1.环球皮草位于巴芬岛克莱德，在全世界销售高品质的皮草蝴蝶结，每件售价5美元。毛皮领结\(（q）\)的生产函数由下式给出 \[ q=240 x-2 x^{2} \] 其中\(x\)是每周使用的毛皮数量。毛皮仅由丹的贸易站提供，该站通过雇佣爱斯基摩人捕猎者以每天10美元的价格获得。丹的毛皮周生产函数如下 \[ x=\sqrt{l} \] 其中，\(l\)表示爱斯基摩人每周使用的时间天数。
1)在一个准竞争的案例中，Universal Fur和Dan的交易站都是毛皮的价格接受者，均衡价格\(p{x}\)是多少，将交易多少毛皮？
2)假设丹是一个垄断者，而环球皮草继续是一个价格接受者。毛皮市场将出现什么样的均衡？
3)假设Universal Fur充当一个单声主义者，而Dan充当一个价格接受者。平衡会是什么？
4)用图表表示你的结果，并讨论在普华永道和丹之间的双边垄断谈判中可能出现的均衡类型。
solution:
1)均为价格的接受者：
U公司利润最大化：
\(\max : \pi_{u}=5\left(240 x-2 x^{2}\right)-p_{x} \cdot x\)
Foc: \(\frac{d \pi_{v}}{d x}=1200-20 x-p_{x}=0\)
\(\Rightarrow \quad x^{d}=6{0}-\frac{1}{20} p_{x}\)
D 公司利润最大化： \(\max : \quad \pi_{D}=p_{x} \cdot \sqrt{l}-10 l\)
\(Foc: \frac{d \pi_p}{d l}=p_{x} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{l}}-10=0\)
\(\Rightarrow \quad x^{s}=\frac{1}{20} p_{x}\)
均衡时： \(x^{d}=x^{s}\)
\(\Rightarrow \quad p_{x}=600\)
\(x=30, \quad l=900\)
2）D为垄断者，U为价格接受者
\(x^{d}=60-\frac{1}{20} p_{x} \Rightarrow p_{x}=1200-20 x\)
D公司利润最大化：
\(\max : \pi_{D}=x(l)[1200-20 x(l)]-10l\)
Foc: \(\frac{d \pi_{D}}{d L}=1200 \cdot \frac{1}{2 \sqrt{L}}-30=0\)
\(\begin{aligned} \Rightarrow l &=400 ; x=20 \\ & p_{x}=800 \end{aligned}\)
3）u为垄断者，D为价格接受者
\(x^{s}=\frac{1}{20} p_{x} \Rightarrow p_{x}=20 x^{s}\)
U公司利润最大化：
\(\max : \pi_{v}=5\left(240 x-2 x^{2}\right)-20 x^{2}\)
\(Fo{c}: \quad \frac{d \pi_{0}}{d x}=1200-60 \cdot x=0\)
\(\Rightarrow \quad x=20, \quad p_{x}=400, \quad l=400\)
4）U与D均为垄断厂商
此时 \(x=20 . \quad 400 \leq P_{x} \leq 800\),
\(p_{x}\)的具体数值取决于U与D的讨价还价能力
2）对应D具有完全议价权
3）对应U具有完全议价权
2.在一个民事赔偿中，原告将聘请某律师为代理。案件可能的结果有两种，即原告获得的赔偿可 的概率为 \(1 / \mathrm{e},\) 而结果 \(\mathrm{y}_{2}=10000\) 出现的概率为 \(1-1 / \mathrm{e}\) 。律师采用努力程度 \(\mathrm{e}\) 的成本为 \(\mathrm{c}(\mathrm{e})=\mathrm{e}^{2}+700,\) 其中 700 为律师的固定成本。原告付给律师的费用可以与案件吻判冲结果有关，记为（w \(_{1}, \mathrm{w}_{2}\) )，其中两个变量分別代表 两种判决结果下支付的律师费。律师和原告均为风险中性。在这个博奕中，原告首先提出一个律师费支付方案， 律师决定是否接受。如果不接受，原告放弃聘请律师，并接受结果 \(\mathrm{y}_{1}=8000\) : 如果接受，即形成聘用合同关系， 律师选择其努力程度。案件的判决结果实现后，原告根据合同支付律师费。
( 1 ) 如果原告能够观察和验证律师的工作努力程度，并且可以将其写入合同，请找出原告的最优支付方案。 (8 分)
solution：
1）若e可观测，则 \(w=w(e)\)
原告最大化期望收益，规定e
\(\max : E \pi=10000\left(1-\frac{1}{e}\right)+8000 \frac{1}{e}-w\)
st: \(\quad w-e^{2}-700 \geqslant 0\)
\(\Rightarrow \max : E \pi=10000(1-e)+8000 {\frac{1}{e}}-e^{2}-700\)
Foc: \(\frac{d {E\pi}}{\mathrm{de}}=2000 \cdot \frac{1}{\mathrm{e}^{2}}-2 \mathrm{e}=0\)
\(\Rightarrow \quad e^{*}=10 \quad ; \quad w^{*}=800\)
最优合同为：
\(\left\{\begin{array}{ll}w & =\left\{\begin{array}{ll}\text { 800 } & e \geqslant 10 \\ 0 & 1 \leq e<10\end{array}\right. \\ E \pi & =9000\end{array}\right.\)
2）若e不可观测，则 \(w=w(x)\)
设计合同使得律师选择 \(e^{*}\)
\(E \pi=10000\left(1-\frac{1}{e^{*}}\right)+8000 \frac{1}{e^{*}}-\left(1-\frac{1}{e^{*}}\right) w_{1}-\frac{1}{e^{*} w_{2}}\)
\(\begin{aligned} s t: &\left(1-\frac{1}{e^{*}}\right) w_{1}+\frac{1}{e^{*}} w_{2}-\left(e^{*}\right)^{2}-700 \\ & \geq\left(1-\frac{1}{e}\right) w_{1}+\frac{1}{e} w_{2}-e^{2}-700 \end{aligned}\)
\(\left(1-\frac{1}{e^{*}}\right) w_{1}+\frac{1}{e^{*}} w_{2}-\left(e^{*}\right)^{2}-700 \geqslant 0 \quad(I R)\)
首先对IC机制进行简化
令 \(f(e)=\left(1-{\frac{1}{e}}\right) w_{1}+\frac{1}{e} w_{2}-e^{2}-700\) 在 \(e^{*}=10\)处取最大值
\(\Rightarrow f^{\prime}(e)=\frac{w_{1}-w_{2}}{e^{2}}-2 e=0\)
\(\Rightarrow w_{1}-w_{2}=2000\)
其次简化整体优化条件：
\(\max : E \pi=9800-\frac{9}{10} w_{1}-\frac{1}{10} w_{2}\)
st: \(\left\{\begin{array}{l}w_{1}-w_{2}=2000 \\ \frac{9}{10} w_{1}+\frac{1}{10} w_{2}-800 \geqslant 0\end{array}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}w_{1}=1000 \\ w_{2}=-1000\end{array} ; \quad E \pi=9000\right.\)
1)写出这个博亦的标准表达式。
2)证明: 对每一个买家，报价等于他们对于出售物的评价是一个弱占优战略。
3)论证每个买家的报价等于出售物的评价是这个博变的一个纳什均衡。在这个均衡之中，哪一 个买家得到出售物?
4)在这个博亦中，还存在其他纳什均衡吗? 如果存在，则在这些均衡之中，哪个买家最终得到 出售物?
solution：
1）假设买着i的报价为 \(\b_i(i=1,2)\) ，收益为 \(\pi_i(i=1,2)\)
\(\pi_{1}=\left\{\begin{array}{cl}v_{1}-b_{2} & b_{1}>b_{2} \\ \frac{1}{2}\left(v_{1}-b_{1}\right) & b_{1}=b_{2} \\ 0 & b_{1}<b_{2}\end{array}\right.\)
\(\pi_{2}=\left\{\begin{array}{cc}V_{2}-b_{1} & b_{2}>b_{1} \\ \frac{1}{2}\left(v_{2}-b_{2}\right) & b_{2}=b_{1} \\ 0 & b_{2} <b_{1}\end{array}\right.\)
2）3）证明： \(\left(b_{1}, b_{2}\right)=\left(V_{1}, V_{2}\right)\)为弱占优策略NE
给定 \(b_{2}=V_{2}\)，证
\(b_{1}=V_{1}\)为弱占优战略
若 \(v_{1}<v_{2}\)
\(\pi_{1}=\left\{\begin{array}{cl}V_{1}-b_{2}>0 & b_{1} \geqslant b_{2} \\ 0 & b_{1}<b_{2}\end{array}\right.\)
\(\Rightarrow \quad b_{1}=V_{1}\)为弱占优战略
若 \(V_{1}>V_{2}\)
\(\pi_{1}=\left\{\begin{array}{cc}V_{1}-b_{2}>0 & b_{1}>b_{2} \\ 0 & b_{1} \leq b_{2}\end{array}\right.\)
\(\Rightarrow \quad b_{1}=v_{1}\)为若占优战略
若 \(V_{1}=V_{2}\)
\(\pi_{1}=\left\{\begin{array}{cc}v_{1}-b_{2}<0 & b_{1}>b_{2} \\ 0 & b_{1} \leq b_{2}\end{array}\right.\)
\(\Rightarrow b_{1}=v_{1}\)为弱占优战略
同理
给定 \(b_{1}=v_{1}, \quad b_2=v_{2}\)为弱占优战略
综上 \(\left(b_{1}, b_{2}\right)=\left(v_{1}, v_{2}\right)\)为弱占优战略NE
均衡结果：
若 \(v_{1}>v_{2}\)，则1得到商品
若 \(v_{1}<v_{2}\)，则2得到商品
\(v_{1}=v_{2}\)，则一人一半
4）当 \(v_{1}<v_{2}\)时
\(b_{1}<v_{1}\)为非均衡
此时 \(b_{2}=b_{1}+\varepsilon \quad(\varepsilon>0)\)即可获取正利润，买家1可通过加价 \(b_{1}^{\prime}=b_{2}+\varepsilon^{\prime}\left(\varepsilon^{\prime}>0\right)\) 获取正利润
\(b_{1}>v_{2}\)
若 \(b_{2} \geqslant b_{1}\)，均亏损
若\(v_{1}<b_{2}<b_{1}\)，买家1亏损，偏离
若 \(b_{2} \leq v_{1}\)，则买家2弱占优，买家1盈利不偏离
\(v_{1}<b_{1} \leq v_{2}\)时 同理
\(b_{2}>b_{1}\)为弱占优策略，
\(b_{1}\)弱占优策略
当 \(v_{1}>v_{2}\)时，同理
当 \(v_{1}=v_{2}=v\)时
当\(b_{1}<v\)：非均衡
当 \(b_{2}>v\)时，\(b_{1}，b_{2}\)为弱占优策略
\(b_{1}>v\): \(b_{2}<v\)成立
综上 \[\left\{\begin{array}{l}V_{1}<V_{2}：其他策略NE为 \\ \left\{\left(b_{1}, b_{2}\right) \mid b_{1}, v_{2}, b_{2} \leq v_{1} \quad v_{1}<b_{1} \leq v_{2}, b_{2}>b_{1}\right\} \\ v_{1}>v_{2}：其他策略均衡为 \\ \left\{\left(b_{1}, b_{2}\right) \mid b_{2}>v_{1}, b_{1} \leq v_{2} \quad v_{2}<b_{2} \leq v_{1}, b_{1}, x b_{2}\right\} \\ v_{1}=v_{2} ：其他策略均衡为\\ \quad\left\{\left(b_{1}, b_{2}\right) \mid \quad b_{1}<v<b_{2} \quad b_{2}< v<b,\}\right.\end{array}\right.\]