Objetivo

Identificar variables aleatorias continuas y calcular la función de densidad y probabilidades con la distribución de probabilidad uniforme

Descripción

Realizar ejercicios del uso de variables continuas mediante la distribución de probabilidad uniforme.

Fundamento teórico

Una diferencia fundamental entre las variables aleatorias discretas y las variables aleatorias continuas es cómo se calculan las probabilidades.

En las variables aleatorias discretas la función de probabilidad f(x)f(x) da la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor determinado.

En las variables aleatorias continuas, la contraparte de la función de probabilidad es la función de densidad de probabilidad, que también se denota f(x)f(x).

Cuando se calculan probabilidades de variables aleatorias continuas se calcula la probabilidad de que la variable aleatoria tome alguno de los valores dentro de un intervalo.

La diferencia está en que la función de densidad de probabilidad no da probabilidades directamente. Si no que el área bajo la curva de f(x)f(x) que corresponde a un intervalo determinado proporciona la probabilidad de que la variable aleatoria tome uno de los valores de ese intervalo(Anderson, Sweeney, and Williams 2008).

Desarrollo

Cargar librerías

  • Posiblemente se utilicen algunas de ellas
library(ggplot2)
library(dplyr)
## 
## Attaching package: 'dplyr'
## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     filter, lag
## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     intersect, setdiff, setequal, union
library(knitr)

options(scipen = 999) # Notación normal

Cargar funciones de las cuales interesa una función para visualizar gráficas de distribuciones uniformes plotunif().

source ("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/funciones/misfunciones.r")

Solución de ejercicios

Se identifican ejercicios de distribución de probabilidad uniforme.

Vuelo de un avión

Considere una variable aleatoria xx que representa el tiempo de vuelo de un avión que viaja de Chicago a Nueva York. Suponga que el tiempo de vuelo es cualquier valor en el intervalo de 120 minutos a 140 minutos (Anderson, Sweeney, and Williams 2008).

Dado que la variable aleatoria xx toma cualquier valor en este intervalo, xx es una variable aleatoria continua y no una variable aleatoria discreta.

Hay que razonar que se cuenta con datos suficientes como para concluir que la probabilidad de que el tiempo de vuelo esté en cualquier intervalo de 1 minuto es el mismo que la probabilidad de que el tiempo de vuelo esté en cualquier otro intervalo de 1 minuto dentro del intervalo que va de 120 a 140 minutos.

magen. Probabilidad de vuelo. Distribución uniforme. [@anderson_estadistica_2008]

Como cualquier intervalo de 1 minuto es igual de probable, se dice que la variable aleatoria xx tiene una distribución de probabilidad uniforme (Anderson, Sweeney, and Williams 2008).

Función de densidad

La función de densidad de la distribución uniforme se calcula mediante al fórmula y ésta como tal no da la probabilidad, pero sirve para obtener la probabilidad determinando el área bajo la curva.

Tratándose de una distribución uniforme el área bajo la curva es la parte proporcional del rectángulo.

La variable f.dens es la función de densidad.

a.min <- 120
b.max <- 140
f.dens <- 1 / (b.max -a.min)

f(x)={1140−120=1200,para 120≤x≤140,,en cualquier otro caso

Se muestra el área bajo la curva usando geom_area() en la función ggplot() en programamión R.

Se utiliza las variables a.min y b.max como coordenadas de x y la altura que es la probabilidad previamente calculada para presentar el área.

altura <- f.dens
x <- c(a.min, b.max)
 y <- c(altura, altura)
datos <- data.frame(x, y)

ggplot(data = datos, aes(x,y )) +
  geom_area(fill = "lightblue") +
  xlim(100, 160) +
  ggtitle(label = "Distribución uniforme continua", subtitle = paste("f(x) = ",f.dens))

¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de vuelo se encuentre entre 120 y 130 minutos?

  • ¿cuál es P(120≤x≤130)P(120≤x≤130)?
  • La P(120≤x≤130)=0.50


Gráfica del área bajo el rectángulo con plotunif() y unif_area()

Densidad 120-140

plotunif(min = 120, max = 140, lwd = 2, col = 4, main = "Función de densidad")

Densidad 120-130

unif_area(min = 120, max = 140, lb = 120, ub = 130,main = paste('f(x)=',f.dens))

Solución aritmética

Para encontrar la probabilidad de vuelo entre 130 y 120 es encontrar el área bajo la curva (el rectángulo en la distribución uniforme).

Si el área total de manera uniforme en un intérvalo de 120 a 140 es es 0.05, entonces en un intérvalo de 120 a 130 es la mitad del área.

La variable altura es igual al valor de la función de densidad en la distribución uniforme, las variables a y b son los valores del nuevo intérvalo que por supuesto están dentro del intérvalo original de 120 y 140.

Esta área es rectangular y el área de un rectángulo es simplemente el ancho multiplicado por la altura. Si el ancho del intervalo es igual a 130−120=10130−120=10 y la altura es igual al valor de la función de densidad de probabilidad

f(x)=1/20=0.05, se tiene

área=ancho×alto

entonces, 10×(120)=10×0.05=.50

. (Anderson, Sweeney, and Williams 2008).

a <- 120
b <- 130

prob.x <- (b-a) * f.dens 
paste("La probabilidad de que el tiempo de vuelo se encuentre entre ", a , " y ", b, " minutos es del:", prob.x * 100, "%")
## [1] "La probabilidad de que el tiempo de vuelo se encuentre entre  120  y  130  minutos es del: 50 %"
Solución por medio de la función de densidad dunif()

Da el mismo resultado que usando la solución aritmética encontrando el área del rectángulo correspondiente.

prob.x <- (b - a) * dunif(x = a, min = a.min, max = b.max) 

prob.x
## [1] 0.5
Solución por medio de la función de probabilidad punif()

Significa las probabilidad de que el vuelo tarde menos que 130130 minutos o lo que es lo mismo que esté entre 120120 y 130130 minutos

punif(q = 130, min = 120, max = 140) - punif(q = 120, min = 120, max = 140)
## [1] 0.5

o de conforme a la fórmula de la probabilidad acumulada.

prob=x−ab−a

prob <- (130 - 120) / (140-120)
prob
## [1] 0.5

¿cuál es la probabilidad de un tiempo de vuelo entre 128 y 136 minutos?

  • ¿cuál es P(128≤x≤136)P(128≤x≤136)?

  • La P(128≤x≤136)=0.40


Solución aritmética
a <- 128
b <- 136

prob.x <- altura * (b-a)
prob.x
## [1] 0.4
paste("La probabilidad de que el tiempo de vuelo se encuentre entre ", a , " y ", b, " minutos es del:", prob.x * 100, "%")
## [1] "La probabilidad de que el tiempo de vuelo se encuentre entre  128  y  136  minutos es del: 40 %"
altura <- f.dens

x <- c(128, 136)
y <- c(altura, altura)
datos <- data.frame(x, y)

ggplot(data = datos) +
  geom_area(mapping = aes(x = x, y = y), fill = "lightblue") +
    xlim(100, 160) +
  ggtitle(label = "Distribución uniforme continua", subtitle = paste("f(x) = ",f.dens))

Solución por medio de la función de densidad dunif()

Debe dar el mismo resultado

prob.x <- (b - a) * dunif(x = a, min = a.min, max = b.max) 

prob.x
## [1] 0.4
Solución por medio de la función de probabilidad punif()

Se muestran todas las probabilidades acumuladas desde 120 a 140 bajo la distribución uniforme

distribucion <- data.frame(x=120:140, prob.acum = punif(q = 120:140, min = 120, max = 140))
distribucion
##      x prob.acum
## 1  120      0.00
## 2  121      0.05
## 3  122      0.10
## 4  123      0.15
## 5  124      0.20
## 6  125      0.25
## 7  126      0.30
## 8  127      0.35
## 9  128      0.40
## 10 129      0.45
## 11 130      0.50
## 12 131      0.55
## 13 132      0.60
## 14 133      0.65
## 15 134      0.70
## 16 135      0.75
## 17 136      0.80
## 18 137      0.85
## 19 138      0.90
## 20 139      0.95
## 21 140      1.00

punif() determina la probabilidad acumulada, entonces de la probabilidad acumulada hasta 136 se le resta la probabilidad acumulada hasta 128 y con ello la diferencia es la probabilidad entre 128 y 136.

ggplot(data = distribucion, mapping = aes(x = x, y = prob.acum)) + 
  geom_line()

de 128 a 136

unif_area(min = 120, max = 140, lb = 128, ub = 136,main = paste('f(x)=',f.dens))

con punif()

punif(q = 136, min = 120, max = 140) - punif(q = 128, min = 120, max = 140)
## [1] 0.4

prob=x=136−ab−a−x=128−ab−a

prob <- (136-120)/(140-120) - (128-120)/(140-120)
prob
## [1] 0.4

Valor esperado

\[E(x)=(120+140)2=130\]

VE <- (a.min + b.max) / 2
paste("El valor esperado es de: ", VE)
## [1] "El valor esperado es de:  130"
  • El valor esperado es el tiempo medio en que puede llegar el avión.

Varianza

\[Var(x)=\frac{(140−120)}{212}=33.33\]

varianza.x <- (b.max - a.min)^2 / 12

paste("La varianza es: ", round(varianza.x,2))
## [1] "La varianza es:  33.33"

Desviación

α=Var(x)√=33.33√=5.77

ds <- sqrt(varianza.x)
paste("La desviación estándard es igual a : ", round(ds, 2), " que significa que ese valor se dispersa conforme al valor medio esperado de ", VE)
## [1] "La desviación estándard es igual a :  5.77  que significa que ese valor se dispersa conforme al valor medio esperado de  130"
Interpretación del ejercicio
  • En este ejercicio la variable aleatoria es continua, como ya se dijo, porque puede tomar cualquier valor entre el intervalo de tiempo de 120 a 140 minutos de esta forma, apoyados de distintas herramientas de programación en R como son las gráficas, tablas y otras formas de representación visual, se pudieron hacer los cálculos, con ayuda de funciones en R y formulas, de las incógnitas solicitadas por el ejercicio. Pudimos conocer la densidad de la distribución, la solución aritmética a través de distintas funciones que daban las propias probabilidades de que el avión llegara de Chicago a New York en un tiempo determinado, así como otros elementos propios de la probabilidad como la varianza, el valor esperado y la desviación estándar. Todas ellas útiles a la hora de conocer a mayor profundidad algo tan banal como el tiempo promedio de un vuelo entre estas dos ciudades. De esta forma tenemos que, resumiendo uno de los resultados del ejercicio, la probabilidad de que un vuelo haga un tiempo de vuelo de entre 120 y 130 minutos es 0.50 o 50%, lo cual quiere decir que la variable aleatoria podría tomar un valor, con el 50% de probabilidades, dentro de este intervalo.

Caso de Licitaciones

Al estudiar licitaciones de embarque, una empresa dedicada a la fabricación de circuitos impresos, encuentra que los contratos nacionales tienen licitaciones distribuidas uniformemente entre 20 y 25 unidades (en miles de dólares).(Aqueronte 2009)

Se determina lo siguiente:

  • Función de densidad

  • ¿Cuál es la probabilidad de que la licitación esté entre 22 y 24 (mil dólares)?

  • ¿Cuál es la probabilidad de que sea inferior a 22 (mil dólares)?

  • ¿Cuál es la probabilidad de que rebase los 24 (mil dólares)?

  • ¿Cuál es el valor esperado?

  • ¿Cuál es la varianza?

  • ¿Cuál es la desviación estándard?


Función de densidad

a.min <- 20
b.max <- 25
f.dens <- 1 / (b.max - a.min)
f.dens
## [1] 0.2

f(x)={125−20=150,para 20≤x≤25,,en cualquier otro caso 

¿Cuál es la probabilidad de que la licitación esté entre 22 y 24 (mil dólares)?

  • ¿P(22≤x≤24)?

  • La P(22≤x≤24)=0.40

Solución aritmética
a <- 22
b <- 24

p.x <- f.dens * (b-a)
paste("La probabilidad de que la licitación esté entre ", a , " y ", b, " es del:", p.x * 100, "%")
## [1] "La probabilidad de que la licitación esté entre  22  y  24  es del: 40 %"
Solución por medio de la función de densidad punif()
p.x <- (b - a) * dunif(x = a, min = a.min, max = b.max) 

p.x
## [1] 0.4
Solución con punif()
prob <- punif(q = 24, min = 20, max = 25) - punif(q = 22, min = 20, max = 25)
prob
## [1] 0.4
Solución con F(x)
a <- 20
b <- 25
prob <- (x=24-a) / (b-a) - (x=22-a) / (b-a)
prob
## [1] 0.4

Cuál es la probabilidad de que sea inferior a 22 (mil dólares)?

Solución aritmética
a <- 20
b <- 22

p.x <- f.dens * (b-a)
paste("La probabilidad de que sea inferior a ", b , " (mil dólares) es del: ", p.x * 100, "%")
## [1] "La probabilidad de que sea inferior a  22  (mil dólares) es del:  40 %"
Solución por medio de la función de densidad dunif()
a <- 20
b <- 22

p.x <- (b - a) * dunif(x = a, min = a.min, max = b.max)

Probabilidad de que rebase los 24 (mil dólares)

a <- 24
b <- 25

p.x <- f.dens * (b-a)
paste("La probabilidad de que rebase los ", a , " (mil dólares) es del: ", p.x * 100, "%")
## [1] "La probabilidad de que rebase los  24  (mil dólares) es del:  20 %"

Taxis en Durango

En la zona centro de la ciudad de Durango, México el tiempo de espera para tomar un taxi es de 0 a 15 minutos.

  • Valor mínimo es 0

  • Valor máximo es de 15

Función de densidad

f.dens <- dunif(0, min = 0, max = 15)
f.dens
## [1] 0.06666667

¿Cuál es la probabilidad de tomar un taxi en menos de 5 minutos?

unif_area(min = 0, max = 15, lb = 0, ub = 5,main = paste('f(x)=',f.dens), acolor = "lightblue")

Solución aritmética
a <- 0
b <- 5

prob <- (b-a) * f.dens 
prob
## [1] 0.3333333
Solución con dunif()
prob <- (b-a) * dunif(0, min = 0, max = 15)
prob
## [1] 0.3333333
Solución con punif()
prob <- punif(q = 5, min = 0, max = 15) - punif(q = 0, min = 0, max = 15)
prob
## [1] 0.3333333


Solución F(x)

x <- 5
a <- 0
b <- 15
prob <- (x-a)/(b-a)
prob
## [1] 0.3333333

Compañía de luz

Una compañía que brinda servicio eléctrico provee niveles de voltajes uniformemente distribuidos, entre 123.0 V y 125.0 V. Esto significa que en la toma doméstica es posible obtener cualquier valor de voltaje que pertenezca a dicho intervalo.

¿Cual es el valor de la función de densidad?

a <- 123
b <- 125
1 / (b-a)
## [1] 0.5
f.dens <- dunif(123, min = 123, max = 125)
f.dens
## [1] 0.5

¿Cuál es la probabilidad de que la compañía envíe un voltaje menor a 123.5 V?

unif_area(min = 123, max = 125, lb = 123, ub = 123.5,main = paste('f(123 <= x <= 125) = ? y F(x<123.5) = ?' ), acolor = "lightblue")

Solución aritmética calculando el área con dunif()

b <- 123.5
a <- 123
prob <- (b-a) * f.dens
prob
## [1] 0.25

Solución con punif()

Se muestra la tabla de distribución con la probabilidad acumulada con valores de variables aleatorias generados por una secuencia a con valor inicial de 123123 con saltos de 0.10.1 en 0.10.1 hasta llegar a un valor de 125

variables <- seq(from=123, to=125, by=0.1) 
tabla <- data.frame(variables, prob.acum = punif(q = variables, min = 123, max = 125))
tabla
##    variables prob.acum
## 1      123.0      0.00
## 2      123.1      0.05
## 3      123.2      0.10
## 4      123.3      0.15
## 5      123.4      0.20
## 6      123.5      0.25
## 7      123.6      0.30
## 8      123.7      0.35
## 9      123.8      0.40
## 10     123.9      0.45
## 11     124.0      0.50
## 12     124.1      0.55
## 13     124.2      0.60
## 14     124.3      0.65
## 15     124.4      0.70
## 16     124.5      0.75
## 17     124.6      0.80
## 18     124.7      0.85
## 19     124.8      0.90
## 20     124.9      0.95
## 21     125.0      1.00
prob <- punif(q = 123.5, min = 123, max = 125) - punif(q = 123, min = 123, max = 125)
prob
## [1] 0.25
Solución con (x−a)/(b−a)
prob <- (x=123.5 - 123) / (125 - 123) - (x=123 - 123) / (125 - 123)
prob
## [1] 0.25
¿Cuál es el valor esperado?
a=123
b=123.5
c=a+b
valoresp=c/2
paste("El valor esperado es de: ", valoresp)
## [1] "El valor esperado es de:  123.25"

¿Cuál es la varianza y la desviación estándard de la distribución?

La desviación estándar es:

α=0.0208√=0.1442

a=123
b=123.5
c=b-a
vari=(c*c)/12
paste("La varianza es de: ", round(vari, 4))
## [1] "La varianza es de:  0.0208"

Interpretación de los ejercicios

Como parte de la probabilidad, pienso que son una parte fundamental para el estudio de situaciones del diario vivir, así como en el contexto científico en el estudio de fenómenos. Por ejemplo, en la vida diaria podemos usar los conocimientos adquiridos en estos ejercicios en situaciones comunes y corrientes pero que si las vemos desde cierta perspectiva, con ayuda de estos conceptos podemos obtener mucha más información como por ejemplo, el tiempo que tarda una persona en promedio en regresar de su trabajo o de ir a comprar algo a la tienda y las probabilidades de que lo haga en una cantidad de tiempo determinada, situación en la cual, una variable aleatoria continua podría tomar un valor entre un rango promedio del tiempo que tarda una persona en ir a la tienda.

Referencias bibliográficas

Anderson, David R., Dennis J. Sweeney, and Thomas A. Williams. 2008. Estadística Para Administración y Economía. 10th ed. Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur: Cengage Learning,.

Aqueronte. 2009. “R: Distribución Uniforme. R: Distribución Uniforme.” 2009. http://unbarquero.blogspot.com/2009/05/r-distribucion-uniforme.html.

lifeder. n.d. “Distribución Uniforme Continua: Características, Ejemplos, Aplicaciones.” https://www.lifeder.com/distribucion-uniforme-continua/.

R CODER. n.d. “Distribución Uniforme Continua En r.” <https://r-coder.com/distribucion-uniforme-r/#:~:text=Distribuci%C3%B3n%20uniforme%20continua%20en%20R&text=La%20distribuci%C3%B3n%20uniforme%20es%20una,distribuci%C3%B3n%20acumulan%20la%20misma%20probab>