1.按照示例16.5中描述的劳动力市场博弈的精神，假设公司的总收入函数如下所示 \[ R=10 l-l^{2} \] 工会的效用只是工资总额的函数： \[ U(w, l)=w l \] 1)例16.5中描述的两阶段博弈中的纳什均衡工资契约是什么？
2)表明替代工资契约\(w^{\prime}=l^{\prime}=4\)比（a）部分中确定的契约具有帕累托优势。
3)在什么条件下，第（b）部分所描述的合同作为一个亚博弈完美均衡是可持续的？
solution
博弈过程：
第一阶段：工会提出工资价格
第二阶段：企业雇佣劳动
1）逆向归纳法：
企业利润最大化：
\(\max : \pi=10 L-L^{2}-w L\) Foc \(: \quad \frac{d \pi}{d L}=10-w-2 L=0\) \(\Rightarrow \quad L=5-\frac{1}{2} W\)
工会效用最大化：
\(\max : U(w, l)=w \cdot L(w)=w\left(5-\frac{1}{2} w\right)\)
Foc: \(\quad \frac{d U}{d w}=5-w=0\)
解得： \(w=5 , l=2.5\)
2）当 \((w , l)=(5,2.5)\)时
\(\pi=6.25; U=12.5\)
当 \(\left(w^{\prime}, l^{\prime}\right)=(4,4)\)时
\(\pi^{\prime}=8>\pi \quad; \quad U^{\prime}=16>0\)
故
\(\left(w^{\prime} l^{\prime}\right)\)优于\((w, l)\)
3）无限次重复博弈：
冷酷战略：
工会开始选择 \(w=4\) ，若 \(l \neq 4\) 则以后选择 \(w=5\)
企业：若 \(w=4\)则 \(l=4\) 若工会偏离，则一直选 \(l=2.5\)
不偏离收益：
\(\left\{\begin{array}{l}\pi=8 \sum_{t=0}^{\infty} \delta^{t}=\frac{8}{1-\delta} \\ U=16 \sum_{t=0}^{\infty} \delta^{t}=\frac{16}{1-\delta}\end{array}\right.\)
若厂商偏离\((L=3)\)：
\(\left\{\begin{array}{l}\pi=9+6.25 \sum_{t=1}^{\infty} \delta^{t}=9+\frac{6.25 \delta}{1-\delta} \\ U=12+12.5 \sum_{t=1}^{\infty} \delta^{t}=12+\frac{12.58}{1-\delta}\end{array}\right.\)
厂商不偏离的条件：
\(\frac{8}{1-\delta} \geq q+\frac{6.25 \delta}{1-\delta}\)
\(\Rightarrow \delta \geq 0.36\)
note 帕累托最优的配置
\(\max : \pi={10l}-l^{2}-w l\) st: \(\bar{U}=w \cdot l\)
\(f=10\left(-l^{2}-w(+\lambda[\bar{v}-w l]\right.\)
\(Foc:\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial l}=10-2l-w-\lambda w=0 \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial w}=-l-\lambda l=0\end{array}\right.\)
\(\Rightarrow \quad L^{*}=5\)
w不影响帕累托最优的状态，知影响工会与企业的利润分成。
若委托人与代理人签订一个线性合约 \(w=s+b y_{\circ}\) 代理人会采取什么样的" \(a\) “?” \(a\) " 会怎样随 \(b\) 而发生变动? " \(a\) "会如何随 \(m\) 而变动?
现在假定，代理人是风险规避型的，其效用函数为 \(u(x)=-e^{-r x}\) 。 证明：在最优线性契约中，激励系数 \(b^{*}\) 必满足 \[ b^{*}=\frac{1}{1+2 m r \sigma^{2}} \]
solution：
线性契约：
1）代理人风险中性
代理人期望收益最大化：
\(\max : E V_{1}=E(w)-c(a)=s+a b-m a^{2}\)
\(\Rightarrow \quad a^{*}=\frac{b}{2 m}\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial a^{*}}{\partial b}=\frac{1}{2 m}>0：b越大，a越大 \\ \frac{\partial a^{*}}{\partial m}=-\frac{b}{2 m^{2}}<0：m越大，a越小\end{array}\right.\)
2）代理人风险厌恶： \(u(x)=-e^{-r x}\)
收入 \(w \sim N\left(s+b a, b^{2} \sigma^{2}\right)\)
代理人期望收益最大化：
\(\max : \quad E V_{1}=(s+b a)-\frac{1}{2} r\left(b^{2} \sigma^{2}\right)-m a^{2}\)
期望效用最大化等价于 \(C E=u-\frac{1}{2} r \sigma^{2}\)最大化
FOC:\(\begin{aligned} {Foc}: & \frac{\partial E V_{1}}{\partial a}=b-2 m a=0 \\ \Rightarrow \quad a^{*} &=\frac{b}{2 m} \end{aligned}\)
委托人期望收益最大化：风险中性
max: \(E V_{0}=E(y-w)=(1-b) a-s\)
st: \(\quad \max E V_{0}=(s+b a)-\frac{1}{2} r\left(b^{2} \sigma^{2}\right)-m a^{2} \quad(I C)\)
\(s+b a-\frac{1}{2} r b^{2} \sigma^{2}-m a^{2} \geq 0 \quad(I R)\)
ic可化为： \(a^{*}=\frac{b}{2 m}\)
ir取等号并结合ic可得：
\(S=\frac{1}{2} r b^{2} \sigma^{2}-\frac{b^{2}}{4 m}\)
\(\max _{b}: EV_{0}=\frac{(1-b) \cdot b}{2 m}-\frac{1}{2} r b^{2} \sigma^{2}+\frac{b^{2}}{4 r^{2}}\)
Foc: \(\quad \frac{d E V_{0}}{d b}=\frac{1}{2 m}-\frac{b}{2 m}-r \sigma^{2} b=0\)
\(\Rightarrow b^{*}=\frac{1}{1+2 m r \sigma^{2}}\)
3.某拍卖行对一个古代瓷器进行拍卖，目前有 \(n\) 个竞拍者，每个竞拍者对此瓷器的估价 为 \(v_{i} \circ\) 出价最高者获得此瓷器并支付对应的叫价，如果存在多个出价最高的竞拍者，则 重新竞价。回答下列问题:
如果每个竞拍者决定按策略 \(b_{i}=k v_{i}\) 进行叫价，并且只知晓其他人的估价服从 [0,1] 上 的均匀分布，求纯战略纳什均衡; 最终谁会获得这个瓷器?
如果只存在两个竞拍者，各自对拍卖物的估价记为 \(v_{1}\) 和 \(v_{2}, \quad v_{1}<v_{2},\) 并且彼此知晓， 证明: 叫价高于自身对拍卖物的估价为弱劣战略，并求纯战略纳什均衡，最终谁会获得 这个瓷器?
如果只存在 \(n\) 个竞拍者, \(v_{1}<v_{2}<v_{3}<\ldots<v_{n},\) 并且彼此知晓，求纯战略纳什均衡，此 时是否存在有人叫价高于估价的可能?最终谁会获得这个瓷器?
solution：
1）对任意竞拍者i，竞拍成功的概率为：
\(p_{i}=p\left\{b_{i}>b_{1} ; b_{i}>b_{2} \cdots b_{i}>b_{n}\right\}\)
\(=\prod_{j \neq i}^{n} p\left\{b_{i}>b_{j}\right\}\)（设相互独立）
\(=\sum_{j \neq i}^{n} p\left\{v_{j}<\frac{1}{k} b_{i}\right\}\)
\(=\left(\frac{b_{i}}{k}\right)^{n-1}\)
则i期望收益最大化：
\(\begin{aligned} \max : \pi_{i} &=p_{i}\left(v_{i}-b_{i}\right)+\left(1-p_{i}\right) \cdot 0 \\ &=\left(\frac{b_{i}}{k}\right)^{n-1}\left(V_{i}-b_{i}\right) \end{aligned}\)
\(Foc:\frac{d \pi_i}{d b_I}=\frac{1}{k^{n-1}} \cdot\left[(n-1) b_{i}^{n-2} v_{i}-n b_{i}^{n-1}\right]=0\)
得：
\(b_{i}=\frac{n-1}{n} v_{i}\)
则纯策略NE为 \(\left(b_{1}^{*} \cdots b_{n}^{*}\right)=\left(\frac{n-1}{n} V_{1}, \ldots \frac{n-1}{n} V_{n}\right)\)
最终估价最高的人获得瓷器。
2） \(V_{1}<V_{2}\)
首先证 \(b_{i}>v_{i}\)为弱占优策略
当 \(b_{2}>v_{2}:\left\{\begin{array}{l}b_{1}>v_{2}: 0+b_{2}<b_{1} \quad 对2无差异 \\ b_{1} \leq v_{2} ; \quad b_{2} \leq v_{2} \quad 优于b_{2}>v_{2}\end{array}\right.\)
\(\Rightarrow \quad b_{2}>v_{2}\)为弱占优策略
\(b_{1}>v_{1}\)
当 \(b_{1}>v_{1}:\left\{\begin{array}{ll}b_{2}>b_{1}: & 0<b_{1}+b_{2} &对1无差异\\ v_{1} \leqslant b_{2} & \angle b_{1}: & 0<b_{1}<b_{2} & 对1无差异\\ b_{2}<v_{1} & <b_{1}: & b_{2}<b_{1} \angle v_{1} 优于 b_{1}>v_{1}\end{array}\right.\)
\(\Rightarrow b_{1}>v_{1}\)为弱占优
所以 \(b_{1} \leq v_{1} \quad b_{2} \leq v_{2}\)
\(b_{1}<v_{1}\)非均衡
此时1与2不断调整价格，以获取瓷器
\(b_{1}=v_{1}\)，此时 \(b==v_{1}+\varepsilon\left(\varepsilon \rightarrow 0^{+}\right)\)获得瓷器，利润最大化
综上
\(N E:\left(b_{1}^{*}, b_{2}^{*}\right)=\left(v_{1}, v_{1}+\varepsilon\right)\)
优于 \(\varepsilon \rightarrow 0^{+}\)，最高价拍卖的均衡结果收敛域VICKery拍卖，估价搞的获得拍卖品，并支付第二高的报价。
若单纯的看看NE,一下策略为NE
\(\left\{\left(b_{1}^{*}, b_{2}^{*}\right) \mid v_{1}<b_{1}^{*}<v_{2}, b_{2}^{*}=b_{1}^{*}+\varepsilon, \quad \varepsilon \rightarrow 0^{+}\right\}\)
但上述策略在实际拍卖中出现并不合理， \(b_{1}>v_{1}\)为弱劣战略，若 \(b_{2}<b_{1}\)则1会亏损，一般拍卖者不会冒险，者也是若占优策略NE带来的NE多重新的后果，故在一般的拍中只会让证明一个最合理的NE.
解决上述多重性的方法为逐项甲醛拍卖，而非一般的密封投标式拍卖，此时 \(\left(v_{1}, v_{1}+\varepsilon\right)\)就会出现。
3） \(v_{1}<v_{2}\cdots<v_{n}\)
由2)知 \(b_i>v_{i}(i=1,2 \cdots n)\)为弱劣战略，但咋某些策略租借中，也可能构成NE
以n=3为例，简要说明： \(\left(b_{1}^{*}, b_{2}^{*}, b_{3}^{*}\right)=\left(b_{1}^{*}, v_{2}, v_{2}+\varepsilon\right)\)
其中 \(v_{1}<b_{1}^{*} \leq v_{2}, \quad \varepsilon \rightarrow 0^{+}\)
给定 \(b_{2}^{*}=v_{2}, b_{3}^{*}=v_{2}+\varepsilon\)
此时 \(0 \leqslant b_{2}<b_{3}^{*}\)无差异，故可行
给定\(b_ 1^{*}\) ， \(b_{3}^{*}=v_{2}+\varepsilon\)
此时\(0 \leqslant b_{2}<b_{3}^{*}\) 无差异，故\(b_2=v_2\)可行
规定\(b_{1}^{*}，b_{2}^{*}\)
此时\(b_{3}^{*}=v_{2}+\varepsilon\)最优
综上 \(\left(b_{1}^{*}, b_{2}^{*} , b_{3}^{*}\right)\)为纯策略NE
当 \(n \geq 3\)时，出策略NE中可能出现 \(b_{i}>v_{i}\)的情况，但并非所有i均衡出现这种情况。