1 Objetivo

Encontrar probabilidades de acuerdo a la distribución binomial.

2 Descripción

Identificar ejercicios casos de la literatura de distribuciones de probabilidad binomial y realizar cálculos de probabilidades, determinar el valor esperado y calcualr la varianza y la desviación.

Los ejercicios que se presenta utilizan funciones relacionadas con la distribución binomial dbinom() pbinom(), rbinom() en algunos ejercicios del caso se utiliza la función f.prob.binom() previamente codificada y que encapsula la fórmula para determinar probabilidad binomiales.

3 Fundamento teórico

El experimento de lanzar al aire una moneda es un ejemplo sencillo de una importante variable aleatoria discreta llamada variable aleatoria binomial. Muchos experimentos prácticos resultan en datos similares a que salgan cara o cruz al tirar la moneda (Mendenhall, Beaver, and Beaver 2006)

Un experimento binomial es el que tiene estas cinco características:

El experimento consiste en \(n\) intentos idénticos.
Cada intento resulta en uno de dos resultados, el resultado uno se llama éxito, ‘S,’ y el otro se llama fracaso, ‘F.’
La probabilidad de éxito en un solo intento es igual a pp y es igual de un intento a otro. La probabilidad de fracaso es igual a \(q=(1−p).\)
Los intentos son independientes.
El interés es el valor de \(x\), o sea, el número de éxitos observado durante los \(n\) intentos, para \(x=0,1,2,...,n.\) (Mendenhall, Beaver, and Beaver 2006).

Un experimiento de Bernoulli puede tener como resultado un éxito con probabilidad \(p\) y un fracaso con probabilidad \(q=1−p.\) Entonces, la distribución de probabilidad de la variable aleatoria binomial \(x\), el número de éxito \(k\) en \(n\) ensayos independientes (Walpole, Myers, and Myers 2012):

Fórmula: \[prob(x=k) = \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot q^{(n-k)}\]

Para \[x=0,1,2,3...n\]

y recordando las combinaciones cuantos éxitos \(k\) en \(n\) ensayos. \[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\cdot(n-k)!}\]

El valor esperado está dado por: \[\mu = n \cdot p\]

La varianza y la desviación estándard se determinan mediante: \[\sigma^{2} = n \cdot p \cdot(1-p)\]

y \[\sigma = \sqrt{\sigma^{2}}\]

En programación R, para calcular la función de probabilidad binomial para un conjunto de valores discretos, \(x\), un número de ensayos \(n\) y una probabilidad de éxito \(p\) se puede hacer uso de la función dbinom().

De semejante forma, para calcular la probabilidad acumulada de una distribución binomial se puede utilizar la función pbinom() o para calcular la probabilidad de que una variable aleatoria \(x\) que sigue una distribución binomial tome valores menores o iguales a \(x\) puedes hacer uso de la función pbinom() (R CODER Binom, n.d.).

4 Desarrollo

4.1 Cargar librerías

library(dplyr)
library(ggplot2)
library(mosaic) # Gráficos de distribuciones

options(scipen=999) # Notación normal

# options(scipen=1) # Notación científica

4.2 Cargar funciones

Se carga función de servicio github o de manera local

#source("../funciones/funciones.distribuciones.r")

# o

source("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/funciones/funciones.distribuciones.r")

Se determina una semilla porque algunos ejercicios calculan valores aleatorios.

set.seed(2021)

4.3 Ejercicios

4.3.1 Tienda de ropa MartinClothingStore

Tienda de ropa MartinClothingStore (Anderson, Sweeney, and Williams 2008)

De acuerdo con la experiencia, el gerente de la tienda estima que la probabilidad de que un cliente realice una compra es 0.30.

Identificar las probabilidad para cuando se compre 0,1,2,3, determinar la tabla de probabilidad incluyendo probabilidad acumulada
Encontrar la probabilidad de que compren dos clientes
Encontrar la probabilidad de que compren los tres próximos clientes.
Encontrar la probabilidad de que sean menor o igual que dos.
Calcular la probabilidad de que sean mayor que dos
Determinar el valor esperado y su significado
Determinar la varianza y la desviación estándar y si significado
Interpretar

4.3.1.1 Probabilidad para 0,1,2,3 y tabla de distribución

Identificar las probabilidad para cuando se compre 0,1,2,3, determinar la tabla de probabilidad incluyendo probabilidad cumulada

Inicializar valores

x <- c(0,1,2,3)
n <- 3
exito <- 0.30

Determinar tabla de probabilidad usando la función creada y conforme a la fórmula

tabla1 <- data.frame(x=x, f.prob.x = f.prob.binom(x,n,exito), f.acum.x = cumsum(f.prob.binom(x,n,exito)))
tabla1

##   x f.prob.x f.acum.x
## 1 0    0.343    0.343
## 2 1    0.441    0.784
## 3 2    0.189    0.973
## 4 3    0.027    1.000

Determinar tabla de probabilidad usando función propia de los paquetes base de R dbinom()

tabla2 <- data.frame(x=x, f.prob.x = dbinom(x = x, size = n, prob = exito), f.acum.x = cumsum(dbinom(x = x, size = n, prob = exito)))
tabla2

##   x f.prob.x f.acum.x
## 1 0    0.343    0.343
## 2 1    0.441    0.784
## 3 2    0.189    0.973
## 4 3    0.027    1.000

con pbinom() en lugar de cumsum()

tabla3 <- data.frame(x=x, f.prob.x = dbinom(x = x, size = n, prob = exito), f.acum.x = pbinom(q = x, size = n, prob = exito))
tabla3

##   x f.prob.x f.acum.x
## 1 0    0.343    0.343
## 2 1    0.441    0.784
## 3 2    0.189    0.973
## 4 3    0.027    1.000

4.3.1.2 Visualizar tabla de distribución

plotDist(dist = "binom", size=3, prob=0.30,xlab = paste("Variables ",min(tabla1$x),"-",max(tabla1$x) ))

plotDist(dist = "binom", size=3, prob=0.30,xlab = paste("Variables ",min(tabla1$x),"-",max(tabla1$x) ), kind = "histogram")

4.3.1.3 Probabilidad de que compren dos clientes

Encontrar la probabilidad de que compren dos clientes

Identificar la probabilidad cuando \(P(x=2)\) de la tabla.
Se puede usar tabla1, tabla2 o tabla3 es la misma.

valor.x <- 2
la.probabilidad <- filter(tabla1, x == valor.x) 
la.probabilidad

##   x f.prob.x f.acum.x
## 1 2    0.189    0.973

paste("La probabilidad cuando x es ", valor.x, " es igual a : ", la.probabilidad$f.prob.x )

## [1] "La probabilidad cuando x es  2  es igual a :  0.189"

Usando dbinom()

dbinom(x = 2, size = 3, prob = exito)

## [1] 0.189

4.3.1.4 Probabilidad de que compren los tres próximos clientes

Encontrar la probabilidad de que compren los tres próximos clientes

Identificar la probabilidad cuando \(P(x=3)\) de la tabla.
Se puede usar tabla1, tabla2 o tabla3 es la misma.

valor.x <- 3
la.probabilidad <- filter(tabla1, x == valor.x) 
la.probabilidad

##   x f.prob.x f.acum.x
## 1 3    0.027        1

paste("La probabilidad cuando x es ", valor.x, " es igual a : ", la.probabilidad$f.prob.x )

## [1] "La probabilidad cuando x es  3  es igual a :  0.027"

Usando dbinom()

dbinom(x = 3, size = 3, prob = exito)

## [1] 0.027

4.3.1.5 Probabilidad de que sean menor o igual que dos

Encontrar la probabilidad de que sean menor o igual que dos

Ahora usar la función acumulada por la pregunta
\(P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)\)

valor.x <- 2
la.probabilidad <- filter(tabla1, x == valor.x) 
la.probabilidad

##   x f.prob.x f.acum.x
## 1 2    0.189    0.973

paste("La probabilidad de que sea menor o igual a ", valor.x, " es igual a : ", la.probabilidad$f.acum.x )

## [1] "La probabilidad de que sea menor o igual a  2  es igual a :  0.973"

Usando pbinom()

pbinom(q = 2, size = 3, prob = exito)

## [1] 0.973

4.3.1.6 Probabilidad de que sean mayor que dos

La expresión lower.tail = FALSE como atributo de la función pbinom() significa encontrar en la tabla de distribución la sumatoria de las probabilidades a partir de el valor de \(x\), o lo que es lo mismo,\(1−prob.acum(x), 1−0.97=0.27\).

pbinom(q = 2, size = 3, prob = exito, lower.tail = FALSE)

## [1] 0.027

4.3.1.7 Valor esperado

Determinar el valor esperado y su significado

El valor esperado de la distribución binomial

\[\mu = n \cdot p\]

Siendo \(p\) el éxito de la probabilidad y \(n\) el número de experimentos

VE <- n * exito
paste ("El valor esperado es: ", VE)

## [1] "El valor esperado es:  0.9"

El valor esperado \(VE\) significa el valor medio o el valor promedio de todos valores de la distribución de probabilidad.

4.3.1.8 Varianza y desviación estándar

Determinar la varianza y la desviación estándar y su significado.

La varianza en la distribución binomia

\[\sigma^{2} = n \cdot p \cdot(1-p)\]

varianza <- n * exito *( 1 - exito)
paste ("La varianza es: ", round(varianza,2))

## [1] "La varianza es:  0.63"

La desviación

\[\sigma = \sqrt{\sigma^{2}}\]

desviacion.std <- sqrt(varianza)
paste("La desviación std es: ", round(desviacion.std, 2))

## [1] "La desviación std es:  0.79"

4.3.1.9 Interpretar el ejercicio

Durante el ejercicio se nos presentó el caso de la tienda de ropa llamada “MartinClothingStore” la cual se estima que la probabilidad de que un cliente realice una compra es del 30% aproximadamente, después se estimaron las probabilidades de que 0, 1, 2 o 3 clientes compraran algo en la tienda, con esto se puede determinar si la tienda tendrá éxito o va a fracasar en cuanto a ventas, gracias a la tabla de distribución podemos observar que es más probable que compre 1 sola persona y lo menos probable es que compren 3 personas, con lo cual podemos observar que va aumentando la probabilidad de que la tienda fracase. Nuestro valor esperado es de 0.9 con una desviación estándar de 0.79

4.3.2 Jugador de basquetbol

Un jugador encesta con probabilidad 0.55. (“La Distribución Binomial o de Bernoulli,” n.d.):

Determinar las probabilidad de los tiros del 1 al 6 con la tabla de probabilidad
Determinar la probabilidad de encestar cuatro tiros \(P(x=4)\)
Determinar la probabilidad de encestar todos tiros o sea seis \(P(x=6)\)
Determinar la probabilidad de encestar al menos tres \(P(x≤3)\) o, \(P.acum(x=3)\)
Determinar el valor esperado VE
Determinar la varianza y su desviación estándard
Interpretar el ejercicio

4.3.2.1 Tabla de probabilidad (0-6)

Se construye la tabla de probabilidades tal y como se construye usando el código de tabla3

Se inicializan valores:

x <- 0:6
n <- 6
exito <- 0.55

tabla <- data.frame(x=x, f.prob.x = dbinom(x = x, size = n, prob = exito), f.acum.x = pbinom(q = x, size = n, prob = exito))
tabla

##   x    f.prob.x    f.acum.x
## 1 0 0.008303766 0.008303766
## 2 1 0.060894281 0.069198047
## 3 2 0.186065859 0.255263906
## 4 3 0.303218437 0.558482344
## 5 4 0.277950234 0.836432578
## 6 5 0.135886781 0.972319359
## 7 6 0.027680641 1.000000000

4.3.2.2 Visualización de probabilidades

Dos formas de visualizar las probabilidades

plotDist(dist = "binom", size=n, prob=exito,xlab = paste("Variables ",min(tabla$x),"-",max(tabla$x) ))

plot(x = tabla$x, y=tabla$f.prob.x, type = "h", xlab = paste(min(tabla$x), '-', max(tabla$x)), ylab= "f(x)")

4.3.2.3 Probabilidad de encestar cuatro tiros

Calcular la probabilidad de encestar cuatro tiros \(P(x=4)\)

dbinom(x = 4, size = n, prob = exito)

## [1] 0.2779502

4.3.2.4 Probabilidad de encestar todos los tiros

Determinar la probabilidad de encestar todos tiros o sea seis \(P(x=6)\)

dbinom(x = 6, size = n, prob = exito)

## [1] 0.02768064

4.3.2.5 Probabilidad de encestar al menos tres

Usando la función pbinom()

pbinom(q = 3, size = n, prob = exito)

## [1] 0.5584823

o utilizando el renglón de la tabla de distribución en la columna de probabilidad acumulada f.acum.x.

valor.x <- 3
la.probabilidad <- filter(tabla, x == valor.x) 
la.probabilidad

##   x  f.prob.x  f.acum.x
## 1 3 0.3032184 0.5584823

4.3.2.6 Valor esperado

VE <- n * exito
paste("El valor esperado es: ",VE)

## [1] "El valor esperado es:  3.3"

El valor esperado de 3.3 significa que es lo que se espera encestar en promedio de los \(n=\) 6 tiros.

4.3.2.7 Varianza y desviación

Varianza

varianza <- n * exito *( 1 - exito)
paste ("La varianza es: ", round(varianza,2))

## [1] "La varianza es:  1.48"

Desviación

desviacion.std <- sqrt(varianza)
paste("La desviación std es: ", round(desviacion.std, 2))

## [1] "La desviación std es:  1.22"

De el valor esperado 3.3 hay una desviación aproximada de 1.2186058 hacia arriba o hacia abajo.

4.3.2.8 Interpretacion del ejercicio

En este ejercicio se sacaron las probabilidades de un jugador de basquetbol, cuya probabilidad de encestar es del 55%, en el ejercicio obtuvimos las probabilidades de éxito de anota 0, 1, 2, 3, 4, 5 o 6 canastas. Podemos observar que las probabilidades de éxito tienen un pico de un máximo de 3 canastas, antes de eso la probabilidad de éxito tendía a subir pero después de las 3 canastas esta comenzó a bajar, esto concuerda un poco con el valor esperado con un valor de 3.3 y una desviación estándar de aproximadamente 1.22 hacia arriba o hacia abajo.

4.3.3 Aprobar un examen

Un estudio refleja que al aplicar un examen de estadística la probabilidad de aprobar (éxito) es del 60%. Se pide lo siguiente:

Encuentre la tabla de distribución binomial para 30 estudiantes que presentan el examen
¿Cuál es la probabilidad de que aprueben 5 alumnos?
¿Cuál es la probabilidad de que aprueben 10 alumnos?
¿Cuál es la probabilidad de que aprueben 15 o menos alumnos?
¿Cuál es la probabilidad de que aprueben entre 10 y 20 alumnos?
¿Cuál es la probabilidad de que aprueben mas de 25 alumnos?
Determinar el valor esperado VE y su significado.
Determinar la varianza y su desviación estándard y su significado.

4.3.3.1 Tabla de distribución binomial

Se incializan valores

x <- 0:30
n <- 30
exito <- 0.60

Se construye la tabla

tabla <- data.frame(x=x, f.prob.x = dbinom(x = x, size = n, prob = exito), f.acum.x = pbinom(q = x, size = n, prob = exito))
tabla

##     x             f.prob.x             f.acum.x
## 1   0 0.000000000001152922 0.000000000001152922
## 2   1 0.000000000051881468 0.000000000053034389
## 3   2 0.000000001128421923 0.000000001181456312
## 4   3 0.000000015797906917 0.000000016979363229
## 5   4 0.000000159953807533 0.000000176933170762
## 6   5 0.000001247639698760 0.000001424572869522
## 7   6 0.000007797748117251 0.000009222320986774
## 8   7 0.000040102704603007 0.000049325025589781
## 9   8 0.000172942913600469 0.000222267939190250
## 10  9 0.000634124016535054 0.000856391955725303
## 11 10 0.001997490652085418 0.002853882607810724
## 12 11 0.005447701778414773 0.008301584386225485
## 13 12 0.012938291723735080 0.021239876109960601
## 14 13 0.026871836656988245 0.048111712766948846
## 15 14 0.048945131053800175 0.097056843820749084
## 16 15 0.078312209686080117 0.175369053506829159
## 17 16 0.110126544871050142 0.285495598377879189
## 18 17 0.136038673076003175 0.421534271453882614
## 19 18 0.147375229165670141 0.568909500619552144
## 20 19 0.139618638156950664 0.708528138776503003
## 21 20 0.115185376479484264 0.823713515255987683
## 22 21 0.082275268913917302 0.905988784169904804
## 23 22 0.050487096833540038 0.956475881003445050
## 24 23 0.026341094000107985 0.982816975003552917
## 25 24 0.011524228625047248 0.994341203628600123
## 26 25 0.004148722305017007 0.998489925933617184
## 27 26 0.001196746818754908 0.999686672752372107
## 28 27 0.000265943737501089 0.999952616489873214
## 29 28 0.000042740957812675 0.999995357447685862
## 30 29 0.000004421478394415 0.999999778926080274
## 31 30 0.000000221073919721 1.000000000000000000

4.3.3.2 Visualizar la tabla de distribución

plot(x=tabla$x, y=tabla$f.prob.x, 
     type='h', las=1, lwd=6, xlab = paste(min(tabla$x), '-', max(tabla$x)), ylab = "f(x)")

4.3.3.3 Probabilidad de que aprueben 15 o menos alumnos

Se calcula la probabilidad de \(P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)...+P(15)\) o la probabilidad acumulada cuando \(F(x=15)\)

prob <- pbinom(q = 15, size = n, prob = exito)
paste("La probabilida de que aprueben 15 o menos es de ", prob)

## [1] "La probabilida de que aprueben 15 o menos es de  0.175369053506829"

4.3.3.4 Probabilidad de que aprueben entre 10 y 20 alumnos

Se calcula la probabilidad acumulada de \(F(x=20)−F(x=10)\)

prob <- pbinom(q = 20, size = n, prob = exito) - pbinom(q = 10, size = n, prob = exito)
paste ("La probabilidad de que aprueben entre 10 y 20 estudiantes es de: ", prob)

## [1] "La probabilidad de que aprueben entre 10 y 20 estudiantes es de:  0.820859632648177"

# Se comprueba sumando los valores
sum(tabla$f.prob.x[11:21])

## [1] 0.8228571

4.3.3.5 Probabilidad de que aprueben mas de 25 alumnos

Se debe calcular \(P(x≥26)\) o restar del el valor acumulado de 25 a 1. \(1−F(x=26)\) Con pbinom() y con lower.tail() = TRUE se encuentra la probabilidad.

prob <- pbinom(q = 25, size = n, prob = exito, lower.tail = FALSE)
paste ("La probabilidad de que aprueben mas de 25 alumnos es de ", prob)

## [1] "La probabilidad de que aprueben mas de 25 alumnos es de  0.00151007406638281"

# Se puede comprobar sumando los renglones 27 al 31 de la tabla
sum(tabla$f.prob.x[27:31])

## [1] 0.001510074

4.3.3.6 Valor esperado

El valor esperado es la cantidad de alumnos que aprueben el examen.

VE <- n * exito
paste("El valor esperado es: ",VE)

## [1] "El valor esperado es:  18"

4.3.3.7 Varianza y desviación

Varianza

varianza <- n * exito *( 1 - exito)
paste ("La varianza es: ", round(varianza,2))

## [1] "La varianza es:  7.2"

Desviación

desviacion.std <- sqrt(varianza)
paste("La desviación std es: ", round(desviacion.std, 2))

## [1] "La desviación std es:  2.68"

La desviación como parte de la varianza significa la cantidad de alumnos que puede variar con respecto al valor medio \(VE\) previamente calculado.

4.3.3.8 Interpretacion del ejercicio

En este ejercicio sacamos las probabilidades que hay de aprobar un examen la cual fue del 60%, se obtuvo las probabilidades de éxito de un grupo de 30 estudiantes, con la tabla de distribución se pudo observar que la probabilidad de éxito tiene como punto máximo a 18 estudiantes que aprueben, antes de llegar a ese número tenía una tendencia a aumentar y al pasar este número comenzó a disminuir, en el ejercicio se nos pidió obtener varias probabilidades de éxito en rangos de alumnos, estas variaban dependiendo del rango que se utilizara, Podemos observar que el valor esperado es el mismo que nuestra probabilidad máxima la cual es de 18 estudiantes aprobados, este valor esperado tiene una varianza del 7.2 y una desviación estándar de 2.68

5 Referencias bibliográficas

Anderson, David R., Dennis J. Sweeney, and Thomas A. Williams. 2008. Estadística Para Administración y Economía. 10th ed. Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur: Cengage Learning,.

Hernández, Freddy. 2021. “Manual de r. Distribuciones Discretas.” https://fhernanb.github.io/Manual-de-R/.

“La Distribución Binomial o de Bernoulli.” n.d. https://www.profesor10demates.com/2014/04/la-distribucion-binomial-o-de-bernoulli_3.html.

Mendenhall, William, Robert J. Beaver, and Barbara M. Beaver. 2006. Introducción a La Probabilidad y Estadística. 13a Edición.

R CODER Binom. n.d. “La Función Dbinom.” https://r-coder.com/distribucion-binomial-r/.

Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers, and Sharon L. Myers. 2012. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Novena Edición. México: Pearson.

Caso 16. Distribuciones binomiales

Luis Jhair Gurrola Corral

15/5/2021

1 Objetivo

2 Descripción

3 Fundamento teórico

4 Desarrollo

4.1 Cargar librerías

4.2 Cargar funciones

4.3 Ejercicios

4.3.1 Tienda de ropa MartinClothingStore

4.3.1.1 Probabilidad para 0,1,2,3 y tabla de distribución

4.3.1.2 Visualizar tabla de distribución

4.3.1.3 Probabilidad de que compren dos clientes

4.3.1.4 Probabilidad de que compren los tres próximos clientes

4.3.1.5 Probabilidad de que sean menor o igual que dos

4.3.1.6 Probabilidad de que sean mayor que dos

4.3.1.7 Valor esperado

4.3.1.8 Varianza y desviación estándar

4.3.1.9 Interpretar el ejercicio

4.3.2 Jugador de basquetbol

4.3.2.1 Tabla de probabilidad (0-6)

4.3.2.2 Visualización de probabilidades

4.3.2.3 Probabilidad de encestar cuatro tiros

4.3.2.4 Probabilidad de encestar todos los tiros

4.3.2.5 Probabilidad de encestar al menos tres

4.3.2.6 Valor esperado

4.3.2.7 Varianza y desviación

4.3.2.8 Interpretacion del ejercicio

4.3.3 Aprobar un examen

4.3.3.1 Tabla de distribución binomial

4.3.3.2 Visualizar la tabla de distribución

4.3.3.3 Probabilidad de que aprueben 15 o menos alumnos

4.3.3.4 Probabilidad de que aprueben entre 10 y 20 alumnos

4.3.3.5 Probabilidad de que aprueben mas de 25 alumnos

4.3.3.6 Valor esperado

4.3.3.7 Varianza y desviación

4.3.3.8 Interpretacion del ejercicio

5 Referencias bibliográficas