（1）独一公司作为垄断买方，它的边际劳动成本是什么?
（2）独一公司将雇用多少工人? 工资率是多少?
（3）如果当地的工资率是 7 元，独一公司将雇用多少工人? 工资率是多少?
solution:
1)独买：
劳动成本：
\(c(L)=w(L) \cdot L=2 L^{2}\)
边际劳动成本：
\(M E L=4 L\)
2）均衡时：
\(M R P L=M E L\)
\(\Rightarrow \quad 10-2 L=4L\)
\(\Rightarrow \quad L^{*}=\frac{5}{3} \quad w^{*}=\frac{10}{3}\)
3)若当地的工资率为7元（最大限价）
则 \(w=7 \cdot \quad L=1.5\)
4）若劳动力市场完全竞争：
均衡时 \(\left\{\begin{array}{l}w=2L \\ w=10-2 L\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}w=5 \\ L=2.5\end{array}\right.\right.\)
最低价格时： \(\left\{\begin{array}{l}w=7 \\ L=1.5\end{array}\right.\)
比较分析：
若不 \(\exists\)最低限价：卖方垄断相当于完全竞争 \(w \downarrow\) \(L \downarrow\)
若 \(\exists\)最低限价，且 \(\bar{w} \geq 5\)，即完全竞争的价格
买方垄断与完全竞争 \((w, L)\)相同，但与不限家相比，买方垄断可能降低失业，也可能加剧，而完全竞争的限价只会加剧失业
类比光华201-2
2.医患关系考虑病人和医生之间的委托代理关系。假设病人的效用函数由\(U{P}（m，x)\)给出，其中\(m\)表示医疗保健（其数量由医生决定），\(x\)表示其他消费品。患者面临预算约束\(I{c}=p{m}m+x\)，\(p{m}\)是医疗保健的相对价格。医生的效用函数由\(U{d}I_d+U_p\)给出，也就是说，医生从收入中获得效用，但作为利他主义者，也从患者的幸福中获得效用。此外，附加规范意味着医生是一个完美的利他主义者，在这个意义上，他或她的效用与患者的效用一对一地增加。医生的收入来自患者的医疗支出：\(I{d}=p{m}m\)。表明，在这种情况下，医生通常会选择一个高于完全知情的病人会选择的百万美元的水平。
solution：
1）若完全信息，病人自己选择m
\(\max : \quad U_{p}(m , x)\)
st: \(P_{m} \cdot m+x=I_{c}\)
\(\Rightarrow \quad \frac{\partial U_{p}}{\partial m}-p_{m} \cdot \frac{\partial U_{p}}{\partial x}=0\)
2）若不完全信息，医生给病人选择m
\(\max : U_{d}(I_d)+U_{P}(m \cdot x)\)
st: \(\left\{\begin{array}{l}I_{d}=p_{m} \cdot m \\ p_{m} \cdot m+x=I_{c}\end{array}\right.\)
简化为：
\(\max _{m}: U d\left(P_{m} \cdot m\right)+U_{P}\left(m \cdot I_{c}-P_{m} \cdot m\right)\)
\(\Rightarrow U_{d}^{\prime} \cdot p_{m}+\frac{\partial U_{p}}{\partial m}-\frac{\partial U_{p}}{\partial x} \cdot p_{m}=0 \quad(* *)\)
3）由\((*) ，(* *)\)知：
\(\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial U_{p}}{\partial m}-p_{m} \cdot \frac{\partial U_{P}}{\partial x}=0 \quad\left(m=m^{*}\right) \\ \frac{\partial U_{p}}{\partial m}-p_{m} \cdot \frac{\partial U_{p}}{\partial x}=-p_{m} U_{d}^{\prime}<0 \quad\left(m=m^{* *}\right)\end{array}\right.\)
\(\Rightarrow \quad m^{* *}>m^{*}\)
(1)a.在第一阶段开端,游戏者 1 拿走了 1 美元中 \(s_{1}\) 部分, 留给游戏者 2 为(1\(\left.s_{1}\right)\);
(2)a. 在第二阶段开始,游戏者 2 提出,游戏者 1 得 \(s_{2}\),游戏者 2 得(1 \(-s_{2}\) )。
b.游戏者 1 或接受这个 \(s_{2}\) (若这样, 则博亦结束)或拒绝接受 \(s_{2}\) (若这样, 则博亦进 入第三阶段)。
solution： Rubinstein 讨价还价模型——有限形式
1）第三阶段 由于博弈的最后阶段，则1报价 \(s=1\)
2）第二阶段：
由于预料到第三阶段 \(s=1\)，1的2阶段收益为\(\delta\)， 故当 \(s_{2}<\delta\)时，1会拒绝，此时2的收益为0，故
\(s_{2}=\delta\)
3）第一阶段：
由于预料到第2阶段 \(1-s_{2}=1-\delta\)，相当于第一阶段的 \(\delta(1-\delta)\)，故当 \(1-s_{1}<\delta(1-\delta)\)时，2会拒绝。
当 \(1-s_{1}<\delta(1-\delta)\)时，
\(s_{1}=1-\delta(1-\delta)>\delta\)
故1会选择
\(s_{1}=1-\delta(1-\delta)\)
4)SPNE:
第一阶段： 游戏者1 \(s_{1}=1-\delta(1-\delta)\)
游戏者2： 若 \(1-s_{1} \geqslant \delta(1-\delta)\)，接受
\(1-s_1 < \delta(1-\delta)\)，拒绝
第二阶段：
游戏者2\(s_{2}=\delta\)
游戏者1 \(s_{1} \geq \delta\)，接受
\(s_{1}<\delta\)，拒绝
第三阶段：游戏者1： \(s=1\)
SPNE的结果：第一阶段报价为 \(s_{1}^{*}=1-\delta(1-\delta)\) 且游戏者2接受。
5)博弈树
note：该模型
均衡的结果为 \(s^{*}\)取决于折现因子的相对比例 \(\delta_{1} / \delta_{2}\)，博弈的次数T，以及T的奇偶性
最后出价人即
\(s^{*}=S^{*}\left(\delta_{1}/\delta_{2}, y\right)\)
有限次：采用逆向归纳法
无限次：类比上述方法