(1)(5 分)如果政府不干预的话,该场地将会建造多少座位?其中多少是由小 丽捐赠的? 多少是由小贾捐赠的?
(2)(5 分)总座椅数的社会最优解是多少?如果你的答案与(1)不同,请解释原因。
现在,假设一个座位的价格从1变为 \(P_{S}\),而私有品的价格仍为 1,在改变价格 的同时,小 丹和小贾的收入按照如下方式相应改变:当价格变为 \(P_{S}\) 时,小丽和 小贾的预算约束增 加了 \(C_{L}\) 和 \(C_{J},\) 其中 \(C_{L}=\left(P_{S}-1\right) S_{L}, C_{J}=\left(P_{S}-1\right) S_{J^{\circ}}\) 增加 后的预算约束称为补偿预算 约束。
(3)(5 分)写下小丹和小贾的补偿预算约束的表达式。你觉得它们为什么被称作“补 偿的”?
(4)(10 分)通过需求曲线的纵向加总,求出社会最优解。
i)按如下方式推导 \(\mathrm{S}\) 的逆需求曲线:
a.满足补偿约束运算的前提下,最大化小丽和小贾的需求曲线。注意,在求导之前,不 要代入 \(C_{L}\) 和 \(C_{J}\) 的表达式。
b.对于小丹和小贾,求解 \(S_{L}\) 和 \(S_{J}\) 作为 \(P_{S}\) 的自变量的函数形式。请使用你在 i )中得到的 结果推导社会需求曲线。
ii)回到 \(P_{S}=1, P_{x}=1\) 的初始设定。请通过使社会需求曲线与社会供给曲线 (即场地 座位的边际成本 \()\) 相等,找到座椅数的社会均衡数量。和(2) 结果相比,是否不同?
solution：
1）单独决策，效用最大化：
\(\begin{aligned} \max : & U_{i}=\frac{1}{2} \ln x_{i}+\frac{1}{2} \ln S \\ \text { st: } & x_{i}+s_{i}=m_{i} \end{aligned}\)
\(L=\frac{1}{2} \ln x_{i}+\frac{1}{2} \ln s+\lambda\left[m_{i}-x_{i}-s_{i}\right]\)
FOC: \(\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial L}{\partial x_{i}}=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x_{i}}-\lambda=0 \\ \frac{\partial L}{\partial s_{i}}=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{s} -\lambda=0\end{array}\right.\)
解得： \(s_i+s=m_{i} \quad(i=1,2)\)
加总得 \(s^{*}=100\)
其中\(S_{J}=0 \quad S_{L}=100\)
2）社会最优
方法1：定义发
\(\max : \quad U_{J}=\frac{1}{2} \ln x_{J}+\frac{1}{2} \ln S\)
\(st:\left\{\begin{array}{l}\bar{U}_{L}=\frac{1}{2} \ln x_{L}+\frac{1}{2} \ln S \\ x_{J}=100-S_{J} \\ x_{L}=200-x_{L}\end{array}\right.\)
\(L=\frac{1}{2} \ln \left(100-S_{J}\right)+\frac{1}{2} \ln \left(S_{J}+S_{L}\right)+\lambda\left[\bar{U}_{2}-\frac{1}{2} \ln \left(200-S_{L}\right)-\frac{1}{2} \ln \left(S_{J}+S_{L}\right)\right]\)
FOC: \(\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial L}{\partial S_{J}}=-\frac{1}{2} \frac{1}{100-S_{J}}+\frac{1}{2} \frac{1}{S_J+S_{L}}-\lambda \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{S_{J}+S_{L}}=0 \\ \frac{\partial L}{\partial S_{L}}=\frac{1}{2} \cdot \frac1{S_J+S_{L}}+\lambda \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{200-S_{L}}-\lambda \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{S_J+S_{C}}=0\end{array}\right.\)
解得： \(S^{* *}=S_{L}+S_{J}=150>S^{*}=100\)
个人决策存在搭便车行为，导致s供不应足
方法2：利用社会福利函数
假设
\(SW=\lambda_{L} U_{L}+\lambda_{J} U_{J}\)
其实与 \(\lambda_{L} , \lambda_{J}\)无关
\(\max : \quad S W=\lambda_{L}\left[\frac{1}{2} \ln x_{L}+\frac{1}{2} \ln s\right]+\lambda_{J}\left[\frac{1}{2} \ln x_{J}+\frac{1}{2} \ln s\right]\)
\(st: \quad x_{L}+x_{J}+s=m_{L}+m_{J}\)
\(L=\lambda_{L}\left[\frac{1}{2} \ln x_{L}+\frac{1}{2} \ln s\right]+\lambda_{J}\left[\frac{1}{2} \ln x_{J}+\frac{1}{2} \ln s\right]+\lambda\left[300-x_{L}-x_{J}-s\right]\)
FOC:\(\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial L}{\partial x_{L}}=\lambda_{L} \cdot \frac{1}{2 x_{L}}-\lambda=0 \\ \frac{\partial L}{\partial x_{J}}=\lambda_J \cdot \frac{1}{2 x_{J}}-\lambda=0 \\ \frac{\partial L}{\partial s}=\left(\lambda_{L}+\lambda_J\right) \cdot \frac{1}{2 s}-\lambda=0\end{array}\right.\)
解得：
\(x_{L}+x_{J}=s=150\)
3）补偿性预算约束：
\(\left\{\begin{array}{l}x_{L}+p_{s} \cdot S_{L}=m_{L}+c_{L} \\ x_{J}+p_{s} \cdot S_{J}=m_{J}+c_{J}\end{array}\right.\)
由于s价格的改变，通过增加c使得L与J能够消费原来的消费束，故称为补偿性的预算约束。
4）效用最大化：
\(\max : U_{L}=\frac{1}{2} \ln x_{L}+\frac{1}{2} \ln S\)
st: \(x_{L}+P_{s} \cdot S_{L}=m_{L}+c_{L}\)
\(\Rightarrow \quad p_{s}\left(s_{L}+s\right)=m_{L}+c_{L}\)
带入化简得：
\(p_{s}=\frac{200-s_{c}}{s}\)
同理可得：
\(P_{s}=\frac{100-S_{J}}{S}\)
纵向加总：
\(P_{s}=\frac{200-S_{L}}{S}+\frac{100-S_{J}}{S}=\frac{300-S}{S}\)
即社会需求曲线
与2）对比
若 \(P_{s}=1\) 解得： \(S=S_{L}+S_{J}=150\)，即社会最优
画出最后 10 小时川普的生产可能性边界（以书面报告为横轴）。
画出最后 10 小时希拉里的生产可能性边界（以书面报告为横轴）。
若两人合作，画出最后 10 小时两人（合作 \(）\) 的生产可能性边界（以书面报告为横轴）。 若两人的工作量最后都变成 10 页书面报告和 10 页幻灯片。
若两人合作，是少多少小时可完成?
川普固执地不愿合作，若他一个人完成这 10 页书面报告和 10 页幻灯片，最少多少小时可完成?
产生 (4) 和 ( 5 ) 之间完成时间差异的原因是什么?
solution：
1）图形
2）图形
3）图形
\(P_{T}=P_{H}=10 ; \quad B_{T}=B_{L}=10\)
4）若合作
最优化时：川普完成p，希拉里完成B
耗时 \(t=5 \cdot h\)
5）若川普不合作：
耗时：
\(t=\frac{P_{T}}{4}+\frac{B_{T}}{2}=7.5 h\)
6）差异的愿意：合作能够发挥比较优势
1）原告决定是否指控被告，指控的成本为 \(C\);
3）被告决定接受或拒绝原告的要求;
如果拒绝原告，原告则决定是放弃还是上法庭，自己的成本（律师费）是 \(P\) ，给被告 带来的诉公成本是 \(D\);
如果被告上法庭，原告以 \(R\) 概率胜诉并获赔偿 \(X(R X<P),\) 若败诉则什么也得不到。
solution：
1）首先构建博弈树：
2）逆向归纳法求SPNE
\(\left\{\begin{array}{ll}\text { Step III } & -c>R x-P-c \Rightarrow 原告不上诉\\ \text { step II } & -s<0\Rightarrow 原告拒绝\\ \text { step I } & 0>-c \quad \Rightarrow不指控\end{array}\right.\)
综上：SPNE为：
\(\left\{\begin{array}{l}\text { stepI: } 原告不指控\\ \text { step II: }无论原告是否质控，均拒绝（若不指控时接受，s>c,原告不会painless，不能保证SPNE为非均衡路径上的最优） \\ \text { step III} :若被告拒绝，则原告不上诉；若不，则原告上诉与不上诉均可\end{array}\right.\)
假设 \(s>c\)