3.6 Valor esperado Se determina el valor medio o el valor esperado de la tabla de distribución.
Se espera que se recuperen 6 en promedio
4.3.3.7 Varianza y desviación Se calcula la varianza
Se determina la desviación
Siendo la desviación una medida de variabilidad significa que tanto estarían las probabilidades por encima o por debajo del valor esperado.
4.3.3.8 Probabilidades para un experimento de 100 personas Con la función de aleatoriedad rbinom() se calculan las probabilidades de una muestra de 100, con ello las proporciones o frecuencias relativas siendo los elementos de la función n la cantidad de experimentos que serían 100, size el tamaño del estudio original es decir 15 y prob la probabilidad de éxito.
La variable llamada variables contiene los valores aleatorios de la muestra y la frecuencia es la cantidad de ocasiones de cada variable aleatoria.
Las probabilidades relativas de la muestra
4.3.3.9 Visualizando las probabilidades del experimento A partir de la nueva tabla del experimento se compara con la tabla original en dos g´rfias
Con la función par(mfrow=c(1,2)) se puede ver dos gráficas tipo plot() al mismo tiempo en el mismo renglón.
¿Cómo se comportan las probabilidades del estudio con 15 y del experimento o simulación con 100 pacientes?, muy similares las probabilidades.
4.3.4 Aprobar un examen Un estudio refleja que al aplicar un examen de estadística la probabilidad de aprobar (éxito) es del 60%. Se pide lo siguiente:
Encuentre la tabla de distribución binomial para 30 estudiantes que presentan el examen
¿Cuál es la probabilidad de que aprueben 5 alumnos?
¿Cuál es la probabilidad de que aprueben 10 alumnos?
¿Cuál es la probabilidad de que aprueben 15 o menos alumnos?
¿Cuál es la probabilidad de que aprueben entre 10 y 20 alumnos?
¿Cuál es la probabilidad de que aprueben mas de 25 alumnos?
Determinar el valor esperado VE y su significado.
Determinar la varianza y su desviación estándard y su significado.
4.3.4.1 Tabla de distribución binomial Se incializan valores
Se construye la tabla
4.3.4.2 Visualizar la tabla de distribución
4.3.4.3 Probabilidad de que aprueben 15 o menos alumnos Se calcula la probabilidad de P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)…+P(15) o la probabilidad acumulada cuando F(x=15)
4.3.4.4 Probabilidad de que aprueben entre 10 y 20 alumnos Se calcula la probabilidad acumulada de F(x=20)−F(x=10)
4.3.4.5 Probabilidad de que aprueben mas de 25 alumnos Se debe calcular P(x≥26) o restar del el valor acumulado de 25 a 1. 1−F(x=26)
Con pbinom() y con lower.tail() = TRUE se encuentra la probabilidad.
4.3.4.6 Valor esperado El valor esperado es la cantidad de alumnos que aprueben el examen.
4.3.4.7 Varianza y desviación Varianza
Desviación
La desviación como parte de la varianza significa la cantidad de alumnos que puede variar con respecto al valor medio VE previamente calculado.
4.3.5 Autobuses contaminantes Suponga que un grupo de agentes de tránsito sale a una vía principal para revisar el estado de los autobuses de transporte intermunicipal. De datos históricos se sabe que un 10% de los camiones generan una mayor cantidad de humo de la permitida. En cada jornada los agentes revisan siempre 18 unidades (autobuses), asuma que el estado de un autobus es independiente del estado de los otros buses. (Hernández 2021).
Construir la tabla de distribución
Visualizar la densidad o las probabilidades para cada variable discreta
Calcular la probabilidad de que se encuentren exactamente 2 buses que generan una mayor cantidad de humo de la permitida.
Calcular la probabilidad de que el número de autobuses que sobrepasan el límite de generación de gases sea al menos 4.
Calcular la probabilidad de que existan MAS DE TRES (a partir de CUATRO) autobuses que emitan gases por encima de lo permitido en la norma
Calcular el valor esperado.
Calcular la varianza y la desviación.
Generar una muestra aleatoria de 100 valores y comparar las frecuencias relativas con las probabilidad originales.
Interpretar el caso.
4.3.5.1 Construir la tabla de distribución Se inicializan variables
Se construye la tabla de distribución con dbimom() y dbinom().
4.3.5.2 Visualizar probabilidades Se muestran las probabilidades de cada variable discreta usando directamente la función plot()
4.3.5.3 Probabilidad de que se encuentren exactamente 2 buses ## [1] “La probabilidad de encontrar dos camiones contaminantes es de : 0.283512088894332” 4.3.5.4 Probabilidad de menos de cuatro autobuses Se requiere encontrar la probabilidad de cuando la variables tenga valores entre cero y cuatro. P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)+P(x=3)+P(x=4) o lo que es lo mismo P(x≤4) o en términos de probabilidad acumulada F(x=4).
4.3.5.5 Probabilidad de MAS de tres autobuses Se requiere encontrar la probabilidad de cuando la variables tenga valores entre cuatro y dieciocho. P(x=4)+P(x=5)+P(x=6)+P(x=7)…+…P(x=18) o lo que es lo mismo P(x≥3) o en términos de probabilidad acumulada F(x=18)−F(x=4).
Se puede encontrar usando la expresión lower.tail = FALSE
4.3.5.6 Valor esperado ## [1] “El valor esperado es: 1.8” El valor esperado de 1.8 significa el valor medio de camiones que se pueden encontrar que contaminan
4.3.5.7 Varianza y desviación Varianza
Desviación
La varianza y de manera más específica la desviación significa que tanto varía (se aleja o se acerca) con respeto al valor medio o valor esperado VE el número de autobuses con probabilidad de encontrarse con partículas contaminantes.
4.3.5.8 Valores aleatorios Se utiliza la función rbinom() para simular un estudio y generar valores aleatorios conforme a la distribución binomial.
El estudio o la simulación se hace con un experimento de 100 camiones, a partir del estudio previo de 18 camiones.
Calculando frecuencias relativas
Con la función table() se determina la frecuencia y con prop.table() se encuentra la frecuencia relativa.
Pendiente
Un jugador encesta con probabilidad 0.55. (“La Distribución Binomial o de Bernoulli,” n.d.):
Determinar las probabilidad de los tiros del 1 al 6 con la tabla de probabilidad
Determinar la probabilidad de encestar cuatro tiros P(x=4)P(x=4)
Determinar la probabilidad de encestar todos tiros o sea seis P(x=6)P(x=6)
Determinar la probabilidad de encestar al menos tres P(x≤3)P(x≤3) o, P.acum(x=3)P.acum(x=3)
Determinar el valor esperado VE
Determinar la varianza y su desviación estándard
Interpretar el ejercicio
Se construye la tabla de probabilidades tal y como se construye usando el código de tabla3
Se inicializan valores:
x <- 0:6
n <- 6
exito <- 0.55tabla <- data.frame(x=x, f.prob.x = dbinom(x = x, size = n, prob = exito), f.acum.x = pbinom(q = x, size = n, prob = exito))
tabla
Dos formas de visualizar las probabilidades
plotDist(dist = "binom", size=n, prob=exito,xlab = paste("Variables ",min(tabla$x),"-",max(tabla$x) ))
plot(x = tabla$x, y=tabla$f.prob.x, type = "h", xlab = paste(min(tabla$x), '-', max(tabla$x)), ylab= "f(x)")
Calcular la probabilidad de encestar cuatro tiros \(P(x=4)\)
dbinom(x = 4, size = n, prob = exito)
Determinar la probabilidad de encestar todos tiros o sea seis \(P(x=6)\)
dbinom(x = 6, size = n, prob = exito)Usando la función pbinom()
pbinom(q = 3, size = n, prob = exito)
o utilizando el renglón de la tabla de distribución en la columna de probabilidad acumulada f.acum.x.
valor.x <- 3
la.probabilidad <- filter(tabla, x == valor.x)
la.probabilidad
VE <- n * exito
paste("El valor esperado es: ",VE)
El valor esperado de 3.3 significa que es lo que se espera encestar en promedio de los n= 6 tiros.
Varianza
varianza <- n * exito *( 1 - exito)
paste ("La varianza es: ", round(varianza,2))
Desviación
desviacion.std <- sqrt(varianza)
paste("La desviación std es: ", round(desviacion.std, 2))
De el valor esperado 3.3 hay una desviación aproximada de 1.2186058 hacia arriba o hacia abajo.
La probabilidad de que un paciente se recupere de una rara enfermedad sanguínea es \(0.4\) Si se sabe que \(15\) personas contraen tal enfermedad,
Determine tabla de probabilidad de 1 al 15
Visualizar la gráfica de probabilidades
¿Cuál es la probabilidad de que sobrevivan al menos diez,
¿Cuál es la probabilidad de que sobrevivan de tres a ocho?, y
¿Cuál es la probabilidad de que sobrevivan exactamente cinco?
¿Cuál es el valor esperado ‘VE’ o la esperanza media?
¿Cual es la varianza y la desviación estándar?
¿Cómo se comportarían las probabilidades para un experimento de 100 personas?
Interpretación del ejercicio (Walpole, Myers, and Myers 2012).
Inicializar valores
x <- 0:15
n <- 15
exito <- 0.40
Se construye la tabla de probabilidades con las funciones previamente construidas que se encuentran en enlace https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/funciones/funciones.distribuciones.r y con la función cumsum() para el acumulado de la probabilidad.
tabla <- data.frame(x=x, f.prob.x = f.prob.binom(x,n,exito), f.acum.x = cumsum(f.prob.binom(x,n,exito)))
tabla
La gráfica se presenta con la función plot() que requiere las coordenadas de x & y siendo estás las variables aleatorias discretas y las probabilidades respectivamente.
plot(x = tabla$x, y=tabla$f.prob.x, type = "h", xlab = paste(min(tabla$x), '-', max(tabla$x)), ylab= "f(x)")
Se requiere la suma de las probabilidades endonde \(P(≤10)\) o bien \(P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)...+P(x=10)\) o mediante la función acumulada de la probabilidad.\(F(x=10)\). Como se necesita la probabilida acumulada entonces se usa pbinom().
x = 10
prob <- pbinom(q = x, size = n, prob = exito)
paste ("La probabilidad de que se enfermen menos que diez es: ", prob, " o el ", round(prob * 100, 2), "%")
Se requiere el valor acumulado entre tres y ocho es decir, \(F(x=8)−F(x=2)\) , o sumar las probabilidades de tres a ocho \(P(x=3)+P(x=4)+P(x=5)+P(x=6)+P(x=6)+P(x=7)+P(x=8)\)
Se usa la resta usando la función pbinom()
x1 = 2 #
x2 = 8
prob <- pbinom(q = x2, size = n, prob = exito) - pbinom(q = x1, size = n, prob = exito)
paste ("La probabilidad de que se enfermen de tres a ocho es: ", prob, " o el ", round(prob * 100, 2), "%")Se comprueba sumando las probabilidades de tres a ocho
sum(dbinom(x = 3:8, size = n, prob = exito))o sumando los renglones de las probabilidades de tres a ocho de la tabla de probabilidad.
sum(filter(tabla, x %in% 3:8) %>%
select(f.prob.x))
Aquí se calcula la probabilidad con la función dbinom() cuando \(P(x=5)\)
x = 10
prob <- dbinom(x = x, size = n, prob = exito)
paste ("La probabilidad de que se enfermen menos que diez es: ", prob, " o el ", round(prob * 100, 2), "%") Se comprueba la probabilidad extrayendo con la función filter() el registro de la tabla de distribución cuando \(x==10\).
filter(tabla, x==10)
Se determina el valor medio o el valor esperado de la tabla de distribución.
VE <- n * exito
paste("El valor esperado es: ",VE)
Se espera que se recuperen 6 en promedio
Se calcula la varianza
varianza <- n * exito *( 1 - exito)
paste ("La varianza es: ", round(varianza,2))Se determina la desviación
desviacion.std <- sqrt(varianza)
paste("La desviación std es: ", round(desviacion.std, 2))Siendo la desviación una medida de variabilidad significa que tanto estarían las probabilidades por encima o por debajo del valor esperado.
Con la función de aleatoriedad rbinom() se calculan las probabilidades de una muestra de 100100, con ello las proporciones o frecuencias relativas siendo los elementos de la función n la cantidad de experimentos que serían \(100\), size el tamaño del estudio original es decir 15 y prob la probabilidad de éxito.
La variable llamada variables contiene los valores aleatorios de la muestra y la frecuencia es la cantidad de ocasiones de cada variable aleatoria.
muestra <- 100
variables <- rbinom(n = muestra, size = n, prob = exito)
variables
frecuencia = table(variables)
frecuenciaLas probabilidades relativas de la muestra
probs <- prop.table(frecuencia)
probstablaexp <- data.frame(x=1:length(frecuencia), f.prob.x = as.vector(probs), f.acum.x = cumsum(as.vector(probs)))
tablaexp
A partir de la nueva tabla del experimento se compara con la tabla original en dos g´rfias
Con la función par(mfrow=c(1,2)) se puede ver dos gráficas tipo plot() al mismo tiempo en el mismo renglón.
par(mfrow=c(1,2))
plot(x = tabla$x, y=tabla$f.prob.x, type = "h", xlab = "X", ylab= "f(x)", main = "15 pacientes")
plot(x = tablaexp$x, y=tablaexp$f.prob.x, type = "h", xlab = "X", ylab= "f(x)", xlim = c(0,15), ylim = range(0, 0.20), main="Simulando 100 pacientes")
¿Cómo se comportan las probabilidades del estudio con 15 y del experimento o simulación con 100 pacientes?, muy similares las probabilidades.
Un estudio refleja que al aplicar un examen de estadística la probabilidad de aprobar (éxito) es del 60%. Se pide lo siguiente:
Encuentre la tabla de distribución binomial para 30 estudiantes que presentan el examen
¿Cuál es la probabilidad de que aprueben 5 alumnos?
¿Cuál es la probabilidad de que aprueben 10 alumnos?
¿Cuál es la probabilidad de que aprueben 15 o menos alumnos?
¿Cuál es la probabilidad de que aprueben entre 10 y 20 alumnos?
¿Cuál es la probabilidad de que aprueben mas de 25 alumnos?
Determinar el valor esperado VE y su significado.
Determinar la varianza y su desviación estándard y su significado.
Se incializan valores
x <- 0:30
n <- 30
exito <- 0.60
Se construye la tabla
tabla <- data.frame(x=x, f.prob.x = dbinom(x = x, size = n, prob = exito), f.acum.x = pbinom(q = x, size = n, prob = exito))
tabla
plot(x=tabla$x, y=tabla$f.prob.x,
type='h', las=1, lwd=6, xlab = paste(min(tabla$x), '-', max(tabla$x)), ylab = "f(x)")
Se calcula la probabilidad de \(P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)...+P(15)\) o la probabilidad acumulada cuando \(F(x=15)\)
prob <- pbinom(q = 15, size = n, prob = exito)
paste("La probabilida de que aprueben 15 o menos es de ", prob)
Se calcula la probabilidad acumulada de \(F(x=20)−F(x=10)\)
prob <- pbinom(q = 20, size = n, prob = exito) - pbinom(q = 10, size = n, prob = exito)
paste ("La probabilidad de que aprueben entre 10 y 20 estudiantes es de: ", prob)# Se comprueba sumando los valores
sum(tabla$f.prob.x[11:21])Se debe calcular \(P(x≥26)\) o restar del el valor acumulado de 25 a 1. \(1−F(x=26)\) Con pbinom() y con lower.tail() = TRUE se encuentra la probabilidad.
prob <- pbinom(q = 25, size = n, prob = exito, lower.tail = FALSE)
paste ("La probabilidad de que aprueben mas de 25 alumnos es de ", prob)
# Se puede comprobar sumando los renglones 27 al 31 de la tabla
sum(tabla$f.prob.x[27:31])
El valor esperado es la cantidad de alumnos que aprueben el examen.
VE <- n * exito
paste("El valor esperado es: ",VE)
Varianza
varianza <- n * exito *( 1 - exito)
paste ("La varianza es: ", round(varianza,2))
Desviación
desviacion.std <- sqrt(varianza)
paste("La desviación std es: ", round(desviacion.std, 2))
La desviación como parte de la varianza significa la cantidad de alumnos que puede variar con respecto al valor medio \(VE\) previamente calculado.
Suponga que un grupo de agentes de tránsito sale a una vía principal para revisar el estado de los autobuses de transporte intermunicipal. De datos históricos se sabe que un 10% de los camiones generan una mayor cantidad de humo de la permitida. En cada jornada los agentes revisan siempre 18 unidades (autobuses), asuma que el estado de un autobus es independiente del estado de los otros buses. (Hernández 2021).
Construir la tabla de distribución
Visualizar la densidad o las probabilidades para cada variable discreta
Calcular la probabilidad de que se encuentren exactamente 2 buses que generan una mayor cantidad de humo de la permitida.
Calcular la probabilidad de que el número de autobuses que sobrepasan el límite de generación de gases sea al menos 4.
Calcular la probabilidad de que existan MAS DE TRES (a partir de CUATRO) autobuses que emitan gases por encima de lo permitido en la norma
Calcular el valor esperado.
Calcular la varianza y la desviación.
Generar una muestra aleatoria de 100 valores y comparar las frecuencias relativas con las probabilidad originales.
Interpretar el caso.
Se inicializan variables
x <- 0:18
n <- 18
exito <- 0.10
Se construye la tabla de distribución con dbimom() y dbinom().
tabla <- data.frame(x=x, f.prob.x = dbinom(x = x, size = n, prob = exito), f.acum.x = pbinom(q = x, size = n, prob = exito))
tabla
Se muestran las probabilidades de cada variable discreta usando directamente la función plot()
plot(x=tabla$x, y=tabla$f.prob.x,
type='h', las=1, lwd=6, xlab = paste(min(tabla$x), '-', max(tabla$x)), ylab = "f(x)")
x <- 2
prob <- dbinom(x = x, size = n, prob = exito)
paste ("La probabilidad de encontrar dos camiones contaminantes es de : ", prob)
Se requiere encontrar la probabilidad de cuando la variables tenga valores entre cero y cuatro.
\(P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)+P(x=3)+P(x=4)\) o lo que es lo mismo \(P(x≤4)\) o en términos de probabilidad acumulada \(F(x=4)\)
x <- 4
prob <- pbinom(q = x, size = n, prob = exito)
paste ("La probabilidad de encontrar menos de cuatro camiones es de: ", prob)
Se requiere encontrar la probabilidad de cuando la variables tenga valores entre cuatro y dieciocho.
\(P(x=4)+P(x=5)+P(x=6)+P(x=7)...+...P(x=18)P(x=4)+P(x=5)+P(x=6)+P(x=7)...+...P(x=18)\) o lo que es lo mismo \(P(x≥3)\) o en términos de probabilidad acumulada \(F(x=18)−F(x=4)\)
x1 <- 4
x2 <- 18
prob <- pbinom(q = x2, size = n, prob = exito) - pbinom(q = x1, size = n, prob = exito)
paste ("La probabilidad de encontrar menos de cuatro camiones es de: ", prob)
Se puede encontrar usando la expresión lower.tail = FALSE
pbinom(q = 4, size = n, prob = exito, lower.tail = FALSE)
VE <- n * exito
paste("El valor esperado es: ",VE)
El valor esperado de 1.8 significa el valor medio de camiones que se pueden encontrar que contaminan
Varianza
varianza <- n * exito *( 1 - exito)
paste ("La varianza es: ", round(varianza,2))
Desviación
desviacion.std <- sqrt(varianza)
paste("La desviación std es: ", round(desviacion.std, 2))
La varianza y de manera más específica la desviación significa que tanto varía (se aleja o se acerca) con respeto al valor medio o valor esperado \(VE\) el número de autobuses con probabilidad de encontrarse con partículas contaminantes.
Se utiliza la función rbinom() para simular un estudio y generar valores aleatorios conforme a la distribución binomial.
El estudio o la simulación se hace con un experimento de 100 camiones, a partir del estudio previo de 18 camiones.
n.muestra <- 100
muestra <- rbinom(n = n.muestra, size = n, prob = exito)
muestra
Calculando frecuencias relativas
Con la función table() se determina la frecuencia y con prop.table() se encuentra la frecuencia relativa.
table(muestra)data.frame(prob = prop.table(table(muestra)))Se observa que los mayores valores probabilísticos está entre 1 y 3, entonces la muestra se relaciona con los valores probabilísticos del origen de los datos. Se observa que los mayores valores probabilísticos está entre 1 y 3, entonces la muestra se relaciona con los valores probabilísticos del origen de los datos.
Referencias bibliográficas Anderson, David R., Dennis J. Sweeney, and Thomas A. Williams. 2008. Estadística Para Administración y Economía. 10th ed. Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur: Cengage Learning,. Hernández, Freddy. 2021. “Manual de r. Distribuciones Discretas.” https://fhernanb.github.io/Manual-de-R/. “La Distribución Binomial o de Bernoulli.” n.d. https://www.profesor10demates.com/2014/04/la-distribucion-binomial-o-de-bernoulli_3.html. Mendenhall, William, Robert J. Beaver, and Barbara M. Beaver. 2006. Introducción a La Probabilidad y Estadística. 13a Edición. R CODER Binom. n.d. “La Función Dbinom.” https://r-coder.com/distribucion-binomial-r/. Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers, and Sharon L. Myers. 2012. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Novena Edición. México: Pearson.