1.假设社会上只有两个人。每人\(A\)的灭蚊需求曲线如下所示：

\[ q_{n}=100-p \]

对于person\(\mathrm{B}\)，蚊虫控制的需求曲线如下所示：

\[ q_{b}=200-p \]

  1. 假设灭蚊是一种纯粹的公共产品，也就是说，一旦产生，人人都能从中受益。如果能以每单位120美元的固定边际成本生产，这项活动的最佳水平是多少？

2)如果把灭蚊工作交给私人市场，可能会产生多少？你的答案是否取决于每个人认为对方会做什么？

3)如果政府要生产出最佳数量的蚊虫控制，这将花费多少钱？如果个人要按照从蚊虫控制中获得的利益比例分摊这笔税款，那么应如何在个人之间分配这笔税款？

solution：

1）社会最优：

由于

\(p_{n}=100-q\)

\(p_{b}=100-q\)

纵向加总得到社会需求：

\(p^{\text {social }}=300-2q\)

社会最优时：

\(p^{\text {sociul }}=M C\)

得：

\(q^{\text {social }}=90\)

2）私人决策

由于\(M C=120>100\)

则 \(q_{n}=0, \quad q_{b}=80\)

即 \(q^{\text {private }}=80\)

3）政府管制：

当 \(q=q^{\text {social }}=90\)时，政府支出为

\(T=q^{\text {snaial }} \cdot MC =10800\)

税收分配：

\(T_{n} , T_{b}\)

由于按照所获福利的比例分担税收：

\(\left\{\begin{array}{l}\frac{T_{n}}{T_{b}}=\frac{\int_{0}^{90} p_n d q-T_{n}}{\int_{0}^{90} p_{b} d q-T_{b}} \\ T_{n}+T_{b}=10800\end{array}\right.\)

解得：

\(T_{n}=2828.6\)

\(T_{b}=7971.4\)

如果按照最高支付意愿来分配： 则

\(q=90\)时

\(p_{n}=10 , p_{b}=110\)

即每单位h支付10美颜，b支付110美元。

  1. 有CRT的生产经济考虑两个消费者\(i\)={A，B}，\(一个公司（使用货物1作为输入生产货物2）和两个货物\)l=\(\{1，2\}。\)消费者\(B\)拥有公司。Good 2是基准Good（即，\(p{2}=1\)）。考虑到消费者的偏好是由 \[ u^{A}\left(x_{1}^{A}, x_{2}^{A}\right)=x_{1}^{A}+4 \sqrt{x_{2}^{A}} \quad \text { and } u^{B}\left(x_{1}^{B}, x_{2}^{B}\right)=x_{1}^{B}+2 \sqrt{x_{2}^{B}} \] 而他们的禀赋 \[ \omega^{A}=(4,12) \text { and } \omega^{B}=(8,8) \] 生产函数是\(y{2}=3y{1}\)。计算均衡价格和分配。

solution：

1）消费端

效用最大化：

\(\begin{aligned} \max : & u_{A}=x_{1}^{A}+4 \sqrt{x_{2}^{A}} \\ st: & p x_{1}^{A}+x_{2}^{A}=4 p+12 \end{aligned}\)

\(\max : U_{B}=x_{1}^{B}+2 \sqrt{x_{2}^{B}}\)

\(\quad st: px_{1}^{B}+x_{2}^{B}=8 p+8+\pi\)

需求函数：

\(\left\{\begin{array}{l}x_{1}^A=\frac{4 p+12-4 p^{2}}{p} \\ x_{2}^{A}=4 p^{2}\end{array}\right.\)

\(\left\{\begin{array}{l}x_{1}^{B}=\frac{8 p+8+\pi-p^{2}}{p} \\ x_{2}^{B}=p^{2}\end{array}\right.\)

2）生产端：

\(\operatorname{max}: \pi=y_{2}\left(y_{1}\right)-p y_{1}=(3-p) y_{1}\)

Foc: \(\frac{d \pi}{d y_{1}}=3-p\)

因此：

\(y_{1}^{d}=\left\{\begin{array}{cc}+\infty & 0<p<3 \\ {[0,+\infty)} & p=3 \\ 0 & p>3\end{array}\right.\)

\(\pi=\left\{\begin{array}{cc}+\infty & 0< p<3 \\ {[0,+\infty)} & p=3 \\ 0 & p>3\end{array}\right.\)

3)市场出清：

\(x_{1}^{A}+x_{1}^{B}+y_{1}^{d}=12\)

当 \(0<p<3\)时，不成立

当 \(p>3\)时，得 \(p=2\)，不成立

当\(p=3\)时，得

\(y_{1}^d=\frac{25}{3}\)

此时： \(\left(x_{1}^{A}, x_{2}^{A}, x_{1}^{B} , x_{2}^{B})\right.\) \(=\left(-4 , 36, \frac{23}{3} , 9\right)\)

由于 \(x_{1}^{A}\)有非负限制，故 \(x_{1}^{A}\)取角点解 \(x_{1}^A=0\)，则

\(y_{1}^{d}=\frac{13}{3}\)

但 \(x_{2}^{A}+x_{2}^{B}>y_{2}+20\)不符合

综上：不存在瓦尔拉斯均衡

note：若为纯交换经济，则存在瓦尔拉斯均衡 \(p^{*}=2\)

且由于拟线性偏好的缘故，契约曲线特殊。

  1. 两个室友同时选择打扫寝室的努力程度 \(e_{1}\) 与 \(e_{2},\) 他们的效用函数分别为: \[ \begin{array}{l} u_{1}=k \ln \left(e_{1}+e_{2}\right)-\left(e_{1}\right)^{2} \\ u_{2}=\ln \left(e_{1}+e_{2}\right)-\left(e_{2}\right)^{2} \end{array} \]

其中 \(\ln \left(e_{1}+e_{2}\right)\) 代表痕室的清洁度, 它与打扫的努力程度成正比。假设寝室的清洁 对两人的重要性并不一样，即 \(k>1\) 。

  1. 找出纯策略纳计均衡。

2）讨论两人的不同清洁倾向（即 \(k\) ）如何影响打扫的努力程度。

solution：

1）1效用最大化：

\(\max : U_{1}=k \ln \left(e_{1}+e_{2}\right)-e_{1}^{2}\)

Foc: \(\frac{\partial U_{1}}{\partial e_{1}}=\frac{k}{e_{1}+e_{2}}-2 e_{1}=0\)

同理可得2的最优条件为：

\(2 e_{2}=\frac{1}{e_{1}+e_{2}}\)

联立可解得：

\(\left\{\begin{array}{l}e_{1}^{*}=\frac{k}{\sqrt{2(k+1)}} \\ e_{2}^{*}=\frac{1}{\sqrt{2(k+1)}}\end{array}\right.\)

即 \(\left(e_{1}^{*}, e_{2}^{*}\right)\)为纯策略NE

由于

\(\frac{d e_{1}^{*}}{d k}=\frac{k+2}{2 \sqrt{2}(k+1)^{3 / 2}}>0\)

\(\frac{d e_{2}^{*}}{d k}=-\frac{1}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{1}{(k+1)^{3 / 2}}<0\)

故k越大， \(e_{1}\)越大

\(e_{2}\)越小

2搭便车的倾向随k的 \(\uparrow\)而 \(\uparrow\)