1 Objetivo

Encontrar probabilidades de acuerdo a la distribución binomial.

2 Descripción

Identificar ejercicios casos de la literatura de distribuciones de probabilidad binomial y realizar cálculos de probabilidades, determinar el valor esperado y calcualr la varianza y la desviación.

Los ejercicios que se presenta utilizan funciones relacionadas con la distribución binomial dbinom() pbinom(), rbinom() en algunos ejercicios del caso se utiliza la función f.prob.binom() previamente codificada y que encapsula la fórmula para determinar probabilidad binomiales.

3 Fundamento teórico

El experimento de lanzar al aire una moneda es un ejemplo sencillo de una importante variable aleatoria discreta llamada variable aleatoria binomial. Muchos experimentos prácticos resultan en datos similares a que salgan cara o cruz al tirar la moneda (Mendenhall, Beaver, and Beaver 2006)

Un experimento binomial es el que tiene estas cinco características:

El experimento consiste en n intentos idénticos.

Cada intento resulta en uno de dos resultados, el resultado uno se llama éxito, ‘S,’ y el otro se llama fracaso, ‘F.’

La probabilidad de éxito en un solo intento es igual a p y es igual de un intento a otro. La probabilidad de fracaso es igual a \(q=(1−p).\)

Los intentos son independientes.

El interés es el valor de x, o sea, el número de éxitos observado durante los n intentos, para \(x=0,1,2,…,n.\) (Mendenhall, Beaver, and Beaver 2006).

Un experimiento de Bernoulli puede tener como resultado un éxito con probabilidad p y un fracaso con probabilidad q=1−p. Entonces, la distribución de probabilidad de la variable aleatoria binomial x, el número de éxito k en n ensayos independientes (Walpole, Myers, and Myers 2012):

Fórmula:

\[prob(x=k)=(nk)⋅pk⋅q(n−k\]) Para \[x=0,1,2,3...n\] y recordando las combinaciones cuantos éxitos k en n ensayos. \[(nk)=n!k!⋅(n−k)!\]

El valor esperado está dado por: \[μ=n⋅p\]

La varianza y la desviación estándard se determinan mediante: \[σ2=n⋅p⋅(1−p\]) y \[σ=σ2−−√\]

En programación R, para calcular la función de probabilidad binomial para un conjunto de valores discretos, x, un número de ensayos n y una probabilidad de éxito p se puede hacer uso de la función dbinom().

De semejante forma, para calcular la probabilidad acumulada de una distribución binomial se puede utilizar la función pbinom() o para calcular la probabilidad de que una variable aleatoria x que sigue una distribución binomial tome valores menores o iguales a x puedes hacer uso de la función pbinom() (R CODER Binom, n.d.).

4 Desarrollo

4.1 Cargar librerías

library(dplyr)
## Warning: package 'dplyr' was built under R version 4.0.5
## 
## Attaching package: 'dplyr'
## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     filter, lag
## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     intersect, setdiff, setequal, union
library(ggplot2)
## Warning: package 'ggplot2' was built under R version 4.0.4
library(mosaic) # Gráficos de distribuciones
## Warning: package 'mosaic' was built under R version 4.0.5
## Registered S3 method overwritten by 'mosaic':
##   method                           from   
##   fortify.SpatialPolygonsDataFrame ggplot2
## 
## The 'mosaic' package masks several functions from core packages in order to add 
## additional features.  The original behavior of these functions should not be affected by this.
## 
## Attaching package: 'mosaic'
## The following object is masked from 'package:Matrix':
## 
##     mean
## The following object is masked from 'package:ggplot2':
## 
##     stat
## The following objects are masked from 'package:dplyr':
## 
##     count, do, tally
## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     binom.test, cor, cor.test, cov, fivenum, IQR, median, prop.test,
##     quantile, sd, t.test, var
## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     max, mean, min, prod, range, sample, sum
options(scipen=999) # Notación normal

# options(scipen=1) # Notación científica

4.2 Cargar funciones

Se carga función de servicio github o de manera local

#source("../funciones/funciones.distribuciones.r")

# o

source("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/funciones/funciones.distribuciones.r")
## 
## Attaching package: 'gtools'
## The following object is masked from 'package:mosaic':
## 
##     logit

Se determina una semilla porque algunos ejercicios calculan valores aleatorios.

set.seed(2021)

4.3.2 Jugador de basquetbol

Un jugador encesta con probabilidad 0.55. (“La Distribución Binomial o de Bernoulli,” n.d.):

Determinar las probabilidad de los tiros del 1 al 6 con la tabla de probabilidad

Determinar la probabilidad de encestar cuatro tiros P(x=4)

Determinar la probabilidad de encestar todos tiros o sea seis P(x=6)

Determinar la probabilidad de encestar al menos tres P(x≤3) o, P.acum(x=3)

Determinar el valor esperado VE

Determinar la varianza y su desviación estándard

Interpretar el ejercicio

4.3.2.1 Tabla de probabilidad (0-6)

Se construye la tabla de probabilidades tal y como se construye usando el código de tabla3

Se inicializan valores:

x <- 0:6
n <- 6
exito <- 0.55
tabla <- data.frame(x=x, f.prob.x = dbinom(x = x, size = n, prob = exito), f.acum.x = pbinom(q = x, size = n, prob = exito))
tabla
##   x    f.prob.x    f.acum.x
## 1 0 0.008303766 0.008303766
## 2 1 0.060894281 0.069198047
## 3 2 0.186065859 0.255263906
## 4 3 0.303218437 0.558482344
## 5 4 0.277950234 0.836432578
## 6 5 0.135886781 0.972319359
## 7 6 0.027680641 1.000000000

4.3.2.2 Visualización de probabilidades

Dos formas de visualizar las probabilidades

plotDist(dist = "binom", size=n, prob=exito,xlab = paste("Variables ",min(tabla$x),"-",max(tabla$x) )) 

plot(x = tabla$x, y=tabla$f.prob.x, type = "h", xlab = paste(min(tabla$x), '-', max(tabla$x)), ylab= "f(x)")

## 4.3.2.3 Probabilidad de encestar cuatro tiros Calcular la probabilidad de encestar cuatro tiros P(x=4)

dbinom(x = 4, size = n, prob = exito)
## [1] 0.2779502

4.3.2.4 Probabilidad de encestar todos los tiros

Determinar la probabilidad de encestar todos tiros o sea seis P(x=6)

dbinom(x = 6, size = n, prob = exito)
## [1] 0.02768064

4.3.2.5 Probabilidad de encestar al menos tres

Usando la función pbinom()

pbinom(q = 3, size = n, prob = exito)
## [1] 0.5584823

o utilizando el renglón de la tabla de distribución en la columna de probabilidad acumulada f.acum.x.

valor.x <- 3
la.probabilidad <- filter(tabla, x == valor.x) 
la.probabilidad
##   x  f.prob.x  f.acum.x
## 1 3 0.3032184 0.5584823

4.3.2.6 Valor esperado

VE <- n * exito
paste("El valor esperado es: ",VE)
## [1] "El valor esperado es:  3.3"

El valor esperado de 3.3 significa que es lo que se espera encestar en promedio de los n= 6 tiros.

4.3.2.7 Varianza y desviación

Varianza

varianza <- n * exito *( 1 - exito)
paste ("La varianza es: ", round(varianza,2))
## [1] "La varianza es:  1.48"

Desviacion

desviacion.std <- sqrt(varianza)
paste("La desviación std es: ", round(desviacion.std, 2))
## [1] "La desviación std es:  1.22"

4.3.3 Recuperación de un paciente

La probabilidad de que un paciente se recupere de una rara enfermedad sanguínea es 0.4. Si se sabe que 15 personas contraen tal enfermedad,

Determine tabla de probabilidad de 1 al 15

Visualizar la gráfica de probabilidades

¿Cuál es la probabilidad de que sobrevivan al menos diez? [1] “La probabilidad de que se enfermen menos que diez es: 0.990652339224576 o el 99.07 %”

¿Cuál es la probabilidad de que sobrevivan de tres a ocho? [1] “La probabilidad de que se enfermen de tres a ocho es: 0.877838591066112 o el 87.78 %”

¿Cuál es la probabilidad de que sobrevivan exactamente cinco? [1] “La probabilidad de que se enfermen menos que diez es: 0.024485642108928 o el 2.45 %”

¿Cuál es el valor esperado ‘VE’ o la esperanza media? [1] “El valor esperado es: 6”

¿Cual es la varianza y la desviación estándar? [1] “La varianza es: 3.6” y [1] “La desviación std es: 1.9”

Interpretación del ejercicio (Walpole, Myers, and Myers 2012). Me parece algo muy util el saber la probabilidad de las cosas y el como lo podemos sacar de una manera muy facil, se me complica un poco aun el desarrollar bien el problema, pero poco a poco sabre mas.

4.3.3.1 Tabla de distribución

Inicializar valores

x <- 0:15
n <- 15
exito <- 0.40

Se construye la tabla de probabilidades con las funciones previamente construidas que se encuentran en enlace https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/funciones/funciones.distribuciones.r y con la función cumsum() para el acumulado de la probabilidad.

tabla <- data.frame(x=x, f.prob.x = f.prob.binom(x,n,exito), f.acum.x = cumsum(f.prob.binom(x,n,exito)))
tabla
##     x       f.prob.x    f.acum.x
## 1   0 0.000470184985 0.000470185
## 2   1 0.004701849846 0.005172035
## 3   2 0.021941965947 0.027114001
## 4   3 0.063387901624 0.090501902
## 5   4 0.126775803249 0.217277706
## 6   5 0.185937844765 0.403215550
## 7   6 0.206597605294 0.609813156
## 8   7 0.177083661681 0.786896817
## 9   8 0.118055774454 0.904952592
## 10  9 0.061214105272 0.966166697
## 11 10 0.024485642109 0.990652339
## 12 11 0.007419891548 0.998072231
## 13 12 0.001648864788 0.999721096
## 14 13 0.000253671506 0.999974767
## 15 14 0.000024159191 0.999998926
## 16 15 0.000001073742 1.000000000

4.3.3.2 Gráfica de probabilidades

La gráfica se presenta con la función plot() que requiere las coordenadas de x & y siendo estás las variables aleatorias discretas y las probabilidades respectivamente.

plot(x = tabla$x, y=tabla$f.prob.x, type = "h", xlab = paste(min(tabla$x), '-', max(tabla$x)), ylab= "f(x)")

## 4.3.3.3 Probabilidad de que sobrevivan al menos diez Se requiere la suma de las probabilidades endonde P(≤10) o bien P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)…+P(x=10) o mediante la función acumulada de la probabilidad.F(x=10). Como se necesita la probabilida acumulada entonces se usa pbinom().

x = 10
prob <- pbinom(q = x, size = n, prob = exito)
paste ("La probabilidad de que se enfermen menos que diez es: ", prob, " o el ", round(prob * 100, 2), "%") 
## [1] "La probabilidad de que se enfermen menos que diez es:  0.990652339224576  o el  99.07 %"

4.3.3.4 La probabilidad de que sobrevivan de tres a ocho

Se requiere el valor acumulado entre tres y ocho es decir, F(x=8)−F(x=2) , o sumar las probabilidades de tres a ocho \(P(x=3)+P(x=4)+P(x=5)+P(x=6)+P(x=6)+P(x=7)+P(x=8)\)

Se usa la resta usando la función pbinom()

x1 = 2  #
x2 = 8
prob <- pbinom(q = x2, size = n, prob = exito) - pbinom(q = x1, size = n, prob = exito) 
paste ("La probabilidad de que se enfermen de tres a ocho es: ", prob, " o el ", round(prob * 100, 2), "%")
## [1] "La probabilidad de que se enfermen de tres a ocho es:  0.877838591066112  o el  87.78 %"

4.3.3.5 La probabilidad de que sobrevivan exactamente cinco

Aquí se calcula la probabilidad con la función dbinom() cuando P(x=5)

x = 10
prob <- dbinom(x = x, size = n, prob = exito)
paste ("La probabilidad de que se enfermen menos que diez es: ", prob, " o el ", round(prob * 100, 2), "%") 
## [1] "La probabilidad de que se enfermen menos que diez es:  0.024485642108928  o el  2.45 %"

4.3.3.6 Valor esperado

Se determina el valor medio o el valor esperado de la tabla de distribución.

VE <- n * exito
paste("El valor esperado es: ",VE)
## [1] "El valor esperado es:  6"

4.3.3.7 Varianza y desviación

Se calcula la varianza

varianza <- n * exito *( 1 - exito)
paste ("La varianza es: ", round(varianza,2))
## [1] "La varianza es:  3.6"

Se determina la desviacion

desviacion.std <- sqrt(varianza)
paste("La desviación std es: ", round(desviacion.std, 2))
## [1] "La desviación std es:  1.9"

4.3.3.8 Probabilidades para un experimento de 100 personas

Con la función de aleatoriedad rbinom() se calculan las probabilidades de una muestra de 100, con ello las proporciones o frecuencias relativas siendo los elementos de la función n la cantidad de experimentos que serían 100, size el tamaño del estudio original es decir 15 y prob la probabilidad de éxito.

La variable llamada variables contiene los valores aleatorios de la muestra y la frecuencia es la cantidad de ocasiones de cada variable aleatoria.

muestra <- 100
variables <- rbinom(n = muestra, size = n, prob = exito)

variables
##   [1]  6  7  7  5  7  7  7  5  8 10  3  8  6  6  8  5  6  8  9  6  4  9  5  5  6
##  [26]  9  9  8  9  8  3  9  9  8  6  5  9  5  9  6  4  8  6  9  4  8  8  2  3  8
##  [51]  6  7  3  6  5  4  6  5  8  7  2  6  3  5  8  4  3  7  5  3  3  7  4  9  3
##  [76]  6  6  5  7 11  6  6  9  7  5  5 10  8  6  5  4  7  9  6  5  8  7  7  7  7
frecuencia = table(variables)
frecuencia
## variables
##  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 
##  2  9  7 16 19 16 15 13  2  1

Las probabilidades relativas de la muestra

probs <- prop.table(frecuencia)
probs
## variables
##    2    3    4    5    6    7    8    9   10   11 
## 0.02 0.09 0.07 0.16 0.19 0.16 0.15 0.13 0.02 0.01
tablaexp <- data.frame(x=1:length(frecuencia), f.prob.x = as.vector(probs), f.acum.x = cumsum(as.vector(probs)))
tablaexp
##     x f.prob.x f.acum.x
## 1   1     0.02     0.02
## 2   2     0.09     0.11
## 3   3     0.07     0.18
## 4   4     0.16     0.34
## 5   5     0.19     0.53
## 6   6     0.16     0.69
## 7   7     0.15     0.84
## 8   8     0.13     0.97
## 9   9     0.02     0.99
## 10 10     0.01     1.00

4.3.3.9 Visualizando las probabilidades del experimento

A partir de la nueva tabla del experimento se compara con la tabla original en dos g´rfias

Con la función par(mfrow=c(1,2)) se puede ver dos gráficas tipo plot() al mismo tiempo en el mismo renglón.

par(mfrow=c(1,2))

plot(x = tabla$x, y=tabla$f.prob.x, type = "h", xlab = "X", ylab= "f(x)", main = "15 pacientes")

plot(x = tablaexp$x, y=tablaexp$f.prob.x, type = "h", xlab = "X", ylab= "f(x)", xlim = c(0,15), ylim = range(0, 0.20), main="Simulando 100 pacientes")

## 4.3.4 Aprobar un examen Un estudio refleja que al aplicar un examen de estadística la probabilidad de aprobar (éxito) es del 60%. Se pide lo siguiente:

Encuentre la tabla de distribución binomial para 30 estudiantes que presentan el examen

¿Cuál es la probabilidad de que aprueben 5 alumnos? [1] “La probabilidad de que aprueben 5 es de 0.000000159953807533”

¿Cuál es la probabilidad de que aprueben 10 alumnos? [1] “La probabilidad de que aprueben 10 es de 0.000634124016535054”

¿Cuál es la probabilidad de que aprueben 15 o menos alumnos? [1] “La probabilida de que aprueben 15 o menos es de 0.175369053506829”

¿Cuál es la probabilidad de que aprueben entre 10 y 20 alumnos? [1] “La probabilidad de que aprueben entre 10 y 20 estudiantes es de: 0.820859632648177”

¿Cuál es la probabilidad de que aprueben mas de 25 alumnos? [1] “La probabilidad de que aprueben mas de 25 alumnos es de 0.00151007406638281”

Determinar el valor esperado VE. [1] “El valor esperado es: 18”

Determinar la varianza y su desviación estándard. [1] “La varianza es: 7.2” [1] “La desviación std es: 2.68”

4.3.4.1 Tabla de distribución binomial

Se incializan valores

x <- 0:30
n <- 30
exito <- 0.60
tabla <- data.frame(x=x, f.prob.x = dbinom(x = x, size = n, prob = exito), f.acum.x = pbinom(q = x, size = n, prob = exito))
tabla
##     x             f.prob.x             f.acum.x
## 1   0 0.000000000001152922 0.000000000001152922
## 2   1 0.000000000051881468 0.000000000053034389
## 3   2 0.000000001128421923 0.000000001181456312
## 4   3 0.000000015797906917 0.000000016979363229
## 5   4 0.000000159953807533 0.000000176933170762
## 6   5 0.000001247639698760 0.000001424572869522
## 7   6 0.000007797748117251 0.000009222320986774
## 8   7 0.000040102704603007 0.000049325025589781
## 9   8 0.000172942913600469 0.000222267939190250
## 10  9 0.000634124016535054 0.000856391955725303
## 11 10 0.001997490652085418 0.002853882607810724
## 12 11 0.005447701778414773 0.008301584386225485
## 13 12 0.012938291723735080 0.021239876109960601
## 14 13 0.026871836656988245 0.048111712766948846
## 15 14 0.048945131053800175 0.097056843820749084
## 16 15 0.078312209686080117 0.175369053506829159
## 17 16 0.110126544871050142 0.285495598377879189
## 18 17 0.136038673076003175 0.421534271453882614
## 19 18 0.147375229165670141 0.568909500619552144
## 20 19 0.139618638156950664 0.708528138776503003
## 21 20 0.115185376479484264 0.823713515255987683
## 22 21 0.082275268913917302 0.905988784169904804
## 23 22 0.050487096833540038 0.956475881003445050
## 24 23 0.026341094000107985 0.982816975003552917
## 25 24 0.011524228625047248 0.994341203628600123
## 26 25 0.004148722305017007 0.998489925933617184
## 27 26 0.001196746818754908 0.999686672752372107
## 28 27 0.000265943737501089 0.999952616489873214
## 29 28 0.000042740957812675 0.999995357447685862
## 30 29 0.000004421478394415 0.999999778926080274
## 31 30 0.000000221073919721 1.000000000000000000

4.3.4.2 Visualizar la tabla de distribucion

plot(x=tabla$x, y=tabla$f.prob.x, 
     type='h', las=1, lwd=6, xlab = paste(min(tabla$x), '-', max(tabla$x)), ylab = "f(x)")

## 4.3.4.3 Probabilidad de que aprueben 15 o menos alumnos Se calcula la probabilidad de P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)…+P(15) o la probabilidad acumulada cuando F(x=15)

prob <- pbinom(q = 15, size = n, prob = exito)
paste("La probabilida de que aprueben 15 o menos es de ", prob)
## [1] "La probabilida de que aprueben 15 o menos es de  0.175369053506829"

4.3.4.4 Probabilidad de que aprueben entre 10 y 20 alumnos

Se calcula la probabilidad acumulada de F(x=20)−F(x=10)

prob <- pbinom(q = 20, size = n, prob = exito) - pbinom(q = 10, size = n, prob = exito)
paste ("La probabilidad de que aprueben entre 10 y 20 estudiantes es de: ", prob)
## [1] "La probabilidad de que aprueben entre 10 y 20 estudiantes es de:  0.820859632648177"

4.3.4.5 Probabilidad de que aprueben mas de 25 alumnos

Se debe calcular P(x≥26) o restar del el valor acumulado de 25 a 1. 1−F(x=26)

Con pbinom() y con lower.tail() = TRUE se encuentra la probabilidad.

prob <- pbinom(q = 25, size = n, prob = exito, lower.tail = FALSE)
paste ("La probabilidad de que aprueben mas de 25 alumnos es de ", prob)
## [1] "La probabilidad de que aprueben mas de 25 alumnos es de  0.00151007406638281"

4.3.4.6 Valor esperado

El valor esperado es la cantidad de alumnos que aprueben el examen.

VE <- n * exito
paste("El valor esperado es: ",VE)
## [1] "El valor esperado es:  18"

4.3.4.7 Varianza y desviación

Varianza

varianza <- n * exito *( 1 - exito)
paste ("La varianza es: ", round(varianza,2))
## [1] "La varianza es:  7.2"
desviacion.std <- sqrt(varianza)
paste("La desviación std es: ", round(desviacion.std, 2))
## [1] "La desviación std es:  2.68"

4.3.5 Autobuses contaminantes

Suponga que un grupo de agentes de tránsito sale a una vía principal para revisar el estado de los autobuses de transporte intermunicipal. De datos históricos se sabe que un 10% de los camiones generan una mayor cantidad de humo de la permitida. En cada jornada los agentes revisan siempre 18 unidades (autobuses), asuma que el estado de un autobus es independiente del estado de los otros buses. (Hernández 2021).

Construir la tabla de distribución

Visualizar la densidad o las probabilidades para cada variable discreta

Calcular la probabilidad de que se encuentren exactamente 2 buses que generan una mayor cantidad de humo de la permitida. [1] “La probabilidad de encontrar dos camiones contaminantes es de : 0.283512088894332”

Calcular la probabilidad de que el número de autobuses que sobrepasan el límite de generación de gases sea al menos 4. [1] “La probabilidad de encontrar menos de cuatro camiones es de: 0.971806143486743”

Calcular la probabilidad de que existan MAS DE TRES (a partir de CUATRO) autobuses que emitan gases por encima de lo permitido en la norma [1] “La probabilidad de encontrar menos de cuatro camiones es de: 0.0281938565132567”

Calcular el valor esperado. es 1.8

Calcular la varianza y la desviación. [1] “La desviación std es: 1.27” [1] “La varianza es: 1.62”

Interpretar el caso. Con todas estas funciones(formulas), me da la oportunidad de ser mas eficaz en lo que deseo obtener, quiza y en estos momentos es un poco mas complicado, pero es bueno practicar seguido con las librerias que cargamos o bien con las formulas para asi tenerlas en mente y se nos haga mas facil realizar las probabilidades.

4.3.5.1 Construir la tabla de distribución

Se inicializan variables

x <- 0:18
n <- 18
exito <- 0.10
tabla <- data.frame(x=x, f.prob.x = dbinom(x = x, size = n, prob = exito), f.acum.x = pbinom(q = x, size = n, prob = exito))
tabla
##     x             f.prob.x  f.acum.x
## 1   0 0.150094635296999152 0.1500946
## 2   1 0.300189270593998137 0.4502839
## 3   2 0.283512088894331660 0.7337960
## 4   3 0.168007163789233555 0.9018032
## 5   4 0.070002984912180641 0.9718061
## 6   5 0.021778706417122911 0.9935848
## 7   6 0.005243021915233281 0.9988279
## 8   7 0.000998670840996817 0.9998265
## 9   8 0.000152574711818958 0.9999791
## 10  9 0.000018836384175180 0.9999980
## 11 10 0.000001883638417518 0.9999998
## 12 11 0.000000152213205456 1.0000000
## 13 12 0.000000009865670724 1.0000000
## 14 13 0.000000000505931832 1.0000000
## 15 14 0.000000000020076660 1.0000000
## 16 15 0.000000000000594864 1.0000000
## 17 16 0.000000000000012393 1.0000000
## 18 17 0.000000000000000162 1.0000000
## 19 18 0.000000000000000001 1.0000000

4.3.5.2 Visualizar probabilidades

Se muestran las probabilidades de cada variable discreta usando directamente la función plot()

plot(x=tabla$x, y=tabla$f.prob.x, 
     type='h', las=1, lwd=6, xlab = paste(min(tabla$x), '-', max(tabla$x)), ylab = "f(x)")

## 4.3.5.3 Probabilidad de que se encuentren exactamente 2 buses

x <- 2
prob <- dbinom(x = x, size = n, prob = exito)
paste ("La probabilidad de encontrar dos camiones contaminantes es de : ", prob)
## [1] "La probabilidad de encontrar dos camiones contaminantes es de :  0.283512088894332"

4.3.5.4 Probabilidad de menos de cuatro autobuses

Se requiere encontrar la probabilidad de cuando la variables tenga valores entre cero y cuatro. P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)+P(x=3)+P(x=4) o lo que es lo mismo P(x≤4) o en términos de probabilidad acumulada F(x=4).

x <- 4
prob <- pbinom(q = x, size = n, prob = exito)
paste ("La probabilidad de encontrar menos de cuatro camiones es de: ", prob)
## [1] "La probabilidad de encontrar menos de cuatro camiones es de:  0.971806143486743"

4.3.5.5 Probabilidad de MAS de tres autobuses

Se requiere encontrar la probabilidad de cuando la variables tenga valores entre cuatro y dieciocho. P(x=4)+P(x=5)+P(x=6)+P(x=7)…+…P(x=18) o lo que es lo mismo P(x≥3) o en términos de probabilidad acumulada F(x=18)−F(x=4)

x1 <- 4
x2 <- 18
prob <- pbinom(q = x2, size = n, prob = exito) - pbinom(q = x1, size = n, prob = exito)  
paste ("La probabilidad de encontrar menos de cuatro camiones es de: ", prob)
## [1] "La probabilidad de encontrar menos de cuatro camiones es de:  0.0281938565132567"
pbinom(q = 4, size = n, prob = exito, lower.tail = FALSE)
## [1] 0.02819386

4.3.5.6 Valor esperado

VE <- n * exito
paste("El valor esperado es: ",VE)
## [1] "El valor esperado es:  1.8"

4.3.5.7 Varianza y desviación

Varianza

varianza <- n * exito *( 1 - exito)
paste ("La varianza es: ", round(varianza,2))
## [1] "La varianza es:  1.62"
desviacion.std <- sqrt(varianza)
paste("La desviación std es: ", round(desviacion.std, 2))
## [1] "La desviación std es:  1.27"

4.3.5.8 Valores aleatorios

Se utiliza la función rbinom() para simular un estudio y generar valores aleatorios conforme a la distribución binomial.

El estudio o la simulación se hace con un experimento de 100 camiones, a partir del estudio previo de 18 camiones.

n.muestra <- 100
muestra <- rbinom(n = n.muestra, size = n, prob = exito)
muestra
##   [1] 1 1 0 3 2 1 1 1 1 2 2 1 2 2 1 2 0 1 0 0 2 1 1 2 2 1 1 3 2 1 1 1 2 2 4 0 1
##  [38] 4 0 1 1 5 2 1 0 1 4 3 0 2 1 0 1 2 0 2 3 1 2 2 1 1 1 2 0 3 3 1 1 2 0 3 2 0
##  [75] 0 1 1 0 2 2 3 1 1 2 2 1 3 2 2 1 2 0 1 2 1 4 1 2 0 2
table(muestra)
## muestra
##  0  1  2  3  4  5 
## 17 38 31  9  4  1
data.frame(prob = prop.table(table(muestra)))
##   prob.muestra prob.Freq
## 1            0      0.17
## 2            1      0.38
## 3            2      0.31
## 4            3      0.09
## 5            4      0.04
## 6            5      0.01

Se observa que los mayores valores probabilísticos está entre 1 y 3, entonces la muestra se relaciona con los valores probabilísticos del origen de los datos

Referencias bibliográficas

Anderson, David R., Dennis J. Sweeney, and Thomas A. Williams. 2008. Estadística Para Administración y Economía. 10th ed. Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur: Cengage Learning,. Hernández, Freddy. 2021. “Manual de r. Distribuciones Discretas.” https://fhernanb.github.io/Manual-de-R/. “La Distribución Binomial o de Bernoulli.” n.d. https://www.profesor10demates.com/2014/04/la-distribucion-binomial-o-de-bernoulli_3.html. Mendenhall, William, Robert J. Beaver, and Barbara M. Beaver. 2006. Introducción a La Probabilidad y Estadística. 13a Edición. R CODER Binom. n.d. “La Función Dbinom.” https://r-coder.com/distribucion-binomial-r/. Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers, and Sharon L. Myers. 2012. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Novena Edición. México: Pearson.