1.服装商卡尔在一个孤岛上拥有一家大型服装厂。卡尔的工厂是大多数岛民唯一的就业来源，因此卡尔扮演着一个独裁者的角色。服装工人的供给曲线如下所示： \[ l=80 w \] 其中，\(l\)是雇佣的工人数量，\(w\)是他们的小时工资。假设卡尔的劳动需求（边际收入产品）曲线由下式给出 \[ l=400-40 M R P_{l} \]
1)卡尔将雇用多少工人来实现利润最大化，他将支付多少工资？
2)假设现在政府实施了覆盖所有服装工人的最低工资法。卡尔现在会雇佣多少工人，如果最低工资定在每小时4美元，会有多少人失业？
3)用图表表示你的结果。
4)垄断下的最低工资与完全竞争下的最低工资相比，结果有何不同？（假设最低工资高于市场价值。）
solution：
1）独买
均衡的条件
\(M R P L=M E l\)
其中 \(M R P L=10-\frac{1}{40} l\)
\(M E C=\frac{d(w l)}{d l}=\frac{l}{40}\)
得： \(\left\{\begin{array}{l}l=200 \\ w=\frac{l}{80}=2.5\end{array}\right.\)
厂商利润最大化：
产品市场完全竞争
\(\max : \pi=p \cdot Q(L)-w(L) L\)
\(Fo{c}: \frac{d{\pi}}{d L}=p \cdot \frac{d{Q}}{d L}-w-\frac{d w}{d L} \cdot L\)
\(\Rightarrow \quad P \cdot M P L=M E L\)
产品市场垄断
\(\max : \pi=p[Q(L)] \cdot Q(L)-w(L) \cdot L\)
\(Foc:\frac{d \pi}{d L}=\frac{d p}{d Q} \cdot \frac{d Q}{d L} \cdot Q+p \cdot \frac{d Q}{d L}-w-\frac{d w}{d L} \cdot L=0\)
\(\Rightarrow \quad M R P L=M E L\)
2）独买情形下的最低工资
若 \(\left(W_{\min }=4\right)\)则
\(W_{\min }=4>\frac{10}{3}\)
\(L^{d}=240 ,L^{s}=320\)
失业人数 \(\Delta L=L^{s}-L^{d}=80\)
\(\pi^{m}\)的性质
3）劳动市场完全竞争情况下的最低工资
均衡时
\(\left\{\begin{array}{l}L^{d}=400-40 \mathrm{MRPL} \\ L^{S}=80 \mathrm{W}\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}L=\frac{800}{3} \\ W=\frac{10}{3}\end{array}\right.\right.\)
若 \(W \geqslant W_{\min }=4\) 则 \(L=240 , W=4\)
独买：最低工资制度使 \(L \uparrow, W \uparrow\)
完全竞争：最低工资制度使 \(L \downarrow, W \uparrow\)
但两种情况都存在失业。
2.经济有两个人，安和巴塞洛缪，每个人都有效用函数 \[ u^{A}\left(x^{A}, l^{A}\right)=x^{A} l^{A} \text { and } u^{B}\left(x^{B}, l^{B}\right)=x^{B} l^{B} \] 其中，\(x\)表示消费品，\(l\)表示休闲时间。此外，安拥有这个经济体中唯一的一家公司，有20个小时的时间投入到工作\(\left（L^{A}\right\)或休闲 \(\left（L^{A}\right)\)，或者\(20=L^{A}+L^{A}\)，而巴塞洛缪没有
经济中的资产（可怜的丈夫！），但有30个小时的时间，或\(30=L^{B}+L^{B}\)。Ann的公司使用Cobb-Douglas生产技术生产的单位价值为\(x\)，工时为\(x=\sqrt{L}，\)，其中\(L\)相当于\(L^{a}+L^{B}\)
1)求PEAs.
2）求WEAs.
3）你在2）中部分找到的WEA是PEAs的一部分吗？
solution:
1)帕累托最优的配置：
\(\max : \quad U_{A}=x_{A} l_{A}\)
st: \(\left\{\begin{array}{l}U_{B}=x_{B} l_ B \\ x_{A}+x_{B}=\sqrt{L} \\ L+l_{A}+l_{B}=50\end{array}\right.\)
拉格朗日函数
\(\mathcal{L}=x_{A} l_{A}+\lambda\left[\overline{U_{B}}-x_{B} l_{B}\right]+\mu_{1}\left[\sqrt{L}-x_{A}-x_{B}\right]+u_{2}\left[\right.\) 50 \(\left.-L-l_{A}-l_{B}\right]\)
Foc: \(\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_{A}}=l_{A}-u_{1}=0 \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_{B}}=-\lambda l_{B}-u_{1}=0 \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial L_{A}}=x_{A}-u_{2}=0 \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial L_{B}}=-\lambda x_{B}-u_{2}=0 \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial L}=u_{1} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{L}}-u_{2}=0\end{array}\right.\)
均衡条件
\(\frac{x_{A}}{l_{A}}=\frac{1}{2 \sqrt{L}}=\frac{x_{1}}{l_{B}}\)
\(\Rightarrow \frac{x_{A}+x_{B}}{l_{A}+l_{B}}=\frac{x}{50-L}=\frac{1}{2 \sqrt{L}}\)
\(\Rightarrow \quad P E A: \quad (x, L, l_A+l_{B} )=\left(\sqrt{\frac{50}{3}}, \frac{50}{3}, \frac{100}{3}\right)\)
2）瓦尔拉斯均衡的配置
消费端：
\(\max : U_{A}=x_{A} l_{A}\) st: \(\quad p \cdot x_{A}=w \cdot\left(20-l_{A}\right)+\pi\)
\(\max : U_{B}=x_{B} l_{B}\) st: \(\quad p \cdot x_{B}=w(30-l_B)\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x_{A}=\frac{20 w+\pi}{2 p} \\ l_{A}=\frac{20 w+\pi}{2 w}\end{array} \quad\left\{\begin{array}{l}x_{B}=\frac{30 w}{2 p} \\ l_{B}=\frac{30 w}{2 w}\end{array}\right.\right.\)
生产端： \[ \begin{array}{l} \max : \pi=p \cdot \sqrt{L}-w \cdot L \\ \Rightarrow \quad\left\{\begin{array}{l} L^{d}=\frac{p^{2}}{4 w^{2}} \\ \pi=\frac{p^{2}}{4 w} \end{array}\right. \end{array} \]
劳动市场出清：
\(L^{d}=\left(20-l_A)+\left(30-l_{B}\right)\right.\)
\(\Rightarrow\left(\frac{p}{w}\right)^{*}=\sqrt{\frac{200}{3}}\)
\(\Rightarrow \quad L=\frac{50}{3}, \quad x=\sqrt{\frac{50}{3}}\)
\(\left\{\begin{array}{l}x_{A}=\frac{11}{12} \sqrt{6} \\ l_{A}=\frac{55}{3}\end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{l}x_{B}=\frac{3}{4} \sqrt{6} \\ l_{B}=15\end{array}\right.\)
3）成立
3.两家企业在同一个市场进行古诺竞争，市场反需求函数为 \(p=10-Q\), 每家企业的 边际成本为 1。
1）求古诺均衡价格、均衡产量和企业利润。
如果两家企业在该市场上每两年竞争一次，但企业之间的竞争次数是无限的，能否 构造一个 SPNE 战略，使得双方平分垄断产量 \(q^{m}\) 是一个稳定的结果?
如果两家企业还在另一个市场进行无限期的古诺竞争，但每年只竞争一次，市场反 需求函数为 \(p=9-Q\) 。企业想要同时在两个市场上达成合谋，那公贴现因子 \(\delta\) 应该满足 什么条件?
solution
1）古诺竞争
\(\max : \pi_{1}=\left(10-q_{1}-q_{2}\right) q_{1}-q_{1}\) \(Foc: \frac{\partial \pi_{1}}{\partial q_{1}}=q-2 q_{1}-q_{2}=0\)
同理：
\(q_{2}=\frac{1}{2}\left(q-q_{1}\right)\)
解得 \(q_{1}^{c}=q_{2}^{c}=3 \quad p=4\)
\(\pi_{1}^{c}=\pi_{2}^{c}=9\)
2）首先计算合谋的产量以及卡特尔的不稳定性
\(\begin{aligned} \max : & \pi=(10-q) \cdot q-q\\ \Rightarrow & q^{m}=4.5 \quad ,\quad \pi^{m}=20.25 \end{aligned}\)
若平分产量，假设 \(q_{1}=\frac{q^{m}}{2}=2.25\)
此时2的最优产量为：
max: \(\quad \pi_{2}=\left(10-q_{2}-2.25\right) \cdot q_{2}-q_{2}\)
\(\Rightarrow q_{2}^{*}=3.375 . \quad \pi_{2}^{*}=11.39>\frac{\pi^{m}}{2}\)
\(\Rightarrow \pi_{1}=7.59\)
其次构造SPNE的战略
冷酷战略：
开始生产 \(\frac{q^{m}}{2}=2.25\)，直到对方选择
\(q^{*}=3.375\) 一直选 \(q^{c}=3\)
均不偏离时的利润
\(\pi_{i}=\frac{\pi^m}{2}\left(1+\delta^{2}+\delta^{4}+\cdots\right)=\frac{10.125}{1-\delta^{2}}\)
\((i=1,2)\)
若一反偏离：不妨假设1偏离
\(\pi=11.39+9\left(\delta^{2}+\delta^{4}+\cdots\right)=11.39+\frac{9\delta^{2}}{1-\delta^{2}}\)
\(\pi_{2}=7.59+9\left(\delta^{2}+\delta^{4}+\cdots\right)=7.59+\frac{9 \delta^{2}}{1-\delta^{2}}\)
不偏离的条件为：
\(\frac{10.125}{1-\delta^{2}} \geqslant 11.39+\frac{9 \delta^{2}}{1-\delta^{2}}\)
\(\Rightarrow \delta^{*} \geqslant 0.73\)
本题利用古诺均衡产量进行惩罚，当然也可利用更大的产量，此时\(\delta\)更小
3）市场2达成合谋的SPNE
冷酷战略：开始生产 \(\frac{q^{m}}{2}=2\) 直到对方生产 \(q^{*}=3\)
一直生产 \(q^{c}=\frac{8}{3}\)
均不偏离时的利润为：
\(\pi_{i}=\frac{\pi^m}{2}\left(1+\delta+\delta^{2}+\cdots\right)=\frac{8}{1-\delta} \quad(i=1,2)\)
若有一方偏离：不妨假设1偏离：
\(\pi_{1}=9+\frac{64}{9}\left(\delta+\delta^{2}+\cdots\right)=9+\frac{64}{9} \cdot \frac{\delta}{1-\delta}\) \(\pi_{2}=6+\frac{64}{9}\left(8+\delta^{2}+\cdots\right)=6+\frac{64}{9} \quad \frac{\delta}{1-\delta}\)
不偏离的条件
\(\frac{\delta}{1-\delta} \geqslant 9+\frac{64}{9} \cdot \frac{\delta}{1-\delta}\)
\(\Rightarrow \delta^{*} \geqslant 0.53\)
综上：若想维持两个市场的合谋，在既定SPNE之下