1. 假定 A、B 两厂商之间存在外部性，A 厂商给 B 厂商造成外部不经济。A厂商生产 \(X\) 产品, B 厂商生产 \(Y\) 产品，其成本函数分别为 \(C_{A}=2 X^{2}\) 和 \(C_{B}=Y^{2}+2 X Y,\) B 厂商的成本受 A 厂商的产量 \(X\) 的影响。 \(X\) 和 \(Y\) 的市场价格分别为 80 和 60 。求:
  1. 假定厂商不对外部性问题进行交涉，两厂商的产蝠各为多少?

(2)假定两厂商对外部性问题进行交涉，并且交易成本为零，两厂商的产啤又各为 多少?

  1. 在(2) 的场合，对 A 厂商的外部不经济有法规和无法规时，两厂商如何分配利润?

  2. 假定政府为抑制外部不经济，对 \(\mathbf{A}\) 厂商生产的每单位 \(X\) 征收数额 \(\boldsymbol{T}\) 的税收。两厂 商若追求各自利润最大化，政府税额应定为多少?

  3. 假定政府向 A 厂商生产的每单位 \(X\) 征收数额 \(T\) 的税收，而向 B 厂商生产的每单位 \(Y\) 发放 \(T\) 单位的补贴。假设两厂商可以无交易成本地交涉，那么政府的税收、补贴政策会带 来什么样的影响?

solution：

1）A,B利润最大化：

\(\begin{aligned} \max : & \pi_A=80 x-2 x^{2} \\ Foc: & \frac{d \pi_h}{d x}=80-4 x \end{aligned}\)

\(m a x: \pi_{ B}=60 y-y^{2}-2 x y\) \(\frac{d \pi_{B}}{d y}=60-2 y-2 y=0\)

\(\Rightarrow \quad x=20 ; \quad y=10\)

\(\Rightarrow \quad \pi_x=800；\pi_y=100\)

2）交涉:由于不存在交易成本，由科斯定理可知，产权的初始分配不影响均衡结果。

不妨假设联合生产：

\(\max : \pi=80 x-2 x^{2}+6 0y-y^{2}-2 x y\)

Foc: \(\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial \pi}{\partial x}=80-4 x-2 y=0 \\ \frac{\partial \pi}{\partial y}=60-2 y-2 x=0\end{array}\right.\)

\(\Rightarrow \quad x=10, \quad y=20\)

\(\Rightarrow \quad \pi=1000\)

3）若无法则：污染x属于A,B需想A购买污染全（让渡利润）

使得： \(\pi_x \geqslant 800, \quad \pi_y \geqslant 100 \quad(\pi_x+\pi_y=1000)\)

若有法则：污染全属于B,A需向B购买污染权（让渡利润）

使得： \(\pi_y \geq 900, \quad \pi_x \geqslant 0 \quad(\pi_x+\pi_y=1000)\)

4）征税：

\(\left\{\begin{array}{ll}\max : & \pi_{A}=80 x-2 x^{2}-T x \\ \max : & \pi_B=60y-y^{2}-2 x y\end{array}\right.\)

若使\(x=10\) ，则\(T=40\)，此时 \(y=20\)

5）征税+补贴

\(\left\{\begin{array}{l}\max : \pi_{A}=80 x-2 x^{2}-T x \\ \max : \pi_{B}=60 y-y^{2}-2 x y+T y\end{array}\right.\)

若使\(x=10\)，则 \(T=40\) ，此时\(y=40\)

污染达到最优水平，但Y的产量上升，使得财政支出增加

  1. 考虑一个有初始禀赋的两个好的，两个代理的纯交换经济 \[ e_{A}=(5,1) \text { and } e_{B}=(1,1) \] 并具有实用功能 \[ \begin{array}{l} u_{A}\left(x^{1}, x^{2}\right)=\left(x^{1}-1\right)^{2}+\left(x^{2}-1\right)^{2} \\ u_{B}\left(x^{1}, x^{2}\right)=\log x^{1}+\log x^{2} \end{array} \]

（1） 画一个Edgeworth方框来说明这种经济。

（2） 将价格标准化为\(\左（1，p^{2}\右）\)。计算代理\(A\)的需求作为\(p^{2}\)的函数。通常，如果一次有多个最优消费捆绑

给定价格，全部找到。

（3） 基于（2），证明了不存在竞争均衡。

solution：

1）

2）首先求需求函数

B的需求函数：

\(\left\{\begin{array}{l}x_{1}^{B}=\frac{1+p}{z} \\ x_{2}^{3}=\frac{1+p}{2 \rho}\end{array}\right.\)

A的需求函数：

\(\begin{aligned} \max : & U_{A}=\left(x_{1}^{A}-1\right)^{2}+\left(x_{2}^{A}-1\right)^{2} \\ & \text { st: } \quad x_{1}^{A}+P x_{2}^{A}=5+p \end{aligned}\)

\(\Rightarrow \quad U_{A}=\left(x_{2}^{A}-1\right)^{2}+\left(4+p-p X_{2}^{A}\right)^{2}\)

\(\Rightarrow \frac{d U_{A}}{d x_{2}^{A}}=2\left(1+p^{2}\right) x_{2}^{A}-2\left(p^{2}+4 p+1\right)\)

\(U_{A}(0)=(4+p)^{2}+1 ; \quad U_{A}\left(1+\frac{5}{p}\right)=\frac{2 5}{p^{2}}+1\)

\(\Rightarrow x_{1}^{A}=\left\{\begin{array}{cc}0 & p<1 \\ 0 ,6 & p=1 \\ 5+p & p>1\end{array}\right.\)

\(x_{2}^{A}=\left\{\begin{array}{cc}\frac{5+p}{p} & p<1 \\ 6 ,{0} & p=1 \\ 0 & p>1\end{array}\right.\)

市场出清：

当 \(p>1\)时，

\(x_{1}^{A}+x_{1}^{B}=5+p+\frac{1+p}{2}=\frac{11}{2}+\frac{3}{2} p=6\)

\(\Rightarrow p=\frac{1}{3}<1\)不符合

当 \(p<1\)时，

\(x_{1}^{A}+x_{1}^{B}=\frac{1+p}{2}=6\)

\(\Rightarrow \quad p=11>1\)不符合

当 \(p=1\)时

\(\left\{\begin{array}{lll}x_{1}^A=6 & : x_{1}^{A}+x_{1}^{B}=7>6 \\ x_{1}^{A}=0 & : x_{2}^{A}+x_{2}^{B}=7>2\end{array}\right.不符合\)

综上：不存在竞争性均衡。

  1. 两支军队争夺一岛屿。一开始军队 2 占领岛屿，但军队 1 可以进攻岛屿，每次进攻方和防守方 都损失一个营并且由进攻方占领岛屿，军队 1 有 \(K\) 个营，军队 2 有 \(L\) 个营，从支军队的统领中以 选择进攻还是放弃进攻，都认为得到岛屿的价值高于一个营而低于两个营，但若某次进攻后，两支 军队都没有剩余的营了，那么得到的价值都将为 0 。请根据子博变纳什均衡，判断谁将占领此岛屿。

1）博弈树如下：假设岛屿价值 \(1+t<2\)

2）若 \(L \geqslant k\)：以军队2收尾

当 \(L=K\)时

最优一阶段2进攻获利为0，不进攻获利为1

\(\Rightarrow\)军队1每次选择N,军队2每次选择Y,最后选择N

\(\Rightarrow\)军队2占领岛屿

当

\(L \geqslant K+1\)时

最后阶段军队2选择Y获利

\(L-K+t\)

选择N获利 \(L-K+1\)

\(\Rightarrow\)军队1每次选择N,军队2每次选择Y

\(\Rightarrow\)军队2攻占岛屿

3）当 \(L < K\)时，以军队1为收尾

当\(K=L+1\)时

最优阶段军队1选择Y获利0，选择N获利1

\(\Rightarrow\)军队1每次选择Y,最后选择N获利1，军队2每次选择N

\(\Rightarrow\)军队1攻占岛屿

当 \(K \geqslant L+2\)时：

最后阶段军队1选择Y获利 \(K-L-1+t\)

选择N获利 \(K-L\)

\(\Rightarrow\)军队1每次选Y,军队2每次选择N

\(\Rightarrow\)军队1占领岛屿。