(1)(5 分)A 城市政府选择教育水平 hhaa 来最大化当地净产出 \(a L h_{a}-c L h_{a}^{2} ; \mathrm{B}\) 城市 政府选择教育水平 \(h_{b}\) 来最大化当地净产出 \(a L h_{b}-c L h_{b}^{2}\),求两座城市的最优教育水 平。
(2)(5 分)假设因为 \(\mathrm{A}\) 城市的技术效率高于 \(\mathrm{B}\) 城市,即 \(\mathrm{a}>\mathrm{b}\) 。因此有 \(\mathrm{m}\) 名 \(\mathrm{B}\) 城市的劳 工在受到教育后移居到 \(\mathrm{A}\) 城市,注意其教育程度 \(\mathrm{h}_{-} \mathrm{b}\) 在迁移后不变。假设 \(\mathrm{B}\) 城市在 决定教育投入时预见到了这一迁移行为,但无法向迁移的劳工收回 教育成本。迁移 后两地的产出为 \(a\left(L h_{a}+m h_{b}\right)\) 和b \(\left(L h_{b}-m h_{b}\right)\) 。求两地的最 优教育水平。和(1)相 比,允许迁移后的最优教育水平有何变化?
(3)(5 分)假设中央政府介入教育,承担了教育成本,通过选择 \(h_{a}\) 和 \(h_{b}\) 来最大化两地的 总净产出,即 \(a\left(L h_{a}+m h_{b}\right)+b\left(L h_{b}-m h_{b}\right)-c L h_{a}^{2}-c L h_{b}^{2}\) 。求两地 最优教育水平。 和(1)相比,此种情况的最优教育水平有何变化?
solution:
1)A城市净产出最大化：
\(\max : \pi_{a}=a \cdot L \cdot h_a-c \cdot L h_a^2\)
\(\begin{aligned} Fo c &=\frac{d \pi_{a}}{d h_{a}}=a \cdot L-2 c \cdot 2 h_{a}=0 \\ & \frac{d^{2} \pi a}{d h a}=-2 c \cdot L<0 \end{aligned}\)
解得：
\(h_{a}^{*}=\frac{a}{2 c}\)
同理
\(h_{b}^{*}=\frac{b}{2 c}\)
2）允许迁移后A城市净产出最大化：
\(\max \pi_a=a\left(L \cdot h_{a}+m \cdot h_{b}\right)-c \cdot L h_{a}^{2}\)
\(\begin{aligned} Foc: & \frac{d \pi_{a}}{d h a}=a \cdot L-2 c \cdot L h_a=0 \\ & \frac{d \pi_{a}}{d h_{a}}=-2 c \cdot L<0 \end{aligned}\)
得： \(h_{a}^{* *}=\frac{a}{2 c}=h^{*} a\)
允许迁移后B城市净产出最大化：
\(\max : \pi_{b}=b(L-m) h_{b}-c \cdot L h_{b}^{2}\)
\(Foc: \frac{d \pi_{b}}{d h_{b}}=b(L-m)-2 cLh_{b}=0\)
\(\frac{d^{2} \pi_b}{d h^{2} b}=-2 c L<0\)
得 \(h_{b}^{* *}=\frac{b}{2 c} \cdot \frac{L-m}{L}<h_{b}^{*}\)
与1）相比 \(h_{a}^{* *}\)不变
\(h_{b}^{*}\)下降
\(h_{b}^{* *}\)随m的上升而不断下降
3）中央政府最大化总净产出：
\(\max : \pi=a \cdot\left(L \cdot h_{a}+m \cdot h_{b}\right)+b(L-m) h_{b}-c \cdot L h_{a}^{2}-c \cdot L h_{b}^{2}\)
Foc: \(\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial \pi}{\partial h_{a}}=a \cdot L-2 \cdot cLh_{a}=0 \\ \frac{\partial \pi}{\partial h_{b}}=a \cdot m+b(L-m)-2 c \cdot L h_{b}=0\end{array}\right.\)
解得：
\(\left\{\begin{array}{l}h_{a}=\frac{a}{2 c}=h_{a}^{*} \\ h_{b}=\frac{b}{2 c}+\frac{a-b}{2 c} \cdot \frac{m}{L}>h_{b}^{*}\end{array}\right.\)
与1）相比 \(h_{a}\)不变， \(h_{b}\)上升，随着m的上升而不断上升，中央政府的行为激励了人口迁徙到生产率较高的地区，有利于社会总福利的上升。
（2）假设财富满足 \(\mathrm{w} \geqslant 2 \mathrm{p}_{1},\) 对于 \[ p=\left(p_{1}, \quad p_{2}\right) \in R^{2} \] 写出消费者问题并求解对 \(\mathrm{x}_{1}\) 和 \(\mathrm{x}_{2}\) 的需求量。
（3）现在假设财富取决于初始辣赋和利润，请推导出商品 1 的市场均衡条件。假如此时 \(\mathrm{p}_{1}=1, \mathrm{p}_{2}\) 为多少?
solution：
1）生产者利润最大化： \[ \begin{aligned} \max : \pi &=P_{2} y_{1}-p_{1}\left(-y_{1}\right) \\ &=2 p_{2} y_{1}^{2}+p_{1} y_{1} \end{aligned} \]
\[ Foc:\left\{\begin{array}{l} \frac{d \pi}{d y_{1}}=4 p_{2} y_{1}+p_{1} \\ \frac{d^{2} \pi}{d y_{1}^{2}}=4 p_{2}>0 \end{array}\right. \] 则 \(y_{1}=-\infty, \quad y_{2}=+\infty\)
2）消费者效用最大化：
\(\begin{aligned} \max : & U=\left(x_{1}-2\right) x_{2} \\ \text { st: } & P_{1} x_{1}+P_{2} x_{2}=w \end{aligned}\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x_{1}=\frac{w+2 p_{1}}{2 p_{1}} \\ x_{2}=\frac{w-2 p_{1}}{2 p_{2}} \quad\left(w \geqslant 2 p_{1}\right)\end{array}\right.\)
3）市场出清：
\(x_{1}+\left(-y_{1}\right)=4\)
由于 \(x_{1} \geq 2\) 则 \(y_{1}=-2\)
此时，价格小于等于4
若 \(p_{1}=1\)，则\(p_{2} \geqslant \frac{1}{4}\)
4）瓦尔拉斯均衡：
\(\left\{\begin{array}{l}x_{1}=2 \\ x_{2}=8\end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{l}y_{1}=-2 \\ y_{2}=8\end{array}\right.\)
\(p^{*}=\frac{p_{1}}{p_{2}} \leq 4\)
帕累托最优：
\(\max : \quad U=\left(x_{1}-2\right) x_{2}\)
st: \(\quad x_{1}+\left(-y_{1}\right)=4\)
\(x_{2}=y_{2}=2 \cdot\left(-y_{1}\right)^{2}\)
\(x_{1} \geqslant 2 \quad ; \quad x_{2} \geq 0\)
\(Foc: \frac{d U}{d y_{1}}=2\left(4 y_{1}+3 y_{1}^{2}\right)=0\)
解得：\(y_{1}=-\frac{4}{3}\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x_{1}=\frac{8}{3} \\ x_{2}=\frac{32}{9}\end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{l}y_{1}=-\frac{4}{3} \\ y_{2}=\frac{32}{9}\end{array}\right.\)
说明完全竞争市场不能达到帕累托最优的配置。
若 \(y_{2} \leq 2 \sqrt{-y_{1}}\)，生产可能性集为凸集
\(\left(y_{1} \leq 0\right)\)
上产端：
\(\max : \pi=2 p_{2} \sqrt{-y_{1}}-p_{1}\left(-y_{1}\right)\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}y_{1}=-\left(\frac{p_{2}}{p_{1}}\right)^{2} \\ y_{2}=\frac{2 p_{2}}{p_{1}}\end{array}\right.\)
\(\pi=\frac{p_{2}^{2}}{p_{1}}\)
消费端：
\(\max : \quad U=\left(x_{1}-2\right) x_{2}\)
st: \(\quad p_{1} x_{1}+p_{2} x_{2}=4 p_{1}+\pi\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x_{1}=3+\frac{\pi}{2 p_{1}} \\ x_{2}=\frac{2 p_{1}+\pi}{2 p_{2}}\end{array}\right.\)
市场出清：
\(x_{1}+\left(-y_{1}\right)=4\)
\(\Rightarrow p^{*}=\frac{p_{1}}{p_{2}}=\sqrt{\frac{3}{2}}\)
\(\left\{\begin{array}{l}x_{1}=\frac{10}{3} \\ x_{2}=2 \cdot \sqrt{\frac{2}{3}}\end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{l}y_{1}=-\frac{2}{3} \\ y_{2}=2 \cdot \sqrt{\frac{2}{3}}\end{array}\right.\)
3 . 王刚和李红作为一个小组完成作业。该作业通过与否是按照小组来评判的。通过对二人 的效用都是 3，没通过的效用是 0。二人可以选不努力(N)，低努力(L)，和高努力(H)。对于李 红，三种努力的成本分别是 0，1，2; 对于王刚，三种努力的成本分别是 0，2，4。只有当 至 少一个人选择 \(\mathrm{H}\) 或者两人都选择 L 时，小组才能顺利通过。
（1）写出所有博变策略矩阵，并找出所有纳什均衡。
（2）如果李红可以观察王刚的策略后再选择自己的，写出子博亦精炼纳什均衡。
（3）如果王刚可以先观察李红的策略，再选择自己的策略，求子博亦精炼纳什均衡。
solution：
1）博弈矩阵
左边为王刚，右边为李红
| Li | ||||
|---|---|---|---|---|
| H | L | N | ||
| H | (-1,-1) | (-1,2) | (-1,3) | |
| W | L | (1,1) | (1,2) | (-2,0) |
| N | (3,1) | (0,-1) | (0,0) |
纯策略NE:
(\(L,L),(N ,H)\)
混合策略NE: 假设李红选择H,L，N的概率分别为：
\(p_{1}, p_{2} ,\left(1-p_{1}-p_{2}\right)\left(0<p_{1}, p_{2}-1\right)\)
则王刚在选择之间无差异：
\(\pi_{H}=-1 \quad \pi_{L}=2\left(p_{1}+p_{2}\right)-2 \quad \pi_{N}=3 p_{1}\)
\(\pi_{H}=\pi_{L}=\pi_{N} \Rightarrow p_{1}=-\frac{1}{3}<0\)
故仅存在纯策略NE
2)王刚先，李红后：
博弈树如下：左边表示王刚，右边表示李红
由逆向归纳法知：
SPNE \(=\{N,(N, L, H)\}\)
均衡结果为： \((N, H)=(3,1)\)
SPNE \(=\{L,(N, L, N)\}\)
注均衡与均衡的结果不一样
3）李红先，王刚后 博弈树如下：左边表示王刚，右边表示李红
由逆向归纳法知： SPNE \(=\{N,(N, L, H)\}\)
均衡结果为： \((L, L)=(2,1)\)
4）综上：王刚更加青睐于自己的选择，即2）中的策略。