1.工资一努力公平性假说。(阿克洛夫和耶伦,1990。假设存在数量为 \(N\) 的大量厂商,每个厂商的利润均为 \(F(e L)-w L, F^{\prime}(\bullet)>0, F^{\prime \prime}(\bullet)<0 。 L\) 是厂商雇 用的工人数, \(w\) 是厂商支付的工资，e 是工人的努力程度。努力程度由 \(e=\min \left[w / w^{*}, 1\right]\) 给定,其中 \(w^{*}\) 是“公平工资”;也就是说, 如果工人所得工资少于 公平工资,他们就根据不足的比例降低努力程度。假设工人数量为 \(\bar{L}\),他们都愿意 在正的工资水平上工作。

（a）如果厂商可以按任何工资雇用工人,那么 \(w\) 取什么值(或者什么范围的 值)才会最小化单位有效劳动的成本 \(w / e ?\) 本题假设如果厂商对于一定范围内的 工资是无差异的,就会支付这个范围内的最高工资。

  1. 设 \(w^{*}=\bar{w}+a-b u,\) 其中 \(u\) 是失业率, \(\bar{w}\) 是经济中所有厂商支付的平均工. 资。假设 \(b>0, a / b<1\) 。

  2. 根据(a)小题的答案(以及厂商在无差异情形下如何支付的假设),如果 代表性厂商可以自由选择 \(w\) (把 \(\bar{w}\) 与 \(u\) 看作是既定的), 则厂商支付的 工资是多少?

  1. 在什么条件下均衡中有正的失业,并且厂商可以自由选择 w?（提示： 在这种情形下,均衡要求代表性厂商把 \(\bar{w}\) 看作是既定的,且刚好愿意支 付 \(\bar{w}_{0}\) )在这种情形中,失业率是多少?

  2. 在什么条件下存在充分就业?

solution：

1）当 \(w \geq w^{*}\)时：

\(e=1, \quad w=w^{*}\)

\(\frac{w}{e}=w^{*}\)

当 \(w<w^{*}\)时：

\(e=\frac{w}{w^{*}}\)

\(\frac{w}{e}=w^{*}\)

综上：当 \(0<w \leq w^{*}\)时，

\(\left(\frac{w}{e}\right) \min =w^{*}\)

由于支付W区间内的最高工资，故 \(w=w^{*}\)

需要支付最高工资是为了保证均衡的唯一性，因为 W\(\exists\)一个区间，故存在多重均衡

要求支付最高工资使得 \(L^{d}\)最小，为下面讨论失业提供了边际

2）由1）知

\(w=w^{*}\)支付最高工资

当\(\bar{w} , u\)给定时：

\(w=w^{*}=\bar{w}+a-b a\)

此时 \(w=w^{*}\)

由于 \(\bar{w}=w^{*}\)，代表性企业利润最大化：

\(u=\frac{a}{b}\)

\(w=w^{*}\)

\(\max : \pi=F(L)-w^{*} \cdot L\)

\(\Rightarrow \quad F^{\prime}(L)=1\)

\(\Rightarrow \quad \quad \quad L_{i}^{d}=g(1)\)

\(\exists\)正的失业；率，即

\(\frac{\overline{L}-N g(1)}{\overline{L}}=\frac{a}{b}=u\)

上式即 \(\exists\)正失业率的条件

\(\left\{\begin{array}{lll}a>0 & : & u>0 .存在失业 \\ a=0 & : & \mu=0 . 充分就业\\ a<0 & : & w^{*}<\bar{w}这与每个企业选择矛盾\end{array}\right.\)

补充：效率工资模型中最小化w/e的原因

\(\max : \pi=F[e(w) L]-w \cdot L\)

\(\begin{aligned} Fo c: \frac{d \pi}{d w} &=e^{\prime}(w) L \cdot F^{\prime}(e L)-L=0 \\ \frac{d \pi}{d L} &=e(m) F^{\prime}\left(e^{L}\right)-w=0 \end{aligned}\)

\(\Rightarrow \frac{e(w)}{w}=e^{\prime}(w)\)

\(e(w)=\min { (\frac{w}{w^{*}}, 1)}\)

  1. 假设消费者的效用函数为 \(u=\ln w,\) 初始财富 \(w=100,000\) 美元。他有 0.25 的概率发生 汽车被盗，损失 20,000 美元。现在市场中出现一种汽车防盗装置，安装后可以将汽车被 盗的概率降至 \(0.15,\) 该装置的价格是 1950 美元。请回答下列问题:

1）消费者会购买这个防盗装置吗?

  1. 如果保险公司提供一份保险，保费率为 \(0.25,\) 该消费者的最优决策是什么?

  2. 如果保险公司向消费者收取 200 美元管理费用, 同时派人检查是否安装了防盗装置。 若消费者安装了防盗装置，那么收取的保费率降为 0.15; 若没有安装防盗装置，则收取 保费率为 0.25。检查费用为 10 美元，由消费者负担。请问消费者的最优决策是什么?

  3. 如果保险公司不派人检查，只要求投保人出示防盗装置安装证明即可，该证明由出 售防盗装置的公司免费开具，未出示安装证明的投保人需按保费率 0.25 缴纳保费。消费 者可以伪造安装证明，但伪造证明需要花费 \(F\) 美元，试讨论 \(F\) 取值对消费者最优决策的 影响。

  4. 假定所有汽车中有 50%已经安装了防盗装置且不再变动，所有车主的当前财富为 \(w=100,000\) 美元。政府规定保险公司不得收取管理费用，同时规定防盗装置公司不得出 具安装证明，因此保险公司此时无法辨别车主是否已经安装了防盗装置。假定保险市场 是完全竞争的，请探讨保险市场是否存在均衡。(考察逆向选择)

solution：

1）不购买的期望效用： \(E U_{0}=0.25 \ln (100,000-20,000)+0.75 \ln (100,000)\)

购买的期望效用

\(E U_{1}=0.15 \ln (100,000-20,000-1950)+0.85 \ln (100,000-1950)\)

由于 \(E U_{0}=E U_{1} \doteq 11.46\)， 故无差异

2）假设消费者为k元的损失购买保险

\(\begin{aligned} \max : E U &=0.25 \ln [100.000-20,000+k-0.25 k] \\ &+0.75 \ln [100,000-0.25 k] \end{aligned}\)

Foc: \(\frac{d E U}{d K}=2.25 \cdot \frac{0.75}{80.000+0.75 \mathrm{k}}-0.75 \cdot \frac{0.25}{100.000-0.25 \mathrm{k}}=0\)

\(\Rightarrow k^{*}=20,000\)

保费率为0.25为公平保费，故应全额投保。

3）若派人检查

购买保险且安装防盗装置：

\(\begin{aligned} \max : E U_{1}=& 0.15 \ln [80,000-210-1910+k-0.15 \mathrm{k}] \\ &+0.85 \ln [100,000-210-1950-0.15 k] \end{aligned}\)

Foc: \(\frac{d E U_{1}}{d K}=0.15 \cdot \frac{0.85}{77840+0.85 \mathrm{~K}}-0.85 \frac{0.15}{97840-0.15 \mathrm{k}}=0\)

\[\begin{cases} \Rightarrow k^{*}=200,000 \\ \Rightarrow \quad E U_{1}>E U_{0} \end{cases}\]

购买保险且不安装防盗装置

\(\begin{aligned} m a x: E U_{2}=& 0.25 \ln [80,000-210+k-0.25 k] \\ &+0.75 \ln [100,000-210-0.25 k] \end{aligned}\)

\(\Rightarrow k^{*}=20.000\) \(\Rightarrow \quad E U_{2}=\ln 94.790<E U_{1}=\ln 94,840\)

\(k^{*}=20,000, \quad E U_{2}=\ln 94800 \quad<E U_{1}\) 因此最优决策为购买20000保险，并安装设备。

4）若不派人检查：

购买保险且安装设备： \(k^{*}=20,000, \quad E U_{2}=\ln 94800 \quad<E U_{0}\)

购买保险且不安装，不伪造

\(k^{*}=20,000, \quad E U_{2}=\ln 94800 \quad<E U_{1}\)

购买保险，伪造设备：

\(\begin{aligned} \max : EU &=0.25 \ln [80,000-200-F+k-0.15 k] \\ &+0.75 \ln [00.000-200-F-0.15 k] \end{aligned}\)

st: \(\quad k \leq 20,000\)

Foc: \(\quad \frac{d E U_{2}}{d K}=0.25 \cdot \frac{0.85}{79800-F+0.85 k}-0.75 \cdot \frac{0.15}{99800-F-0.15 K}=0\)

\(\Rightarrow \quad k^{*}=20,000\)

\(\Rightarrow \quad E U_{3}=\ln (96800-F)\)

\(\left\{\begin{array}{lll}F>1950 & : E U_{1}>E V_{3} \\ F<1960 & : E U_{1}<E U_{3} \\ F =1950 &: E U_{1}=E U_{3}\end{array}\right.\)

5）不完全信息：完全竞争的保险市场

安装设备的人，即为低风险者 L 0.5

不安装设备的人,记为高风险者H 0.5

若可识别

L的保费率：0.15

H的保费率：0.25

若不可识别：

仅存在分离均衡，不存在混合均衡

顶层不扭曲：

向H提供全额保险

向L提供部分保险

假设保险公司提供两类保险合同： \(\left(\rho_{L}, K_{L}\right) .\left(\rho_{H}, K_{H}\right)\)其中前者为保费率，K为投保额。

\(\max : \pi=\rho_{L} \cdot k_{L}+\rho_{H} \cdot k_{H}-\pi_{L} \cdot k_{L}-\pi_{H} \cdot k_{H}\)

st: \(E U_{H}\left(\rho_{H}, K_{H}\right) \geqslant E U_{H}\left(\rho_{L}, K_{L}\right)\)

\(E U_{L}\left(\rho_{L}, K_{L}\right) \geq \bar{E} U_{L}\)

化简IC,IR

IC: \(0.25 \ln \left(80,000+\mathrm{K_H}-\rho_{H} \mathrm{K_H}\right)+0.75 \ln \left(100,000-\rho_{H} K_{H}\right)\) \(=0.25 \ln \left(80,000+K_{L}-\rho_{L} \cdot K_{L}\right)+0.75 \ln \left(100,000-\rho_{L} K_{L}\right)\)

IR: \(\begin{aligned} & 0.15 \ln \left(80,000-1950+K_{L}-P_{L} K_{L}\right)+0.85 \ln \left(100,000-1950-\rho_{L} K_{L}\right) \\=& 0.15 \ln (80,000-1950)+0.85 \ln (100,000-1950) \end{aligned}\)

化简后解得： \(\left(p_{L}, k_{L}\right)=\left(0.15, \quad k_{L}\right)\)

\(\left(p_{H}, k_{H}\right)=(0.25,20000)\)

  1. 市场上两个厂商，进行产量竞争。生产的边际成本分别为 \(C_{1}, C_{2} . C_{1}=2\) 是公 开的信息。 \(C_{2}\) 是只有厂商 2 自己才知道的信息。厂商 1 只知道 \(C_{2}\) 服从[1，3]上 的均匀分布。市场上对产品的需求函数是 \(p=14-Q\)
  1. 只考虑一个时期的博亦，两者同时定产，求 \(Q_{1}\) 和 \(Q_{2}\left(C_{2}\right)\) 。

( 2 ) 如果博亦进行两期，每一期也都还是采用同时定产的方法。则现在两个厂 商在第一期的产量还会和上问一样吗？请从直觉分析。

solution：不完全信息静态博弈

1）企业1利润最大化

\(\begin{aligned} \pi_{1} &=\left[14-q_{1}-q_{2}\left(c_{2}\right)\right] \cdot q_{1}-2 q_{1} \\ &=\left[12-q_{1}-q_{2}\left(c_{2}\right)\right] q_{1} \end{aligned}\)

\(\Rightarrow \pi_{1}=\pi_{1}\left(q_{1}, c_{2}\right)\)

\(\max _{q_{1}} E \pi_{1}=\int_{1}^{3} \pi_{1}\left(q_{1}, c_{2}\right) f\left(c_{2}\right) d c_{2}\)

\(Fo{c}: \frac{d E \pi_{1}}{d q_{1}}=\int_{1}^{3} \frac{\partial \pi_{1}\left(q_{1}, c_{2}\right)}{q_{1}} f\left(c_{2}\right) d c_{2}\)

\(=12-2 q_{1}-E\left(q_{2}\right)=0\)

得： \(q_{1}=\frac{12-E\left(q_{2}\right)}{2}=\frac{12-q_{2}(2)}{2}\)

企业2利润最大化：

\(\max : \pi_{2}=\left(14-q_{1}-q_{2}\right) q_{2}-c_{2} q_{1}\)

\(\Rightarrow q_{2}=\frac{14-c_{2}-q_{1}}{2}\)

联立反应函数解得：

\(\left\{\begin{array}{l}q_{1}^{*}=4 \\ q_{2}^{*}=\frac{10-c_{2}}{2}\end{array}\right.\)

\(c_{2}<2\)，不完全信息对1有利

\(c_{2}>2\)，不完全信息对2有利

\(c_{2}=2\)，不完全信息与完全信息无差异

2）若博弈进行两期，则第一期的最优决策会改变

不完全信息动态博弈

原因如下：第二期企业1会根据第一期 \(q_{2}\)来判断 \(c_{2}\)的范围，即 \(c_{2}\)传递了信息。

考虑到 \(c_{2}\)传递细腻的特征，企业2在第一期会控制 \(c_{2}\)以最大化两期的总利润，此时 \(q_{2}\)会有所改变。