1 Objetivo

Identificar variables aleatorias continuas y calcular la función de densidad y probabilidades con la distribución de probabilidad uniforme

2 Descripcion

Realizar ejercicios del uso de variables continuas mediante la distribución de probabilidad uniforme.

3 Fundamento teorico

Una diferencia fundamental entre las variables aleatorias discretas y las variables aleatorias continuas es cómo se calculan las probabilidades.

En las variables aleatorias discretas la función de probabilidad f(x) da la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor determinado.

En las variables aleatorias continuas, la contraparte de la función de probabilidad es la función de densidad de probabilidad, que también se denota f(x) .

Cuando se calculan probabilidades de variables aleatorias continuas se calcula la probabilidad de que la variable aleatoria tome alguno de los valores dentro de un intervalo.

La diferencia está en que la función de densidad de probabilidad no da probabilidades directamente. Si no que el área bajo la curva de f(x) que corresponde a un intervalo determinado proporciona la probabilidad de que la variable aleatoria tome uno de los valores de ese intervalo(Anderson, Sweeney, and Williams 2008).

3.1 Distribucion de probabilidad uniforme

Siempre que una probabilidad sea proporcional a la longitud del intervalo, la variable aleatoria estará distribuida uniformemente (Anderson, Sweeney, and Williams 2008).

La distribución uniforme continua es una familia de distribuciones de probabilidad para variables aleatorias continuas, tales que para cada miembro de la familia, todos los intérvalos de igual longitud en la distribución en su rango son igualmente probables. El dominio está definido por dos parámetros, a y b , que son sus valores mínimo y máximo respectivamente.

La distribución o modelo uniforme puede considerarse como proveniente de un proceso de extracción aleatoria .El planteamiento radica en el hecho de que la probabilidad se distribuye uniformemente a lo largo de un intérvalo . Así : dada una variable aleatoria continua, x , definida en el intervalo [a,b] de la recta real, se dice que x tiene una distribución uniforme en el intérvalo [a,b].

### 3.1.1 Funcion de densidad de distribucion de probabilidad uniforme

\[ f(x)={1b−a0,para a≤x≤b,,en cualquier otro caso\]

La gráfica de esta función, conocida como curva o función de densidad, es un rectángulo, por ello la distribución uniforme continua se conoce también como distribución rectangular y es la más simple de las distribuciones continuas.(lifeder, n.d.)

3.1.2 Funcion de probabilidad F(x)

Para calcular probabilidades se puede determinar a función de la distribución F(X) o lo que es lo mismo la Función Acumulada de probabilidad de la distribución uniforme con la siguiente fórmula: \[F(x)=⎧⎩⎨⎪⎪0; para x≤ax−ab−a para a≤x≤b1; para x>b\]

La probabilidad únicamente depende del valor de (x−a)

En donde:

  • F(x) es la función de distribución o función de probabilidad acumulada

  • x es la variable aleatoria uniforme

  • a y b son los valores del intérvalo mínimo y máximo respectivamente.

O se puede determinar las probabilidades en los siguientes ejercicios calculando el área bajo el rectángulo en R haciendo las operaciones siguientes:

\[prob=(b−a)×f.dens(x)\]

siempre y cuando se haya determinado el valor de la densidad f.dens

o utilizar la función dunif() para calcular la densidad del área

\[prob=(b−a)×dunif(x=a:b,min=min,max=max)\]

(R CODER, n.d.)

o bien por medio de la función punif() que calcula y encuentra la probabilidad acumulada x−ab−a

\[prob=punif(q=vector de valores,min=min.intervalo,max=max.intervalo)\]

3.1.3 Valor Esperado

El cálculo del valor esperado y de la varianza de una variable aleatoria continua es análogo al de una variable aleatoria discreta. Sin embargo, como en este caso interviene el cálculo integral la deducción de estas fórmulas queda fuera de los ejercicios de este caso.

\[E(x)=(a+b)/2\]

3.1.4 Varianza

\[Var(x)=(b−a)2/12\]

3.1.5 Desviacion

\[α=Var(x)‾‾‾‾‾‾√\]

4 Desarrollo

4.1 Cargar librerias

  • Posiblemente se utilicen algunas de ellas
library(ggplot2)
library(dplyr)
## 
## Attaching package: 'dplyr'
## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     filter, lag
## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     intersect, setdiff, setequal, union
library(knitr)

options(scipen = 999) # Notación normal

Cargar funciones de las cuales interesa una función para visualizar gráficas de distribuciones uniformes plotunif().

source ("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/funciones/misfunciones.r")

4.2 Solucion de ejercicios

Se identifican ejejrcicios de distribucion de probabilidad uniforme

4.2.1 Vuelo de un avion

Considere una variable aleatoria x que representa el tiempo de vuelo de un avión que viaja de Chicago a Nueva York. Suponga que el tiempo de vuelo es cualquier valor en el intervalo de 120 minutos a 140 minutos (Anderson, Sweeney, and Williams 2008).

Dado que la variable aleatoria x toma cualquier valor en este intervalo, x es una variable aleatoria continua y no una variable aleatoria discreta.

Hay que razonar que se cuenta con datos suficientes como para concluir que la probabilidad de que el tiempo de vuelo esté en cualquier intervalo de 1 minuto es el mismo que la probabilidad de que el tiempo de vuelo esté en cualquier otro intervalo de 1 minuto dentro del intervalo que va de 120 a 140 minutos.

Como cualquier intervalo de 1 minuto es igual de probable, se dice que la variable aleatoria x tiene una distribución de probabilidad uniforme (Anderson, Sweeney, and Williams 2008).

4.2.1.1 Funcion de densidad

La función de densidad de la distribución uniforme se calcula mediante al fórmula y ésta como tal no da la probabilidad, pero sirve para obtener la probabilidad determinando el área bajo la curva.

Tratándose de una distribución uniforme el área bajo la curva es la parte proporcional del rectángulo.

La variable f.dens es la función de densidad.

a.min <- 120
b.max <- 140
f.dens <- 1 / (b.max -a.min)

\[f(x)={1140−120=1200,para 120≤x≤140,,en cualquier otro caso\]

Se muestra el área bajo la curva usando geom_area() en la función ggplot() en programamión R.

Se utiliza las variables a.min y b.max como coordenadas de x y la altura que es la probabilidad previamente calculada para presentar el área.

altura <- f.dens
x <- c(a.min, b.max)
 y <- c(altura, altura)
datos <- data.frame(x, y)

ggplot(data = datos, aes(x,y )) +
  geom_area(fill = "lightblue") +
  xlim(100, 160) +
  ggtitle(label = "Distribución uniforme continua", subtitle = paste("f(x) = ",f.dens))

4.2.1.2 ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de vuelo se encuentre entre 120 y 130 minutos?

  • ¿cuál es P(120≤x≤130)?

  • La P(120≤x≤130)=0.50

4.2.1.2.1 Grafica del area bajo el rectangulo con plotunif() y unif_area()

Densidad 120-140

plotunif(min = 120, max = 140, lwd = 2, col = 4, main = "Función de densidad")

Densidad 120-130

unif_area(min = 120, max = 140, lb = 120, ub = 130,main = paste('f(x)=',f.dens))

Solucion aritmetica

Para encontrar la probabilidad de vuelo entre 130 y 120 es encontrar el área bajo la curva (el rectángulo en la distribución uniforme).

Si el área total de manera uniforme en un intérvalo de 120 a 140 es es 0.05, entonces en un intérvalo de 120 a 130 es la mitad del área.

La variable altura es igual al valor de la función de densidad en la distribución uniforme, las variables a y b son los valores del nuevo intérvalo que por supuesto están dentro del intérvalo original de 120 y 140.

Esta área es rectangular y el área de un rectángulo es simplemente el ancho multiplicado por la altura. Si el ancho del intervalo es igual a 130−120=10 y la altura es igual al valor de la función de densidad de probabilidad \[f(x)=1/20=0.05\] , se tiene, \[área=ancho×alto\] entonces, \[10×(120)=10×0.05=.50\] . (Anderson, Sweeney, and Williams 2008).

a <- 120
b <- 130

prob.x <- (b-a) * f.dens 
paste("La probabilidad de que el tiempo de vuelo se encuentre entre ", a , " y ", b, " minutos es del:", prob.x * 100, "%")
## [1] "La probabilidad de que el tiempo de vuelo se encuentre entre  120  y  130  minutos es del: 50 %"
4.2.1.2.3 SOlucion por medio de la funcion de densidad dunif()

Da el mismo resultado que usando la solución aritmética encontrando el área del rectángulo correspondiente.

prob.x <- (b - a) * dunif(x = a, min = a.min, max = b.max) 

prob.x
## [1] 0.5
4.2.1.2.4 Solucion por medio de la funcion de probabilidad punif()

Significa las probabilidad de que el vuelo tarde menos que 130 minutos o lo que es lo mismo que esté entre 120 y 130 minutos

punif(q = 130, min = 120, max = 140) - punif(q = 120, min = 120, max = 140)
## [1] 0.5

o de conforme a la fórmula de la probabilidad acumulada.

\[prob=x−a/b−a\]

prob <- (130 - 120) / (140-120)
prob
## [1] 0.5

4.2.1.3 ¿cuál es la probabilidad de un tiempo de vuelo entre 128 y 136 minutos?

  • ¿cuál es P(128≤x≤136)?
  • La P(128≤x≤136)=0.40
Solucion aritmetica
a <- 128
b <- 136

prob.x <- altura * (b-a)
prob.x
## [1] 0.4
paste("La probabilidad de que el tiempo de vuelo se encuentre entre ", a , " y ", b, " minutos es del:", prob.x * 100, "%")
## [1] "La probabilidad de que el tiempo de vuelo se encuentre entre  128  y  136  minutos es del: 40 %"
altura <- f.dens

x <- c(128, 136)
y <- c(altura, altura)
datos <- data.frame(x, y)

ggplot(data = datos) +
  geom_area(mapping = aes(x = x, y = y), fill = "lightblue") +
    xlim(100, 160) +
  ggtitle(label = "Distribución uniforme continua", subtitle = paste("f(x) = ",f.dens))

4.2.1.3.2 Solucion por medio de la funcion de densidad dunif()

Debe dar el mismo resultado

prob.x <- (b - a) * dunif(x = a, min = a.min, max = b.max) 

prob.x
## [1] 0.4
4.2.1.3.3 Solucion por medio de la funcion de probabilidad punif()

Se muestran todas las probabilidades acumuladas desde 120 a 140 bajo la distribución uniforme.

distribucion <- data.frame(x=120:140, prob.acum = punif(q = 120:140, min = 120, max = 140))
distribucion
##      x prob.acum
## 1  120      0.00
## 2  121      0.05
## 3  122      0.10
## 4  123      0.15
## 5  124      0.20
## 6  125      0.25
## 7  126      0.30
## 8  127      0.35
## 9  128      0.40
## 10 129      0.45
## 11 130      0.50
## 12 131      0.55
## 13 132      0.60
## 14 133      0.65
## 15 134      0.70
## 16 135      0.75
## 17 136      0.80
## 18 137      0.85
## 19 138      0.90
## 20 139      0.95
## 21 140      1.00

punif() determina la probabilidad acumulada, entonces de la probabilidad acumulada hasta 136 se le resta la probabilidad acumulada hasta 128 y con ello la diferencia es la probabilidad entre 128 y 136.

ggplot(data = distribucion, mapping = aes(x = x, y = prob.acum)) + 
  geom_line()

de 128 a 136

unif_area(min = 120, max = 140, lb = 128, ub = 136,main = paste('f(x)=',f.dens))

con punif()

punif(q = 136, min = 120, max = 140) - punif(q = 128, min = 120, max = 140)
## [1] 0.4

\[prob=x=136−ab−a−x=128−ab−a\]

prob <- (136-120)/(140-120) - (128-120)/(140-120)
prob
## [1] 0.4

4.2.1.4 Valor esperado

\[E(x)=(120+140)2=130\]

VE <- (a.min + b.max) / 2
paste("El valor esperado es de: ", VE)
## [1] "El valor esperado es de:  130"
  • El valor esperado es el tiempo medio en que puede llegar el avión.

4.2.1.5 Varianza

\[Var(x)=(140−120)212=33.33\]

varianza.x <- (b.max - a.min)^2 / 12

paste("La varianza es: ", round(varianza.x,2))
## [1] "La varianza es:  33.33"

4.2.1.6 Desviacion

\[α=Var(x)‾‾‾‾‾‾√=33.33‾‾‾‾‾√=5.77\]

ds <- sqrt(varianza.x)
paste("La desviación estándard es igual a : ", round(ds, 2), " que significa que ese valor se dispersa conforme al valor medio esperado de ", VE)
## [1] "La desviación estándard es igual a :  5.77  que significa que ese valor se dispersa conforme al valor medio esperado de  130"
4,.2.1.6.1
  • Pedeinte

4.2.2 Caso de lcitaciones

Al estudiar licitaciones de embarque, una empresa dedicada a la fabricación de circuitos impresos, encuentra que los contratos nacionales tienen licitaciones distribuidas uniformemente entre 20 y 25 unidades (en miles de dólares).(Aqueronte 2009)

Se determina lo siguiente:

  • Función de densidad

  • ¿Cuál es la probabilidad de que la licitación esté entre 22 y 24 (mil dólares)?

  • ¿Cuál es la probabilidad de que sea inferior a 22 (mil dólares)?

  • ¿Cuál es la probabilidad de que rebase los 24 (mil dólares)?

  • ¿Cuál es el valor esperado?

  • ¿Cuál es la varianza?

  • ¿Cuál es la desviación estándard?

4.2.2.1 Funcion de densidad

a.min <- 20
b.max <- 25
f.dens <- 1 / (b.max - a.min)
f.dens
## [1] 0.2

\[f(x)={125−20=150,para 20≤x≤25,,en cualquier otro caso \]

4.2.2.2 ¿Cuál es la probabilidad de que la licitación esté entre 22 y 24 (mil dólares)?

  • ¿P(22≤x≤24)?
  • La P(22≤x≤24)=0.40
4.2.2.2.1 Solucion aritmetica
a <- 22
b <- 24

p.x <- f.dens * (b-a)
paste("La probabilidad de que la licitación esté entre ", a , " y ", b, " es del:", p.x * 100, "%")
## [1] "La probabilidad de que la licitación esté entre  22  y  24  es del: 40 %"
4.2.2.2.2 Solucion por medio de la funcion de densidad punif()
p.x <- (b - a) * dunif(x = a, min = a.min, max = b.max) 

p.x
## [1] 0.4
4.2.2.2.3 Solucion con punif()
prob <- punif(q = 24, min = 20, max = 25) - punif(q = 22, min = 20, max = 25)
prob
## [1] 0.4
4.2.2.2.4 Solucion co F(x)
a <- 20
b <- 25
prob <- (x=24-a) / (b-a) - (x=22-a) / (b-a)
prob
## [1] 0.4

4.2.2.3 Cual es la probabildad de que se ainferios a 22 (mil dolares)

#####4.2.2.3.1 SOlucion aritmetica

a <- 20
b <- 22

p.x <- f.dens * (b-a)
paste("La probabilidad de que sea inferior a ", b , " (mil dólares) es del: ", p.x * 100, "%")
## [1] "La probabilidad de que sea inferior a  22  (mil dólares) es del:  40 %"
4.2.2.3.2 Solucion por medio de la funcion de densidad dunif()
a <- 20
b <- 22

p.x <- (b - a) * dunif(x = a, min = a.min, max = b.max)

4.2.2.4 Probabilidad de que rebase los 24 (mil dolares)

Pendiente

4.2.3 Taxis en Durango

En la zona centro de la ciudad de Durango, México el tiempo de espera para tomar un taxi es de 0 a 15 minutos.

  • Valor mínimo es 0

  • Valor máximo es de 15

4.2.3.1 Funcion de densidad

f.dens <- dunif(0, min = 0, max = 15)
f.dens
## [1] 0.06666667

4.2.3.2 Cual es la probabilidad de tomar un taxi en menos de 5 minutos?

unif_area(min = 0, max = 15, lb = 0, ub = 5,main = paste('f(x)=',f.dens), acolor = "lightblue")

4.2.3.2.1 Solucion aritmetica
a <- 0
b <- 5

prob <- (b-a) * f.dens 
prob
## [1] 0.3333333
4.2.3.2.2 Solucion con dunif()
prob <- (b-a) * dunif(0, min = 0, max = 15)
prob
## [1] 0.3333333
4.2.3.2.3 Solucion con punif()
prob <- punif(q = 5, min = 0, max = 15) - punif(q = 0, min = 0, max = 15)
prob
## [1] 0.3333333
2.3.2.4 Solucion F(x)
x <- 5
a <- 0
b <- 15
prob <- (x-a)/(b-a)
prob
## [1] 0.3333333

4.2.4 Compania de luz

Una compañía que brinda servicio eléctrico provee niveles de voltajes uniformemente distribuidos, entre 123.0 V y 125.0 V. Esto significa que en la toma doméstica es posible obtener cualquier valor de voltaje que pertenezca a dicho intervalo.

4.2.4.1 ¿Cual es el valor de la función de densidad?

a <- 123
b <- 125
1 / (b-a)
## [1] 0.5
f.dens <- dunif(123, min = 123, max = 125)
f.dens
## [1] 0.5

4.2.4.2 Cual es la probabilidad de que la compania envie un voltaje menor a 123.5V?

unif_area(min = 123, max = 125, lb = 123, ub = 123.5,main = paste('f(123 <= x <= 125) = ? y F(x<123.5) = ?' ), acolor = "lightblue")

4.2.4.2.1 Solucion aritmetica calculando el area con dunif()
b <- 123.5
a <- 123
prob <- (b-a) * f.dens
prob
## [1] 0.25
4.2.4.2.2 Solucion con punif()

Se muestra la tabla de distribución con la probabilidad acumulada con valores de variables aleatorias generados por una secuencia a con valor inicial de 123 con saltos de 0.1 en 0.1 hasta llegar a un valor de 125.

variables <- seq(from=123, to=125, by=0.1) 
tabla <- data.frame(variables, prob.acum = punif(q = variables, min = 123, max = 125))
tabla
##    variables prob.acum
## 1      123.0      0.00
## 2      123.1      0.05
## 3      123.2      0.10
## 4      123.3      0.15
## 5      123.4      0.20
## 6      123.5      0.25
## 7      123.6      0.30
## 8      123.7      0.35
## 9      123.8      0.40
## 10     123.9      0.45
## 11     124.0      0.50
## 12     124.1      0.55
## 13     124.2      0.60
## 14     124.3      0.65
## 15     124.4      0.70
## 16     124.5      0.75
## 17     124.6      0.80
## 18     124.7      0.85
## 19     124.8      0.90
## 20     124.9      0.95
## 21     125.0      1.00
prob <- punif(q = 123.5, min = 123, max = 125) - punif(q = 123, min = 123, max = 125)
prob
## [1] 0.25
4.2.4.2.3 Solucion con (x-a)(b-a)
prob <- (x=123.5 - 123) / (125 - 123) - (x=123 - 123) / (125 - 123)
prob
## [1] 0.25

4.2.4.2 Cual es el valor esperado?

4.2.4.4 Cual es la varianza y desviacion estandar de la distribucion?

5 Interpretacion

En el caso de el vuelo de un avion se ve que el vuelo puede lugar entre 120 y 140 minutos, en este caso, cada intervalo de 1 minuto tiene la misma probabilid, esto se le llama distribucion de probabilidad uniforme. En el caso de las licitaciones se busca la rpobabilidad de que las licitaciones esten en diferenetes rangos, por ejemplo entre 22 y 24, menor a 22, mayor a 24. como cada posibilidad tiene la misma probabilidad, solamente se introducen los rangos a una equacion para obtener la probabilidaa. Como en el caso de las licitaciones, en el caso de la compania de liz se tiene que sacar la densidad la cual se obtiene dividiendo 1 entre el valor maximo menos el valor minimo. Para obtener la probabilidad de que se obtenga un valor dentro de un rango especifico se subtraen el vaor maximo del rango menos el valor minimo del rango, y se multiplica por la densidad que se calculo al principio del caso.

Referencias bibliograficas

Anderson, David R., Dennis J. Sweeney, and Thomas A. Williams. 2008. Estadística Para Administración y Economía. 10th ed. Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur: Cengage Learning,. Aqueronte. 2009. “R: Distribución Uniforme. R: Distribución Uniforme.” 2009. http://unbarquero.blogspot.com/2009/05/r-distribucion-uniforme.html. lifeder. n.d. “Distribución Uniforme Continua: Características, Ejemplos, Aplicaciones.” https://www.lifeder.com/distribucion-uniforme-continua/. R CODER. n.d. “Distribución Uniforme Continua En r.” https://r-coder.com/distribucion-uniforme-r/#:~:text=Distribuci%C3%B3n%20uniforme%20continua%20en%20R&text=La%20distribuci%C3%B3n%20uniforme%20es%20una,distribuci%C3%B3n%20acumulan%20la%20misma%20probabilidad.