1. 垄断厂商的生产函数为 \(Q=\sqrt{L}, \quad\) L为劳动力使用量，劳动力市场为完全竞争市场， 劳动力价格为 \(w\), 市场反需求函数为 \(P=100-Q\) 。请回答下列问题:

1）该垄断厂商对劳动力要素需求是什么?

2）如果经济体存在 33 个行业，每个行业都有一个垄断厂商，其他条件不变，劳动力 反供给函数为 \(w=16+L\) ，求均衡时的劳动力价格 \(w\) 。

  1. 考虑只有一个垄断厂商的情况，如果劳动力市场存在买方垄断，求劳动力价格w。

  2. 如果所有劳动力组成垄断性工会组织，该组织追求经济租金最大化，求最优劳动力 价格 \(w\) 。此时，该垄断厂商的劳动力使用量是多少?

  1. 将题 5 中的谈判博至重复无穷次。令 \(s^{*}=\frac{1}{1+\delta^{\circ}}\) 游戏者 1 一直会提出 \(\left(s^{*},\right.\) \(\left.1-s^{*}\right)\) 这一方案, 只有当 \(s \geqslant \delta s^{*}\) 时才接受 \((s, 1-s)\) 。游戏者 2 一直会提出 \(\left(1-s^{*},\right.\) s")的方案, 只有当 \((1-s) \geqslant \delta s^{*}\) 时才会接受 \((s, 1-s)\) 。 证明：上述俠人的策略是一个纳什均衡;并且这个纳什均衡是子博变完美的。

solution：

1）垄断厂商利润最大化：

\(\max _{L} \pi=[100-2(L)] \cdot Q(L)-W L\)

\({Fo c}: \frac{d \pi}{d L}=50 \cdot \frac{1}{\sqrt{L}}-1-w=0\)

劳动力需求函数：

\(l^{d}=\frac{2500}{(w+1)^{2}}\)

2）劳动力总需求为： \(L^{d}=33 \cdot L^{d}=33 \cdot \frac{2500}{(w+1)^{2}}\)

劳动力总供给为：

\(L^{s}=w-16\)

均衡时 \(L^{d}=L^{s}\)

解得：

\(w=49\)

3）劳动力市场买方垄断：

垄断厂商利润最大化：

\(\max : \pi=[100-Q(L)] Q(L)-w(L) \cdot L\)

\(Fo c: \frac{d \pi_{1}}{d L}=\frac{50}{\sqrt{L}}-1-16-2 L=0\)

解得：\(\left\{\begin{array}{l}L^{*}=4 \\ w^{*}=20\end{array}\right.\)

4）\[独买\to 工会三大目标\begin{cases} 就业量最大\\ 总工资最大化\\ 经济租金最大化\end{cases}\]

此时工会为垄断者，类似于垄断厂商，售卖劳动

就业量最大化 \(\left\{\begin{array}{l}L^{d}=\frac{2500}{(w+1)^{2}} \\ L^{s}=w-16 \\ L^{d}=L^{s}\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}w_{1}^{*} \doteq 21 \\ k_{1}^{*} \doteq 5\end{array}\right.\right.\)

总工资最大化：

\(\max : \pi_{1}=w L=\left(\frac{50}{\sqrt{L}}-1\right) L\left(L \leq L_{1}^{*}\right)\)

Foc: \(\frac{d \pi}{d L}=\frac{25}{\sqrt{L}}-1\)

取角点解：\(\left\{\begin{array}{l}w_{2}^{*}=w_{1}^{*}=21 \\ L_{2}^{*}=L_{1}^{*}=5\end{array}\right.\)

经济租金最大化：

\(\max : \pi_{1}=w L-c(L)\)

\(=\left(\frac{60}{\sqrt{L}}-1\right) \cdot L-\int_{0}^{L}(16+t) d t\)

\(F_{0} c: \frac{d \pi_{1}}{d L}=\frac{25}{\sqrt{L}}-L-17=0\)

解得：

\(\left\{\begin{array}{l}w_{3}^{*}\doteq 36.6 \\ L_{3}^{*} \doteq 1.8\end{array}\right.\)

  1. 团队努力增加一个团队的规模，创建一个联合产品可能会削弱激励，正如这个问题将说明的那样。\(^{11}\)假设\(n\)合作伙伴一起产生\(R=e{1}+\cdots+e{n}\)的收入；这里\(e{i}\)是合作伙伴\(i\)的努力，花费\(c\ left（e{i}\ right）=e{i}^{2}/2\)来发挥作用。

1）如果每个合作伙伴获得相等的收入份额，则计算平衡努力和盈余（收入减去努力成本）。

2）计算均衡努力和平均盈余，如果只有一个伙伴得到一份。是集中还是分散？

3）返回到（1）部分，并对每个合伙人的盈余取\(n\)的导数。每个合伙人的盈余是增加还是减少，单位是\(n\)？随着\(n\)的增加，限额是多少？

4）一些评论员说，员工持股计划（employee stock ownership plans）是有益的，因为它能激励员工努力工作。你对第（3）部分的回答是关于员工持股计划对现代企业的激励性质的吗？现代企业可能有成千上万的员工？

solution：

1）利润平均分配，单个i收益最大化：

\(\max : \quad s w_{i}=\frac{\sum_{i=1}^{n} e_{i}}{n}-\frac{e^{2} i}{2}\)

\(Foc: \frac{\partial \delta w_{i}}{\partial e_{i}}=\frac{1}{n}-e i=0\)

解得： \(e_{i}^{*}=\frac{1}{n} \quad(i=1,2 \cdots n)\)

则 \(R=1 ; s w=1-\frac{1}{2 n}\)

\(s w_{i}=\frac{2 n-1}{2 n^{2}}\)

2）仅1人获得收益，假设为1 则 \(e_{j}^{*}=0 \quad(\forall j \neq i)\)

\(\max : \quad s w_{i}=\sum_{i=1}^{n} e_{i}-\frac{1}{2} e_{i}^{2}\)

\(F{o} c: \frac{d s w_{i}}{d e_{i}}=1-e_{i}=0\)

解得：

\(\begin{array}{cc}e_{i}^{*}=1, & s w_{i}=\frac{1}{2} \\ R=1, & s w=\frac{1}{2}\end{array}\)

从社会福利的角度看，利润平均分配优于集中分配。

3）由于\(\frac{d s w_{i}}{d n}=\frac{1-n}{n^{3}}\)

当\(n \geq 1\)时

\(\delta w_{i}\)随着n的上升而下降

且 \(\lim _{n \rightarrow \infty}s w_{i}=0\)

4）由于 \(\frac{d s w}{d n}=\frac{1}{2 n^{2}}>0\)

故随着 \(n\uparrow\) sw \(\uparrow\)

因此员工持股计划对公司整体有利，尽管单个员工的收益会因此而稀释。

一方面存在激励效应，另外一方面存在搭便车的行为，需要设计其他的相应机制来解决这一问题。

  1. 将题 5 中的谈判博至重复无穷次。令 \(s^{*}=\frac{1}{1+\delta^{\circ}}\) 游戏者 1 一直会提出 \(\left(s^{*},\right.\) \(\left.1-s^{*}\right)\) 这一方案, 只有当 \(s \geqslant \delta s^{*}\) 时才接受 \((s, 1-s)\) 。游戏者 2 一直会提出 \(\left(1-s^{*},\right.\) s")的方案, 只有当 \((1-s) \geqslant \delta s^{*}\) 时才会接受 \((s, 1-s)\) 。 证明：上述两人的策略是一个纳什均衡;并且这个纳什均衡是子博变完美的。

proof：

1）首先证明该策略组合为NE

给定1的策略

当2提出 \(\left(1-s^{*}, s^{*}\right)=\left(\frac{\delta}{1+\delta}, \frac{1}{1+\delta}\right)\)时，由于 \(s=\frac{\delta}{1+\delta} \geq \delta \cdot s^{*}\)，故1会接受2的题意，不回偏离该策略

给定2的策略

当1提出 \(\left(s^{*}, 1-s^{*}\right)=\left(\frac{1}{1+\delta}, \frac{\delta}{1+\delta}\right)\)时， 由于 \((1-s)=\frac{\delta}{1+\delta} \geqslant \delta \cdot s^{*}\) ，故2不回偏离该策略

综上该策略组合为NE

2)其次证明该策略为SPNE

思路：无限博弈，无法利用逆向归纳法

\(\Rightarrow\)从定义出发：SPNE在任意子博弈中均为NE

\(\Rightarrow\)该博弈的子博弈分为两类

I:从参与者1开始子博弈 \((t=2 k-1)\)

II：从参与者2开始的子博弈 \((k=1,2 \cdots)\)

I与II都有无数个，若存在SPNE,则要求策略使用与两种情况，即报价相同，且接受拒绝的条件相同

首先看I

假设1的报价为 \(s_{1} \in[m, M]\)，即假设存在多个SPNE

\(\left\{\begin{array}{lll}t=2 k-1 & :1报价 \quad\left(s_{1}, 1-s_{1}\right) \\ t=2 k-2 & : \quad 2报价 \quad\left(\delta_{1} s_{1}, 1-\delta_{1} s_{1}\right) \\ t=2 k-3 & ; \quad 1 报价\quad\left[1-\delta_{2}\left[1-\delta_{1} s_{1}\right), \delta_{2}\left(1-\delta_{1} s_{1}\right)\right]\end{array}\right.\)

\(\Rightarrow \quad s_{1}=1-\delta_{2}\left(1-\delta_{1} s_{1}\right)\) 报价相同

\(\Rightarrow \quad s_{1}^{*}=\frac{1-\delta_{2}}{1-\delta_{1} \delta_{2}}\)存在且唯一

同理分析 II

综上：该策略为SPNE

均衡的结果：

\(t=1\)时，报价

\(\left(\frac{1-\delta_{2}}{1-\delta_{1} \delta_{2}}, \frac{\delta_{2}\left(1-\delta_{1}\right)}{1-\delta_{1} \delta_{2}}\right)\)

2接受

当 \(\delta_{1}=\delta_{2}=\delta\)时

\(s^{*}=\frac{1}{1+\delta}\)

note：

该定理被称为Rubinstein定理：即存在无限期轮流出价模型中，存在唯一的SPNE,均衡的结果为

\(\left(\frac{1-\delta_{2}}{1-\delta_{1} \delta_{2}}, \frac{\delta_{2}\left(1-\delta_{1}\right)}{1-\delta_{1} \delta_{2}}\right)\)

该博弈 \(\exists\)多个NE:

策略：

1总报价 (1,0) ，拒绝2的任何 \(s_{1}<1\)的报价

2总报价 (1,0)，拒绝1 任何 \(S_{2}>0\) 的报价。

非SPNE:

考虑一天非均衡路径

参与人2的报价 \((m, 1-m)(\delta-m<1)\)

若1拒绝，下一阶段报价 (1,0)，相当于现阶段的 \(\delta\)，故非最优

\(\delta_{1}, \delta_{2}\)对均衡的影响

\(\left\{\begin{array}{l}s_{1}^{*}=s_{1}^{*}\left(\delta_{1}, \delta_{2}\right)=\frac{1-\delta_{2}}{1-\delta_{1} \delta_{2}} \\ s_{2}^{*}=s_{2}^{*}\left(\delta_{1}, \delta_{2}\right)=\frac{\delta_{2}\left(1-\delta_{1}\right)}{1-\delta_{1} \delta_{2}}\end{array}\right.\)

耐心优势：

\(\frac{\partial s_{1}^{*}}{\partial \delta_{1}}>0\) 且 \(\frac{\partial S_{2}^{*}}{\partial \delta_{2}}>0\)

先发优势：

\(\left\{\begin{array}{l}\delta_{2}=0 \quad:\left(s_{1}^{*}, s_{2}^{*}\right)=(1,0) \\ \delta_{1}=0 \quad: \quad\left(s_{1}^{*}, s_{2}^{*}\right)=\left(1-\delta_{2}, \delta_{2}\right)\end{array}\right.\)

即使1毫无耐心，由于先出价， \(s_{1}^{*}\)不会为0，除非 \(\delta_{2}=1\)，即2非常有耐心。