1.阿贾克斯煤炭公司是该地区唯一的雇工公司。它可以雇佣任意数量的女工或男工。女性的供给曲线如下： \[ l_{f}=100 w_{f} \] 对男人来说 \[ l_{m}=9 w_{m}^{2} \] 其中，\(w{f}\)和\(w{m}\)分别是支付给女性和男性工人的小时工资率。假设阿贾克斯在一个完全竞争的市场上以每吨5美元的价格出售其煤炭，并且雇佣的每个工人（无论男女）每小时可以开采2吨。如果公司希望利润最大化，应该雇用多少男女工人，这两个群体的工资率是多少？阿贾克斯的矿山机械每小时能赚多少利润？这一结果与Ajax受到限制（比如说，受到市场力量的限制）根据其边际产品的价值向所有工人支付相同的工资相比，会有什么不同呢？
solution:
1)独买利润最大化
\(\max : \pi=p f\left(l_{f}+{l_m}\right)-w_{f}\left(l_{f}\right) \cdot l_{f}-w_{m}\left(l_{m}\right) \cdot {l_m}\)
将 \(p=5, \quad f(l)=2 l, \quad w_{f} l l_{f}=\frac{l_{f}}{10} \quad w_{m}\left(l_{m}\right)=\frac{1}{3} \sqrt{l_ m}\)带入
\(\Rightarrow \max : \pi=10(1 f+\ln )-\frac{1}{100} l_{f}^{2}-\frac{1}{3} l_m ^{\frac{3}{2}}\)
FOC: \(\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial \pi}{\partial l_f}=10-\frac{1}{50} l_{f}=0 \\ \frac{\partial \pi}{\partial {l_m}}=10-\frac{1}{2} l_{m}^{\frac{1}{2}}=0\end{array}\right.\)
解得： \(\left\{\begin{array}{l}l_{f}=500 \\ l_{m}=400\end{array} \quad\left\{\begin{array}{l}w_{f}=5 \\ w_{m}=\frac{20}{3}\end{array}\right.\right.\)
\(\pi=11500\)
2）若工资统一且 \(w=M R P L=10\)
则
\(l_f=1000, \quad l_{m}=900 \quad, \quad \pi=0\)
雇员的努力 \(a=3\) 时，商铺营业额 \(x=270: \quad a=0\) 时， \(x=70\) ，你可以毫不费力地监 视雇员的工作。
商铺的营业结果与（1）的假设相同，但你无法知道雇员是怎样工作的。
除了雇员的努力水平外，商铺的营业结果还受某些外在因素的影响。假设有三种可 能的营业额: 0 、100 和 400，而你和雇员都发现一定努力投入下实现各种营业结果的 概率存在以下规律: \(\begin{array}{rlll} & 0 & 100 & 400 \\ a=3 & 0.2 & 0.4 & 0.4 \\ a=0 & 0.4 & 0.4 & 0.2\end{array}\) 如果你看不到雇员的努力水平，你的最优激励契约是什么?
solution：
委托代理——离散型
1）可观测a
\[ y(a)=\left\{\begin{array}{ll} 9 & a=3 \\ 0 & a=0 \end{array}\right. \]
2）不可观测a,可观测x \(y(x)=\left\{\begin{array}{ll}9 & x=270 \\ 0 & x=70\end{array}\right.\)
3）不可观测a，且x受到外在因素影响
若激励雇员采取 \(a=3\)，则
\(\max : \pi=200-0.2 y_{1}-0.4 y_{2}-0.4 y_{3}\)
\(\left\{\begin{array}{l}0,2 \sqrt{y_{1}}+0.4 \sqrt{y_{2}}+0.4 \sqrt{y_{3}}-3 \geqslant 0 (I R)\\ 0,2 \sqrt{y_{1}}+0.4 \sqrt{y_{2}}+0.4 \sqrt{y_{3}}-3 \geqslant 0.4 \sqrt{y_{1}}+0.4 \sqrt{y_{2}}+0.2 \sqrt{y_{3}}(I C)\end{array}\right.\)
\(\begin{aligned} \mathcal{L}=200-0.2 y_{1}-0.4 y_{2}-0.4 y_{3} &+\lambda\left[0.2 \sqrt{y_{1}}+0.4 \sqrt{y_{2}}+0.4 \sqrt[4]{y_{3}}-3\right] \\ &+u\left[0.2 \sqrt{y}_{3}-0.2 \sqrt{y_{1}}-3\right] \end{aligned}\)
FOC: \(\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y_{1}}=-0.2+\lambda \cdot \frac{0.1}{\sqrt{y_{1}}}-u \cdot \frac{0.1}{\sqrt{y_{1}}}=0 \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y_{2}}=-0.4+\lambda \cdot \frac{0.2}{\sqrt{y_{2}}}=0 \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y_{3}}=-0.4+\lambda \cdot \frac{0.2}{\sqrt{y_{3}}}+u \frac{0.1}{\sqrt{y_{3}}}=0\end{array}\right.\)
k-T条件 \(\left\{\begin{array}{l}\lambda\left[0.2 \sqrt{y_{1}}+0.4 \sqrt{y_{2}}+0.4 \sqrt{y_{3}}-3\right]=0 \\ u\left[0.2 \sqrt{y_{3}}-0.2 \sqrt{y_{1}}-3\right]=0\end{array}\right.\)
若 \(\lambda=u=0\)，不成立
若 \(\begin{aligned} u &=0 , \lambda>0: \\ & y_{1}=y_{2}=y_{3}=9 , \quad \lambda=6 \end{aligned}\)，成立
若 \(\lambda=0 . u>0:\)，不成立
若 \(\lambda>0 , \quad \mu>0:\)
\(\lambda=18, \quad u=6, \quad 2 \sqrt{y}_{1}=\lambda-u<0\)不成立
综上： \(y_{1}=y_{2}=y_{3}=9 . \quad \pi=191\)
若采取激励雇员采取a=0，则：
\(\max : \pi=200-0.4 y_{1}-0.4 \mathrm{y}_{2}-0.2 \mathrm{y}_{3}\)
\(\left\{\begin{array}{l}0.4 \sqrt{y_{1}}+0.4 \sqrt{y_{2}}+0.2 \sqrt{y_{3}} \geq 0 (IC)\\ 0.4 \sqrt{y_{1}}+0.4 \sqrt{y_{2}}+0.2 \sqrt{y_{3}} \geqslant 0,2 \sqrt{y_{1}}+0.4 \sqrt{y_{2}}+0.4 \sqrt{y_{3}}-3 \quad\left(IR\right)\end{array}\right.\)
\(\begin{aligned} \mathcal{L}=200-0.4 y_{1}-0.4 y_{2}-0.2 y_{3} &+\lambda\left[0.4 \sqrt{y_{1}}+0.4 \sqrt{y_{2}}+0.2 \sqrt{y_{3}}\right] \\ &+u\left[3+0. 2 \sqrt{y_{1}}-0.2 \sqrt{y_{3}}\right] \end{aligned}\)
Foc: \(\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y_{1}}=-0.4+\lambda \cdot \frac{0.{2}}{\sqrt{y_{1}}}+u \cdot \frac{0.1}{\sqrt{y_{1}}}=0 \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y_{2}}=-0.4+\lambda \cdot \frac{0.2}{\sqrt{y_{2}}}=0 \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y_{3}}=-0.2+\lambda \frac{a_{1}}{\sqrt{y_{3}}}-u \cdot \frac{0.1}{\sqrt{y_{3}}}=0\end{array}\right.\)
K-T条件： \(\left\{\begin{array}{l}\lambda\left[0.4 \sqrt{y_{1}}+0.4 \sqrt{y_{2}}+0.2 \sqrt{y_{3}}\right]=0 \\ u\left[3+2.2 \sqrt{y_{1}}-0.2 \sqrt{y_{3}}\right]=0\end{array}\right.\)
若 \(\lambda=u=0\)，不成立
若\(\lambda>0\) 且 \(u=0: \quad 0.4 \sqrt{y_{1}}+0.4 \sqrt{y_{2}}+0.{2} \sqrt{y_{3}}=0\)
\(\begin{aligned} \lambda=2 \sqrt{y_{1}}=2 \sqrt{y_{2}}=2 \sqrt{y_{3}} & \Rightarrow y_{1}=y_{2}=y_{3}=0 \\ & \Rightarrow \lambda=0 \end{aligned}\)不成立
若\(\lambda=0\) 且\(u>0\)，不成立
若\(\lambda>0\) 且\(u>0\)， \(4 \sqrt{y}_{1}=2 \lambda+u; 4 \sqrt{y_{2}}=2 \lambda, 2 \sqrt{y_{3}}=\lambda-\mu\)
\(\Rightarrow 0.4 \sqrt{y_{1}}+0.4 \sqrt{y_{2}}+0.2 \sqrt{y_{3}}=0 \quad(\lambda>0)\)
\(\Rightarrow \quad 0.5 \lambda=0 \quad \Rightarrow \lambda=0\)不成立
综上：最优工资方案为： \(y_{1}=y_{2}=y_{3}=9\)
此时雇员选择 \(a=3, E \pi=|q| ,E U=0\)
1）若双方制定产量时，无法观测对方的产量，求均衡产量和利润。
若企业 1 可以先宣布产量, 企业 2 将企业 1 的产量视为既定，然后决定自己的产量, 求均衡产量和利润。
记企业有两种策略，先定产和后定产，请写出该博亦的标准表达式; 求解纯战略纳什 均衡。如果将该博亦重复进行 50 次，子博亦精炼纳什均衡是什么?
有人提出双方合作会更好。如果双方合作，平分利润; 如果都不合作，则最终达到古 诺均衡; 求合作的情况下，每个企业的产量和利润。会比不合作好吗?
承接上问，此时企业有两种策略，合作和不合作。如果有十方合作，另一方不合作, 那么合作方生产合作产量，不合作方生产对应最优产量; 请写出该博亦的标准表达式。 该博亦的纯战略纳什均衡是什么? 如果该博亦进行 100 次, 请问双方合作是可持续的吗?
6）如果双方不知道该博亦要进行多少次，只知道下一时期碰面的概率为 \(p,\) 那么此概 率需要满足什么条件，才能让双方在每次碰面时都选择合作成为子博亦精炼纳什均衡?
solution：
1）古诺竞争
\(\max : \pi_{1}=\left(a-b q_{1}-b{q} ^2\right) q_{1}-c q_{1}\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}q_{1}=\frac{a-c-b_{2}}{2 b} \\ q_{2}=\frac{a-c-b{q}_1}{2 b}\end{array}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}q_{1}^{c}=q_{2}^{c}=\frac{a-c}{3 b} \\ \pi_{1}^{c}=\pi_{2}^{c}=\frac{(a-c)^{2}}{9 b^{2}}\end{array}\right.\)
2）斯塔克伯格竞争
\(q_{2}=\frac{a-c-b^{q}_{1}}{2 b}\)
\(\max : \pi_{2}=\left[a-b q_{1}-b q_{2}\left(q_{1}\right)\right] \cdot q_{1}-c q_{1}\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}q_{1}^{s}=\frac{a-c}{2 b} \\ q_{2}^{s}=\frac{a-c}{4 b}\end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{l}\pi_{1}^s=\frac{(a-c)^{2}}{8 b} \\ \pi_{2}^{f}=\frac{(a-c)^{2}}{16 b}\end{array}\right.\)
3）先 \(\left(H_{1}\right)\) 后 \(\left(H_{2}\right)\)定产
标准表达式 | | | 2 | | |— |—– |————– |——- | | | | \(H_1\) | \(H_2\) | | 1 | \(H_1\) | \((\pi_1^C,\pi_2^C)\) | \((\pi_1^S,\pi_2^T)\) | | | \(H_2\) | \((\pi_1^T,\pi_2^S)\) | \((\pi_1^c,\pi_2^c)\) | 纯策略NE: \(N E:\left(H_{1}, H_{1}\right)\) 即均选择先定产，最终形成古诺均衡。
若重复50次：则SPN为 \(N E:\left(H_{1}, H_{1}\right)\)重复50次
4）合作时： \(\max : \pi^{m}=\left[a-b\left(q_{1}+q_{2}\right)\right]\left(q_{1}+q_{2}\right)-c\left(q_{1} + q_{2}\right)\)
\(\Rightarrow \quad Q^{m}=q_{1}+q_{2}=\frac{a-c}{2 b}\)
\(\Rightarrow \quad \pi_{1}^{m}=\pi_{2}^{m}=\frac{\pi^ m}{2}=\frac{(a-c)^{2}}{8 b}\)
\(\Rightarrow \pi_{i}^{m}>\pi_i^{c}\)
即合作优于不合作
5）首先说明合作的不稳定：
不妨令 \(q_{1}=\frac{a-c}{4 b}\)
此时 \(\max : \pi_{2}=\left(a-b q_{1}-b q_{2}\right) \cdot q_{2}-c q_{2}\)
\(Foc: \frac{d \pi_{2}}{d q_{2}}=\frac{3}{4}(a-c)-2 b q_{2}=0\)
\(\Rightarrow \quad q_{2}=\frac{3(a-c)}{8 b}\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\pi_{2}^{B}=\frac{9(a-c)^{2}}{64 b}>\frac{\pi^{m}}{2} \\ \pi_{1}^{N}=\frac{3(a-c)^{2}}{32 b}<\frac{\pi^{m}}{2} \quad\left(\pi_{1}^{N}<\pi_{1}^c\right)\end{array}\right.\)
标准表达式： \(C_{1}\) 表示合作， \(C_{2}\)表示不合作
| 2 | |||
|---|---|---|---|
| \(c_1\) | \(c_2\) | ||
| 1 | \(c_1\) | \((0.5\pi^m,0.5\pi^m)\) | \((\pi_1^N,\pi_2^B)\) |
| \(c_2\) | \((\pi_1^B,\pi_2^N)\) | \((\pi_1^c,\pi_2^c)\) |
纯策略NE
\(\left(c_{2}, c_{2}\right)\)即双方均不合作，形成古诺均衡
若重读100，结果不改变。
6）若上方下一阶段相遇的概率为p
考虑如下冷酷战略：
开始时选择合作 \(\left(c_{1}\right)\)直到对方选择不会随后一直采取不合作 \(\left(c_{2}\right)\)
均不偏离的收益
\(\pi_{1}=\pi_{2}=\frac{\pi^{m}}{2} \sum_{t=0}^{\infty} p^{t}=\frac{\pi^{m}}{2(1-p)}\)
若有一方偏离，不妨假设1偏离 \(\pi_{1}=\pi_{1}^{B}+\pi_{1}^{c} \sum_{t=1}^{\infty} p^{t}=\pi_{1}^{B}+\frac{p}{1-p} \pi_{1}^{c}\)
不偏离的条件为：
\(p^{*} \geqslant 0.49\)