1） 流感疫苗的市场均衡量是多少？流感疫苗的有效数量是多少？
2） 计算由外部性引起的自重损失。
3） 假设政府对流感疫苗的生产提供每单位新元的补贴。为了达到有效的数量，补贴应该是多少？
solution:
正外部性——需求端
1）竞争均衡
\(\left\{\begin{array}{ll}\text { Private pemand: } & p^{\text {private }}=100-2 Q \\ \text { supply : } & p=2Q\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}p^{*}=50 \\ Q^{*}=25\end{array}\right.\right.\)
社会最优：
\(\left\{\begin{array}{l}\text { social Demand: } \quad p^ { solial }=150-3Q \\ \text { supply: } \quad P=2Q\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}p^{* *}=60 \\ 2^{* *}=30\end{array}\right.\right.\)
2）无畏损失：
\(\begin{aligned} \Delta S W &=s w^{*}-s w^{* *} \\ &=\int_{30}^{25}\left[p^{\text {social }}-p^{\text {supply }}\right] d Q \\ &=\int_{30}^{25}(150-5 Q) d Q \\ &=-62.5 \end{aligned}\)
3）对产量进行生产补贴
\(\left\{\begin{array}{ll}\text { Private Pemand } & =p^{\text {primte }}=100-2 Q \\ \text { supply: } & P+S=2 Q\end{array}\right.\)
\(\Rightarrow \quad Q=25+\frac{5}{4}=Q^{* *}=30\)
\(\Rightarrow \quad S=20\)
其实亦可对消费者进行补贴
2.在一个经济体中，有两个家庭：A 和 B; 有两种商品，表示为 \(x\) 和 \(y,\) 单位化商品 \(y\) 的价格为 \(P_{y}=1\); 有两个生产企业: X 和 Y，它们分 别生产 \(x\) 和 \(y\), 企业需要的资本和劳动力要素（K, L) 由两个家庭提 供，而两个家庭需要的商品 \((x, y)\) 由两个企业提供。 家庭 \(A\) 的效用函数为: \[ u\left(x_{A}, y_{A}\right)=10 x_{A}^{\frac{1}{3}} y_{A}^{\frac{1}{3}} \] 其消费约束为: \(P_{x} x_{A}+y_{A}=P K_{A}+W L_{A},\) 其中，商品 \(x\) 的价格为 \(P_{x},\) 商 品 \(y\) 的价格为 \(P_{y}=1\), 资本的价格为 \(R\) ，劳动力价格（工资）为 \(W\) 。这 个消贫约束表示，家庭的资本 \(\mathrm{K}_{\mathrm{A}}\) 和劳动力 \(\mathrm{L}_{3}\) 所获得的财富全部用于消 费。 家庭 \(\mathrm{B}\) 的玻用函数为: \(u\left(x_{B}, y_{B}\right)=20 x_{B}^{\frac{1}{4}} y_{B}^{\frac{1}{4}}\) 其消赏约束为: \(P x_{B}+y_{B}=P K_{B}+W L_{B},\) 其符号含义和约束如前。 这两个家庭的资本和劳动力京赋分别为 \(\mathrm{L}_{\mathrm{A}}=20, \quad \mathrm{~L}_{\mathrm{B}}=10, \quad \mathrm{~K}_{\mathrm{A}}=10\) ， \(\mathrm{K}_{\mathrm{B}}=20\) 企业 \(X\) 的生产函数为 \(x=10 K_{x}^{\frac{1}{2}} L_{x}^{\frac{1}{2}},\) 企业 \(\mathrm{Y}\) 的生产函数为 \(y=20 K_{\gamma}^{\frac{1}{2}} L_{Y}^{\frac{1}{2}}\), 他们面对的资本和劳动力要素价格也都为 R 和 W。
(10 分) 假设 \(P_{x}, R, W, P_{v}=1\) 给定，求两个家庭的需求函数:
(10 分) 假设 \(P_{x}, R, W, P_{y}=1\) 给定，求两个企业在产出 \(x\) 和 \(y\) 既定时的 条件需求函数和商品 \(x\) 的价格 \(P_{x}\) (表示为要素价格的函数）。
(15 分) 求此完全竞争市场的一般均衡，包括商品 \(x\) 的价格 \(P_{x}\), 资本 和劳动力价格 R，W，家庭 \(A\) 的消费组合 \(x_{A}, y_{A},\) 家庭 B 的消费组合 \(x_{B}, y_{B},\) 企业 \(\mathrm{X}\) 的生产要素分配 \(\mathrm{K}_{\mathrm{x}}, \mathrm{L}_{x},\) 企业 \(\mathrm{Y}\) 的生产要素分配 \(\mathrm{K}_{\mathrm{Y}},\) \(\mathrm{L}_{\mathrm{Y}}\)
solution：
1）需求端：
\(\max : U_{A}=10 x_{A}^{\frac{1}{3}} y_{A}^{\frac{1}{3}}\) st: \(\quad P_{x} \cdot x_{A}+y_{A}=P K_{A}+W L_A\)
\(\max : \quad U_{B}=20 x_{B}^{\frac{1}{4}} y_B^{\frac{1}{4}}\) \(s t: P_{x} \cdot x_{B}+y_{B}=P \cdot K_{B}+W L_{B}\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x_{A}=\frac{5 R+10 W}{P_{x}} \\ y_{A}=5 R+10 W\end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{l}x_{B}=\frac{10 R+5 W}{P x} \\ y_{B}=10 R+5 W\end{array}\right.\)
\(\begin{aligned} \min : & R \cdot K_{x}+w \cdot L_{x} \\ \text { st: } & x=10 k_{x}^{\frac{1}{2}} L_{x}^{\frac{1}{2}} \end{aligned}\)
2）生产端
成本最小化
\(\begin{array}{rl}\min : & R \cdot K_y+w \cdot \operatorname{L_y} \\ st: & y=20 K^{ \frac{1}{2}} L^{\frac{1}{2}}\end{array}\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}K_{x}=\frac{1}{10} \cdot\left(\frac{w}{R}\right)^{\frac{1}{2}} \cdot x \\ L_{x}=\frac{1}{10} \cdot\left(\frac{R}{w}\right)^{\frac{1}{2}} \cdot x\end{array} \quad\left\{\begin{array}{l}K_y=\frac{1}{20} \cdot\left(\frac{w}{R}\right)^{\frac{1}{2}} \cdot y \\ L_y=\frac{1}{20}\left(\frac{R}{w}\right)^{\frac{1}{2}} \cdot y\end{array}\right.\right.\)
\(\Rightarrow \quad C_{x}=\frac{\sqrt{w R}}{5} \cdot x ; \quad C_{y}=\frac{\sqrt{w R}}{10} \cdot y\)
完全竞争市场
\(P_{x}=M C_{x}=\frac{1}{6} \sqrt{W R}\)
\(P_{y}=M C_y=\frac{1}{10} \sqrt{W R}\)
3）一般均衡：
\(p_{x}=2, \quad p_{y}=1 \quad \quad(w R=100)\)
产品市场y出清
\(\left\{\begin{array}{l}y=y_{A}+y_{B}=15(w+R) \quad \Rightarrow y=2 x \\ x=x_{A}+x_{B}=\frac{15}{2}(w+R)\end{array}\right.\)
要素市场出清：
\(\left\{\begin{array}{l}K=K_{x}+K_y=\left(\frac{w}{R}\right)^{\frac{1}{2}}\left(\frac{x}{10}+\frac{y}{20}\right)=30 \\ L=L_{x}+L_{y}=\left(\frac{R}{w}\right)^{\frac{1}{2}}\left(\frac{x}{10}+\frac{y}{20}\right)=30\end{array} \Rightarrow W=R\right.\)
\(\Rightarrow \quad W=R=10\)
\(\Rightarrow \quad x=150 \quad ; \quad y=300\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x_{A}=75 \\ y_{A}=150\end{array} \quad\left\{\begin{array}{l}x_{B}=75 \\ y_{B}=150\end{array}\right.\right.\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}K_x=15 \\ L_x=15\end{array} \quad\left\{\begin{array}{l}K_y=15 \\ L_y=15\end{array}\right.\right.\)
3、考虑如下博亦G，分别求该博亦重复进行1-3次的子博亦精炼纳什均衡，折现因子为1.
| 2 | |||
|---|---|---|---|
| L | R | ||
| 1 | U | (3,3) | (1,4) |
| D | (4,1) | (0,0) |
solution：有限重复博弈：单次博弈存在多个纳什均衡
1）若该博弈只进行1次
纯策略NE:
\(S_{1}^{*}=(U, R)=(1,4)\)
\(S_{2}^{*}=(D , L)=(4,1)\)
混合策略NE:
\(\sigma_{1}^{*}=\left\{\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}), (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)\right\}=(2,2)\)
2)若该博弈进行2次
单阶段的NE重复N仍为有限重复博弈的SPNE
\(\left\{\begin{array}{lll}\left(s_{1}^{*}, s_{1}^{*}\right) & \left(s_{2}^{*}, s_{1}^{*}\right) & \left(\sigma_{1}^{*}, s_{1}^{*}\right) \\ \left(s_{1}^{*}, s_{2}^{*}\right) & \left(s_{2}^{*}, s_{2}^{*}\right) & \left(\sigma_{1}^{*}, s_{2}^{*}\right) \\ \left(s_{1}^{*}, \sigma_{1}^{*}\right) & \left(s_{2}^{*}, \sigma_{1}^{*}\right) & \left(\sigma_{1}^{*}, \sigma_{2}^{*}\right)\end{array}\right.\)
单阶段的非NE与NE的组合可能为有限重复博弈的SPNE
但阶段帕累托最优的（U,L）达不到
两个阶段可能达到：假设折现因子为\(\delta\)
第二阶段为最后阶段，必选NE,第一阶段可能选（U,L）
考虑如策略：
若\(G_{1}=(U,L)\) ，则 \(G_{2}=S_{1}^{*}\)
若\(G_{1} \neq(U, L)\)，则 \(G_{2}=\sigma_{1}^{*}\)
若均衡不偏离 \((U, L) \rightarrow(U, R)\)
\(\left\{\begin{array}{l}\pi_{1}=3+\delta \\ \pi_{2}=3+4 \delta\end{array}\right.\)
若1偏离，第一阶段选D:
\((D, L) \rightarrow \sigma_{1}^{*}\)
\(\left\{\begin{array}{l}\pi_{1}=4+2 \delta \\ \pi_{2}=1+2 \delta\end{array}\right.\)
若2偏离，第一阶段选R
\((U ,R) \rightarrow \sigma_{1}^{*}\)
\(\left\{\begin{array}{l}\pi_{1}=1+2 \delta \\ \pi_{2}=4+2 \delta\end{array}\right.\)
不偏离的条件
\[\left\{\begin{array}{l}3+\delta>4+2 \delta \\ 3+4 \delta>4+2 \delta\end{array} \Rightarrow不存在这样的\delta\right.\]
\(\Rightarrow不\exists\)非NE与NE组织形成的SPNE
\(\Rightarrow\)若数据差距不太大，则存在这样的SPNE
用两阶段不同的NE惩罚或奖励一阶段的合作
3）若该博弈进行3次
单阶段的NE重复N次仍为有限重复博弈的SPNE
27种
单阶段的非NE与NE的组合可能为有限重复博弈的SPNE
考虑一下策略：冷酷策略
若不偏离：\((U, L) \rightarrow(U, R) \rightarrow(D, 2)\)
\(\left\{\begin{array}{l}\pi_{1}=3+\delta+4 \delta^{2} \\ \pi_{2}=3+4 \delta+\delta^{2}\end{array}\right.\)
若1偏离：\((D, L) \rightarrow(U, R) \rightarrow(U, R)\)
\(\left\{\begin{array}{l}\pi_{1}=4+\delta+\delta^{2} \\ \pi_{2}=1+4\delta+4\delta^{2}\end{array}\right.\)
若2偏离：\((U, R) \rightarrow(D, L) \rightarrow(D, L)\)
均不偏离的条件为： \[\left\{\begin{array}{l}\pi_{1}=1+4 \delta+4 \delta^{2} \\ \pi_{2}=4+\delta+\delta^{2}\end{array}\right.\]
\(\left\{\begin{array}{l}3+\delta+4 \delta^{2} \geqslant 4+\delta+\delta^{2} \\ 3+4 \delta+\delta^{2} \geqslant 4+\delta+\delta^{2}\end{array} \Rightarrow \delta \geq \frac{\sqrt{3}}{3}\right.\)
\(\Rightarrow\)若 \(\delta \geq \frac{\sqrt{3}}{3}\)，则该策略为SPNE
g该策略的含义：
若一阶段合作达到帕累托达到最优，则二、三阶段分别用 \((U, R),(D, L)\)奖励2,1
若一阶段有人偏离，则对方会一直选择对自己有利的策略，以此惩罚偏离后，列如若2偏离，则1在二，三阶段一直选D,这使2选K,此时 \((D,L)=(4,1)\)