1、假定有一块地受到某一厂商生产外部性的侵蚀。厂商的间接利润函数是 \(\pi(\mathrm{h})=\mathrm{a}+\mathrm{bh}-\mu \mathrm{h},\) 这里h是外部性水 平, \((\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mu)>0\) 。 有1个消费者耕种这片土地, 每人耕种土地的1/I。土地的总产量是 \(\Phi(\mathrm{h})=\mathrm{v}-\mathrm{nh},(\mathrm{y}, \mathrm{n})>0\) 。.每 个消费者的间接效用函数为 \(\phi(\mathrm{h}) / \mathrm{I} 。\) 消费者和厂商之间的议价规则如下:每个消费者同时决定是否参加一一个 讨价还价的联盟。然后，该联盟就外部性水平h和相关的转移支付T向厂商提议, 厂商要么接受，要么拒绝该 出价。在没有任何协议的情形下，厂商可随心所欲地生产外部性。
(1)令\(\theta\)表示1个消费者中加入了议价联盟的人数比率。求解\(\theta\)的子博亦完美纳什均衡量(为简便，将\(\theta\)看做-个连 续变量)。证明:当1=1时,存在最优外部性水平，但是，当I>1时，在均衡处,我们有 \(\theta<1\),而且，此时存在过度 的外部性。
solution：
1）首先求无协议时的污染水平与社会最优污染水平
\(\max : \pi(h)=a+b h-u h^{2}\)
\(\Rightarrow h^{*}=\frac{b}{2 u}\)
\(\pi^{*}(h)=a+\frac{b^{2}}{4 u}\)
\(\phi^{*}(h)=\gamma-\frac{6 \eta}{2 u}\)
\(\max : \quad s w=a+b h-u h^{2}+\gamma-\eta \cdot h\)
\(\Rightarrow h^{* *}=\frac{b-\eta}{2 u}\)
2）其次分析博弈树：左边表示单个居民支付，右边表示企业支付
\(\left(\phi_{0}(h), \pi_{1}(h)\right)\)
\(\left(\frac{\gamma}{I}-\frac{\eta b}{2 u I}, a+\frac{b^{2}}{4 u}\right)\)
\(\left(\phi_{1}(h, \theta), \pi_{1}(h)\right)\) 3）在分析SPNE存在条件：假设 \(h=\bar h\)
企业的利润不低于无协议：
\(\pi_{1}(h)=\pi_{1}(\bar{h})+T \geqslant a+\frac{b^{2}}{4 u}\)
由于居民题意，故 \(\phi_{0}(h)=\phi(\bar{h}) / I\)
联盟与非联盟之间的支付无差异：
非联盟居民不加入时的支付：
\(\phi_{1}(h, \theta)=\phi_{1}\left(\bar{h}, \theta^{\prime}\right)\)
非联盟居民加入时的支付：
\(\theta^{\prime}=\theta+\frac{1}{I}\)
4）最后求收益最大化：
max: \(v=a+b h-u h^{2}+\theta[\gamma-\eta h]\)
\(\Rightarrow \quad \bar{h}=\frac{b-\theta \eta}{2 u}\)
利润分配：
其中 \(\left\{\begin{array}{l}V=\pi_{1}(h)+\theta \cdot I \phi_{1}(h, \theta) \\ \pi_{1}(h)=a+\frac{b^{2}}{4 u} \\ \phi_{1}(h, \theta)=\frac{\gamma}{I}-\frac{\eta b}{2 u I}+\frac{\theta \eta^{2}}{4 u I} \\ \phi(\bar{h}) / I=\frac{\gamma}{I}-\frac{\eta b}{2 u I}+\frac{\theta\eta^{2}}{2 u I}\end{array}\right.\)
均衡时： \(\phi_{1}\left(\bar{h}, \theta+\frac{1}{I}\right)=\phi(\bar{h}) / I\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}\left(\theta+\frac{1}{I}\right)=\theta\)
\(\Rightarrow \quad \theta=\frac{1}{I}\)
\(\begin{aligned} \Rightarrow \quad I=1 & \theta=1, \quad \hbar=h^{* *} \\ & I>1 . \quad \theta<1, \quad \bar{h}<h^{* *} \end{aligned}\)
\(\Rightarrow \lim _{I \rightarrow \infty} \theta=0\)
2.扭曲性税收的影响考虑两个人的经济，\(i=\{A，B\}，\)i分别具有相同的柯布-道格拉斯效用函数\(u\左（x{1}^{i}，x{2}^{i}\右）=x{1}^{i}x{2}^{i}，\)e{A}=（200100）\(和\)e{B}=（100200）$。
1)找到帕累托最优分配（PEA）。
2)找到WEA。（为简单起见，可以假设\(\left.p{1}=p{2}=1.\right）\)
3)假设政府对购买1美元的商品征收新台币税，作为一次性付款退还给消费者，\(t^{i}=t x{1}^{i}.\)找到税后的WEA，并将其与您在\(b\)部分的结果进行比较。
4)结果表明，\(b\)部分无税时的WEA是有效的，而\(\mathrm{c}\)部分有税时的WEA不一定对所有的\(t值都有效\)
solution：
1）首先求契约曲线：
\(\max : \quad U_{A}=x_{1}^{A} x_{2}^{A}\)
st: \(\left\{\begin{array}{l}\overline{U_{B}}=x_{1}^{B} x_{2}^{B} \\ x_{1}^A+x_{1}^{B}=300 \\ x_{2}^{A}+x_{2}^{B}=300\end{array}\right.\)
\(\Rightarrow \quad x_{1}^{A}=x_{2}^{4} \quad\left(\quad 0 \leq x_{2}^{A} \leq 300\right)\)
其次求PEA:由于
\(e_{A}=(200,100) , e_{B}(100,200)\)
则PEA:
\(x_{1}^{A}=x_{2}^{A}\left(100 \sqrt{2} \leq x_{2}^{A} \leq 300-100 \sqrt{2}\right)\)
2)首先求需求曲线： 设 \(p_{2}=1, \quad p=p_{1} / p_{2}\)
\(\left\{\begin{array}{l}x_{1}^{A}=\frac{200 p+10}{2 p} \\ x_{2}^{A}=\frac{200 p+100}{2}\end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{l}x_{1}^{B}=\frac{100 p+200}{2 p} \\ x_{2}^{B}=\frac{100 p+200}{2}\end{array}\right.\)
其次求WEA:
市场出清：
\(\begin{aligned} & x_{2}{ }^{A}+x_{2}^{B}=300 \\ \Rightarrow & \quad p^{*}=1 \end{aligned}\)
3）效用最大化：
\(\max : \quad U_{i}=x_{1}^{i} x_{2}^{i}\)
st: \((p+t) x_{1}^{i}+x_{2}^{i}=p e_{1}^{i}+e_{2}^{i}+T^{i}\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x_{1}^{i}=\frac{p e_{1}^{i}+e_{2}^{i}+I_{i}}{2(p+t)} \\ x_{2}^{i}=\frac{p e_{i}^{i}+e_{2}^{i}+I_{i}}{2}\end{array}\right.\)
\(T_{i}=t x_{1}^{i}\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x_{1}^{i}=\frac{p e_{i}^{i}+e_{i}^{i}}{2 p+t} \\ x_{2}^{i}=\frac{p+t}{(2 p+t)}\left(p e_{1}^{i}+e_{2}^{i}\right)\end{array}\right.\)
带入数据得：
\(\left\{\begin{array}{l}x_{1}^A=\frac{200 p+100}{2 p + t} \\ x_{2}^{A}=\frac{p+t}{2 p+t}(200 p+100)\end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{l}x_{1}^{B}=\frac{100 p+200}{2 p+t} \\ x_{2}^{B}=\frac{p+t}{2 p+t}(100 p+200)\end{array}\right.\)
市场1出清：
\(x_{1}^{A}+x_{2}^{A}=300 \Rightarrow p^{*}=1-t\)
4）福利对比： \((0<t<1)\)
初始状态 \(U_{A}=U_{B}=20000\)
征税前： \(U_{A}=U_{B}=22500\)
征税后： \(U_{A}=\frac{10000(3-2 t)^{2}}{(2-t)^{2}} \quad U_{B}=\frac{10000 (3-t)^{2}}{(2-t)^{2}}\)
由于 \(U A<U B \quad(0<t<1)\)
初始 \(e_{A}^{\prime}>e_{B}^{\prime}\)
则该交易发生的条件为：
\(U_A \geqslant 20000 \Rightarrow 0<t < 0.29\)
(1)找出本博亦的纳什均衡 \(\left(q_{1}, q_{2}\right)\),以及纳什均衡下两个公司的利润。
(2)假定公司 2 被迫生产 \(q_{2}=0\),而公司 1 是一个垄断经营者,面对的需求函数为 \(p(q)=12-q\) 且成本为 0 。公司 1 的利润是多少?
(3)现在假定这个博亦过程有三个阶段。第一阶段:公司 1 选择是否给公司 2 一笔财 閣,让公司 2 不参与竞争。第二阶段:公司 2 决定是否接受公司 1 的财閣并不参加市 场竞争。第三阶段 a:如果公司 2 接受了公司 1 的财閣,那么公司 1 就是这个市场上 的垄断经营者。公司 1 的成本依然为 \(0,\) 面对的需求函数是 \(p(q)=12-q\) 。因此公 司 1 会获得垄断者的利润,而公司 2 获得这笔财閣。第三阶段 b:如果公司 2 拒绝了 这笔财败,那么两个公司会进行第(1)问 中所描述的生产博亦,他们的利润也如第(1) 问中所计算。 请找出这一新规则下的子博亦完美均衡(subgame perfect equilibrium) 策略。在这一子博亦完美均衡下,公司 1 和公司 2 的利润分别是多少?
(4)现在假定有一个新的公司 3 加入这个市场,公司 3 的产量为 \(q_{3} \geq 0\),单位 成本为 2 。 与之相对应的需求函数是 \(p(q)=12-q\),其中 \(q=q_{1}+q_{2}+q_{3 \circ}\) 找出 本博亦的纳 什均衡 \(\left(q_{1}, q_{2}, q_{3}\right)\),以及纳什均衡下三个公司的利润。
(5)现在假定这个博亦过程有三个阶段。 第一阶段:公司 1 选择是否给公司 3 一笔财閣,让公司 3 不参与竞争。 第二阶段:公司 3 决定是否接受公司 1 的财閣并不参加市场竞争。 第三阶段 a:如果公司 3 接受了公司 1 的财閣,那么公司 1 和公司 2 就继 续第(3)问中 所描述的博奕。 第三阶段 b:如果公司 3 拒绝了这笔财閣,那么三个公司会进行第(4)问 中所描述的生 产博亦,他们的利润也如第(4)问中所计算。 请找出这一新规则下的子博亦完美均衡(subgame perfect equilibrium) 策略。在这 一子博亦完美均衡下,公司 1,公司 2 以及公司 3 的利润分别 是多少?
solution：
1）古诺竞争：
企业1利润最大化：
\(\max : \pi_{1}=\left(1 2-q_{1}-q_{2}\right) q_{1}\)
\(Fo{c}: \frac{\partial \pi}{\partial q_{1}}=12-2 q_{1}-q_{2}=0\)
同理得：
\(\left\{\begin{array}{l}q_{1}=6-\frac{1}{2} q_{2} \\ q_{2}=6-\frac{1}{2} q_{1}\end{array}\right.\)
解得： \(\left\{\begin{array}{l}q_{1}^{c}=q_{2}^{c}=4 \\ \pi_{1}^{c}=\pi_{2}^{c}=16\end{array}\right.\)
2）企业1垄断
\(\max : \pi_{1}^{m}=\left(12-q_{1}\right) q_{1}\)
Foc: \(\frac{d \pi^{m}}{d q_{1}}=12-2 q_{1}=0\)
解得：\(q_{1}^{m}=6 , \pi_{1}^{m}=36\)
3）博弈树如下：假设贿赂金额为t
SPNE:
第一阶段：企业1只贿赂且 \(t=16\)
第二阶段：若 \(t \geq 16\)，企业2接受 ，若 \(t<16\)，企业2不接受
第三阶段：
若企业2接受贿赂 \(q_{1}=6 , q_{2}=0\)
若企业2接受 \(q_{1}=q_{2}=4\)
均衡时利润：
\(\pi_{1}=20 , \pi_{2}=16\)
4）企业1利润最大化：
\(\max : \pi_{1}=\left(12-q_{1}-q_{2}-q_{3}\right) q_{1}\) \(Fo{c}: \frac{\partial \pi}{\partial q_{1}}=12-2 q_{1}-q_{2}-q_{3}=0\)
企业3利润最大化：
\(\max : \pi_{3}=\left(12-q_{1}-q_{2}-q_{3}\right) q_{3}-2 q_{3}\)
Foc: \(\frac{\partial \pi_3}{\partial q_{3}}=10-q_{1}-q_{2}-2q_{3}=0\)
得反应函数：
\(\left\{\begin{array}{l}q_{1}=6-\frac{1}{2} q_{2}-\frac{1}{2} q_{3} \\ q_{2}=6-\frac{1}{2} q_{1}-\frac{1}{2} q_{2} \\ q_{3}=5-\frac{1}{2} q_{1}-\frac{1}{2} q_{2}\end{array}\right.\)
解得： \(\left\{\begin{array}{l}q_{1}^{c}=3.5 \\ q_{2}^{c}=3.5 \\ q_{3}^{c}=1.5\end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{l}\pi_{1}^{C}=12.25 \\ \pi_{2}^{C}=12.25 \\ \pi_{3}^C=2.25\end{array}\right.\)
5博弈树如下：假设企业1贿赂，2，3的金额为\(t_2,t_3\)
SPNE:
第一阶段：企业1贿赂企业3且\(t_{3}=2.25\)
第二阶段：当 \(t_{3} \geqslant 2.25\)时，惬意3接受
当 \(t_{3}<2.25\)时，企业3不接受
第三阶段：若企业3接受，企业1贿赂企业2，且 \(t_{2}=16\)，其他行为如（3）
若企业3不接受，则 \(q_{1}=q_{2}=3.5, q_{3}=1.5\)
均衡利润： \(\left\{\begin{array}{l}\pi_{1}=17.75 \\ \pi_{2}=16 \\ \pi_{3}=2.25\end{array}\right.\)